Mục tiêu của đề tài Khảo sát các tính chất phi cổ điển của photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu ở trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon khảo sát các tính chất phi cổ điển của hệ tương tác nguyên tác nguyên tử ba mức, hai photon ở trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon.
Trang 1BO GIAO DUC VA DAO TAO DAI HOC HUB
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN VIET MINH TRI
KHAO SAT CAC TINH CHAT PHI C6 DIEN CUA PHOTON TRONG HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA
MUC VGI HAI PHOTON BAN DAU Ở TRẠNG THÁI
Trang 2LOI CAM DOAN
Toi xin cam đoan đây là cơng trình nghiền cứu của riêng tơi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được cơng bĩ trong bắt kỳ một cơng trình nghiên cứu nào khác
Huế, năm 2016
“Tác giả luận van
Trang 3LOI CAM GN
Toi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS Võ ‘Tinh da tan tình giảng dạy hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tối trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn
“Thầy, Cơ giáo trong khoa Vật
Sau đại học và các Thầy giáo của Đại Học Huế đã tận tình giảng dạy và giúp ‘Toi xin cảm ơn q
phịng Dào tạo đỡ tối trong quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình Cảm ơn các anh (chỉ) học viên Cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý tốn khĩa 23 Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, cùng bạn bè đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn
Huế, năm 2016 “Tác giả luận văn
Trang 4MUC LUC
‘Trang phu bia
Lời cam đoan Lời cảm ơn
Mụ lụ
Danh mục các kí hiệu tốn học
MỠ DẦU eee kh nha NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIEN THUC TONG QUAN 11 12 13 Trang thái Fock “Trạng thái kết hợp 12.1 Dinh nghĩa 122 Các tính chất của trạng thái kết hợp “Trạng thái kết hợp them photon 13.1 Dinh nghĩa
13.2 Cée tính chất của trạng thái kết hợp them photon CHƯƠNG 2: HAMILTONIAN TƯƠNG TÁC CỦA HỆ
21 22
"TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA MỨC CẤU HÌNH V VGI HAI PHOTON
Trang 5CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT TÍNH THONG KE SUB-POISSON,
TINH CHAT NEN 38
3.1 Khái niệm thống kê Sub-Poisson a 33 3.2 Diéu kiện tồn tại tính chất Sub-Poisson bậc một 3
Trang 6DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TỐN HỌC VÀ CÁC TỪ VIẾT TAT Kỹ hiệu aa! van Tên gọi
“Tuần tử hủy, sinh và tốn tử số hạt boson của trường điện từ “Tuần tử hủy, sinh hat fermion
“Trung bình số hạt và tần số gĩc “Tuần tử dịch chu!
“Tuần tử hủ
Tin s6 gĩc của mode cĩ tần số tổng ở ngõ ra Số phức đặc trưng cho mode cĩ tần số tổng ês số phức đặc trưng cho trạng thái kết hợp số phức đặc trưng cho trạng thái nĩn kết hợp số phức đặc trưng cho trạng thái kết hợp phi tuyến Biên độ của mode cĩ tần số tổng
Biên độ của mode ở trạng thái kết hợp Biên do cia mode ở trạng thái nén kết hợp
Biên độ của trang thái kết hợp phi tuyến chẵn hoặc lẻ Biên độ nén trong trạng thái nén kết hợp
tham số nền
Pha của mode cĩ tần số tổng,
Pha kết hợp trong trạng thái nén kết hợp Pha của mode ở trạng thái kết hop Pha của mode ở trạng thái nén kết hợp Pha của trang thai kết hợp phi tuyến chẵn Luỹ thừa bậc cao k
Trang 7Danh sách hình vẽ 11 12 23 3 32 33 34 38 39 3.10
Dé thị của hàm 8, khảo sát theo |a|
