mục tiêu của đề tài Khảo sát cộng hưởng từ - Phonon trong siêu mạng bán dẫn bằng phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái là áp dụng phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để thiết lập biểu thức của tenxơ độ dẫn từ và công suất hấp thụ sóng điện từ trong siêu mạng bán dẫn thành phần do tương tác electron - phonon dưới tác dụng của điện trường và từ trường ngoài, từ đó khảo sát hiện tượng cộng hưởng từ - phonon và dò tìm bằng quang học hiện tượng này.
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ HỒNG SEN KHẢO SÁT CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON TRONG SIÊU MẠNG BÁN DẪN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TOÁN TỬ CHIÊU ĐỘC LẬP TRẠNG THÁI
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ 'THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học PGS TS LÊ ĐÌNH
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác
Huế, tháng 9 năm 2016 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hồng Sen
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giáo trong khoa Vật Lý và phòng đào tạo sau đại học, trường đại học sư phạm, đại học Huế; đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ
tôi trong quá trình học tập tại trường
Đặc biệt, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - PGS TS Lê Đình đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn này
Xin gửi mm ơn đến gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn ở bên cạnh động viên giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn
Huế, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hồng Sen
Trang 4MỤC LỤC "an 7 nan "7 Mục lục Danh sách các hình vẽ co MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1 TỔNG QUAN VỀ MƠ HÌNH SIÊU MẠNG
BÁN DẪN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.1 Tổng quan về siêu mạng bán dẫn .- 1.11 Siêu mạng bán dẫn - 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong
siêu mạng bán dẫn thành phần 1.1.3 Hamiltonian của hệ electron - phonon khi c6 mat
điện trường ngoài 1.2 Phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái Chương 2 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CUA DO DAN VA CONG SUAT HAP THU
2.1 Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn 2.2 Hàm suy 2.3 Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ trong siêu mạng, bán dẫn thành phần khi có từ trường
2⁄4 Cộng hưởng từ - phonon trong ¬
Trang 53.2 Ảnh hưởng của nhiệt độ lên cộng hưởng từ - phonon 45 3.2.1 Ảnh hưởng của nhiệt độ lên vị trí đỉnh cộng hưởng 45 3.2.2 Ảnh hưởng của nhiệt độ lên độ rộng phổ ODMPR 46
Trang 6
11 3.1 3.2 3.3 34 3.5 3.6 3.7 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
Minh hoa phương pháp toán tử chiếu Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ uào năng lượng pho-
ton Ở đâu, nhiệt độ T = 200 K, từ trường B = 10T, s
Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ uào năng lượng photon
uới các giá trị khác nhau của nhiệt độ Ở dâu, nhiệt độ T'
= 200 K (dường liền nét),nhiệt độ T = 300 K (đường nét đút), từ trường B = 10T, s=l
D6 rong vach pho ee
Độ rộng vach phé dink cng hudng tit - phonon vdi các
giá trị khác nhau của nhiệt độ Ở đây từ trường B = 10 Vị trí đỉnh cộng hưởng ODMPR tới các giá trị khác nhau của từ trường: B = 8 T (đường liền nét), B = 10 T (đường
nét đứt) uà B = 12 T (dường chấm chấm) Ở đây, nhiệt
Lê nh nh
Độ rộng uạch phổ đỉnh ODMPR uới các giá trị khác nhau
của từ trường Ở dây, nhiệt độ T = 200 K, N'=0
Vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon dé tăm bằng quang học
uới các giá trị khác nhau của chu kỳ siêu mạng: d = 50
mm (đường chấm chấm), d = 60 am (đường nét đứt) uà
d = 70 nm (đường liền nét) Ở đây, nhiệt độ T = 200 K,
Trang 73.8 - Vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon uới các giá trị khác nhau của chư hỳ siêu mạng: d = 50 am (dường chấm chấm), d = 60 nm (đường nét đứt) va d = 70 nm (đường
Trang 8MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Bán dẫn thấp chiều đã và đang là đối tượng thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Các cấu trúc thấp chiều bao gồm: hệ chuẩn hai chiều (2D) như hồ lượng tử và siêu mạng, trong đó các hạt tải bị giới hạn theo một chiều và tự do theo hai chiều còn lại, phổ năng lượng bị gián đoạn theo chiều bị giới hạn; hệ một chiều (1D) như dây lượng tử, trong đó các hạt tải bị giới hạn theo hai chiều, chúng chuyển động tự do đọc theo chiều dài của dây, phổ năng lượng bị gián đoạn theo hai chiều không gian; hệ không chiều (0D) như chấm lượng tử, trong đó các hạt bị giới hạn theo cả ba chiều trong không gian và
không thể chuyển động tự do, các mức năng lượng bị gián đoạn theo cả ba chiều trong không gian
Khi nghiên cứu các cầu trúc thấp chiều, các nhà khoa học đã phát hiện ra nhiều tính chất kỳ lạ và ưu việt của chúng so với bán dẫn khối
(3D) truyền thống Có thể nói bán dẫn thấp chiều là một vật liệu có tính chất đặc trưng Các linh kiện quang điện tử hoạt động dựa trên các
cầu trúc mới này bởi vì chúng có nhiều tính năng vượt trội như tiêu tốn
ít năng lượng, tốc độ hoạt động nhanh và kích thước nhỏ
“Trong các bán dẫn hệ thấp chiều thì siêu mạng bán dẫn có nhiều hiệu ứng lượng tử đáng quan tâm nghiên cứu như cộng hưởng electron ~ phonon, cộng hưởng cyclotron, cộng hưởng từ - phonon Trong số các
hiệu ứng này, thì hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon (Magnetophonon TResonance - MPR) đang được các nhà khoa học rất quan tâm [11], [13], (24), [25], [26], [27] Sở đĩ như vậy là vì hiệu ứng MPR có thể đem lại
Trang 9liệu Ngoài ra, hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon còn là công cụ mạnh để khảo sát các tính chất của các bán dẫn, ví dụ như cơ cấu hồi phục hạt
tải, sự tắt dần của các dao động gây ra bởi tương tác electron - phonon, đo khối lượng hiệu dụng, xác định khoảng cách giữa các mức năng lượng, gần nhau
