Tổng Hợp Xác Suất Thống KêPhần I: Xác Suất Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất.. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: 1.. Định nghĩa cổ điển: PA = MA/n – Với MA là kết cục thuận lợi
Trang 1Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê
Phần I: Xác Suất
Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất.
A Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:
1 0≤P(A)≤1 – Với P(A) là xác suất xảy ra của 1 biến cố ngẫu nhiên A
2 Định nghĩa cổ điển: P(A) = MA/n – Với MA là kết cục thuận lợi cho biến cố A và n là số kết cục đồng khả năng của phép thử xuất hiện biến cố đó
3 Định nghĩa thống kê: P(A) = f(A)
4 Biến cố xung khắc: là những biến cố không thể cùng xảy ra khi thực hiện phép thử VD:
A = A1 + A2 + + An, A xảy ra khi 1 trong n biến cố Ai xảy ra
5 Biến cố độc lập: là những biến cố mà khi xảy ra nó không tác động đến xác suất của biến
cố khác trong phép thử VD: A = A1.A2… An, A xảy ra khi cả n biến cố Ai xảy ra
6 Mở rộng: + A.A-1 = V ( biến cố chắc chắn)
+ A.A = A
+ A.B = A ( A là trường hợp riêng của B)
7 Định Lý (+) v (x) xc suất
+ P (∑Ai) = ∑P(Ai) (i= 1,n) – với Ai là các biến cố xung khắc
+ P (ðAi) = ðP(Ai) (i = 1,n) – với Ai là các biến cố độc lập
+ P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) – với A, B là các biến cố phụ thuộc nhau
+ P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) – với A, B là các biến cố không xung khắc
• Mở rộng: + P(A+B/C)=P(A/C) + P(B/C) – P(A.B/C)
+ P(A/B) = 1 – P(A-1/B)
8 Công Thức Xác Suất Đầy Đủ: Nếu BC A phụ thuộc vào 1 nhóm đầy đủ các biến cố H = (
H1,H2,…,Hn) thì P(A) = ∑P(Hi).P(A/Hi) – (i= 1,n)
• Mở rộng: Công thức Bayes: P(Hk/A) = P(Hk.A)/P(A)=P(Hk).P(A/Hk)/ ∑P(Hi).P(A/Hi)
B Bài Toán Cơ Bản
I Định nghĩa Cổ Điển
1 Bài Toán Cái Thùng : Lưu ý từ “và” = “x” và từ “hoặc” = “+”
+ Công thức cơ bản: từ thùng T gồm T (m trắng, n đỏ) lấy ra X quả n = Cx
m+n = (n+m)!/x! (n+m-x)! & MA tương tự, chú ý đến biến cố cần tìm để tính chính xác n và MA
+ Dạng ít nhất 1: áp dụng công thức P(A) = 1 – P(A-1 ) với A-1 là biến cố đối lập biến cố A ( ko thể xảy ra cùng trong 1 phép thử)
2 Bài Toán Khách Hàng: a khách vào b quầy
+ n =( C1
b )a = ba
+ Tính MA tương tự và phụ thuộc vào đề bài
3 Bài Toán Xếp Chữ hay Xếp Chỗ:
+ n= số chữ hay số người = n!
Trang 2+ Tính MA tương tự như n.
Lưu Ý: Trong cc bi tốn của định nghĩa cổ điển, đặc biệt lưu ý khi xt biến cố chính xong cần xem xét các khả năng xảy ra đồng thời của các phần tử cấu thành biến cố đó
II Bài Toán với định lý (+) v (x) cng với XS có điều kiện: ch ý sử dụng linh hoạt các công
thức, đặc biệt các công thức có điều kiện và biến cố đối lập
1 Bài Toán Van Nồi, Công ty KD cùng ngành và Thả Bom: (+) và (x)
2 Bài Toán Bia Đạn, Bộ phận trong cùng máy, thi Đại Học, xạ thủ: XS có điều kiện và BC đối lập
III Bài toán với công thức XS Đầy Đủ và Bayes:
1 Bài Toán Cái Thùng: ưu tiên đặt giả thiết là quả lấy ra của thùng nào
2 Bài toán % sản phẩm: vì số lượng nhiều nên xác suất các lần lấy là như nhau, cũng ưu tiên giả thiết SP của máy nào
Chương II: Biến Ngẫu Nhiên và các Quy Luật Phân Bố XS.
A Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:
1 Biến ngẫu nhiên là biến có quy luật phân bố, ứng với mỗi giá trị ngẫu nhiên, có một xác suất tương ứng
2 Hàm Phân Bố XS: F(X) = P(X<x) – x ϵ (-∞, +∞) & 0≤F(X)≤1
+ P (x1<X<x2) = F(x2) – F(x1)
+ F(+∞)=1; F(-∞)=0
3 Hàm mật độ XS: f(X) = F’(X) – f(X) ≥ 0 &
+ P (x1<X<x2) = F(x2) – F(x1) =
4 Kỳ Vọng Tốn( gi trị Tb lý thuyết) v Phương Sai (độ biến động – với cổ phiếu là độ rủi ro cịn với cịn lại l độ ổn định,đồng đều ):
+ EX = ∑x i P i – X rời rạc với các giá trị x i tương ứng có XS P i , i=1,n .
+ EX = – X liên tục.
+ V(X) = ∑(xi – EX)2.Pi – X rời rạc với các giá trị xi tương ứng có XS Pi, i=1,n.
5 Các tính chất của EX và V(X)
+ EC=C & V(C) = 0
+ E(CX)=CEX & V(CX) = C2V(X)
+E(X±Y)= EX ± EY
+ Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = EX.EY & V(X±Y) = V(X) + V(Y)
+ V(X) = E(X 2 ) – (EX) 2
Trang 3- X rời rạc: V(X) = ∑(x i ) 2 Pi – (EX) 2
- X liờn tục: V(X) = - (EX) 2
6 Quy lut nhị thc : Bi(n,p)
- A c P(A) = p không đỉi
- Thc hiƯn n phép thư đc lp đi với A => X ~ B(n,p) ; EX=np ,
V(X) = np(1-p)
- X =( S lần xy ra A trong n phép thư ni trên )
+ Công thc tính xác sut : P( k1 < X < k2 ) = ∑
=
−
− 2
1
1
k k i
i n i i
n p ( p )
C i = 1,2, , n
+ Xác định s c khả năng xy ra lớn nht : np + p -1 ≤ k ≤ np + p
7 Quy lut phân b chun : N(à , σ2 )
- P( a < X < b ) = 0 ( ) 0 ( )
σ
à σ
−
- P( | X - EX | <ε ) =
Φ σ
ε 0
2
- P( | X - à | < 3σ ) = 2Φo (3) = 0,9974 ; P( | X - à | < 2σ ) = 2Φo (2) = 0,9544
• Mở rộng: Φo (+∞) = 0.5; Φo (-u) = - Φo (u) Φo (-∞) = -0.5;u 1-a = -u a
B Bài Toỏn Cơ Bản
I Phần Biến Ngẫu Nhiờn
1 Bài ỏp dụng CT: ch ý cc khoảng giỏ trị và tớnh toỏn
2 Bài toỏn lợi nhuận: viết quy luật phõn bố rồi tớnh toỏn
II Cỏc Quy Luật Phõn Bố XS:
1 Bài toỏn quy luật nhị thức B(n,p): n luụn lớn, ỏp dụng cụng thức để tớnh
2 Bài toỏn quy luật chuẩn: nhớ kỹ cụng thức vạn năng
• Ch ý: ở quy luật chuẩn hàm Laplace chớnh là Ư0(ux) = P(0<u<ux) và là hàm phõn bố XS nờn ta cú: P(u1<u<u2) = Ư0(u2) - Ư0(u1)
• Ứng dụng tỡm cc chỉ số liờn quan:
- Quy Luật Chuẩn X ~ N(à , σ2): vỡ u x là điểm mà tại đú P(u>u x ) = x nờn nếu cho P(u<u x )=a P(u>u x ) = 1 – a Ư 0 (u x ) = 0.5 – (1-a) & u 1-a =u x
Trang 4- Quy Luật 2(n): vì là điểm mà tại đó P( 2 > 2(n) ) = nên nếu cho P( 2 < b) = a P( 2 > b) = 1-a 1-a 2(n) = b
- Quy luật T – Student: vì là điểm mà tại đó P(T> t (n) ) = nên nếu cho P(T< b) = a P(T> b) = 1-a t 1-a (n) =b ( ch ý nếu n>30 ta chấp nhận t a (n) =U a – Pbố chuẩn & t a (n) = -t
1-a (n) )
- Quy luật Fisher: vì là điểm mà tại đó P(F> f (n1,n2) ) = nên nếu cho P(F< b) = a P(F>b) = 1-a f 1-a (n1,n2) = b (ch ý: f 1-a (n1,n2) = 1/f a (n1,n2) ).