(a) Số photon trung bình (n) là hàm của |a|* và (b) tham số Mandel q là hàm của |a| uới m = 0, 1,5,20
Hệ tương tác cấu hình V nguyên tử ba mức hai photon Tình 3.1 ta dé hi ham P> khảo sát theo t
Hình 3.9 là da thi ham Pp khảo sát theo t
Hinh 3.3 là đồ thi hàm P khảo sát theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp 7a
Hinh 3.4 là đồ thi hàm P, khảo sát theo biên độ kết hợp của trang thái kết hợp thêm photon rì
Hình 3.5 là đồ thị hàm Py khảo sát theo 1
Hinh 3.6 là đồ thị hàm P, khảo sát theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp them photon ry
Hinh 3.7 la đồ thi hàm P, khảo sát theo biên độ kết hợp của trang thái kết hợp rạ
Hình 3.7 là đồ thi hàm P; khảo sát theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp rạ
Hinh 3.9 là đồ thị hàm Sị khảo sát theo t
Trang 8311 312 318 314 315 3.16 3/17 3.18 3.19
Hình 3.11 là đồ thị hàm S\ khảo sát theo biên độ kết hợp của trạng thái kết hop theo photon mr
Hinh 3.12 la dé thi ham Sy khảo sát theo Hình 3.13 là đồ thị hàm S; khảo sát theo biên t
Hinh 3.14 la dé thị hàm S; khảo sát theo L
Hinh 3.15 la dé thị hàm S, khảo sát theo L
Hành 3.16 là đồ thị him S, khảo sát thco biên độ kết hợp của trạng thái kết hợp rạ
Hinh 3.17 la dé thị hàm S; khảo sát theo 1
Trang 9MO DAU 1 Lý do chọn đề tài Ngày khoa học luơn cĩ sự quan tâm đặc biệt đến việc tìm cách giảm đến tối đa nay, trong lĩnh vực cơng nghệ thơng tìn quang học, các nhà các tạp âm hay các thăng giáng lượng tử trong quá trình truyền thơng tin
Bởi vì chính các thăng giáng này làm cho tín hiệu bị nhiễu, giảm độ chính xác đồng thời kèm theo giảm cả tốc độ truyền thong tin Ta biết rằng, thơng, tin khi truyền di cần cĩ độ chính xác cao và tính chất của nĩ cũng vậy Dé giải quyết vấn đề này các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm đã tiếp cận với giới hạn lượng tử
nẫn và ngày càng tiền xa hơn để tìm ra các trang, thái vật lý mới mà ở đĩ các thăng giáng lượng tử được hạn chế đến mức tối da và sau đĩ ứng dụng vào thực nghiệm để e
tạo các dụng cụ quang học
đảm bảo tính lọc lựa và độ chính xác cao
Do đĩ việc nghiên cứu tính chất của các trạng thái phi cổ điển và ứng, dụng vào thực tế cuộc sống trở thành một nhu cầu cấp thiết Việc nghiền cứu các trang thái phi cổ điển cĩ ý nghĩa rất quan trọng trong việc tăng độ chính xác của phép đo
Các trạng thái phi cổ điển này xuất phát điểm từ trạng thái kết hợp Nam 1963, Glauber và Sudarshan da dita ra khái niệm trạng thái kết hợp khi nghiên ct
điển khác ra đời Dây là trang thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bit dinh Heisenberg và là trang thai cổ điển Tuy nhiề
thái này cĩ các biên độ trực giao trường boson ứng với giá trị nhỏ nh ra từ hệ thức bất định Nĩi cách khác, nĩ chính là trạng thái ranh giới giữa cổ điển và phi cổ điển, cĩ thể được xem là khởi điểm cho việc xem xét khảo, u tinh chất của chùm sáng laser, đặt nền mĩng cho các thái phí cổ
, trạng,
suy
sát các trạng thái phi cổ điển sau này
'Các trạng thái nén khơng chỉ cĩ ý nghĩa trong quang lượng tử mà cịn được áp dụng trong các lĩnh vực khác của vật lý lý thuyết trường lượng tử,
lý chất rắn, vật lý hạt nhân Các trạng thái phi cổ điển của ánh sáng