Để nghiên cứu các tính chất của hệ thấp chiều đã có nhiều phương, pháp được đề xuất, chẳng hạn như phương pháp tích phân đường Fey-
man, phương pháp hàm Green, phương pháp phương trình động lượng
tử và phương pháp chiếu toán tử Mỗi phương pháp đều có ưu điểm riêng tùy theo từng bài toán cụ thể, trong đó phương pháp chiếu toán
tử là phương pháp được sử dụng nhiều nhất lý do là vì với các tốn tử
chiếu hồn tồn xác định, ta có thể thu được công thức độ dẫn khá hoàn
hảo, biểu thức hàm dạng phổ tường minh
Các công trình nghiên cứu với các tính toán cho các hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon (MPR) được các nhà khoa học rất quan tâm MPR
được Gurevich va Firsov tiên đoán bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm
1961, được Puri, Geballe và đồng nghiệp [30] quan sát bằng thực nghiệm
vào năm 1963 MPR xảy ra ở nhiều vật liệu bán dẫn, hợp kim như Si, Insb, GaAs, CdTe, cũng như trong các hệ thấp chiều [25] Nguồn gốc của hiệu ứng MPR là sự tán xạ công hưởng điện tử gây ra bởi sự hấp thụ và phát xạ các phonon khi khoảng cách giữa hai mức Landau bằng năng lượng của phonon quang đọc (LO) Gần đây, G.Q Hai va F.M Peeters
(13] da chứng mình về lý thuyết rằng các hiệu ứng MPR có thể được quan sát trực tiếp thông qua việc nghiên cứu đò tìm bằng quang học
cộng hưởng từ - phonon (Optically detected magnetophonon resonance
- ODMPR) trong hệ bán dẫn khối GaAs Tác giả D.J Barnes và đồng,
Trang 10Gần đây hơn, S.Y Choi, S.C Lee và đồng nghiệp đã khảo sát chỉ tiết các hiệu ứng ODMPR trong bán dẫn khối và siêu mạng ban dan [26],
27)
trong nước, đã có khá nhiều công trình nghiên cứu về cộng hưởng
từ - phonon Năm 2011 đề tài luận án tiến sĩ của Võ Thành Lâm da di sau nghiên cứu nhiều loại cộng hưởng, trong đó có cộng hưởng từ - phonon trong bán dẫn hồ lượng tử vuông góc sâu vô hạn và hồ thế lượng tử parabol [4] Luận văn thạc sĩ của Lê Thị Diệu Hiền nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon trong trong bán dẫn giếng lượng tử với thế vuông góc có độ sâu vô hạn 3] Luận văn thạc sĩ của Lê Thị Cẩm Trang nghiên
cứu lý thuyết để phát hiện cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật bằng quang hoc (2008) [6] Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Lan Anh nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon trong giếng lượng tử đặt trong từ trường xiên [1] Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Ngọc Uyên nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử đặt trong từ trường xiên (S] Luận văn thạc sĩ của Phan Thị Thanh Nhi nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử thế parabol và thế vuông góc [B] Luận văn thạc sĩ của Cái Thị Tuyết Trinh nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử thế parabol và thế tam giác [7]
Như
ho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về cộng, hưởng từ - phonon trong bán dẫn thấp chiều Tuy nhiên, chưa có công, trình nào sử dụng phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái khảo sát cộng hưởng từ - phonon trong siêu mạng bán dẫn
Vì những lí do trên tôi chọn đề tài: “Khảo sát cộng hưởng từ -
Trang 112 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là áp dụng phương pháp toán tử chiều độc lập trạng thái để thiết lập biểu thức của tenxơ độ dẫn từ và công suất hấp
thụ sóng điện từ trong siêu mạng bán dẫn thành phần do tương tác
eleetron - phonon dưới tác dụng của điện trường và từ trường ngoài, từ đó khảo sát hiện tượng cộng hưởng từ - phonon và đò tìm bằng quang học hiện tượng này
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hệ thấp chiều trong đó đặc biệt là siêu mạng bán dẫn và phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái
- Thiết lập năng lượng và hàm sóng của electron trong siéu mang bán dẫn đặt trong từ trường
- Thiết lập tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ bằng phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái
- Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon, từ đó khảo sát cộng hưởng từ - phonon và đò tìm cộng hưởng
này bằng quang học
- Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ vào nhiệt độ, từ trường và thông số của siêu mạng
4 Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt trong Vật lý thống kê trong đó sẽ tập trung nhiều vào sử dụng phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để thiết lập các biểu thức giải tích
Trang 12thị
5 Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu hiện tượng cộng hưởng từ - phonon
trong siêu mạng bán dẫn thành phần khi có mặt của điện trường xoay chiều và từ trường tĩnh với các giới hạn sau:
- Chi xét phonon khéi (3 chiều)
- Chỉ xét đến tương tác electron - phonon, bỏ qua tương tác cùng loại (electron - electron, phonon - phonon)
6 Bố cục luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nội dung chính của luận văn gồm có ba chương
~ Chương 1 trình bày những vấn đề tổng quan - Chương 2 trình bày phần tính toán giải tích
Trang 13NỘI DUNG
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ MƠ HÌNH SIÊU MẠNG BÁN DẪN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chương nàu trình bàu tổng quan uề siêu mạng bán dẫn, hàm sóng uà phổ năng lượng của clectron trong siêu mạng bán dẫn
thành phần chịu tác dụng của từ trường, Hamiltonian của hệ
electron - phonon khi cé mat trường ngoài uà tổng quan 0È
phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái
1.1 Tổng quan về siêu mạng bán dẫn
1.1.1 Siêu mạng bán dẫn
Siêu mạng bán dẫn (semiconductor superlattice) là vật liệu bán dẫn có cầu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp nhau Siêu mạng bán dẫn được chế tạo từ một lớp mỏng bán dẫn có độ dày dạ ký hiệu là A, độ rộng vùng cấm hẹp (ví dụ GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày dp ký hiệu là B có độ rộng vùng cấm rộng (ví dụ AlAs) Các lớp mỏng
này đặt xen kẽ nhau vô hạn đọc theo trục
siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên), khoảng cách giữa hai lớp bán dẫn liên tiếp d — đạ +dg
gọi là chu kỳ siêu mạng Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp
nhau dưới dạng B/A/B/A và độ rộng hàng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn Khi đó, electron c6 thé
xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp này sang bán dẫn có vùng cấm hẹp khác Do đó electron ngoài việc chịu
Trang 14ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tỉnh thể nó còn chịu thêm ảnh hưởng của một thế phụ Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch nang lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn tiếp xúc nhau
và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với
hang s6 mang He electron trong siêu mạng khi đó là khí eleetron chuẩn hai chiều Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ năng lượng và hàm sóng của eleetron thông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn trong siêu mạng Dựa
vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia siêu mạng bán dẫn thành hai loại: u mạng bán dẫn pha tạp và siêu mạng bán dẫn thành phần + Siêu mạng bán dẫn pha tạp:
Các giếng thế trong siêu mạng có thể được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau, siêu mạng có cấu tạo như vậy gọi là siêu mạng bán dẫn pha tap (Doped Semiconductor Superlattiee - DSSL) Ưu điểm của siêu mạng bán dẫn pha tạp về mặt cấu trúc là có thể dễ dàng điều chỉnh các tham số của siêu mạng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp
+ Siêu mạng bán dẫn thành phần:
Siêu mang bán dẫn thành phần được cấu tạo từ các lớp bán dẫn A và B khác nhau sao cho hàng rào thế trong các hồ lượng tử đủ hẹp để các electron có thể xuyên qua hàng rào thế năng (từ bán dẫn có vùng cấm hẹp này sang bán dẫn có vùng cắm hẹp khác) thì các hồ lượng tử đa lớp trở thành ban dan siéu mang thanh phan (Compositional Semiconductor
Superlattice - CSSL)
Ta giả thiết rằng độ rộng vùng cấm C^ của bán dẫn A nhỏ hơn độ rộng vùng cấm €2 của bán dẫn B trong một hồ thế lượng tử độc lập (GP > G) Do su khác nhau này mà biên vùng dẫn cũng như biên vùng
Trang 15hóa trị của các bán dẫn A va B không ngang nhau Sự chênh lệch năng, lượng giữa các biên của một loại vùng thuộc hai lớp kế tiếp của siêu
mạng tạo nên một hố lượng tử giam giữ các hạt trong một lớp mỏng
Chính vì vậy việc nghiên cứu biên của các vùng có tính chất quyết định trong việc tạo ra các thiết bị giam giữ lượng tử Tuy nhiên các nghiên
cứu lý thuyết và thực nghiệm đã chỉ ra rằng sự thay đổi thế năng là khá
đột biến và tạo ra một hồ thế dạng chữ nhật Hồ thế hình chữ nhật này là phù hợp với thế giam giữ trong hầu hết các hồ lượng tử Độ sâu của
hồ lượng tử đối với các eleetron được xác định bởi hiệu các cực tiểu các vùng dẫn của bán dẫn A và B [22] Ae = Age = C2 — CFI, còn đối với lỗ trồng thì được xác định bởi hiệu các cực đại của các ving hóa trị của các bán dẫn A và B Ay = AG = |C#— Thé cita siéu mang được xác định bởi hiệu của các khe năng lượng của hai bán dẫn Ác = AQ = GÌ = GÌ = Ac t+ Av = Uo,
nghĩa là bằng tổng năng lượng chênh lệch của vùng dẫn và năng lượng chênh lệch của vùng hóa trị ứng với hai lớp bán dẫn A va B tạo thành
siêu mạng
Từ sự tương quan giữa vị trí đầy vùng dẫn và đỉnh vùng hóa trị của các bán dẫn, bán dẫn siêu mạng thành phần được phân thành hai loại chính
+ Loại Ï: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn bao nhau Trong loại này, cả electron và lỗ trồng đều bị giam cầm trong cùng một lớp bán dẫn loại A (như siêu mạng GaAs/GaAlAs)
Trang 16+ Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm gần nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần Trong loại này lỗ trống giam giữ trong lớp A còn electron bị giam giữ trong lớp B (như siêu mang Ga,In,_,As/GaAs,Sby-y)
Cả hai loại trên luôn thỏa mãn điều kiện G < G va A, < A
1.1.2 Ham sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu
mạng bán dẫn thành phần
1.1.2.1 Khi không có từ trường
Hàm sóng chuẩn hóa của hố lượng tử chuẩn hai chiều với hàng rào thế vô hạn có dạng như sau: (1) trong đó: (n=1,2,3, ),
với k; là thành phần vectơ sóng theo phương trục z; m là số lượng tử hóa trong hé thé doc lap; $ = LrLy; Lx, Lụ, L: là độ rộng theo phương,
+,U,
Siêu mạng là hồ lượng tử đa lớp có liên kết, do đó hàm sóng và phổ năng lượng trong siêu mạng có thể tính theo cùng một cách như đối với các hồ lượng tử Vì hàng rào thế trong siêu mạng hữu hạn nên ta thay thé hàm sóng theo phương z trong hồ thế vô hạn bởi ®„(z) là hàm sóng, của electron trong hồ thế cô lập hữu hạn =
trong đó ®„(z) là nghiệm của bài toán hồ lượng tử hữu hạn Xét các
n(E:z) —> ®„(2),
hồ lượng tử cầu thành siêu mạng là tương tác yếu với nhau, do đó hàm sóng của electron trong siêu mạng thỏa mãn định lý Bloch và có dạng
Trang 17chồng chập các sóng phẳng [33] trong đó nạ là số lượng tử ở trạng thái a (ng = 1,2, ); By = kad + hyd: FP, = ai+ yj; d la chu ky siêu mạng; j = 1,2, ;sọ là số chu kỳ siêu mạng Hàm ®„ (z) là hàm sóng của một hồ thế độc lập ở trạng thái |a) trong bán dẫn siêu mạng thành phần có dạng ‡ 2,2
&,,(2) = (5) exp ( - =) Ha,(€2), (13)
với €= "2® và H„ (z) là đa thức Hermite
Xét siêu mạng một chiều có thế tuần hoàn theo trục z Thế siêu
mạng ảnh hưởng rất ít đến chuyển động của eleetron trong mặt phẳng (#,g), còn chuyển động của electron theo phương trục z sẽ tương ứng với chuyển động của electron trong một trường tuần hoàn với chu kỳ d Tương ứng với hàm sóng ở phương trình (1.2), phổ năng lượng của
electron trong siêu mạng ở mini vùng thứ n ở trạng thái |a) có dạng [33] (ks)? 2 Ex(k) = + E(k:), (14) trong đó E(k.) = E„ — A„cos(k;d), với được xác định trong mini vùng thứ nhất —z/d < k; < z/d; n là chỉ số mini vùng (s là chỉ số mini vùng cao nhất) = 1,2, sụ: E„ là năng lượng trong hồ thế cô lập; A„
là một nửa độ rộng của mini vùng thứ ø Biểu thức của „ có dạng
In?
