Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn

Mục tiêu Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn là nghiên cứu các tính chất nén bao gồm tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode, nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn; nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn.

Trang 1

DAI HOC HUE

TRUONG DAI HOC SU PHAM

HOANG THI MY

KHAO SAT CAC TINH CHAT PHI CO DIEN CUA TRANG THAI HAI MODE SU(1,1)

THEM MOT PHOTON CHAN

Chuyén nganh: VAT LY LY THUYET VA VAT LY TOAN

Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ 'THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH ĐỨC

Trang 2

LOGI CAM DOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong Luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được cơng bố trong bất kỳ một cơng trình nghiên cứu nào khác

Huế, tháng 9 năm 2016

Tác giả Luận văn Hồng Thị Mỹ

Trang 3

LOI CAM ON

Hồn thành Luận văn tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trương Minh Đức đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện

Luận văn

Trang 4

MỤC LỤC Trang phy bia

Lời cam đoan đ

Lời cảm ơn iii Mục lục 1 Danh sách các hình vẽ 5 MO DAU 6 NOI DUNG 10 Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYET 10 1.1 Trạng thái kết hợp 10 111 Đmhngha c2 2c ee 10 1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp 14 12, Trạng thái Bến 2 2c eee 19 13 Các tính chất phi cổ điển ee 22 143.1 Tính chất nến tổng co 22 1.3.2 Tính chất nến hiệu ee 23 1.3.3 Tính chất nén Hillery bậc cao .- 25 1.3.4 Tính chất phẩn kết chùm .- 25 143.5 Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 28 Chương 2 KHẢO SAT CAC TINH CHAT NEN CUA

TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM MOT

PHOTON CHẴN 20 2.1 Trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 29 2.11 Trạng thái hai mode SU(LI) 29

Trang 5

2.2 Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode

SU(1,1) thêm một photon chẵn 33

243 Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 39

2.4 Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 4

Chương 3 KHẢO SAT TINH CHAT PHAN KET CHUM VA SU VI PHAM BAT DANG THUC CAUCHY- SCHWARZ CUA TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM MOT PHOTON CHAN 54

3.1 Khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 54 3.11 Trường hợp tổng quất .- 54 3.12 Trườnghợpl=1l,p=1 57 3.13 Trường hợpl=9,p=1 58 3.14 Trường hợpl=9,p=2 co 59 3.15 Trường hợọpl=3,p=l co 60 3.16 Trudnghop1=3,p=2 61 3.17 Trudng hgp 1 = 3, p 62 3.1.8 Trudng hgp 1 = 4, 63 3.2 Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trang thai hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn 67

KẾT LUẬN 7L TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

Trang 6

21 22 23 24 2.5 3.1 3.2 3.3 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

Sự phụ thuộc của S vao r với q = 1,3,3 và y = § (Dường biểu điễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng

với mầu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của Š vào r với g = 1 của trạng thái hai mode SU(1,1) chẵn (đường màu xanh lam) và trạng thái hai mode SU(1,1) them mét photon chin (dudng mau đỏ) Sự phụ thuộc của D vao r véi g = 1,2,3 và y = 0 (Dường

biểu điễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng

với mầu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)

Sự phụ thuộc của #f; (ĩ) vào r với q = 1,2,3 (Dường biểu điễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng

với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)

Sự phụ thuộc của #H; (ĩ) vào r với g = 1,2,3 (Dường biểu điễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng

với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của R(1,1) vào z với ạ = 0,1,2 (Dường

với mầu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của R(2,1) vao z với ạ = 0,1,2 (Dường

với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của R(2,2) vào r với ạ = 0,1,2 (Dường

với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)

Trang 7

34 3.5 3.6 3.7 38 3.9 3.10 3.11

Sự phụ thuộc của R(3,1) vao z với q = 0,2,3 (Dường

với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của R(3,2) vao r vi q = 0,1,2 (Dường

với mầu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của R(3,3) vao r véi ạ = 1,2,3 (Dường

với mầu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của J(4,3) vào z với ạ = 1,2,3 (Dường

với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2,2), R(3, 3) vào r với q = 2

(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương

ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2, 1), R(3, 1) vào r với q = 2

(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương

ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)

Sự phụ thuộc của f(3,2) vào r với q = 2 của trạng thái

hai mode SU(1,1) chẵn (đường màu xanh lam) và trạng

thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon chin (dung mau

đỏ)

Sự phụ thuộc của 7 vào r với q = 1,2,3 (Đường biểu diễn

các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu

Trang 8

3.12 Sự phụ thuộc của J vao r véi g = 1 cita trang thai hai mode SU(1,1) chẵn (đường màu xanh lam) và trạng thái

Trang 9

1 Ly do chon đề tài

Sự phát triển mạnh mẽ của vật lý học vào thế kỷ XX đã mở đường cho nhiều ngành vật lý phát triển trong đĩ cĩ ngành Quang lượng tử

