Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê Phần I: Xác Suất Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất. A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: 1. 0≤P(A)≤1 – Với P(A) là xác suất xảy ra của 1 biến cố ngẫu nhiên A. 2. Định nghĩa cổ điển: P(A) = M A /n – Với M A là kết cục thuận lợi cho biến cố A và n là số kết cục đồng khả năng của phép thử xuất hiện biến cố đó. 3. Định nghĩa thống kê: P(A) = f(A) 4. Biến cố xung khắc: là những biến cố không thể cùng xảy ra khi thực hiện phép thử. VD: A = A 1 + A 2 + . . . + A n , A xảy ra khi 1 trong n biến cố A i xảy ra. 5. Biến cố độc lập: là những biến cố mà khi xảy ra nó không tác động đến xác suất của biến cố khác trong phép thử. VD: A = A 1. A 2 … A n , A xảy ra khi cả n biến cố A i xảy ra. 6. Mở rộng: + A.A -1 = V ( biến cố chắc chắn) + A.A = A + A.B = A ( A là trường hợp riêng của B) 7. Định Lý (+) v (x) xc suất + P (∑Ai) = ∑P(Ai) (i= 1,n) – với A i là các biến cố xung khắc + P (ðA i ) = ðP(A i ) (i = 1,n) – với A i là các biến cố độc lập + P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) – với A, B là các biến cố phụ thuộc nhau. + P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) – với A, B là các biến cố không xung khắc. • Mở rộng: + P(A+B/C)=P(A/C) + P(B/C) – P(A.B/C) + P(A/B) = 1 – P(A -1 /B) 8. Công Thức Xác Suất Đầy Đủ: Nếu BC A phụ thuộc vào 1 nhóm đầy đủ các biến cố H = ( H 1 ,H 2 ,…,H n ) thì P(A) = ∑P(H i) .P(A/H i ) – (i= 1,n) • Mở rộng: Công thức Bayes: P(H k /A) = P(H k .A)/P(A)=P(H k ).P(A/H k )/ ∑P(H i) .P(A/H i ) B. Bài Toán Cơ Bản I. Định nghĩa Cổ Điển 1. Bài Toán Cái Thùng : Lưu ý từ “và” = “x” và từ “hoặc” = “+”. + Công thức cơ bản: từ thùng T gồm T (m trắng, n đỏ) lấy ra X quả n = C x m+n = (n+m)!/x!. (n+m-x)! & MA tương tự, chú ý đến biến cố cần tìm để tính chính xác n và MA. + Dạng ít nhất 1: áp dụng công thức P(A) = 1 – P(A -1 ) với A -1 là biến cố đối lập biến cố A ( ko thể xảy ra cùng trong 1 phép thử) 2. Bài Toán Khách Hàng: a khách vào b quầy. + n =( C 1 b ) a = b a + Tính M A tương tự và phụ thuộc vào đề bài. 3. Bài Toán Xếp Chữ hay Xếp Chỗ: + n= số chữ hay số người = n! + Tính M A tương tự như n. Lưu Ý: Trong cc bi tốn của định nghĩa cổ điển, đặc biệt lưu ý khi xt biến cố chính xong cần xem xét các khả năng xảy ra đồng thời của các phần tử cấu thành biến cố đó. II. Bài Toán với định lý (+) v (x) cng với XS có điều kiện: ch ý sử dụng linh hoạt các công thức, đặc biệt các công thức có điều kiện và biến cố đối lập. 1. Bài Toán