E,=— > Im
= n?Ep, (1.5)
với dạ là bề rộng của hồ thé 6 lap, Ey = h?x?/(2m*d3)
Do đó phổ năng lượng của electron duge viết lại như sau
(he)?
By (f) = +n? Ey — An cos(k-d) (1.6)
Trang 181.1.2.2 Khi có từ trường
Khi có mặt của từ trường B dọc theo trục z (//Oz), chuyển động,
của eleetron trong mặt phẳng (z,g) cũng bị lượng tử hóa Phổ năng
lượng của eleetron bị lượng tử hóa theo kiểu Landau (lượng tử hóa
thành các mức Landau biểu thị bằng số lượng tử NV) Chon thế vectơ A= (0, Br,0), lac nay E, + (N +41/2)hw Hamiltonian cia mot electron duge cho bởi công thức P+ eA(rP ho = ————, 2m*
ở đây ta sử dụng chuẩn Landau cho thé vector A; gla kí hiệu xung lượng của một electron dẫn với khối lượng hiệu dụng mm”
Phổ năng lượng và hàm sóng của eleetron tương ứng với Hamiltonian một electron họ có dạng W„ ¿(7)= „nạ, kay) = [Nas kay) |na), (17) trong đó = Lyi Kawd a
[Nas Fay) = (z) elke ( = Xu), (18)
Trang 19Trong các công thức trên, X„ là tâm quï đạo của chuyển động ey-
cloron tương ứng với trạng thái |a), Xạ = —hkay/(eB) = —hay/(m°e,); a, la bén kinh qui dao cyclotron, a, = [h/(eB)]}/?; Hy là đa thức Hermite
bac N; Ly va L, la cc do dai chuan héa theo phutong y va 2
Vậy phổ năng lượng của eleetron trong siêu mạng thành phần khi
có mặt từ trường theo trục z có dạng,
E,(k) = Ey + Ey = (N+ s)he + Im’ —A, cos(k.d) (1.11) 1.1.3 Hamiltonian ciia hé electron - phonon khi có mặt điện
trường ngoài
Giả sử điện trường lan truyền theo phương trục siêu mạng (trục z) và xuyên sâu vào mẫu, vectơ cường độ điện trường biến thiên theo thời
gian có dạng 3
E=ồ)8Eje (1.12)
jal
trong đó ế;, E; và œ lần lượt là vectơ đơn vị, biên độ và tần số của điện
trường theo phương j
Hamiltonian của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp gồm Hamiltonian can bằng của hệ eleetron - phonon và Hamiltonian khong cân bằng do tương tác với trường ngoài 2]
H(t) = Heq + Hint(t) (1.13)
Bỏ qua tương tác giữa các hạt cùng loại, Hamiltonian cân bằng của hệ Hạ là
Hey = Hạ + V,
trong đó Hạ là Hamiltonian của hệ eleetron - phonon tự do
Hạ = H, + Hạn = 3Ö Eaala, + Ö ˆ hoy by,
ˆ 7
Trang 20V là Hamiltonian tương tác của hệ electron - phonon
v= 2S 62()a2aa(b + bÊ,), 7 op
đ‡(aa) tương ứng là toán tử sinh (hủy) electron trong trạng thái |a), bệ (bạ) tưởng ứng là toán tử sinh (hủy) phonon trong trạng thái |q) = |ỡ.s), (đ là vectơr sóng của phonon ứng với năng lượng đ«„, s là chỉ số phân cực) Cy,9(q) là yếu tố ma trận tương tác eleetron - phonon được định nghĩa như sau
Coa(q) = V(4)(ale""l), (1.14)
Z là vectơ vị trí cita electron, V(q) là thừa số kết cặp, phụ thuộc vào mode phonon
Hamiltonian tương tác HJ„; phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theo thời gian trong phép gần đúng lưỡng cực có dạng [24]
1u) = =0) (1.15)
Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt, nghĩa là tương tác được mắc vào tại thời điểm £ => —oe, biểu thite Hinz c6 thêm thừa số e“(a —> 0*) Lúc đó (1.15) trở thành:
(1.16)
1.2 Phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái
Phép chiếu toán tử được Mori đưa ra lần đầu tiên năm 1965 [28] với
mục đích áp dụng lý thuyết về hàm tương quan của Kubo 23] để khắc phục một khó khăn cơ bản mà các lý thuyết về quá trình không thuận
Trang 21nghỉch thời đó mắc phải, đó là tính phân kỳ của các số hạng trong khai triển của các đại lượng động lực khi hệ chịu tác dụng của trường ngoài Ý tưởng của phương pháp chiếu toán tử mà Mori đưa ra là bất kỳ
đại lượng động lực A(£) nào cũng có thể viết được dưới dang:
40) E0).A+ At(0), A)= [ˆSt—3).f6)k, (1.17) trong d6 E(t) duge xae dinh béi phép bién déi Laplace, f(t) là hàm ngấu nhiên mô tả tính ngẫu nhiên của tương tác Khi đó hình chiếu của một vectơ Ở lên trục 4 được xác định bởi
