CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ HỆ CƠ LIÊN KẾT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ HỆ CƠ LIÊN KẾT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ HỆ CƠ LIÊN KẾT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPCHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ HỆ CƠ LIÊN KẾT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPCHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ HỆ CƠ LIÊN KẾT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬPCHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ HỆ CƠ LIÊN KẾT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Chuyên đề HỆ CƠ LIÊN KẾT- LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Từ kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý nhận thấy rằng: học vật rắn nói chung hệ liên kết nói riêng nội dung tương đối khó Phần lớn học sinh chưa hình dung chuyển động hệ học; chưa nắm rõ ý nghĩa vật lý phương trình tốn học xuất toán; nên em thường gặp vấn đề sau: +Lúng túng việc xác định biến số độc lập lựa chọn hệ toạ độ cho hệ +Khó khăn việc xác định lực tương tác vật hệ (lực liên kết) +Khó khăn việc xác định liên hệ chuyển động vật vật khác (phương trình liên kết) +Sai sót việc thiết lập giải tìm nghiệm phương trình tốn Để khắc phục khó khăn trên, hướng dẫn học sinh thiết lập quy trình chung giải tốn liên kết gồm phần : phân tích động học phân tích động lực học; cụ thể có bước: B1 Viết phương trình động học B2 Viết phương trình động lực học B3 Viết phương trình lượng B4 Viết phương trình liên kết B5 Giải hệ phương trình biện luận nghiệm Với mong muốn chia sẻ kinh nghiệm mình, tơi viết chun đề “ Hệ liên kết – Lý thuyết phương pháp giải tập ” Mục tiêu đề tài Mục tiêu đề tài tìm kiếm giải pháp khắc phục khó khăn mà học sinh gặp phải học nội dung hệ liên kết Nhiệm vụ đề tài - Hệ thống hoá lý thuyết hệ liên kết - Phân loại dạng tập thường gặp nội dung hệ liên kết - Hướng dẫn giải chi tiết dạng tập phân loại Phạm vi đề tài - Phần Cơ học - Cơ hệ liên kết Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm phần: Phần Tóm tắt lý thuyết Hệ liên kết: A Lý thuyết Hệ liên kết B Bài tập ví dụ Phần Phân loại phương pháp giải toán Hệ liên kết Dạng Liên kế khớp xoay- rắn Dạng 2: Liên kết dây treo Dạng 3: Liên kết khối cầu- trụ lăn B NỘI DUNG PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT A LÍ THUYẾT HỆ CƠ LIÊN KẾT I Bậc tự do- Hệ liên kết Bậc tự Số lượng toạ độ độc lập dùng để mô tả chuyển động vật gọi số bậc tự vật z z r r y O y x x Hình 1.1 Để mô tả chuyển động tự vật không gian chiều Oxyz cần toạ độ cho chuyển động tịnh tiến toạ độ cho chuyển động quay xung quanh trục (Hình1.1); ta nói vật có bậc tự Một hệ gồm N vật rắn chuyển động tự không gian chiều có  N bậc tự Hệ liên kết Hệ liên kết hệ gồm hai hay nhiều vận rắn gắn kết lại với Trong hệ liên kết, chyển động vật ảnh hưởng đến chuyển động vật nên số bậc tự vật giảm II Phương trình liên kết Phương trình liên kết phương trình mơ tả chuyển động tương đối vật hệ liên kết Ví dụ – Trụ rắn trượt- Một trượt chuyển động khơng ma sát dọc theo trục quay tự quanh trục Oy Hình 