Trang 10là quan trọng cĩ tính cơ sở trong quang lượng tử Các tính chất của những, trạng thái này đều do bản chất lượng tử của trường điện từ Khi trạng thái kết hợp phi tuyến ra đời thì kéo theo sự xuất hiện của trang thái kết hợp phi tuyến chin va Ié, Trang thái này thể hiện các tính chất phi cổ điển rõ hơn do d6 sẽ cĩ khả năng ứng dụng cao hơn Vì vậy nghiên cứu trạng thái này sẽ cĩ một tầm quan trọng nhất định
Năm 1985 trạng thái nén bậc cao được đưa ra bởi C Hong và L.Mandel [17] Nam 1987 mot loai nén đơn mode bậc cao khác được Hillrey đưa ra và chính ơng cũng đưa ra trạng thái nén bậc cao da mode và vào năm 1939 khi khảo sát hai trạng thái nén tổng và nén hiện đơn giản cho hai mode{15) Sau đĩ, Kumar va Gupta nang trường hợp khảo sát lên ba mode|2()
Nghiên cứu về tính chất chất phi cổ điển đặc biệt là tính chá
photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức cũng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Năm 1934 H-l YOO và Eberly đã đưa ra các lý thuyết về nguyên tử hai hoặc ba mức tương tác(14] Năm 1987 Obada đã nghiên cứu diễn biến thời gian cho hộ tương tác nguy
1990 Mahran đã nghiên cứu về tính chấy nén của hệ nguyên tử ba mức hai photon, với hai photon ban đầu ở trang thái kết hợp|9]
" tử ba mức hai photon[10|.Năm
Tiên cạnh tính chất nén các đại lượng vật lý, tính chất phi cổ điển cịn thể hiện nổi bặc ở tính chất Sub-Poisson, tính chất Anti-bunching và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Việc tìm hiểu nghiên cứu các tính chất phí cổ điển của trang thái hứa hẹn rất nhiều trong việc tìm ra con đường để cĩ thể áp dụng vào cuộc sống thực tế, phục vụ đắc lực cho các ngành cơng nghệ mới như lĩnh vực truyền thơng, máy tính lượng tử Việc tìm hiểu liển đĩng vai trị quan trong,
nghiên cứu các tính chất của trạng thái phi
Trang 112 Mục tiêu đề tài
Khảo sát các tính chất phi cổ điển của hệ tương tác nguyên tử ba mức, hai photon ở trạng thái kết hợp và kết hop them photon
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu cơ sở chung về hệ trương tác ba mức hai photon
- Tim hiểu các kiến thức tổng quan phục vụ cho việc khảo sát của luận văn
~ Khảo sát tính chất nén, thống kê Sub-Poisson của photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu ở trạng thá
két hop them photon
5 Phương pháp nghiên cứu
~ Phân tích tổng hợp các kiến thức liên quan
~ Lý thuyết lượng tử hĩa lần thứ hai của trường điện từ - Lý thuyết về phương pháp gần đúng sĩng quay
~ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết h àn tồn lượng tử của hệ tương,
tác nguyên tử ba mức, hai photon
~ Phương pháp tính trị trung bình của ma trận mật độ
~ Phương pháp tính số với phần mềm Mathematica để tính tốn và vẽ
đồ thị
6 Giới hạn nghiên cứu
Do giới hạn về thời gian nên đề tài này chỉ khảo sát tính chất nén, tính chất thống kê Sub-Poison của hai photon trong hệ tương tác ngu) Đa mức cầu hình V (ở điều kiện cộng hưởng) với hai photon ban đầu ở trang thái kết hợp và kết hợp thêm photon
Trang 127 Bố cục luận văn Ngồi mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phẩn chính Phần mở đầu: nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, phạm vi ngh tài nh bày lý do chọn đề tài, lịch sử vấn đề, mục tiêu, ứu và ‘ye cia
Phần nội dung: gồm 3 chương
Chương 1 Một số kiến thức tổng quan như: trạng thái Fock, trang thái kết hợp, trang thái nén và trang thai kết hợp thém photon
Trang 13NOI DUNG Chuong 1 _
MỘT SỐ KIÊN THUC TONG QUAN