P6 = (G, A*)(A, A*)"1A, (1.18) véi A* la liên hợp Hermite cia A, kí hiệu (4, B) biéu dién ham tuong quan của hai toan tit A va B Phuong trinh nay xác định một toán tử tuyến tính Hermite P trong không gian Hilbert thỏa mãn điều kiện P(L— P) = 0 Từ đó ta định nghĩa tích vô hướng trong số hạng đầu tiên của (1.17) là hình chiếu của A(0) lên trục 4, và số hạng thứ hai A’(t) là thành phần thẳng góc với nó, cụ thể là
ul ()=(AWAVAAS, A) =(1- PAW (1.19)
Như vậy #(/) mô tả sự diễn tiến theo thời gian của hình chiều của đại
lượng A(t) như hình 1.1
Tiếp theo phương pháp chiếu toán tử của Mori, một loạt kỹ thuật chiếu đã được giới thiệu để giải quyết nhiều bài toán khác nhau [9), [10], (12], [21], [29], (32), [34] Trong đề tài này chúng tôi sử dụng kĩ thuật
chiếu độc lập trạng thái [14] mà nhóm Kang N.L đã giới thiệu năm
2000 Các toán tử chiều độc lập trạng thái được định nghĩa như sau
PX = (X)J¿/(J) P=1-P, (1.20)
Trang 22
E().A
Hinh 1.1: Minh hoa phương pháp toán tử chiếu
Trang 23Chương 2
BIẾU THỨC GIẢI TÍCH
CUA DO DAN VA CONG SUAT HAP THU
Chương này trình bàu tính toán giải tích tường mình công suất hấp thụ trong bán dẫn siêu mạng thành phần trong trường hgp tan xq electron - phonon quang dọc, sau đó xác định điều
kiện cộng hưởng từ - phonon
2.1 Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn
Khi hệ electron - phonon được đặt trong từ trường không đổi B = (0,0, ) và điện trường biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số goc w, E = Eye", phan ứng của hệ là sinh ra độ dẫn, gọi là độ dẫn
quang - từ Trong gần đúng phản ứng tuyến tính, ta thu được biểu thức
tenxơ độ dẫn có dạng [14], [15]
Øu(@) = — lầm ((MØ — L)”}J}), @ aso (2.1) trong đó D = w —ia,a + O*; L la toan tit Liouville tương ứng với Hamiltonian H
Bay gid ta sit dung phép chiéu doc lap trang thai da duge dinh nghia (1.20) dé tinh tenxo do dan Xét dai lugng (hi — L)~! Jj Tác
dung P + P vé bén phai toan tit Liouville trong đại lượng này, ta được
(hs — L) J, = [hi — L(P + PJ, = [ho -— LP -— LP] (2.2)
Sử dụng đẳng thie (A — B)"! = A-!+ A-!B(A— B)"' [16) và lưu ý cách định nghĩa toán tử chiếu ở (1.20), (2.2) trở thành
LP)~!J
hữ
Trang 241L((Ø ~ L)"Ju) Ji = enn (Sk) + +(~ LP)” 1L( (Nis = L) Se) Ji (2.3) (Jk) do PJ, = (1— P) J, = 0
Lay trung binh hai vé phuong trinh (2.3), ta thu duge
z- ty — Wi), (he = LP) LI) (0ø—1) 1) = TT + - 09ƒ,_ „1 [Œh) , (EP ne = LP) Mh) et elas Ø0 }} (2.4) Dat (LEJi)(Jk) = (2.5) (LP(-~ LP) `LuJ)(J,) ` = (26) (LPW-~ LP) `LuJ)(J) ` = (2.7) với Lạ và L„ lần lượt là toán tử Liouville tương ting voi Hamiltonian Ho va U, b= Lạ+ Lụ Thay các biểu thức (2.5), (2.6) và (2.7) vào (2.4), ta có (ñø~ 1L) J) = 1 a1 TaICH + Du() + ra()} hø - (Ji) ~ = Gy Du Tuy Cs)
Thay (2.8) vao (2.1), ta thu duge
ou(w) = iim w a0" fi — Cu — Du(@) — Tu)" (Yi) (2.9)
Như vậy, bằng việc sử dụng phép chiếu độc lập trạng thái được định nghĩa ở (1.20), ta đã đưa được biểu thức tenxơ độ dẫn về dạng cụ thể như phương trình (2.9) Chì
ằng các thừa số tán xạ Cịu, Dụ(Ø),
Trang 25T„u() có thể xác định một cách độc lập nhau và độc lập với độ dẫn trong phương trình (2.9) Vì vậy, nếu so sánh biểu thức độ dẫn ở (2.9) với biểu thức tương ứng thu được khi sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái [15], ta thấy rằng biểu thức này đơn giản hơn và thuận tiện
hơn khi thực hiện tính số Đây là ưu điểm của kĩ thuật chiếu độc lập trạng thái so với kĩ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái Bây giờ ta vận dụng kết quả (2.9) để tính độ dẫn quang - từ trong vật liệu bán dẫn mà trị riêng và hàm riêng của toán tử năng lượng được đặc trưng bằng chỉ
số Landau Aj„ và các vectơ sóng Ê như sau
ạ() =(N+ s)he + a 2 — A„eos(E;d), (2.10)