Với điều kiện thuận lợi của khoa học kỹ thuật, các nhà vật lý lý thuyết

và vật lý thực nghiệm đã tạo ra những bước tiến nhảy vọt trong cơng nghệ thơng tin, thơng tin lượng tử Họ mong muốn mang lại những ứng

dụng cĩ hiệu quả mạnh mẽ nhất trong lĩnh vực cơng nghệ thơng tin để

gĩp phần sử dụng rộng rãi trong đời sống [6] Điển hình mới nhất là

cơng nghệ truyền tin quang học với mục đích làm cho tốc độ truyền và

xử lý dit liệu ngày càng nhanh chĩng, chính xác, hiệu quả

Trong lĩnh vực Quang lượng tử [7], gần đây người ta đã và đang

tiếp cận giới hạn lượng tử chuẩn cịn gọi là giới hạn đĩng gĩp của tạp âm hay là các thăng giáng Đối với bĩ sĩng sự đĩng gĩp này đã làm cho

tín hiệu bị nhiễu, làm giảm độ chính xác của các phép đo quang học và

vì thế mà hạn chế chất lượng truyền tin Do đĩ, người ta đã tìm cách

tạo ra các trạng thái vật lý mà ở đĩ thăng giáng được hạn chế ở mức tối da và sau đĩ ứng dụng vào thực nghiệm để chế tạo được những dụng cụ

quang học đảm bảo tính lọc lựa, độ chính xác cao

Vào khoảng giữa thế kỉ XX, vật lý học rộ lên những nghiên cứu về

các trạng thái mới mà xuất phát điểm là hệ thức bất định Heisenberg,

cho rằng hạt vi mơ khơng thể xác định được đồng thời cả tọa độ và xung

lượng Trạng thái vật lý được nghiên cứu đầu tiên là trạng thái kết hợp Nĩ được bắt nguồn từ sự nghiên cứu của Shrodinger vào năm 196 {20]

khi khảo sát dao động tử điều hịa, ơng cho rằng: “Các trạng thái kết

hợp như là các bĩ sĩng cĩ tính chất động lực học tương tự như một hạt

Trang 10

cổ điển chuyển động trong thé nang bac hai” Nam 1963, trạng thái kết

hợp duge Glauber [12] va Sudarshan [22] đưa ra chính thức là: Trạng

thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bat dinh Heisenberg Và xuất phát từ những nghiên cứu của Glauber, Sudarshan đã dẫn đến sự xuất hiện của giới hạn quang lượng, tử Sau đĩ, khái niệm trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler [23] vào năm 1970 và đã được Hollenhorst [14] đặt tên Trạng thái nén đã được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987 Theo thời gian, các khái niệm vẻ

trạng thái nén đã được các nhà vật lý lý thuyết phát triển khơng ngừng

và đạt những thành tựu nhất định [2]

Các nhà khoa học đang tập trung nghiên cứu việc tạo ra các trạng, thái phi cổ điển của trường điện từ [8] Điển hình đĩ là các trạng thái

nén, các trạng thái kết hợp, đây là các trạng thái phi cổ điển vì chúng

tuân theo các tính chất phi cổ điển (4|, [5] Trạng thái SU(1,1) đã được Perelomov [20] tim ra vào năm 1972 Trong thực nghiệm, trạng thái hai mode SU(1,1) đã được tạo ra bởi cơng nghệ trạng thái lượng tử Vào năm 2015, học viên Nguyễn Văn Anh đã nghiên cứu các tính chất phi cd

điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm photon chẵn [1] Năm 2014,

học viên Lê Đình Nhân đã nghiên các tính chất phi cổ điển của trạng

thai hai mode SU(1,1) [3] Tuy nhiên chưa cĩ đề tài nào nghiên cứu các

tinh chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẫn Với mong muốn hiểu rõ các tính chất phi cổ điển của trạng thái

hai mode SU(1,1) thêm một photon chin và bước đầu nghiên cứu ứng dụng của trạng thái này trong cơng nghệ thơng tin lượng tử cũng như các ứng dụng sau này

Trang 11

photon chẵn” làm Luận văn Thạc sĩ

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén bao gồm tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode, nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chin Đồng thời chúng,

tơi nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao và sự vi phạm bất đẳng

thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chin

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

“Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, chúng tơi đặt ra một số nhiệm vụ nghiên cứu như sau:

- Tổng quan về trạng thái kết hợp, trạng thái nén, hệ thống các tính

chất phi cổ điển;

- Nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu hai mode va nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon chin;

- Nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) them mot photon chin;

~ Nghiên cứu sy vi pham bat dang thite Cauchy-Schwarz cua trang thái

hai mode SU(1,1) thém mét photon chin;

