Mục tiêu cảu đề tài Nghiên cứu các tính chất nén và phân kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ là nghiên cứu các tính chất nén, cụ thể là nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode và nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ.
Trang 1DAI HOC HUE
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN THI HUYEN TRANG
NGHIEN CUU CAC TINH CHAT NEN VA PHAN
KET CHUM BAC CAO CUA TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM MOT PHOTON LE
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TỐN Mã số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO DINH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRƯƠNG MINH DUC
Trang 2LOI CAM DOAN
Toi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được cơng bố trong bắt
kỳ một cơng trình nghiên cứu nào khác
Huế, tháng 9 năm 2016 Tác giả luận văn
Trang 3LOI CAM GN
Toi xin bầu tỏ lịng biết ơn chân thành nhất đến thầu giáo PGS.TS Trương Minh Đức dã luơn quan tâm giúp đồ tơi rắt nhiều, tan tình hướng dẫn tơi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tà hồn thành Luan wan
Toi zin chân thành gỏi cảm ơn đến Quý Thầy Cơ giáo trong khoa Vat Lý, phịng Dào tạo Sau đại học uà Thư oiện Trường Dại học Sư phạm, Dại học Huế đã luơn tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi học tập trong quá trình học Cao học
Bên cạnh đĩ, khơng thể kể đến sự giúp đỡ, động uiên của các bạn,
các anh chị Cao học uiên khĩa 93 cùng gia đình chính là nguồn động lực tất lân giúp tơi cĩ thể hồn thành Luận ăn một cách tốt nhất Mt làn nữa, tơi zin chân thành cám ơn những tình cảm, sự quan tam vd cong sức của Quý thay cơ, gia đành tà bạn bè đã giúp tơi cĩ điều kiện tắt nhất
để hồn thành Luận uăn
Huế, tháng 9 năm 2016 “Tác giả luận văn
Trang 4MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh sách các hình vẽ MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT 11 12 13 Chương 2 KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA 34 Trạng thái kết hợp 1.11 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp Trang thai nén Một số tính chất phi cổ điển
1.3.1, Nền tổng và nén hiệu hai mode
1.3.2 Tính chất nén Hillery bac cao 1.3.3 Tính phản kết chùm TRANG THAI HAI MODE SU(1.1) THÊM MỘT PHOTON LẺ ‘Trang thái hai mode SU(1,1) thêm n photon lễ
Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode SU(1,1) them mot photon lễ
Kh nh chất nền hiệu c
0 sắt, a trang théi hi
SU(1,1) thêm một photon lẻ
Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao
Trang 5Chuong 3 KHAO SAT TINH CHAT PHAN KET CHUM
CUA TRANG THAI HAI MODE SU(1,1) THEM
MOT PHOTON LE
Trang 621 2.2 2.3 24 25 31 42 33
DANH SACH CAC HINH VE
Sự phụ thuộc của $ vào r với q=1, 9, 3 và+ = /2 (Đường, biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)
Đồ thị khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái hai mode SU(11) thêm một photon lẻ (đường màu đỏ) và trạng thái hai mode SU(1,1) lẻ (đường màu xanh lam) với q= 2 và 4= /2
Sư phụ thuộc của D vào r với q=1, 9, 3 và = /2 (Dường,
diễn các tham số theo thứ tự tương ứng, là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục) 2, (Đường biểu diễn các tham số được chon theo thứ tự tương, Sự phụ thuộc của Hạ(g) vào r với q= ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục) Sự phụ th
ủa Hạ(g) vàor với @=1,2,3 và + = 0 (Dường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục) Sự phụ thuộc của #„(1,1) vào r với =0,12 và + = 0
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương, ứng là mầu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)
Sự phụ thuộc của R„¿(3, 1) vào z với q=0,1,2 và + = 0 ( Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương, ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)