W,,_¢,(7) = |e) = |Na, Ma, kay) = |Na, Ray)[na), (2.11)
trong d6 |Np, kạy), |na) được cho bởi (1.8) và (1.10)
Trong bài toán này, đối với một sóng điện từ phân cực tròn với tần số œ, ta cần tìm thành phần ø,_ (2) của độ dẫn quang - từ Từ (2.9) ta i (Js) o+-() = 5 lm eG =D, _@) Tey (2.12) trong đó [14], [17] I= Ð 2ãuađ5xi8a, (2.13)
Festa = (+ Uj* aq) = —ie[2(Na + 1)hằ,/m]12 (2.14) Với trường hợp các toán tử chiếu là độc lập trạng thái, theo Phụ lục 1,
ta có:
Ø2) =3 )l72i2lÊUä+i — fa), (2.15)
trong d6 fa la ham phan bé Fermi - Dirac cia electron 6 trạng thái |a) fa = {1 + exp [(Ea — Er)/kgT]}"`, (2.16)
Trang 26với Er là năng lượng Fermi, kg là hing sé Boltzmann ở nhiệt độ T và la+1)=|N+ai, (2.17) Các thừa số tần xạ Ở, ,D,_ định như sau Từ (2.5), ta có trong (2.12) được xác
Cy = (LI,)(Iy) 7} = (Lads) (Jy)! + Lode) (2.18) Theo Phụ lục 2 và Phụ lục 5, ta c6 LJ, = hweJy, (LeJy) = 0, nen Cy = hel Js)(Je) = (2.19) Từ (2.6), sử dụng Phu luc 2 va PJ, = 0, ta được D,_() = (LP(hø= LP)"!LuJ.)(J,)"} = _he/(LP(W~ LP) 1J,)(J,) 1 = 0 (2.20) Từ (2.7), ta có: = (P(ha- LP)'L,J,)(J,)"' = Tị.{p[LP(ø — LP)"!L„J,,J_]} (J;)"' (2.20) Sử dụng công thức (P.6) ở Phụ lục 6 Tạ {pd[LPX, J-]} = Tạ {m|LuJ—, X]} — Tr {polLvPX, J]} ,
thay vào (2.21) thu được
Ex(@) = {Tr {o0[LoJ-, (hia — LP) *LyJ]}
— Tr {po|LvP(id — LP) "Lo Jv, J-]}} (Je)
{SH1(2.22) + SH2(2.22)}(J,) 7 (2.22) Xét s6 hang SH2(2.22), ta cb
PLy Jy = (LyIs)I(Ia), (2.23)
Trang 27SH2(2.22) = Tr {polLyP(h — LP) "(Ly Jy) J,(J,)*, JJ} = 0, (2.24) vì theo Phụ lục 5, ta có (1„J,) =0 Thay (2.24) vào (3.22), ta thu được (Je) "Tr {pa{LoJ-, (A — LP)" Ly Js]}, (2.25)
trong đó ta đã giả sử tương tác là kha yéu nén po = pat po © pa-
Thay (2.19) và (2.20) và (2.1), ta thu được biểu thức độ dẫn như sau (Js) BG — we —Ty_-(@)" Như vậy, cho đến đây chúng ta đã sử dụng kĩ thuật chiếu độc lập o.-(w) = (2.26)
trạng thái để khai triển tenxơ độ dẫn thành biểu thức (2.26), với `, _ (Ø)
được gọi là hàm suy giảm [18], xác định theo (2.25) Ở chương tiếp theo,
biểu thức tenxơ độ dẫn và hàm suy giảm sẽ được khai triển tường minh hơn, đồng thời kết quả thu được từ kĩ thuật chiếu độc lập trạng thái được áp dụng vào mô hình siêu mạng bán dẫn thành phần để nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon
2.2 Hàm suy giảm
Hàm suy giảm (2.25) sẽ được khai triển cụ thể hơn bằng cách tính
trung bình thống kê theo toán tử mật độ Từ (2.25) ta có
(J,)T:-(8) = Tr {oa [LoJ-, (hø~ LP) ` 1.2.] } (2.27)
với LP = L(1 — P), ta suy ra
(J) s(@) = Th {04 [LJ (has ~ L) + LP) Leds] }
Trang 28= Tr {ou [bods (ha — Ly Lode} }
+ Tụ {mà [bos (hea — L)" LP (his — LP) LJ} } = Tr {ou [Lot (ha — L)! Lede} } (2.28) trong đó ta đã tính đến P(L„J¿) = („J;)J;(J,)~ = 0, do (LyJy) = 0 Tiếp tục biến đổi (2.28), thay L = Ly + Ly, ta duge
(LEG) = Tr {04 [Lod ((Naa ~ La) ~ Le)" Lod} } = Ta {pa [Lo (Waa Li)" Lod] }
+ Ta {pa [Loo (haa ~ Li)" 12 (haa ~ 1)" 7, |}
~ Tr {oa [Lot (lữ — Lạ)” ‘Lode]}, (2.29) trong đó ta chỉ lấy gần đúng đến số hạng bậc hai của thế tán xạ nên
L2 =0
Sử dụng các hệ thức (P.4), (P.5) đã chứng minh ở Phụ lục 3 và Phụ lục 4
IJ = >0 la) ˆ (bị + ĐÈ) | Csa(9)634,+ — Cast2(4)82)] ,
LuJ, = EEE eta (ba +4) [Crta(afda ~ Caslaaer23]
va Phu luc 7
Trang 29= Taf [ Sra) by + 8,)(Craldaisaes — Cosalaatas), 7 a a Brat - Ẩn s0 se c0s0s.sl} (231) 2+1, (Ca.+i(4)10z„(4)8, + Œy „(—)bÊ„Ìẫas Khai triển (2.31) ta được 16 số hạng sau 16 (J,)T;- (0) = } 2(SHn), (2.32) mI trong đó (SH) = 3) 3` 02214) 75.1 „/CaaCza+a(4)G3,„(4) 48a 02a" x_ Tn{øalb,ajaa+i,bya>aa]}: (H3) = STS 02,ia)2,21xCaaCzaa(#)G2,„(—#) qaqa! x Tn{palb,a3aai,b_„a3az]}; (SHB) = — ST SO Gb a) Isr Carano (1) C4190) qB.a qa!
x Trl palbga}aasr,by a3, ,ae]};
(SH?) = =3} Ð) Obra) Ite Ca Car) Gors1,9(—4)
qB.a qa!