- Nghién cttu ngon ngữ lập trình Mathematica để vẽ đồ thị

4 Phạm vi nghiên cứu

Trong Luận văn này, chúng tơi chỉ nghiên cứu các tính chất phi cổ

Trang 12

bậc cao Bên cạnh đĩ chúng tơi nghiên cứu tính chất phần kết chùm và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ciia trang thai hai mode

SU(1,1) thém mot photon chan

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu, chúng tơi sử dụng một số phương pháp

nghiên cứu sau:

~ Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu;

~ Phương pháp lý thuyết trường lượng tử;

- Sử dụng ngơn ngữ lập trinh Mathematica dé tính số và vẽ đồ thị

6 Bố cục luận văn

Ngồi Mục lục, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chia

làm ba phần chính

Phần Mở đầu: Nêu rõ tính cấp thiết của đề tài, mục tiêu, nhiệm vụ,

phạm vi, phương pháp nghiên cứu và bố cục của Luận văn

Phần Nội dung: Bao gồm ba chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Khảo sát các tính chất nén của trạng thái hai mode SU(1,1)

Trang 13

NOI DUNG

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương này trình bay tổng quan các khái niệm cơ bản uề trạng

thái kết hợp tà trạng thái nén Sau đĩ, chúng tơi trình bay chi

tiết các tính chất phí cổ điển cụ thể như tính chất nén tổng, chùm va sự nén hiệu, nén Hiller bậc cao, tính chất phén ti phạm bắt đẳng thức Cauchy-Schwarz 1.1 Trạng thái kết hợp 1.1.1 Định nghĩa

Vào năm 1963, Glauber [12] và Sudarshan [22] đã đưa ra khái niệm về trạng thái kết hợp Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg

riêng của tốn tử số hạt nghĩa là Trạng thái Fock IA trang thé đ |n) = alan), s2 In) = ey l0) (1)

Trang 14

Các trạng thái Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ, do đĩ cĩ thể khai triển

một trạng thái bất kỳ trong hệ cơ sở này, hay

3 In) (n| =1 (13)

m0

Trạng thái kết hợp cĩ thể tạo ra bằng cách tác dụng tốn tử dịch chuyển

Ð (a) lên trạng thái chân khơng |0) của trường điện từ

la) = D(a) |0), (14)

trong đĩ Ơ(a) là tốn tử dịch chuyển

Ð(a) = exp(âÌ — a*â), (1.5)

v6i a = rexp (ig) là tham số kết hợp, r và ¿ lần lượt là biên độ và pha kết hợp; tốn tử âÏ, â lần lượt là tốn tử sinh, hủy photon của trường điện từ và chúng tuân theo hệ thức giao hốn

(16)

'Từ đồng nhất thức Backer-Hausdorff

exp(Â + B) = exp(Â) exp(B) esp(—2IÂ Bì), (1.7) trong d6 cde toan tit A,B khơng giao hốn với nhau hay giao hốn tử

Â, B là tốn tử Ở nào đĩ, tức là

[ÍA.8].A] = [[A.B|.8] =9

Từ đĩ ta được

Ơ(a) = exp(âÌ — a*â (œ) = exp( ) (18)

= exp(aat) exp(—a*@) exp (—} [aat, -a*a])

Mặt khác

Trang 15

{aat,-a*a] =

ƒ, [a,á!] = |alÊ (19)

niên ta cĩ

D(a) = exp(aa') exp(—a*a) exp(—5lal’) (1.10) Khai trién hai thita s6 dau exp(aa!) và exp(—a*â) theo chudi Taylor của hàm dạng e? ta được ay (at)? 2 3I (1.11) exp(—a*â) (112)

Tác dụng tốn tử dịch chuyển Ơ() lên trạng thái chân khơng |0) của trường điện từ và sử dụng (1.11), (1.12) chúng tơi được

Trang 16

“ " n=0 = exp(=Slal’) > =o = exp(—slal? ) (115) =o

trong đĩ |n) — a _|0) là các trang thai Fock

Do các trạng thái Fock là một hệ co sở đủ nên khai triển trạng thái kết

hợp |a) theo trạng thái Fock |n) được

la) = exp(—5lal 8n ¬ In) (1.16)

m0

Vì trạng thái kết hợp |a) là hàm riêng bên phải của tốn tử hủy â ứng với giá trị riêng œ hay |a) là trạng thái riêng của tốn tử hủy photon với giá trị riêng là œ,

ala) = ala) (1.17)

Lay lién hgp Hermite (1.17) ta được

(@|a))* = (al a* = (a|âÌ, (1.18)

va (1.17) cĩ thể được chứng minh tường minh như sau

Trang 17

Để làm rõ sự khác biệt giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp, chúng

tơi xét đến phương sai của trạng thái Fock

(an?) =0, (1.19)

cịn đối với trạng thái kết hợp thì

(A2) = la} (120)