Sự phụ thuộc cũa Ï„(2,3) vào r vdi q=0.1,2 va 7 (Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương, ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)
39
62
Trang 734 36 37 38 39
Sự phụ thuộc của R„„(3,1) vào r với q=1,2,3 và + = 0 (Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương
ứng là
Sự phụ thuộc của Ï¿(3,2) vào r với q=0,1,2 và + = 0 àu đồ, màu xanh lam, màu xanh lục),
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương, ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)
Sự phụ thuộc của #2(3,3) vào r với g=1.2,3 và + = 0 (Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương, ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu xanh lục)
=1,2,3 và + = 0,
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương,
Sự phụ thuộc của /f„(4,3) vào r với
ứng là mầu đỏ, mầu xanh lam, màu xanh lục)
Sự phụ thuộc của /#„/(1, 1), R¿(3,3) „ Ru(3,3) vào r với 4—2 và + — 0 (Dường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng là màu đỏ, màu xanh lam, màu
wan We) ằằ
Sư phụ thuộc của /#¿(1,1) vào r với g=2 và + = 0 ứng với đường màu đỏ là trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ, đường màu xanh lam ứng với tra
Trang 8MG DAU
1 Ly do chon dé tai
“Truyền thơng tin cho nhau là nhu cầu từ khi con người mới xuất hiến Thơng tin cĩ ý nghĩa to lớn đối với đời sống con người khi đất nước bước vào thời kì hội nhập Từ xưa việc truyền thong tin cịn gặp
nhiều khĩ khăn, truyền và nhận thơng tin vẫn dựa trên những tính chất cổ điển của vật chất nên chắc hẳn các tín hiệu thu được sẽ bị lẫn tạp âm, bị nhiễu, quá trình xử lý chưa nhanh và năng lượng bị tiêu hao do đường truyền Ngày nay, khi cơng nghệ và khoa học kỹ thuật ngày càng
tiên tiến, sự phát triển vượt bậc của cơng nghệ truyền tin quang học
đã giúp con người cĩ thể truyền tín hiệu đi xa một cách chính xác, hiệu quả Nhưng đĩ chưa phải là mục tiêu cần đạt được của con người, như chúng ta đã biết trong quá trình truyền tin quang học xuất hiện những, thăng giáng lượng tử làm cho tín hiệu giảm độ chính xác và hạn chế tốc
độ truyền tin Do đĩ vấn đề cấp thiết đặt ra đĩ là làm thế nào để hạn chế tối đa hơn nữa những thăng giáng lượng tử trong quá trình truyền tìn quang học Diều này đang được rất nhiều nhà vật lý lý thuyết lẫn thực nghiệm quan tâm
Vật lý học những năm 60 của thế ki XX bắt đầu nghiên cứu về các trang thái mới mà xuất phát điểm từ hệ thức bit dinh Heisenberg Nam 1963, Glauber (13j và Sudar-shan (22| đã đưa ra trạng thái kết hợp để mơ tả tính chất của chùm sáng laser Đây là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bắt dinh Heisenberg Tuy nhiên, với trạng thi
đối giá trị đo một đại lượng vật lý, vì vậy các nhà vật lý tìm đến các
ta vẫn chưa xác định chính xác một cách tuyệt
Trang 9Ning ta da biết, việc tạo ra các trạng thái phỉ e
điển của trường điện từ đang được các nhà khoa học quan tâm hàng đầu Diễn hình đĩ
là các trạng thái nén, các trạng thái kết hợp, đây là các trạng thái cổ điển vì chúng tuân theo các tính chất phí cổ điển và các Đĩng gĩp quan trọng cho lý thuyết về trạng thái nén đã được thực hiện bởi Infeld và Plebanski, đây là trạng thái mở đầu cho trang thái kết hợp phi tuyến
(I) Theo thời gian các khái niệm về trạng thái nĩn đã được các nhà
vật lý lý thuyết phát triển khơng ngừng và đạt được những thành tựu
nhất định Mặt khác, đĩng gĩp quan trọng cho lý thuyết về trạng thái kết hợp được đưa ra bởi Agarwal và Tara (S] vào năm 1991 đã đề xuất
ý
tưởng về trạng thái kết hợp thêm photon và cũng chứng mình rằng nĩ là trang thái phi cổ điển Tương tư, Dodonvo và các cong sit [12] da
tiến hành nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái nén chân