Chuang nay sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở ề trạng thái Fock, trạng thái kết hợp, trạng thái kết hợp them photon
1.1 Trạng thai Fock
“Trong mục này trước tiên chúng ta giới hạn chỉ khảo sát đơn mode của trường với tần số ư theo thứ tự cĩ tốn tử sinh và tốn tử hủy ây và âL tương ứng Gọi | n) là trạng thái năng lượng riêng tương ứng với giá trì năng lượng rieng E,, nghia la (7
Hn) = ha 5) |n Ey |n) (1)
Nếu chúng ta tác dụng tốn tử @ tit ben trái, sau khi sử dụng mối quan hệ tương ứng [ä,Ï] = 1 và một số biến đổi, ta thu được: Ha | n) = (By — hv)a| n) (1.2) H|n-1) = By |n-1): a, |n—1) Vay trang thai: - x n) (13) cũng là một trạng thái riêng nhưng với trị riêng giảm Fy = Ey hy q4) “Trong phương trình (1.3), a„ là lượng khơng đổi định nghĩa từ điều kiện chuẩn hĩa: 1 (5)
"Nếu lập lai kết quả này n lần tức là dịch chuyển xuống thang năng lượng từng bậc hư cho đến khi ta nhận được :
Ha | 0) = (Eụ — hv)a | 0) (1.6)
(@n—1|n=1
Trang 146 day Ey lA trang théi năng lượng nền (cơ bản = năng lượng thấp nhất) thì theo d6 (Ey —fiv) tuong ứng một giá trị năng lượng nhỏ hơn Eụ Vì ta khong thừa nhận những năng lượng nhỏ hơn Ey cho dao động tử, ta kết luận:
0 (17)
Trang 15“Ta cĩ thể tiến hành tương tự với tốn tit a:
g 1
4 | n) = hu(aat — 5) | n) = By |n) "Nếu chúng ta tác dụng tốn tử aŸ từ bên trái, sau khi
Trang 16Lap lại việc sử dụng phương trình này Với n = 0 thì n=n Hay ta cĩ (115) Điều này rất hữu ích khi dùng đi
lải thích những giá trị năng lượng sự hiện điện của m lượng tử hoặc photon cĩ
riêng (1.10) ứng với tăng lượng
hy Trang thai riêng | n) được gọi là trạng thái Fock hay trang thái số photon Chúng tạo thành một tập hợp đủ các trạng thái, nghĩa là:
(116)
'Và do đĩ cĩ thể khai triển bất kỳ một vectơ trang thái nào trong hệ
vectơ cơ sở này
1.2 Trạng thái kết hợp 1.2.1 Định nghĩa
‘Trang thai kết hợp |a) được định nghĩa là trạng thái riêng của tốn tử hủy boson â, nghĩa là
Trang 17trong đĩ œ là một số phức bất kì trong khơng gian phức Khi khai triển thơng qua các trạng thái Fock |n) thì trạng thái kết hgp Ja) được biểu diễn dưới dạng
la) = » Gn|n) (118)
=
‘Thay (1.17) vào (1.18) ta được biểu thức của trạng thái kết hợp biểu diễn theo hộ cơ sở của các trạng thái Fock in) (119) > vn với Cụ là hệ số chuẩn hĩa 1.2.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp
Trang thái kết hợp của hạt boson cĩ một số tính chất sau:
Tinh chất 1: Các trạng thái kết hợp đã được chuẩn hĩa, nghĩa là
(ala) = (1.20)
“Từ biểu thức (1.20) ta tìm được hệ số chuẩn hĩa Cụ của trạng thái kết hợp
la) là
G=sp (T3 ) (21)
Trang 18xa 1 -xsenl| wen -Hor aero a la + w?)| =ep (tt "` — vo?) 50) (29 Nếu a Z 6 thi eo ( =o (la Z 0, nghĩa là các trạng thái kết hợp,
khơng trực giao với nhau
« Nếu |a — đ| > 1 thi exp (ca - 2) = 0, nghĩa là các trạng thái kết hợp gần trực giao với nhau
'Vây các trạng thái kết hợp khơng trực giao với nhau, chúng được xem là gần trực giao khi |a — đ| >> 1
“Tính chất 3: Tập hợp tit cả các trạng thái kết hợp tạo thành một hệ quá đủ, nghĩa là phân giải đơn vị thỏa mãn
la)(al#a
(1.25)
Trang 19
® Phương sai của phép đo số hạt boson ở trạng thái kết hợp |œ) là ((A2)?) = (ali = (ala = laP(la? +1) =lal (12)
‘Tit (1.26) và (1.27) ta thấy số hạt trung bình và phương sai của tốn tử số hạt trong trạng thái kết hợp |a) bing nhau, nghĩa là (n) = ((An)?)