Van Nồi, Công ty KD cùng ngành và Thả Bom: (+) và (x) 2. Bài Toán Bia Đạn, Bộ phận trong cùng máy, thi Đại Học, xạ thủ: XS có điều kiện và BC đối lập. III. Bài toán với công thức XS Đầy Đủ và Bayes: 1. Bài Toán Cái Thùng: ưu tiên đặt giả thiết là quả lấy ra của thùng nào. 2. Bài toán % sản phẩm: vì số lượng nhiều nên xác suất các lần lấy là như nhau, cũng ưu tiên giả thiết SP của máy nào. Chương II: Biến Ngẫu Nhiên và các Quy Luật Phân Bố XS. A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: 1. Biến ngẫu nhiên là biến có quy luật phân bố, ứng với mỗi giá trị ngẫu nhiên, có một xác suất tương ứng. 2. Hàm Phân Bố XS: F(X) = P(X<x) – x ϵ (-∞, +∞) & 0≤F(X)≤1 + P (x 1 <X<x 2 ) = F(x 2 ) – F(x 1 ) + F(+∞)=1; F(-∞)=0 3. Hàm mật độ XS: f(X) = F’(X) – f(X) ≥ 0 & + P (x 1 <X<x 2 ) = F(x 2 ) – F(x 1 ) = 4. Kỳ Vọng Tốn( gi trị Tb lý thuyết) v Phương Sai (độ biến động – với cổ phiếu là độ rủi ro cịn với cịn lại l độ ổn định,đồng đều . . .): + EX = ∑ x i P i – X rời rạc với các giá trị x i tương ứng có XS P i , i=1,n . + EX = . – X liên tục. + V(X) = ∑(x i – EX) 2 .Pi – X rời rạc với các giá trị x i tương ứng có XS P i , i=1,n . + V(X) = - X liên tục. 5. Các tính chất của EX và V(X). + EC=C & V(C) = 0. + E(CX)=CEX & V(CX) = C 2 V(X). +E(X±Y)= EX ± EY. + Nếu X, Y độc lập: E(X.Y) = EX.EY & V(X±Y) = V(X) + V(Y). + V(X) = E(X 2 ) – (EX) 2 . - X ri rc: V(X) = (x i ) 2 Pi (EX) 2 - X liờn tc: V(X) = - (EX) 2 6. Quy lut nhị thc : Bi(n,p) - A c P(A) = p không đi - Thc hin n phép th đc lp đi với A => X ~ B(n,p) ; EX=np , V(X) = np(1-p) - X =( S lần xy ra A trong n phép th ni trên ) + Công thc tính xác sut : P( k 1 < X < k 2 ) = = 2 1 1 k ki inii n )p(pC i = 1,2, , n. + Xác định s c khả năng xy ra lớn nht : np + p -1 k np + p 7. Quy lut phân b chun : N(à , 2 ) - P( a < X < b ) = )()( 00 à à ab - P( | X - EX | < ) = 0 2 - P( | X - à | < 3 ) = 2 o (3) = 0,9974 ; P( | X - à | < 2 ) = 2 o (2) = 0,9544 M rng: o (+) = 0.5; o (-u) = - o (u) o (-) = -0.5;u 1-a = -u a . B. Bi Toỏn C Bn I. Phn Bin Ngu Nhiờn. 1. Bi ỏp dng CT: ch ý cc khong giỏ tr v tớnh toỏn. 2. Bi toỏn li nhun: vit quy lut phõn b ri tớnh toỏn. II. Cỏc Quy Lut Phõn B XS: 1. Bi toỏn quy lut nh thc B(n,p): n luụn ln, ỏp dng cụng thc tớnh. 2. Bi toỏn quy lut chun: nh k cụng thc vn nng. Ch ý: quy lut chun hm Laplace chớnh l 0 (u x ) = P(0<u<u x ) v l hm phõn b XS nờn ta cú: P(u 1 <u<u 2 ) = 0 (u 2 ) - 0 (u 1 ) ng dng tỡm cc ch s liờn quan: - Quy Lut Chun X ~ N(à , 2 ): vỡ u x l im m ti ú P(u>u x ) = x nờn nu cho P(u<u