Chúng tơi thấy rằng đối với trạng thái Foek |n) số hạt cĩ thể đo một

cách chính xác nhưng đối với trạng thái kết hợp |a) thì cĩ sai số khi đo,

cụ thể là sai số tỉ lệ với trung bình số hạt

Trang thái kết hợp khác trạng thái Fock là vì trạng thái kết hợp chứa một số photon khơng xác định và tốn tử hủy khơng làm thay đổi trạng

thái này

Như vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái riêng của tốn tử hủy thỏa

mãn (1.17) và tốn tử hủy khơng làm thay đổi trạng thái này

với a là số phức và exp (—}) là hệ số chuẩn hĩa 1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp

u rõ trạng thái kết hợp chúng tơi tiếp tục đưa ra những tính

chất của trạng thái kết hợp như sau

Tính chất 1: Phân bồ số hạt ở trạng thái kết hợp tuân theo phân bố

Poisson

Do số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |a) là

Trang 18

(nr) = (a |Ala) = (a ata| a) = |al? và phương sai của tốn tử số hạt trong trạng thái kết hợp như trong (121) (1.20) la ((Aa)) = (ta - @))?) = (Y= (ay?

| A? Ja) — ((a A Ja))

ja) = ((a| aaa)?

= lal? (al ai(ata + 1)@|a) — Ja|* #+ |a|?—

niên suy ra

(a) = (An),

hay trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson

Trang 19

trong đĩ P(n) là ham phan bé Poisson, ham phan bé Poisson la ham

phân bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn Trạng thái kết hợp là trạng thái cổ điển 'Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |a) là một tập hợp đủ = la) (alda = 1 (1.24) Chứng mình (1.24), ta được [Iaelta= [< Sản nộ 7 (ml da, (1.25) = m=0

trong đĩ œ = rexp(¿) là số phức bất kỳ Chuyển sang tọa độ cực ta

Trang 20

Tinh chất 3: Các trạng thái kết hợp thỏa mãn điều kiện chuẩn hĩa (a| a) = 1 nhưng chúng lại khơng trực giao với nhau, nghĩa là với a # đ thi (al 6) # 0 Thật vậy từ định nghĩa trạng thái kết hợp |a), ta cĩ (129) niên ta cĩ (a|) =exp = exp =exp = exp (1.30) va (al 8)? = ((al 8))* (al 8) 1 1 1 1 " (-Jler - $16? +04 ) exp (-Jler - $16 + 08) 1 1 = exp (-Jler - 5lar +aØ'+ 22) = exp (-Ix-2/) (1.31)

Điều này cho thấy khi œ 4 8 thi exp (-Ia - 5Ú) # 0, nghĩa là các trang

thái kết hợp khơng trực giao với nhau Hệ quả của sự khơng trực giao là

bất kì trạng thái kết hợp nào cũng cĩ thể được khai triển theo các trạng

Trang 21

thái kết hợp khác [7| Nghĩa là,

la)= = [ Io) (al a") 2a z

_lp Loe re Ln

=2 | #ala) sat gIalŸ+efat = gla).— (139)

Trang 22

Phương sai của tốn tử ê từ (1.35) là ((A2/) = G9 @# - Fla? +8|a|? +a2 + 1) — Fla" +a? 1 =5 (1.37) và phương sai của tốn tử 2 từ (1.36) là ((Aø)?) = 4) = @Ÿ _ 12 oe ve?-1)-2 = ~7(0" ~ 2a)? +07 —1) 5 1 =F (1.38) Ta thấy từ (1.37) và (1.38) suy ra ĐỀ — /(Aø)2) — 1 (a2) = ((Að)?) = + hay ta cĩ »?) (cape) = 2 (A2 ) (A2) ) “1s: (139) Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bất định Heisenberg

Hệ thức (1.39) được gọi là giới hạn lượng tử chuẩn Như vậy, các trạng thái kết hợp là các trạng thái cho phép thực hiện các phép đo đồng thời £ và Ð với sai số nhỏ nhất Và đây cũng là tính chất quan trọng nhất

1.2 Trạng thái nén

Vào năm 1970, Stoler [23] đã đưa ra các khái niệm về trạng thái

nén và năm 1979 Hollenhorst [14] đã đặt tên chúng Trạng thái nén đã

được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987 [19] Từ hệ thức bất định

Heisenberg với hai tốn tử A, B lần lượt là các tốn tử biểu diễn cho

hai đại lượng vật lý A, Ø Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật

Trang 23

lý khơng đo được đồng thời thì hai todn tit A,B khong giao hốn với nhau, nghĩa là

[4,8] = AB-BA=C (1.40)

Hệ thức bất định trong trạng thái bất kỳ |¿) của hệ

(es9(à9>1\(13)[= 5) - am 4

'Trong đĩ, phương sai (A4) là đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được A quanh giá trị trung bình lượng tử (4) cha = ((aa)') = (4 - (4) ) (1.42) -(#)-(i) với ((4)) = (yl Aly) Cu thé eee và Ơ~ (1)? thì é=|#.P]= b (at +a), s6! =3)| a',a'] — [a',a] + [a, â!] — [a,â]} = (1.43) dai lugng A Đối với trang thai Fock |n) ta cĩ (nl (9?) In) = cn (( pms )) im?