Trang 20(alla) + ven (lala) + + si la) ata") 1 (a We (2) = Hola +aljia+a')ja) 1 2 = lala? + aa +-ala + a0) Lions 1 gia la) + g(ala'a) + g(a|1+ 2ã'a|a) (a? + a2 + 1+ 9a|?) ãÌâ + â*®|a)
Trang 21Phuong sai của tốn tử Ø trong trang thái kết hợp |a) là ((Ap)?) = œÈ) — (p)° —a2 — "2 + 1+ |a|?) + do ~a") 1 ; 1 3 Suy ra
Đây là tính chất quan trọng nhất của trạng thái kết hợp, nĩ gợi cho ta nghĩ đến khả năng tồn tại của trang thái cĩ đĩ bắt định nhỏ hơn giới han lượng tử chuẩn, những trạng thái này khác hồn tồn so với trang thai cổ điển, vì vậy nếu cĩ chúng cĩ thé sẽ là một lớp các trạng thái phi cổ điển Vì
lo này mà cĩ thể xem trang thái kết hợp là ranh giới giữa hai lớp trang thái cổ điển và phi cổ điền
Trang 22Th da thite Laguerre bac m theo 2 x)"(m En) = Gaya (1.39) Ta da thite Laguerre bac m theo z tham số È Vi vay, ta cĩ thể viết Mla) lam) = eae (1.40)
Trạng thái |a,m) được biểu diễn dưới trạng thái Fodk là
lam) (iL, (Tay)? =-CPClẻÊ/2) 5 VẤn al in) (141)
Ngồi ra, trang thái kết hợp thêm photon với m âm cũng đã được [23] và cĩ dạng (biển diễn theo trạng thái Fock),
t 7 (1.42)
với N la he s6 chuẩn hĩa cũa trang thái |a, —m)
Trang 23©) Tính chất nĩn “Tốn tử tọa độ của trường, _ â crp(i6) + ãerp(~iĩ) > (145) Giá trị trung bình của z ở trạng thai Ja, m) " (x) = la| eos(0 + ®TTCIaD) (1.46) với on y*¢ Ki —z)"(m + Em(e) = x Tonnies yt (0) ° coy Ca" thea)" 2=(s)=256)= i Tamm) (48)
Ja da thite Laguerre bac m theo x tham s6 k
Phuong sai tọa độ z cĩ thể khai triển dưới dạng đa thức Laguerre
(Az}) = @)—@)* 1Ã (-laP)t„(-| lalf)P}3lal?eos[a(0 + ) = Da _ AEA (lal Pla + [oat —laP Ti7„(-InP)P L„(~lal?) 1iE„(-|alĐƑ us) “Từ hệ thức bắt định đối với tốn tử tọa độ và xung lượng (Anan) > gi (1.50)
trạng thái |a, m) là nén nếu cĩ ((Az)) hose ((Ap)*) < 3 Kết quả khảo sát hàm 8; = 4(Az) ở hình 1.1 cho thấy
~ Với m = 0, ứng với trạng thái kết hợp cĩ đ bắt định tối thiểu
Trang 24@
Trang 25
Sử dụng (aay? (a,mlã"â*"|a,m) (43a!) — 3(ãâ!) + 1, (154) (n+m)W„2„( › (155) ta được |ứm + 2)Lus(—|al?) — L„.a(—la|)lêm + 1)1„(—lal?) Tạ(T—Ial[0m + TJEsai(—IaD) — Tạ Ia|2)] [ứm + 1)„:+(—|al?)J la|2)[0m + 1)L„-+(—|a|?) = L„(—| (156) “a0 P)) Hinh 1.2(a) cho thầy, số photon trung bình tăng theo | @ nm
tình 1.2 (a) $6 photon trung lành (n) là hàm của |a|* va (b) tham số Mandelq là hàm của la wi m =0,1,5,20 (Cie tham số được chọn để khảo sát theo thứ tự tăng dền tương ứng
tới mau den, mau đỏ, màu zanh tà màu tim)
Hinh 1.2(b) cho thấy:
‘Voi m =0 thi q = 0, là thống kê Poisson (ứng với trang thái kết hợp) Với m > Ú thì q < 0, là thống kê sub-Poisson (ứng với trạng thái kết hgp them photon),