x Tn{øa|b,aŸaa+t,b-ya3,iag]}:
(SH9) = =3” Д (2,12)1/2,1/Cá+t2Cz-x+1(4)G3 (4)
4,8,a qg,8.a*
x Tr{palbyazag, bya} aa)};
Trang 30(SH5) = SO Ð` Œ212))7341„/Cá+tCxø(đ)G2,242(—)
qBad,B al
x_ TR{øab,a}as,b- „a2,.¡az]}-
Các số hạng (SH2), (SH4), (SH6), (SH), (SH10), (SH12), (SH14), (SH16) lần lượt lấy dạng tương ứng với các số hạng (SH1), (SH3), (SH5), (SH7), (SH9), (SH11), (SH13), (SH15), nhưng thay b„ bởi bÈ„
Trong mười sáu số hạng này, có tám số hạng là (SH1), (SH4), (SH5), (SH§), (SH9), (SH12), (SH13), (SH16) cho đóng góp bằng không do tám số hạng này đều có chứa trung bình của các giao hoán tử có dạng [biai, baa¿] = biba|a, a2] + [bị, bạ]asa, hoặc
[bf a1, bs a2] = bị bổ far, aa] + [OY bộ]aam,
ching déu bing 0 vi (bi, b2] = [bf bf] = 0 va (bibs) = (bf bs) = 0
Ta tính các số hạng còn lại bằng cách sử dụng các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy eleetron, phonon và các hệ thức trị trung bình thống kê (Phụ lục 8) Với toán tử sinh hủy electron, ta có:
Tr{paayag} = foba,s+
Tr{paagag} = Tr{pa(las,ag]+ — ag4s)} = (1 — fa)da,s-
Với toán tử sinh hủy phonon, ta có:
Th{øb‡by} = Ngẫyy,
Th{øobybj} = Thứa(y.br] + bịby)} = (1+ Ngẫ„,
trong d6 Ny = (exp(Ro,/g7) — 1]~! là hàm phân bố Planck của phonon có năng lượng lưu Lưu ý rằng phổ của phonon là hàm chãn đối xứng
qua trục tung nén wy = wg va Ny = A-¿ Đồng thời chú ý đến tính
Hermite của thế U dan dén Cy,s(—¢) = ¿2 ;(g) Cuối cùng cong gop
Trang 31(fa ~ fori )P+-@) = 30s) [Ci„s(9 - Chara Oitsa/ibr| q KG = —_— Ma — fa) * Ej + Ey — hay _ (1+ Ny) fa(1 = fa) 19 + Eq + hug Eg + Eq + hug + Lovo [Clo = CharsuMihas/ieera} xLŒ+X)ø2d= #2) — Nafari( = fa)
RO — Eqsi t+ Eg — hwy RO Egy + Eg — hwy
Ngfa(l = fa+1) oT Om” (2:1 ee (1+ Ng) fori = fa)
NG — Eas + Eg + hug poet P| (2.38)
Biểu thức (2.33) là biểu thức tính hàm suy giảm theo các hàm phan bố của electron va phonon Như vậy, dưới tác dụng của điện trường ngoai, electron chuyển mức kèm theo hấp thụ hoặc phát xa phonon
Mỗi số hạng trong (2.33) biểu điễn một quá trình tương tác giữa các hạt và sự dịch chuyển của electron giữa các mức năng lượng Chẳng, hạn như số hạng thứ nhất thể hiện quá trình chuyển đời từ trạng thái la) đến trạng thái trung gian |) kèm theo sự phát xạ một phonon có năng lượng h«„ nhờ hấp thụ một photon có năng lượng ñ¿ Trong số hang nay, (1+ N,) va fa(1— ƒ;) tương ứng là điều kiện phát xạ phonon và điều kiện chuyển đời từ trạng thái |a) đến trạng thái |đ) Các số hạng, còn lại có thể giải thích tương tự Mẫu số ở các số hạng thể hiện năng
lượng được bảo toàn trong các quá trình chuyển đời Cụ thể như sau:
Trang 32thế ở đây ta không quan tâm đến đóng góp của phần thực 4(¿¿) mà chỉ tính toán đóng góp của phần ảo Ø(œ)
Sử dụng đồng nhất thức Dirae [19]
im Œ —is)'=9 () + ind(x), (2.35)
trong đó g(x) va d(x) tuong ting IA gid tri chinh Cauchy va ham delta - Dirac cia x Lan lượt tính các số hạng trong (2.33) rồi lấy phần ảo của
chúng, chẳng hạn như với SH1 (2.33), ta tính như sau
(1+ Ng) fa(1 = fa)
SH38) = ; hp HẠ
= (1+ Ny)fo(1— fa) Jim {(te ~ B+ Eq — heey) ~ tha}!
= (1+ Na)fa(1 ~ fs) lim {o|(Me — Es + Eạ — hay) ']
+ inỗ(R@ — Eạ + Eạ, — hen)} (2.36)
Suy ra
9S[SH1(.33)] = z(1+ A,)/a(1— ƒs)ð(@ — E› + Ea — hwy) (2.37) Các số hạng còn lại trong (2.33) tính tương tự, cuối cùng ta thu được
(fa = fo+1)B(w)
- TẠ Cua, a(9 |C1„.a(4) = } š2(9)/32- 1/2242]
x {IC a + Nu) fo(1 — fa) — Nafa(1 — fa)|6(hw — Eg + Eq — hry) +([Nyfa(1 — fs) — (1+ Ny) fa(1 — fa))6(hw — Bg + Eq + hwy) }
+ xà s00) ow Chia gs(DIu16/Jov1, a
x tú @ +.Nq)fa(1 — fas) — Nafari(1 — fa)]5(hiw — Eaai + Eg — hug) FIN y fa(1 — frst) — (1+ Na) forea(l ~ fs)]6(Rew — Basa + Eg + fxg) }
(2.38) Biểu thức (2.38) là phần ảo của hàm suy giảm của một bán dẫn khối đặt trong điện từ trường ngoài, được tìm ra bằng kỹ thuật chiếu
Trang 33độc lập trạng thái Sự khác biệt của các mô hình được chọn để nghiên
cứu là ở hàm trạng thái và phổ năng lượng của electron O phần tiếp
theo, biểu thức (2.38) được áp dụng để tính toán cho mô hình siêu mạng,
bán dẫn thành phần
2.3 Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ trong
siêu mạng bán dẫn thành phần khi có từ trường
Công suất hấp thụ được xác định theo biểu thức z2 Pw) = ZRle-W)), (2.39) với #ø,_ (ø)} là phần thực của độ dẫn ø¿_ (ø) ở phương trình (2.26) Tit (2.26) va (2.34), ta có i, (ds)