=i (n| (a! +a)" |n) — giới (at +4) [ny]?

=} ((n| ai? jn) + (n| a? In) + (n] ata |n) + (n| aat |n))

~ 2 ((nlâ! In) + (nla|m))Ÿ

Je +n+1)

=F 2n +1) (1.44)

Trang 24

Tuong tu 2 on (ayo =r ((2)') me ((P)) "= () - (8) =- ; {n| (at — â)Ÿ In) + in (ất — â) In]? =- ; ((n] a? |r) + (n] @ In) = (| In) — (n|@|n))? In) — (n| aa |n)) 1 ==Cn=n=1) 1 ~1 (ðn +1) (145) Vậy nên ta thu được a\ 2 + (apy) ~ Loner > 2 6)

(Ax) ) (AP) ) = Gente gay (1.46)

Đối với trạng thái kết hợp

(a|(AX)?la) = (al (AP)? a) = 3

hay ta cĩ

a\ 2

1 _|()

(a| (AX)? |a) (a| (AP)? |a) = 7 4 (1.47)

Từ (1.46) và (1.47) ta thấy rằng nếu ở trạng thái kích thích các trạng thái Fock luơn thỏa mãn hệ thức bất đình Heisenberg hay luơn

thể én dau lớn hơn trong hệ thức bất định Heisenberg, cịn trạng thái kết hợp thì đấu bằng xảy ra Suy ra các trạng thái kết hợp được gọi là trạng thái độ bất định tối thiểu Bên cạnh đĩ, xem xét hệ thức bất định Heisenberg ta thay ring cơ lượng tử chỉ áp đặt sự bát định lên tích của

thăng giáng (A4) (Aø)) Hệ thức này hồn tồn khơng vi phạm nếu một trong hai thăng giáng là bé và thăng giáng kia rất lớn Một

Trang 25

trạng thái được gọi là nén với

(a4) < LOL - KL (1.48)

4 2

lại lượng A nếu thỏa mãn

vi LO! bị độ bắt định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn Nên một trạng thái cĩ một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn

thì trạng thái đĩ gọi là trạng thái nén Trạng thái nén lý tưởng là trạng

thái mà các thăng giáng lượng tử bằng giới hạn lượng tử chuẩn

1.3 Các tính chất phi cổ điển 1.3.1 Tính chất nén tổng

Xét trường hợp nén tổng hai mode được đưa ra bởi Hillery [13]

Nén tổng hai mode nghĩa là chúng ta cĩ hai photon, một photon cĩ tần số œ và một photon cĩ tần số œ„ kết hợp thành một photon cĩ tần số We = Wa + Wh Tốn tử nén tổng được định nghĩa như sau Vs = ; (ca! + e 1940), 2 1

Vos) = 5 (cloatst + c169a8), (149)

Trang 26

(+3) — Moray (ease '“aÿ) [eles Dalit + ee" Pab] = = maleate = \ = + oh ]-%

[elo Palat + e+ Pad] (e’*atét + ab)

= tle Neo atatbtbl + eMC Daab + e-!ÊalBlaĐ + ơ ÊaƯaf!]

-5 |c62+Đatơtalơt + ĩ 169+1)á8áơ + e'falBiaơ + e 'Zafat!]

= [-2ialbtab + 2% (ala +1) (616 +1)]

= (fig + fy +1)

Hơn nữa, chúng luơn thỏa mãn hệ thức bất dinh Heisenberg

AfAf(„.š) > Fa ++ 1), (1.51)

Một trạng thái được gọi là trạng thái nén tổng hai mode néu trung bình trong trạng thái đĩ thỏa mãn bất đẳng thức sau

¬

((avs)") < 1 (ấu tân +1), (152)

Spe x

trong đĩ (ave) ) = (v2) - (Wa)

Đây chính là điều kiện để chúng tơi khảo sát tính chất nén tổng

hai mode của trạng thái hai mode SU(1,1) thém mét photon chin trong

chương hai

1.3.2 Tính chất nén hiệu

Nén hiéu hai mode [13] cũng được hiểu là chúng ta cĩ hai photon cĩ tần số œ„ và œ; tương tác với nhau sinh ra photon cĩ tần sỐ œụ; = œy — œ4, gid sit wy > wa