1.2 z  z y O x x ry Hình 1.2  rx  r  z   ry  x     z   Các phương trình liên kết : Số bậc tự gồm:  y Ví dụ 2: Khớp cầu- Một trụ B liên kết với trụ A đứng yên, thông qua khớp cầu Hình 1.3 Thanh trụ B quay tự không ma sát khớp cầu z  B  A y  x Hình 1.3 rx   ry   Số phương trình liên kết trụ B 3: rz  Số bậc tự trụ B : Ví dụ 3- Khối cầu lăn không trượt- Khảo sát cầu bán kính a mặt phẳng nằm ngang Hình 1.4      lăn khơng trượt z z y y x C rCx rCz x rCy Hình 1.4  rCz  a   r 'Cx   y '.a  r '   x '.a Số phương trình liên kết 3:  Cy Số bậc tự :  x   y   z Ví dụ 4: Hệ liên kết phức tạp- Khảo sát hệ liên kết Hình 1.5 Từ ví dụ trên, ta nhận thấy: hệ có số phương trình liên kết gồm cho khối trụ trượt cho khớp cầu; số bậc tự 2.6   gồm bậc tự hệ liên kết xác định M  6 N  C Trong đó, M số bậc tự do, N số lượng vật rắn hệ, liên kết ry   x , y , z , , Tổng quát, số  C tổng số phương trình z z Z x  x y Y O X y rY Hình 1.5 Phân loại liên kết a Liên kết holonomic Hệ liên kết có phương trình liên kết hàm số theo toạ độ suy rộng thời gian f  u1 , u2 , u3 , un , t   , với ui toạ độ suy rộng hệ, gọi hệ holonomic Các hệ mô tả ví dụ 1, ví dụ hệ holonomic b Liên kết phi holonomic Hệ liên kết có phương trình liên kết hàm số theo toạ độ suy rộng  , gọi hệ phi n n vi phân chúng theo thời gian  holonomic Hệ mơ tả ví dụ hệ phi holonomic Động lực học hệ liên kết Việc phân tích động lực học hệ liên kết tiến hành theo phần sau: Phần 1: Phân tích động học Bước 1: Viết phương trình động học + Chọn hệ quy chiếu + Chọn toạ độ suy rộng + Biểu diễn thành phần vận tốc, gia tốc theo toạ độ suy rộng hệ quy chiếu chọn Phần 2: Phân tích động lực học: Bước 2: Viết phương trình Newton- Euler cho chuyển động vật hệ + Vẽ sơ đồ tự do, phân tích thành phần lực mômen lực tương ứng + Biểu thành phần phản lực liên kết (chưa biết) theo lực biết vi phân toạ độ suy rộng Bước 3: Viết phương trình lượng cho hệ Bước 4: Viết phương trình liên kết Bước 5: Giải hệ phương trình + Giải hệ phương trình từ suy thành phần phản lực liên kết f u , u , u , u , u ' , u ' , u ' , u ' , t  B BÀI TẬP VÍ DỤ Các nội dung lý thuyết đề cập mô tả cụ thể qua tập ví dụ sau Ví dụ 1: Một xe đẩy có khối lượng khơng đáng u t kể chuyển động không ma r sát mặt sàn nằm g ngang Con lắc dạng m, L rắn có khối lượng m, chiều Hình 1.6 dài L, đầu gắn  vào trục quay O thùng xe Hình 1.6 Cho biết chuyển động xe hệ quy chiếu gắn với đất xác định hàm u (t ) Viết phương trình chuyển động rắn biểu thức phản lực trục O tác dụng lên rắn Hướng dẫn giải: Số phương trình liên kết: + xe đầy gồm  rx  u (t )   ry  rz    x   y   z  rx  ry  rz    y  + rắn gồm  x r Do sốFbậc tự hệ:   11  Toạ độ suy rộng hệ trường họp  (t ) Phân tích động học: Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất r Chọn hệFtoạ độ cực gắn với trục quay O r r vO  u '  t  Xét rchuyển động xe: P Lr r r vC  u '  t  ex   ' e   r r a  u ''  t  e   '' L er  L   '2  er C x  r 2 Xét khối tâm C thanh:  Phân tích động học: Viết phương trình Newton- Euler  r Lr L r r r  r   Fr er  F er  mge y  m u ''  t  ex   '' e    '  er    ey r  e  F L  I  '' C   r ex r r  rr er ex  sin  er  