Chương III: Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng của mẫu
A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản:
1 Nu X ~ N (µ , σ2 ) X ~ N n
2
, σ
− Φ
−
−
σ
µ σ
µ
0 0
+ P( | X - µ | < ε) = 2
σ
ε 0
2 Mu ly ra t ph©n b kh«ng-mt - X ~ A(p) vµ víi n ®đ lín (n≥100)
+ f =m n ~
n
p p p
−
− Φ
−
−
−
p p
p a n
p p
p b
) 1 ( )
1
0
+ P( f −p < ε) = 2
−
p
p( 1 )
0 ε
B. Bài Toán Cơ Bản
I Phần Quy Luật Chuẩn
1 Bài áp dụng CT: ch ý biến đổi từ chuẩn sang 2(n)
2 Áp dụng triệt để các công thức về XS biến đối lập và tính chất của quy luật chuẩn, đặc biệt lưu ý cơng thức vạn năng
II Phần quy luật A(p) – tỷ lệ : chú ý đặc biệt bài toán bắt cá khi áp dụng trong cả các bài tổng hợp bao giờ cũng cho XS tính trước để làm bài
Trang 5Chương IV: Ước Lượng
A Cỏc Định Nghĩa và Cụng Thức Cơ Bản:
1 X ~ N(à,σ2 ) :
+ Ước lỵng tham s à :
Trng hỵp σ2 đã bit Trng hỵp σ2 cha bit
+
<
<
n u X n
u
α α
Khoảng tin cy ti đa : à X u σn
α
+
≤
Khoảng tin cy ti thiĨu : à X u σn
α
−
≥
+
<
<
n
S t X n
S t
2 / 1
2
Khoảng tin cy ti đa : à ≤ X+tα(n 1−) S n
Khoảng tin cy ti thiĨu : à ≥X−tα(n 1−) S n
Xác định kích thớc mu n đĨ cho IN≤
Io :
0
2 2 2 /
4
I
u
≥
Xác định kích thớc mu ly thêm m đĨ
cho In+m ≤ Io :
2
0
2 2 ) 1 ( 2 / ) ( 4
I
s t m n
n−
≥
+ớc lỵng tham s σ2 :
Trng hỵp à cha bit
−
−
<
<
−
−
− ( 1 )
) 1 ( )
1 (
) 1 (
2 2 / 1
2 2
2 2 /
2
n
S n n
S n
α
χ
Khoảng tin cy ti đa : ( 1 )
) 1 (
2 1
2 2
−
−
≤
− n
S n
α
χ σ
Khoảng tin cy ti thiĨu : ( 1 )
) 1 (
2
2 2
−
−
≥
n
S n
α
χ σ
Trang 62 X ~ A(p) :
ĐỈt p = P(A)
+
<
<
−
−
n
f f u f p n
f f u
2 2
α α
Khoảng tin cy ti đa : n
f f u f
p≤ + (1− )
α
Khoảng tin cy ti thiĨu : n
f f u f
p≥ − (1− )
α
Xác định cỡ mu N : IN ≤I0 → N≥ 02
2 2
4uα f − f I
B Bài Toỏn Cơ Bản: cũng cú bài toỏn bắt cỏ trong 1 mẫu xỏc định nào đú tỡm khoảng tin cậy tối thiểu hoặc tối đa rồi làm
Trang 7Chương IV: Kiểm định
A Cỏc Định Nghĩa và Cụng Thức Cơ Bản:
H0: luụn là dấu “=” H1: luụn là dấu bất đẳng thức hoặc khỏc, phải dựa vào cõu hỏi của bài làm để đặt dấu
I Kiểm định tham số:
1 KiĨm định giả thit vỊ tham s à : X ~ N(à , σ2 )