Tốn tử nén hiệu được định nghĩa dưới dạng

Trang 27

1 5) ap #)-t£

al [pier sagt 4 elor Bat 5 eo ab! + a | (153) :

với âÌ, â và đÌ, Ð lần lượt là tốn tử sinh, hủy photon của mode ø và mode

Các tốn tử Đ„ và Woo+s) thỏa mãn hệ thức giao hốn [Wo Wes (1.54) Chứng mình (1.54), ta cĩ c6+3)ạộ† + ø~16+5 mi (c5á0! + e 2al0)

lo ablabt + 1 Datbabt + 7 aơatb + c'1atiaiï | (eo Dablabl + eA Datbath + c'faƯlafơ + ơ 'Ãafơaợ]

Hơn nữa, chúng luơn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg,

AW,AW, (s+š) > ; (ita — đu) (155)

Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trong trạng

thái đĩ thỏa mãn các bất đẳng thức

((aw.)') < ; (iia — fs), (1.56)

ong đĩ ((AW,) ) = (W3) ~ (We)

Và đây là điều kiện để chúng tơi khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thai hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn trong chương hai

Trang 28

1.3.3 Tính chat nén Hillery bac cao

Các trạng thái nén đơn mode bậc cao được đưa ra bởi Hong va Mandel [15] vào năm 1985 và được gọi là kiểu nén Hong-Mandel Một kiểu nén đơn mode khác được đưa ra bởi Hillery [13] vào năm 1987 (bac hai) và sau đĩ là nén bậc ba, bậc k ta gọi chung là nén Hillery [10] Tốn tử biên độ lũy thừa k được định nghĩa như sau ° 1 Xap (9) = 5 (eak + e941), Xan (6+ 3) = ; (c:@:Đá* + c68)ã1) (1.57) Giao hốn tử giữa „¿ (ĩ) và Ấ„„ (ĩ+ §) là [Xox (0) Kon (0+ 5)] = 5h), (1.58) với ,(k) = [at, â* > a &=9)a(R~9), (159) trong đĩ k† = k (k — 1) (E — q+ 1) Từ (1.58) rút ra được hệ thức bất định đối với các phương sai VX¿.(6)VXu(ø+ 5) > qg|Ê (W| — (160) Điều kiện để cĩ nén biên độ lũy thừa k kiểu Hillery theo phương ở là 1 VXuk(6) <1 ft, (| (1.61) 1.3.4 Tính chất phản kết chùm

Vào năm 1976, khái niệm phản kết chhm được dự đốn bằng lý thuyết bởi Kimle-Mandel [16] và Carmichael-Walls [9] và được Kimbel- Dagencus-Mandel [17] chứng thực bằng thực nghiệm Tính phản kết

Trang 29

lập, cách xa và khơng thể kết hợp với nhau [11] Ma céc photon phan kết chùm tuân theo thống kê Sub-Poisson nên trạng thái cĩ phân bố số photon loại này tuân theo thống kê này Hay, hàm phân bồ xác suất

tương ứng với trạng thái đĩ là âm, khơng thích hợp với lý thuyết cổ điển

Như vậy, các trạng thái cĩ hàm phân bố xác suất mang giá trị âm khơng

cịn mang tính chất cổ điển Hay, ta cĩ thể nĩi tính chất phản kết chùm là tính chất phi cổ điển Để hiểu rõ hơn trong Luận văn này chúng ta

xét tính phản kết chùm đơn mode và hai mode a) Phản kết chùm đơn mode

Photon phan kết chùm tuân theo thống ké Sub-Poisson [18] nén phương sai của phân bồ số hạt nhỏ hơn trung bình trạng thái số hạt của chúng (83) — (A) Mặt khác (?) = (ơ (n — 1)) nên ta viết lại (83)—

Biểu diễn (2”) dưới dạng phân bồ xác suất P như sau

Trang 30

Tit (1.65) va (1.66) ta thầy P(a) nhận giá tri am, đây chính là lý do khẳng định tính chất phản kết chùm là một tính chất phi cổ điển Muirhead (19] đã khái quát hĩa bát đẳng thức (1.66) vào năm 1903 như sau

lal2"?|đ|2"*? + Jal?"-2|ø|?*2 < Ja|*|ø2" + |a|2"đI3, (1.67)

trong đĩ 1, m la s6 nguyén duong théa man | > m Nhu vay, diéu kiện

để một trạng thái cĩ phản kết chùm trong trường hợp đơn mode là

(al?) (a) = (a?) a”) <0 (1.68)

Ta đưa ra tham s6 R(I,m) dudi dang

¬v

ain PO) «an (1.69)

Như vậy, tiêu chuẩn cho sự tồn tại của phản kết chùm trong trường, hợp đơn mode là ".ằnn Ty) (170) Nếu tham s6 R(/,m) cang am thi tinh phan két chim cia trang thai càng mạnh b) Phản kết chùm hai mode

Mở rộng cho trường hợp hai mode [18] từ (1.65) chúng tơi thu được

(Đáp) + (agra) - (ai) 7 (map) 1 d?ad?8 = 1m! - ;JJ s É Pla, B) (lal) | 2) lal 2) (242) ~la[PIøI?? - Jaf#IsI), (1.71) véi ata va btb 1a toan tit sé hat ciia mode a va mode b trong trudng bite xa