Như vậy, trong chương này chúng tơi đã trình bày một cách tổng quan về trạng thái Fock trang thái kết hợp, trang thái kết hợp them photon Đĩ là những kiến thức cơ sở làm tiền đề cho việc nghiên cứu và tính tốn các biểu thức trị trung bình của các tốn tử biểu diễn các photon đơn mode sẽ được trình bình bày ở chương 2 và 3
Trang 26Chương 2
HAMILTONIAN TUGNG TAC CUA HE TUGNG TAC NGUYEN TU
BA MUC CAU HINH V VOI HAI PHOTON Chương nay xay ding Hamiltonian của hệ tương tác nguyên tử ba mite cấu hành V uới hai pholon bằng phương pháp sử dụng hệ vectd 0d sở của các tốn tử Spin-1 tà phương pháp tốn tử mật độ để tính trị trưng bình của các đại lượng trong tiệc khảo sát tính chất phân bồ thơng kê Sub - Poisson và tính chất nén biên độ trực giao của các pholon tương tác của hệ
2.1 Xây dựng Hamiltonian của hệ tương tác nguyên tử ba mức cầu hình V với hai photon
Trang 27
“Trong đĩ tốn tử â là
hat fermion áp dụng cho các hat boson, va by Ia áp dụng cho các Dinh nghia w; (wi > w» > 6e ) và Q, là năng lượng của các mức và của các photon, À, là các hằng số kết hợp
Trang 30+ Byte (2 +B.) + (2+ Pa]
Khi sự dịch chuyển từ mức 1 về mức 2 là khong xảy ra ( nghia IA Ay = 0)
Trang 312.2 Thiết lập ma trận mật độ của hệ tương tác và tìm biểu thức trung bình của các tốn tử cần khảo sát
2.2.1 Thiết lập ma trận mật độ của hệ tương tác
“Trong trường hợp ta khơng cĩ đủ thơng tin để xác định vectơ trang thái của hệ mà chỉ biết xác suất P, để
được mơ tả bởi ma trận mật độ 2: ệ tồn tại ở trạng thái chuẩn hố |,) thì hệ
ø=%P.lo (Wal
U(t) là tốn tử Unita phụ thuộc thời gian được xác định bởi cơng thức: O(t) = exp(—iHt) = exp(—i, Nyt) exp(—i,Not) exp(—iCt) “Thay vào ta thu được : () = exp (tit) “"¬~ ` 0 0 x 0 — 0 0 0 —-
c#ˆt + AyâyởA¡â} AyâyỞAsâ} Ardy (—isinjit/ji) x MaGrat chết + AsâsŒAsá$} — Ande (—isingit/ji)
Trang 32Xét trường hợp À = 0 ta cĩ:
arya sianye 6 fhe int 0 0 đ
0 0 —
1+ AjfjởÀiá} AiliỞAgâ} — Ajâj(—isinft/đ) x] AsázớAä} 1+ AsâyØAsâ} - Asâa(—isinơt/đ)
(-isingit/ji) na} (—isingt/ja) doa, cos jit
Voi G = cosfit—1; j2 = ð = A?đy +Ajđ¿ Từ biểu thức trên ta gọi ma trận
thứ nhất là X, và ma trận thứ hai là Y thà ta cĩ dạng tổng quát như sau:
Un Un Us| | XuYn XuVia XuYia ) =| Un Ủ» Ủa | =| XeYn Xu XusYi Ua Ủa Un| | Xufn Xafn XeXn
“Tốn tử Ở!(#) cĩ thể thu được bằng cách lấy liên hợp Hermitian của (0) - DỊ Uặi UẢ | | (XuYn)' (XaYn)' (Xefn)'
OW =| UL Ub Ub|=| (XuYie)! (Xn¥n)' (Xas¥n)! Uls Ub Us| | (XuYia)l (XeWma)Ï (XaYia)' ‘Ma tran mat do f(t) được xác định bởi cơng thức: ()2(0)01() “Trong đĩ: = pal0) ® pr(0) lểm £ =
2A(0) là ma trận mật độ theo nguyên tử tại th „ và ðr(0) là ma trận mật độ theo trường tại thời