x )=a P(u>u x ) = 1 a 0 (u x ) = 0.5 (1-a) & u 1-a =u x . - Quy Luật 2(n) : vì là điểm mà tại đó P( 2 > 2(n) ) = nên nếu cho P( 2 < b) = a P( 2 > b) = 1-a 1-a 2(n) = b - Quy luật T – Student: vì là điểm mà tại đó P(T> t (n) ) = nên nếu cho P(T< b) = a P(T> b) = 1-a t 1-a (n) =b ( ch ý nếu n>30 ta chấp nhận t a (n) =U a – Pbố chuẩn & t a (n) = -t 1- a (n) .) - Quy luật Fisher: vì là điểm mà tại đó P(F> f (n1,n2) ) = nên nếu cho P(F< b) = a P(F>b) = 1-a f 1-a (n1,n2) = b. (ch ý: f 1-a (n1,n2) = 1/f a (n1,n2) ). Chương III: Mẫu ngẫu nhiên và các đặc trưng của mẫu A. Các Định Nghĩa và Công Thức Cơ Bản: 1. Nu X ~ N (µ , σ 2 ) X ~ n N 2 , σ µ → + P( a < X < b ) = − Φ− − Φ n a n b σ µ σ µ 00 + P( | X - µ | < ε) = 2 Φ n σ ε 0 2 . Mu ly ra t ph©n b kh«ng-mt - X ~ A(p) vµ víi n ®đ lín (n ≥ 100) + n m f = ~ − n pp pN )1( , ⇒ P( a < f < b ) = − − Φ− − − Φ n pp pa n pp pb )1()1( 00 + ( ) ε <− pfP = 2 − Φ n pp )1( 0 ε B. Bài Toán Cơ Bản I. Phần Quy Luật Chuẩn. 1. Bài áp dụng CT: ch ý biến đổi từ chuẩn sang 2(n) 2. Áp dụng triệt để các công thức về XS biến đối lập và tính chất của quy luật chuẩn, đặc biệt lưu ý cơng thức vạn năng. II. Phần quy luật A(p) – tỷ lệ : chú ý đặc biệt bài toán bắt cá khi áp dụng trong cả các bài tổng hợp bao giờ cũng cho XS tính trước để làm bài. Chng IV: c Lng A. Cỏc nh Ngha v Cụng Thc C Bn: 1. X ~ N(à, 2 ) : + Ước lng tham s à : Trng hp 2 đã bit Trng hp 2 cha bit +<< ) 2/2/ n uX n uX à Khoảng tin cy ti đa : n uX à + Khoảng tin cy ti thiu : n uX à ( ) ( ) +<< n S tX n S tX nn 1 2/ 1 2/ à Khoảng tin cy ti đa : ( ) n S tX n 1 + à Khoảng tin cy ti thiu : ( ) n S tX n 1 à Xác định kích thớc mu n đ cho I N I o : 2 0 22 2/ 4 I u N Xác định kích thớc mu ly thêm m đ cho I n+m I o : 2 0 22)1( 2/ )(4 I st mn n + +ớc lng tham s 2 : Trng hp à cha bit << )1( )1( )1( )1( 2 2/1 2 2 2 2/ 2 n Sn n Sn Khoảng tin cy ti đa : )1( )1( 2 1 2 2 n Sn Khoảng tin cy ti thiu : )1( )1( 2 2 2 n Sn 2. X ~ A(p) : §Ỉt p = P(A) − +<< − − n ff ufp n ff uf )1()1( 22 αα Kho¶ng tin cy ti ®a : n ff ufp )1( − +≤ α Kho¶ng tin cy ti thiĨu : n ff ufp )1( − −≥ α X¸c ®Þnh cì mu N : IN ≤ I0 → N ≥ 2 0 2 2/ /)1(4 Iffu − α B. Bài Toán Cơ Bản: cũng có bài toán bắt cá trong 1 mẫu xác định nào đó tìm khoảng tin cậy tối thiểu hoặc tối đa rồi làm. Chng IV: Kim nh A. Cỏc nh Ngha v Cụng Thc C Bn: H 0 : luụn l du = H 1 : luụn l du bt ng thc hoc khỏc, phi da vo cõu hi ca bi lm t du. I. Kim nh tham s: 1. Kim định giả thit v tham s à : X ~ N(à , 2 ) Giả thit Min bác b khi 2 đã bit Giả thit