Giả thit MiỊn bác b khi σ2 đã bit Giả thit MiỊn bác b khi σ2 cha bit
H0 : (
à=ào )
H1 :
(à<ào )
−
<
−
=
x u
W 0 ;
H0 : (à
=ào )
H1 : (à
<ào )
<
−
=
s
x t
H1 :
(à>ào )
Wα = { u = ;
u > uα }
H1 : (à
>ào )
Wα = { t = ; t >
) 1 (n−
tα }
H1 : (à≠ào
)
Wα = { u = ; | u| > uα/2 }
H1 : (à
≠ào )
Wα = { t = ; |t| >
) 1 ( 2 / −
n
tα }
2 So sánh hai tham s à1 , à2 : X1 ~ N(à1 , σ12) – X2 ~ N(à2 , σ22)
Giả thit MiỊn bác b khi σ2 đã bit Giả thit MiỊn bác b khi σ2 cha bit
H0 :(
à1=à2 )
H1 :
(à1<à2 )
u
-u
; / /
2 2 2 1 2 1
2 1
<
+
−
=
α
σ
x x u
W
H0 : (
à1=à2 ) H1 : (à1<à2 )
u
-u
; / /
u
2 2 2 1 2 1
2 1
<
+
−
=
α
n s n s
x x W
H1 :
(à1>à2)
Wα = { u = ;
u > uα }
H1 : (à1>à2 )
Wα = { u = ;
u > uα } H1:
(à1≠à2 )
Wα = { u = ;
|u| > uα/2 }
H1: (à1
Wα = { u = ;
|u| > uα/2 }
Trang 83 KiĨm định giả thit và so sánh vỊ tham s σ2 :
Giả thit MiỊn bác b khi à cha bit Giả thit MiỊn bác b khi à1, à2 cha bit
H0 :
(σ2=σo2)
H1 :
(σ2<σo2)
1) -(n
; ) 1 (
1 2 2
0
2 2
<
−
=
σ
(σ12=σ22)
H1 : (σ12<σ22)
1) -n 1, -(n f
;
2
2 1
<
=
α
s
s W
H1 :
(σ2>σo2)
Wα = { χ2 = ; χ2 >
χ2
α(n-1) }
H1 : (σ12>σ22)
Wα = { F = ; F > fα(n 1
-1,n 2 -1) }
H1 :
(σ2≠σo2)
>
<
−
=
1) -(n
1) -(n ; ) 1 (
2 / 2
2 2 / 1 2 2 0
2 2
α
α
χ χ σ
W
H1: (σ12≠σ22) f (n - 1, n - 1)
1) -n 1, -(n f ; F
2 1 2 /
2 1 2 1 2
2
2 1
>
<
=
α
α
s W
4 KiĨm định giả thit và so sánh tham s p trong phân b A(p)
H0 :
(p=po)
H1 :
(p<po)
−
<
−
−
=
p p
p f u
) 1 (
0 0
(p1=p2 )
H1 : (p1<p2 )
u
-u ; ) / 1 / 1 )(
1 (
u
2 1
2 1
< +
−
−
=
α
n n f f
f f W
H1 :
(p>pp)
Wα = { u = ;
u > uα }
H1 : (p1>p2 )
Wα = { u = ; u
> uα }
H1 :
(p≠po)
Wα = { u = ;
|u| > uα/2 }
H1 : (p1≠p2)
Wα = { u = ; |u|
>uα/2 }
II Kiểm Định Phi Tham Số:
H0 : ( Hai ch tiêu A và B đc lp với nhau ) H1 : ( Hai ch tiêu A và B phơ thuc nhau )
Trang 9
−
−
>
−
=
= (∑ ) 1 ; 2 2[( 1)( 1)]
.
2
n n
n n
W
j i
Þ
α
B Bài Toán Cơ Bản:
1 Ch ý trường hợp trong cùng 1 mẫu hoặc 1 thuộc tính nhưng do 2 nguồn cung cấp thì luơn luơn kiểm định coi 1 tỷ lệ là mặc định đ cho
2 Ch ý trường hợp chỉ có 2 thuộc tính (giới tính) khi kiểm định thì tỷ lệ luôn = 0.5