Trang 33
“Theo đĩ ơr(0) 0r() Đối với trường hợp này ơa(0) được xác định bởi ) (an, 1| (aa| 27(0) =ơz(0) ®3(J‡ Je) 00 0 | “Thay giá trị J vao ta thu được: ð"(0) =|0 0 0 00 2z(0) |
“Thay vào biển thức p(t) ta thu được:
- - Đupr(0)U}, Dapr(0)0), Uiapz(0)U%, =0@)2(0)!) = | Uzpz(0)0], U»pz(0)U}, Usøz(0)U},
Uạypr(0)U], Uạp(0)0), Uwøz(0)U%,
Vi fp(t) = Traơ(t)
'Từ đĩ ta đưa ra được ma trận mật độ ơr(/)
belt) ~ (soz) exp (-2ou?— Bhan?) x Í Š È =SaP" Tra
Trang 34
'Từ đĩ đưa ra giá trị trung bình của (ø„s}“ bằng cách sử dụng cơng thị
(96) =Tr20)Ơ0)
Van dung dé tính trị trung bình của øio;Øn;Øa;Øa:4 đối voi photon 1 ban đầu ở trạng thái kết hợp thêm 1 photon ta thu được kết quả như sau: [Xem Phu Lue]
of) = (hp) so( sa For dion?) « {3 5 ae
"¬ — na
tan(nt 1)*.cos'tVE] }
at = (hp) exp (~2laul? —2Iaal’) {5 5 ate Tar hàm x [iaita +2)9 29/4 + Ajaj(n + 1) +(n + 1)*«o2rv]} +) exp (~2iu!?—2)ou2) x ÍŠ eee x [imn + 1(n 4 2 + AjSn(n — 1)(n + 19222 +;h(n — 1)n(n + 1*esw/f|} of} = (sip) exw (—2lan}? = 2Ia2)*) x {Š = x [đen + ĐỀ n +2)92220 + Mon(n + a) sy +n(n + 1) Vata cos VE] }
Trang 35Trong đĩ: (n+ 2) + Xm: in +1) +3(m +1) Xi(m+1) + Am:
“Tương tự ta thu được trị trung bình của øio;ơi;ơa; 022; ơi đối với photon 2 ban dau ở trang thai kết hợp cĩ kết quả như sau:[Xem Phụ Lục}
off) = (sch) exp (—2laul?~ 2a”) x {55 sce"
x [Ain +2) att + Magli + (n+ 1 ee th(m+ int vcosttvE] } of) = (hp) ex (-2iaul? = 2Iaal’) { SS x [in +ð)°(m mae + Ngm(m + (n+) +A (m — 1m(n + 1*⁄«osevE|} rtp) ‘er (2h? =2.0") x ÍŠ Š =Sa=
x [Mad(n +2)!m/ Ga Tim EEE + Aas + 1)%(m +2)
min + 1) AE + (n+ 1)’m/Gn— ont T.cos*VC] }
Trang 36Chương 3
KHAO SAT TINH THONG KE SUB-POISSON, TINH CHAT NEN Chương nàu khảo sát điều kiện tồn tại tính théng kê Sub-Poisson tà tính chất nén của hai pholon tương tác ở thời điểm t > 0 3.1 Khái niệm thống kê Sub-Poisson
'Từ phương trình théng ke Sub-Poisson, khái niệm thống kê Sub-Pt (đ —1) (â —m+1)) = äÌâ), tham số P„ được định nghĩa: [5] ana) Giá” được giới thiệu bằng cách sử dụng (8) = (âtâm), với 0 Đụ với m là số nguyên đương « Đối với tắt cả các giá trì của m < 2, Pị, = 0 dẫn đến phân bố Poison
«@ Với m = 2, Tham s6 Pn <0 chỉ tính thống kê sub-Poisson bậc một
3.2 Diều kiện tồn tai tinh chat Sub-Poisson bac một
Ta sé khảo sát sự tồn tại tính chất tính chất Sub-Poisson b
cia hai photon ở thời điểm £ > 0 với ban đầu photon 1 ở trạng thái kết hợp © mot thêm mot photon va photon 2 ở trang thái kết hợp
Trang 373.2.1 Khảo sát photon 1 ban đầu ở trạng thái kết hợp thêm một photon
Đối với photon 1 ban đầu ở trang thái kết hợp them mot photon ta cĩ:
rip) ‘ex0 (-2hou? 2h") x {È Š 1 io ich na