o+-() = 55 dn Sata - Awa Bo
i ø — A0) Hat BE] (ds) ~ A)| + la + B@)]} ‘e w)]? + [a+ Bw)? — lim (J2)[ø + B(4)] họ sy — A()Ì? + [a+ Bw)? "¬ ¿ =œe= A)] + lu = ức — A(@)}P + [a+ BOP (7,)|a + B(2)}
> Re) = Baa AC se BOP (2.40)
Trang 34trong đó (7;) được xác định theo (2.15) Từ đó ta có cà — Bộ &¬ liễnaPŒa — fas1)Bœ) P(w) = Tho we BP (2.43)
Với |j},¡„|? = 2e7(Na + Ihiw,/m”, ta được:
wee? EE Na +1)(fa — fa+1) Bi
POS 2 on u Beye OAD
Nhu vay, để tính công suất hấp thụ trong mô hình siêu mạng bán dẫn thành phần, ta phải tìm biểu thức giải tích tường minh cita B(w) Dé làm được điều này, ta cần tính các yếu tố ma trận tương tác electron -
phonon C,,s(q) trong biểu thức (2.38), sau đó tính tổng theo trạng thái Ø và tổng theo vectơ sóng q của phonon
Caa(q) = Œa(a|exp(i87)|)
= C,(Na, kay; Mal exp (ig?) |N3, kay.13)
Trang 35trong đó ổ¿„„x„„.„„ là kí hiệu Kronecker và “ x“ +20 Ings(Xosete Xs) = f Oy, (e— XoXo
Đối với siêu mạng bán dẫn thành phần thì
Q(na, 3, £42) “fons (z — jd)e*"*®,,,(2 — id), (2.47)
trong đó ®„„(z) được xác định bởi công thức (1.3)
Để cho đơn giản ta thay Ñ„ > Ä,N¿ > N',X + X,X: X',n„ — n,na —> n' Ta có JW(X tp, X9 = [ deByG= X) (0 =X") (8) 12 [ế: - xe = NOON Ny! v2 "¬ [- (S2 _ (#ÿ Lin ea / trong dé Ne = min{ Ny, Nj}, Ns = max{Na, Ng} Mặt khác, từ (2.50) ta suy ra
Trang 362 An’ Crols = IGP (Ly? 2 An? (<4 1⁄2 VN’: t)M fe Nà i) Ko(N,N';t)M(n,n';q2) KA(N,NG1)M (1,03 42) 8b py koy-tay> 22 Can Cis BaCas gigs 9.22 = JPA lới 2 XOkayshoytays VOI Dh sy shay tdy = Shs hayedy Shay shay ay VAM (n,n; 2) = QẦn, nh; g:)Q(n, nh: =4:), trong đó ta đã đặt KI(N,N50) = nw (X, de X')Jw.v(X”, —q», X) (X- X9? + | (XA XP + ar 2r P oe (X= XP + abr] pre [(X =X") + ard < Đrạ NG(N, NT) = Jvaiai(X.4e, Ne +1) Ney, 4 /.I X)Jv x(X”, de, X) Need -¥(8), Có CAN Ny +1) Ny Now [(X ~ X9? + erg/(2ro) (2.49) Vay (ney? f wy 2 = ( Ty ) [avers wai) K,(N,N!—15t) xÄ(n,nh;4:)Šx;„k„„~gy> (2.50) 7 “ J2
€za(4) |Casa(4) — Ca¿t,s+1(8)——~ Java
_ = ( Ty ) [aie (4nC,\? he O- (Gaz) Nr+1\12 mia) "
Trang 37(2.51) Ta dinh nghia céc ham K va K’ nhu sau Ni+1 N+1 42 K(N,Nh1) = KI(N, N1) — ( ) Ks(N, N0), N’ N+1 K'(N,NGt) = K(N+1,NGt) — ( ) Na(N, ÄT S 1:8) 1/2 Sử dụng công thức (N+1)E ta thu được K(N,NGt) = v6i L(t) là đa thức Laguerre: KỆ) —C (n1 (im), Suy ra K(N,N%t) = K'(N,N%1) Thay (2.50) va (2.51) vao (2.38), ta thu dude biéu thite cia B(w): 1 4° PAY, , V2
B@) = Tay} |GIPM(n, m:a,)(N, NT: Đã „„,
x_{IŒ+M)/a(— f;)— Ngƒa(1— fa)]ð(Rø — Eạ + Eạ — hay)
+ [Aua(L= /2) = (1+ ÁM)/2(1 = fa)|ð(l@i — E; + Ea + heu)}
1 4° PAY, , V2
+
That IC)P-M(n, n!; 4) K(N,N't)0 bs, boveey (2.52)
x {1 #Ny) fal = fara) — Ngfasa(l = fs)]6 (Ite — Bayt + Ep — Ny) + [Ny fa(1 = fata) — (1+ Na) fasa(1 = f)]8 (Ite — Basa + Ea + hay) }
Trang 38Sử dụng các công thức chuyển tổng thành tích phân sau
3= Sy = La bs fay [as
Như kay.kaz -3
¬
yo S5 ae fay 7 An? ans = (2.53) °
Xét tương tác giữa electron và phonon quang phân cực, trong đó có
tính đền hiệu ứng chắn Giả sử q° ^ đ) hay gi >> q; đối với dịch chuyển
trong mặt phẳng (x,y), khi đó V(4) ~ V4), eh, 1 1 2 KcuP = Sứ (-x)Ìm ta 20V Xoo (+ 4° hwy ( 1 xì êm gk ~ = 2.54) 20V \xx (+42)? 54)
trong đó: V = 9L; = L„L„L; là thể tích của hệ; ñoy là năng lượng của phonon quang đọc; eo, x+; xo lần lượt là hằng số điện, độ thẩm điện môi cao tần và độ thẩm điện môi tĩnh; q¿ là nghịch đảo độ dài chắn Debye
Giả sử ta xét phonon khối (ba chiều) và không tán sắc (h«„
hwy hằng số) Việc lấy gần đúng như trên cho phép ta lấy tích phân theo ¡ một cách chính xác
Do các biến độc lập nhau nên ta có thể lấy tích phân riêng đối với Nt),
từng biến Tích phân theo dạ; chỉ tồn tại đối với V(q:) và K(A,
Trang 39'Tính tích phân theo kạ Ta c6 kg, chita trong fs va Eg i Do f {le +) fol = 19) Mefslt = fa kas = x6 (hua — Ey + Ey ~ hoy) dk { Uyfa(1 = fa) — (1+ Na) fal = fa) + thh—
xð(hø — E¿ + Eạ + hay) }dko,
Trang 40xð(hø — E¿ + E„ — hey) dy (2.57) Sử dụng tính chất ham delta
với z¡ và n lần lượt là nghiệm và số nghiệm của phương trình ø(z) = 0; g'(x) la phép lay đạo hàm Ở đây ta đặt
(kg) = Acoskgad — [Acos kasd —(N — N’)hwe = (n? =n?) Ep — hw — wy)
Đạo hàm của g(kj-1) theo ky là
g'(kaz1) = —Adsin kg.id