'Ta thầy về phải của (1.71) luơn nhỏ hơn khơng, nên

(aptĐapm9) + (agra) - (am) - (map) <0 (172)

Trang 31

Tiêu chuẩn cho sự tồn tại của phản kết chùm cho trạng thái hai

mode [18] trong trường bức xạ là A(EĐafm=ĐÀ 4 (a(m=0a0#) 23m <0 1.3.5 Su vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (173) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz [12] đối với trường cổ điển cĩ dạng GisGyy — Gi, > 0, (1.74) với (0102) (ee Gye = 2, Gt = Gỳy 1.75 # @@12) (017) (Gr „ (1.75) Khi đĩ ta cĩ thể viết lại bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dưới dạng, £Ì5£2) (gi2g2\]? mm \etg'92)| (1.76)

Tit (1.76) cho phép ta xem xét mối quan hệ giữa các mode với nhau Nếu

trạng thái hai mode nào thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

trạng thái đĩ mang tính chất cổ điển Cịn trường hợp ï < 0 thì trạng thái đĩ mang tính chất phi cổ điển, hay

"Tĩm lại, trong chương này chúng tơi đã đưa một số kiến thức tổng

quan về trạng thái kết hợp, trạng thái nén cũng như một số tính chất

phi cổ điển như tính chất nén tổng, nén hiệu, nén Hillery, tính chất phản kết chùm và sự vi phạm bắt đẳng thức Cauchy-Schawrz Với những kiến

thức tổng quan này sẽ là cơ sở cho chúng tơi khảo sát một số tính chất

phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mét photon chan

Trang 32

Chương 2

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA

TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM MOT PHOTON CHAN

Chương nàu chúng tơi trình bàu trạng thái hai mode SU(1,1)

thêm một photon chẵn Dồng thời khảo sát các tính chất nén

tổng, nén hiệu va nén Hillery bac cao cia trang thái này dựa trên các điều kiện nén tổng, nén hiệu va nén Hillery bac cao

đã nêu ra trong chương mét

2.1 Trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon

chan

2.1.1 Trang thai hai mode SU(1,1)

Để đưa ra trạng thái hai mode SU(1,1) chúng tơi xét các tốn tử sau day

Ko — 3 (đlä + Đổ + 1),

Ky = ait,

K_ = ab

Trong đĩ âÏ, â và đÏ, Ð lần lượt là tốn tử sinh, hủy photon của mode a

và mode b của trường điện từ

"Tiến hành đại số Lie SU(1,1) chúng tơi thu được

Trang 33

Tương tự, Tit cdc tính tốn trên ta thu được các hệ thức giao hốn như sau [&u.&:| = Res |&.&-|==K: [RK] = 2h Toan tit Casimir cho đại số học này cĩ dạng C= K3-3 (KR + RK) =} [(wa - ai)” - |

với A = ata — ĐÏỖ là giá trị riêng chỉ sự khác nhau về số photon

giữa hai mode với nhau Lấy giá trị riêng (q nguyên) khơng xét đến

tính tổng quát thì trạng thái cơ sở cho một biểu diễn tối giản đơn vị

được hiểu như là khẳng định chuỗi hữu hạn cho bởi tham số suy biến 4 gồm cĩ nhĩm trạng thái hai mode |n„ n) = |n) © |n;), của dạng

{|n+q,n),n=0,1, ,00}

Trang thai hai mode SU(1,1) da được Perelomov [21] định nghĩa như sau

løj„ = exp (aK = a*Ấ-) lu.0)„

=(- 6) [= a n=0 SIN + GNay- (21)

Trang 34

2.1.2 Trang thai hai mode SU(1,1) thém mét photon chin

Mở rộng (2.1) cho trường hợp thêm một photon chẫn ta thu được trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn định nghĩa như sau

l0), =AV (4+) (le), + Í=£)a)› (2.2)

trong dé |y),, là trang thai hai mode SU(1,1) Tương tự, chúng tơi cĩ ¬ ` nig! Thay (2.1) va (2.3) vao (2.2) ta duge l0)„ = 2V (@' +) (le)„ + I~2)a) (2+) {(—=?) 3 [| “en a.na z +§-kP) [mm 1 s 9n +2} n=0 ~xr(ø'+#) ( ~lkP) 9 ea " + thy Hay trang thai hai mode SU(1,1) them mot photon chin duge viét lai như sau