x [aitn +2)922282 + xaậtn + 12587 (n+ 1).c08%*VE] }
ep(Cslm#=aiäf) x {Š È =Sa hin
x [Man +1) (n + 2) + Ajajn(n + 1)
+n(n+1)2Vnm +1): costtVC] }
Với:
A=AŸ(n +9) + Am; B = AŸ(n + 1) + Ậ(m + 1); Ở = AŸ(n + 1) + Am: Bãy giờ ta khảo sát bằng đồ thị sự tồn tai tính c sat sate thời điểm £ > 0 oe “Ta khảo sát hàm P: = 02
“Trong đĩ a¿ = rụ xe: với k = 1,2 “Ta khảo sát sự tồn tại tính chất Sub-Poi rz nen ta chon @ = 0 trong quá trình khảo sát
uN AÍ TƠ Oe
PV
Hình 31: Hình 3.fa là đổ thị hàm P, khảo sát theo t, khi Ay = 0.15%
Trang 38Kết quả khảo sát đồ thị của ; cho ta thấy tính chất sub-Poisson của photon thể hiện phụ thuộc vào các bộ tham số À¡;Às;r;rạ¡f,;Øạ; và phụ thuộc vào thời gian t Với Hình 3.1a tại thời điểm t = 0 giá trị hàm Ø; < 0 thể hiện tính Sub-Poisson bậc một ngay từ đầu và thể hiện rõ ràng hơn t thời điểm lân cận ¿ = 33 và f = 33 với giá trị P; = ~0⁄34 và f› = ~0.28 Với Hình 3.1b tại thời điểm £ = 0 giá trị ham P; < 0 tinh Sub-Poisson bậc một thể hiện ngay từ đầu nhưng thể hiện rõ ràng hơn khi £ = 32 hay £ = 62 với giá trị Py gin bing —0.54 và ~0.48 Từ hai đồ thị cho ta thấy với cùng một bộ tham số thích hợp khi tăng gid tri rs thì tính chất sub-Poisson thể hiện rõ ràng hơn TẦ CA QA Hinh 3.2: Hink 3 là đồ thị hàm Py Kho sét theo t , bhi 2s 0.4; 0; = 0:02 = 0:
Kết quả khảo sát đồ thị của P; ở Hình 3.2 cho ta thấy tính chất Sub- Poisson được thể hiện rõ theo các tham số rị,ra,Øi,; với các bộ tham số inh chất sub-Poisson thể hiện rõ nhất khi ry đạt giá trị 0.3 đến rạ dat giá trị 0.4 lúc này tính Sub-Poisson được thể hiện vào những khoảng, thời gian khác nhau như lan cận giá trị £ = 0,£ = 33, hay t = 62
tương ứng, và
Trang 39
Hình 34: Hình 3.36 là đồ thị hàm P¿ khảo sát theo biên độ kết hợp của trang thái kết hợp ra, Bhi Ny = 0L1;À; = 09c, = 0; = 85,6, = 0:8, = 0y Hình 3.36 la đổ thị của hàm P, “Khảo sát theo biên độ kết hợp của trang thất kết hợp rz khi My = OA; Xe = 02: = 06/1 = 36:0, = 0,0 = 0;
Trang 40
Poisson thể hiện rõ theo các tham $6 ry,72, 61,42 với các bộ tham số tương ứng, và tính chất sub-Poisson tại một thời điểm cụ thể ứ = 35 thể hiện rõ sự phụ thuốc vào giá trị rị, tính chất Sub-Poisson thể hiện rõ khi ry dat giá trị nhỏ hơn 0.4 và khi rị nhận các giá trị lớn hơn1.28 Khi r; cĩ giá trị vượt quá 1.28 thi tinh chất Sub-Poisson thể hiện rõ rệt, giá trị của hàm f2 giảm đột ngột và giảm sâu 3.2.2 Khảo sát photon 2 ban đầu ở trạng thái kết hợp 2) on Đối với photon 2 ban đầu ở trạng thái kết hợp ta cĩ: 2 ` ie te
(FAR) exp (-2lanl? = 2Iaa/) x {= soe orn
x [x jaj(n + 9) m.S82/Ã + A$a3(n + 1)2(m41) aE +ín + DŸm«ostVC|}
of = (ap) ew (CzlaẺ - 2laa) x {Esse