Min bác b khi 2 cha bit H 0 : ( à=à o ) H 1 : (à<à o ) < == à uun x uW ; 0 H 0 : (à =à o ) H 1 : (à <à o ) < == )1( 0 - t; n tn s x tW à H 1 : (à>à o ) W = { u = . . . ; u > u } H 1 : (à >à o ) W = { t = . . . ; t > )1( n t } H 1 : (à à o ) W = { u = . . . ; | u| > u /2 } H 1 : (à à o ) W = { t =. . . ; |t| > )1( 2/ n t } 2. So sánh hai tham s à1 , à2 : X1 ~ N(à1 , 12) X2 ~ N(à2 , 22) Giả thit Min bác b khi 2 đã bit Giả thit Min bác b khi 2 cha bit H0 :( à1=à2 ) H1 : (à1<à2 ) u - u ; // 2 2 21 2 1 21 < + == nn xx uW H0 : ( à1=à2 ) H1 : (à1<à2 ) u - u ; // u 2 2 21 2 1 21 < + == nsns xx W H1 : (à1>à2) W = { u = . . . ; u > u } H1 : (à1>à2 ) W = { u = . . . ; u > u } H1: (à1à2 ) W = { u = . . . ; |u| > u/2 } H1: (à1 à2 ) W = { u = . . . ; |u| > u/2 } 3. KiĨm ®Þnh gi¶ thit vµ so s¸nh vỊ tham s σ 2 : Gi¶ thit MiỊn b¸c b khi µ cha bit Gi¶ thit MiỊn b¸c b khi µ 1 , µ 2 cha bit H 0 : (σ 2 =σ o 2 ) H 1 : (σ 2 <σ o 2 ) 1)-(n ; )1( 2 1 2 2 0 2 2 < − == − αα χχ σ χ sn W H 0 : (σ 1 2 =σ 2 2 ) H 1 : (σ 1 2 <σ 2 2 ) 1)-n1,-(nf F ; F 21-1 2 2 2 1 <== αα s s W H 1 : (σ 2 >σ o 2 ) W α = { χ 2 = . . . ; χ 2 > χ 2 α (n-1) } H 1 : (σ 1 2 >σ 2 2 ) W α = { F = . . . ; F > f α (n 1 -1,n 2 -1) } H 1 : (σ 2 ≠σ o 2 ) > < − == − 1)-(n 1)-(n ; )1( 2 2/ 2 2 2/1 2 2 0 2 2 α α α χχ χχ σ χ sn W H 1 : (σ 1 2 ≠σ 2 2 ) 1)-n1,-(nf F 1)-n1,-(nf F ; F 212/ 21 2 1 2 2 2 1 > < == − α α α s s W 4. KiĨm ®Þnh gi¶ thit vµ so s¸nh tham s p trong ph©n b A(p) Gi¶ thit MiỊn b¸c b Gi¶ thit MiỊn b¸c b H 0 : (p=p o ) H 1 : (p<p o ) −< − − == αα uun pp pf uW ; )1( 00 0 H 0 : (p 1 =p 2 ) H 1 : (p 1 <p 2 ) u - u ; )/1/1)(1( u 21 21 < +− − == αα nnff ff W H 1 : (p>p p ) W α = { u = . . . ; u > u α } H 1 : (p 1 >p 2 ) W α = { u = . . . ; u > u α } H 1 : (p≠p o ) W α = { u = . . . ; |u| > u α /2 } H 1 : (p 1 ≠p 2 ) W α = { u = . . . ; |u| >u α /2 } II. Kiểm Định Phi Tham Số: H 0 : ( Hai ch tiªu A vµ B ®c lp víi nhau ) H 1 : ( Hai ch tiªu A vµ B phơ thuc nhau ) −−> −== ∑ )]1)(1[( ; 1)( 22 2 2 lk nn n nW ji Þ αα χχχ B. Bài Toán Cơ Bản: 1. Ch ý trường hợp trong cùng 1 mẫu hoặc 1 thuộc tính nhưng do 2 nguồn cung cấp thì luơn luơn kiểm định coi 1 tỷ lệ là mặc định đ cho. 2. Ch ý trường hợp chỉ có 2 thuộc tính (giới tính) khi kiểm định thì tỷ lệ luôn = 0.5. . Tổng Hợp Xác Suất Thống Kê Phần I: Xác Suất Chương I: Biến Cỗ Ngẫu Nhiên và Xác Suất. A. Các Định Nghĩa và Công Thức. phép th ni trên ) + Công thc tính xác sut : P( k 1 < X < k 2 ) = = 2 1 1 k ki inii n )p(pC i = 1,2, , n. + Xác định s c khả năng xy ra lớn