I9, = 2V (at +) (L— le)” SE [ee ne Cantera tama

Trang 35

x [1+ (-1)"] "ba (rm, m+ q| aat + abt + até + bbt[n + ạ,n)„„ = 1

owve(t ler) m=0 [22] yen [MO] mq! lạt ^

x [1+ (-1)"] £"so (mm + q| alin a Tịa,

way [aA ene $e) m=0 n=0 x[1+(~1U”]£"% (m,m + q| abt in +g, 2) 94 Weir) 3 [EO eam [EO]! m=0 n=0 x [L + (—1)"] "a (m, m + q|âÌƯ|n + q,n)„, +P (ier) 7S [ng Ƒ I+xCc 0n [HP | m=0 n=0 x[L+ (U”]£”w (m,m + q|ƯỰ[n + q.n)„y = 1 eIXf(1= le)” ‘Soe M+ C1y'Pemta+y) +If(=k#) 3S i + (-I"Pen(n +1) =1 n=0 mại SS (n+ 7 SIMf5(1~ ie?) ” “yf TC [L+(~1"]£*"(3n + +9) = 1 = Hay Ma ~ n+ 1) Â2n, a v= ỳ-ô2 yon + ye ana) - 04) n=0 aa Vậy trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẫn được viết như sau a 2) FS pint a!y? a

l2 =XÂ =KP) Oe] + "le

x (VaFaF lin +94 Ln)y+ Vn TỊn + g.n + Đa)

(2.5)

Trang 36

Chúng tơi sẽ tiếp tục khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng

thái hai mode SU(1,1) thêm một photon chẵn trong các chương sau

2.2 Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai

mode SU(1,1) thêm một photon chan

Để khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon chin chting toi dựa vào điều kiện nén tổng hai mode [13] Một trạng thái hai mode được gọi là nén tổng hai mode nếu trung

bình của trạng thái đĩ thỏa mãn điều kiện trong cơng thức (1.52) (a5) < F(a Ấy +1)

Để thuận tiện cho việc khảo sát, chúng tơi đưa vào tham số nén tổng hai mode 9 dưới dạng

S= ((a%)’) = j (đu + đy + 1)

l “Q2 1

= (v2) 7 (Wa) — 1 (iat My +1) (2.6)

Một trạng thái được gọi là nén téng hai mode néu tham s6 $< 0 và mức

độ nén tổng càng mạnh nếu $ cang am Voi Vs = (csatơt + cab)

ta cĩ

- 2

calbt + e-Mab)

Trang 37

Nên ta suy ra 8 = (san) + (cab) + 2alơiâi -1((°9) + (csa)}, (2.7) Tính trung bình trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon chan

trong biểu thức (2.7) chúng tơi cĩ các kết quả sau

|âât882 + aa2B†3 + ai8ơi2

Trang 39

x€ (2n+q+6), (2.9) (61028) <w2(a—eP)" > Sn aye n= x [n(n+q+ 1” + (n + 4) (n + 1}, (2.10) (at) =e*M'f2(1 ~ lel py > (n TT f+ (pyle x (2n+q+4), (2.11) (eal) =e" wi2(1— ig?) Ay 4 aye n=0 nại x (2n+q+4) (2.12) Thay các biểu thức (2.8), (2.9), (2.10), (2.11) và (2.12) vào biểu thức (2.7) ta được (eer? +86) SẺ trU2HI + (—1)”]|€fP On + +6) S= n=0 — HT - 43) t1 + (—1)P||P? (ðn + 4+3) nh nao" 3 t1 + (—1)71|6l?P[n(n + g+ + (n + 4) (n + 1)”] a nh lạt + 25 eo + (-1)"]IgP" (2n +4 +2) (c9 + ere) Se SHH + (aye 2n a+ 4)» {F mamemaa 16 3 G221 + (—1)"|le|?" (2n + q+ 2) nh lạt (2.13) trong d6 € = —tanh ($) exp(—iy) Để thuận tiện cho việc khảo sát

chúng tơi đặt ĩ + @ = +, Ø = 2r với r > 0 Chúng tơi được tham số nén

Trang 40

tổng dưới dạng cos2ytanh2r 3` #2 [1 + (—1)”]tanh? (2n + g + 6) g- io 255 eM 4 (—1)"}tanh2"r (Qn + q +2) n=0 nig 3 ea + (—1)"Itamb™*r [n(n + 9+ 1)?+ (n+ 4) (n+ 1))) pemeo 7 7 2# 9911 + (—1)P]tanh?Pr (3n + q +2) nhĩ ng 9 cos 2+ tanh re relly + (—1)"Jtanh?"r (2n + g +4) “aig | { 83> M1 + (—1)"]tanh?"s (2n + g +3) ag! } : nao" (2.14) Ss

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của Š vào r với g = 1,2,3 va 7 = 3 (Duting biéu diễn các

tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, mau dé, màu xanh lam.)

Kết quả khảo sát sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo

biên độ kết hợp z và sự khác nhau giữa hai mode photon là g thể hiện trên Hình 2.1 ứng với trường hợp + — §, mỗi đường biểu diễn cho ta kết

quả về sự phụ thuộc của mức độ nén tổng hai mode theo z và q nhận

Định dạng
Số trang	97
Dung lượng	16,86 MB