cos  e r r r ey   cos  er  sin  e Mặt khác: Suy ra:   Fr    F    F  L  mg cos   L mL2   mu ''cos   m ''  mg sin   mu ''cos   mg sin    I C   ''   L  I C ''  mu ''sin   m '2 Giải phương trình trên, tìm biểu thức  (t ) xác định thành phần phản lực liên kết Fr , F Ví dụ 2: Một vật nhỏ khối lượng m đặt lên thành bên vành trụ mỏng có khối lượng M phân bố Vật nằm mặt phẳng thẳng đứng vng góc với trục vành trụ chứa khối tâm vành trụ Ban đầu, vành trụ đứng yên mặt phẳng ngang vật vị trí xác định góc lệch  so với đường thẳng đứng Hình 1.7 Sau đó, thả nhẹ vật cho hệ chuyển động Giả thiết ma sát vật vành trụ không đáng kể, vành trụ chuyển động lăn không trượt mặt Hình 1.7 r g phẳng ngang Gia tốc trọng trường Tìm phản lực vành tác dụng lên vật lúc vật đến vị trí thấp quỹ đạo Hướng dẫn giải: Phân tích : Đối với vành: cần xác định toạ độ xG góc quay  Đối với vật: cần xác định góc quay  Bước 1: Viết phương trình động học y u (t ) G m r er A O M 0 Đối với r g - Đối với  Fr  mg cos   m  u ''sin   R. '2  r r r FA  mg  ma A    F   Fr  mg cos   m  u ''sin   R. '2  (3) Xét theo phương Ox:  Fr sin   max (4) Xét vành: lực mà mặt đất tác dụng lên vành theo phương ngang r r r r FK   Fr  Mg  Mu ''.ex  FK  Mu '' Fr sin   vành r vGx  u '.ex x x  u  G  vGy   r  yG  R  aGx  u ''.ex Bước 2: Viết phương trình động lực học Vật m: Gọi điểm A uuu r uuur uuu r OA  OG  GA  r r r  uu vA  u '.ex   R. '  e r r r r  a A  u ''.ex   R. '' e    R. '  er (1) r e r FK vật-  (5) Phương trình mômen: FK R  I G  ''  FK  MR. '' (6) Bước 3: Viết phương trình liên kết r Vì vành lăn khơng trượt nên: vK   R. ' u '   u '   R. ' (7) Từ (5)(6)(7), ta suy ra: max  2Mu ''  mvAx  2Mu ' (8) Bước 4: Viết phương trình lượng r r e  ex Tại vị trí thấp ta có nên từ (1) ta suy v A  u ' R ' (9) Định luật bảo toàn lượng cho ta: 1 mgR   cos    mv A2  Mu '2  I G  '2 2 (10) Thay (7)(8) vào (10) ta được: – điểm G  gR   cos   v A  m  2  M   m gR   cos   vG   M m 2  M  Từ (9), ta suy ra: m  R. '  vA  u '  gR   cos     M     (11) Thay (11) vào (3) ta phản lực mà vành tác dụng lên vật   m Fr  mg 1    M        cos      r Dấu “-” cho biết phản lực ngược chiều với véc tơ đơn vị er vị trí thấp 10 Hướng dẫn giải: Xét phần tử nhỏ: dV = r.sinθ.dφ.r.dθ.dr = r2dr.sinθ.dθ.dφ 3m  r  dM  dV  1  r dr.sin.d.d 7R  R   R M Khối lượng vật: Momen quán tính: IC   r sin .dM  R => IC  2 3m  r  r 2dr  sind  d  m  7R  R  0 2 3m  r 44  r 4dr  sin 3d  d  mR  R  R  105 0 O r e    C r 2.a Chọn hệ toạ độ cực hình vẽ Gọi  góc quay C quanh tâm O C  góc quay cầu quanh tâm C  r er Bước 1: Viết phương trình động học: r r r r r vC   R0  R   ' e  aC   R0  R   '' e   R0  R   '2 er 1) Bước 2: Viết phương trình động lực học: Gọi F lực liên kết xuất vị trí tiếp xúc cầu với vành r r r r r r r F  P  maC  F  P  m  R0  R   '' e  m  R0  R   '2 er -Phương trình định luật II:  F  m  R0  R   '' P sin    Fr  m  R0  R   '  mg cos  (2) M F / C  I C  ''   F R  I C  '' - Phương trình Momen: với chiều + chọn) Thay (2) vào (3), ta  R0  R   '' g sin    r (3) (Dấu “-” xuất M ngược 44 R  '' 105  R0  R   '' g.   44 R '' 105 (4) Vì  góc bé, nên : Bước 3: Viết phương trình liên kết: Gọi K điểm tiếp tiếp xúc cầu với vành trụ r vK /0  Vì cầu lăn khơng trượt vành đứng n nên: r r r vK /O  vK /C  vC /O     ' R   '  R0  R     ' R   '  R0  R  Hay (5) 70 ( Bước 4: Giải hệ phương trình: Thay (5) vào (4), ta được: O     r e C  R0  R   '' g.     ''    C r er 44  R0  R   '' 105 g 149  R0  R  105  (6) Do vậy:  105 g 149  R0  R   T  2 149  R0  R  105 g 2.b Gọi  góc quay ống trụ quanh O r M  I  ''   F R  I C  '' Lực liên kết F gây mômen cho khối cầu C: F / C C (7) r Lực liên kết  F gây mômen cho khối trụ O: Phương trình liên kết: M  F /O  I O ''  F R0  I O '' Vận tốc điểm K’ vành trụ điểm tiếp xúc với khối cầu: (8) vK '   R0 ' v   R  '  R0  R   ' Vận tốc điểm K khối cầu điểm tiếp xúc với vành trụ: K v  v   R '  R0  R   '   R0 ' Vì khối trụ lăn không trượt nên: K K ' (9) Từ (7)(8)(9), ta có hệ: 44  m  R0  R   '' mg  105 mR  ''  m  R0  R   '' mg  MR0 ''   R  ''  R0  R   ''  R0 ''   105 MR0 105 MR0   ''    ''  ''    ''   44 mR 44 mR   R0  R 44m  105 MR0     ''  R0  R   ''  R0 ''   ''    '' 44 m 105 M  44 m R   m  R0  R   '' mg  MR0 ''  44  ''   R0  R   '' g   M  R0  R   105M  44m  105M  44m g   ''   149 M  44m  R0  R    105M  44m  g  149M  44m   R0  R  Vậy Bài tập 13:  T  2  149M  44m   R0  R   105M  44m  g 71 Một lồng trụ kim loại đồng chất gồm hai đáy hai kim loại mỏng hình trịn bán kính R liên kết với dải kim loại mỏng có bề ngang R / chiều O dài 2 R quấn bao quanh rìa hai kim loại hình vẽ Lồng trụ có trục quay  cố định qua tâm vng góc với hai đáy Bên lồng trụ có C cầu đồng chất bán kính r  R / (Hình 2.3.13) Khối lượng lồng trụ cầu m Quả cầu ban đầu giữ đứng yên, tiếp xúc với mặt khối Hình 2.3.13 trụ điểm tiếp xúc với lồng điểm độ cao h  R / Tại thời điểm t = thả nhẹ cầu đồng thời tác dụng momen lực M khơng đổi làm quay lồng trụ, cầu lăn không trượt bên lồng trụ khối tâm cầu đứng yên so với mặt đất a) Tính momen quán tính lồng trụ trục quay  b) Tìm M c) Tìm cơng momen lực M thực đến thời điểm t Hướng dẫn giải: Khối lượng riêng kim loại làm lồng trụ thỏa mãn: m m m m   Stoan phan S2day  Sxq 2 R  R 2 R 3 R 2 R  I tru  I xq  I 2day    2 R R    R  R 2  m  R 1 m mR mR 2mR 2 I tru   2 R R    R .R    3 R  2  3 R 3   sin   d  R  9R 16  R R2  Điều kiện để tâm khối trụ đứng yên: r r r r P  N  Fmsn  r F Chiếu lên phương lực msn ta được: mg Fmsn  mg sin   Phương trình chuyển động quay quanh khối tâm 72 cầu: 2mr 5g sin  Fmsn r   cau   cau  2r Vì cầu lăn khơng trượt nên gia tốc tiếp tuyến điểm tiếp xúc cầu phải cân a t  r. cau  với gia tốc tiếp tuyến lồng trụ bằng:  tru  5g sin  a t 5g sin  7g sin    R 2R 8R Phương trình chuyển động quay quanh khối tâm lồng trụ: M  M F'  I tru  tru msn mg 2mR 5g sin  7mgR M  M Fmsn  I tru  tru  R   2R 5gsin  tru   tru t  t 2R Tốc độ góc lồng trụ thời điểm t: Gia tốc tiếp tuyến điểm tiếp xúc cầu = gia tốc tiếp tuyến trụ điểm đó: R.tru  r.cau ; cau  R 5g sin  tru  t r 2r Công cần thực độ tăng động hệ: 2 I caucau I trutru 2mr  5gsin  W    2  2r 10 35 W  mg sin  t  mg t 24 2  2mR  5gsin  t    2R  Bài tập 14: Một vòng có khối lượng M bán kính R, bề dày khơng đáng kể, treo hình trụ đặc đồng bán kính r