khong them photon Gin day, Hong va Guang-Can đã nghiên cứu các tính chất phí cổ điển của trạng thái kết hợp cap them photon va cing đề xuất cách tạo ra trạng thái này bằng thực nghiệm Qua báo cáo kết quả nghiên cứu đề tài cấp bộ của tác giả Tơ Thị Ngọc Thúy [5] cho thấy
việc thêm photon vào trạng thái hai mode chân khơng đã cho ra một
trạng thái mới thể hiện các tính chất phi cỗ bậc cao Như vậy, hiệu ứng thêm photon vào một trạng thái vật lý là phương pháp quan trọng, để tạo ra một trang thái phi cổ điển mới
Vào năm 1972, trạng thái SU(1,1) đã được Perelomoy [21] tìm ra
Trường hợp khi q=0 trạng thái này trở thành trạng thái nén chân khơng, hai mode Do đĩ cĩ thể nĩi trạng thái hai mode SU(1,1) là sự mở rộng, của trang thái nén chan khong hai mode, Trang thái hai mode SU(1,1) đã được tạo ra bởi cơng nghệ trạng thái lượng tử trong thực nghiệm
Trang 10
cứu Bên cạnh đĩ, nghiên cứu của Lê Thị Thủ
ngh | đã cho thầy
trang thai hai mode SU(1,1) cĩ thể được ứng dụng trong thơng tin lượng, tử và máy tính lượng tử Nghiên cứu tính chất của các trạng thái phi
ÿ thuật Việc
cổ điển mới này đã mổ ra những ứng dụng mới mẻ trong
áp dụng các trạng thái mới này vào thực nghiệm cho phép chúng ta tao ra các thiết bị quang học, các thiết bị điện tử với độ chính xác cao để đáp ứng sự phát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật ngày nay Tuy
nhiên, chưa cĩ một nghiên cứu nào về các tính chất phi cổ điển của trạng
thái SU(1,1) thêm một photon lẻ Việc nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ hy vọng sẽ gĩp một phần nhỏ nào đĩ giúp ích vào những ng dụng trong cơng nghệ thong tin lượng tử nĩi chung và nhiều ứng dụng rộng rãi khác nĩi riêng
Dựa trên cơ sở đĩ, tơi quyết định chọn đề tài
nến và phản kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon lẻ” làm Luận văn Thạc sĩ
'ghiên cứu các tính chất
2 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén, cụ thể là nén
tổng hai mode, nén hiệu hai mode và nén Hillery bậc cao của trạng thái
hai mode SU(1,1) thêm một photon lẽ Bên cạnh đĩ chúng tơi tiếp tục
nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode
Trang 11- Nehi
thái hai mode SU(1,1) them mot photon lẻ; cứu các tính chất nén tổng và nén hi hai mode cia trang - Nghien extu tính chit nén Hillery bậc cao của trang thái hai mode them mot photon lẻ
- Nghiên cứu tính chất phân kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ
4 Phương pháp nghiên cứu
“Trong quá trình nghiên cứu đề tài này, tơi đã sử dung các phương pháp sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài
- Vận dụng kiến thức về lý thuyết trường lượng tử và các phương pháp quang lượng tử đổ tính tốn đưa ra các biểu thức cụ thể;
- Dùng phương pháp tính số với phần mềm Methamatica để tính
tốn, vẽ đồ thị và khảo sát các bài tốn của đề tài nghiên cứu
5 Phạm vi nghiên cứu
“Trong khuơn khổ luận văn này, tơi nghiên cứu một số tính chất nén
và phản kết chùm của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm mot photon
lẻ, đĩ là tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, tính chất nén
Hillery bậc cao và tính chất phản kết chùm bậ
6 Nội dung nghiên cứu
Ngồi Mục lục, Phụ lục và Tài liệu tham khảo, chúng tơi chia Luận văn làm ba phần:
Trang 122 Phin dụng: Bao gồm ba chương, - Chương I: Cơ sở lý thuyết;
- Chương II: Khảo sát tính chất nén tổng, nén hiệu và nén kiểu Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ;
- Chương III: Khảo sát tính chất phản kết chùm của trang thái hai mode SU(1,1) thê
3 Phần Kết luận: Nêu lên kết quả đạt được của Luận văn và đề
một photon lẻ
Trang 13NOI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÍ THUYẾT
Trong chương này, chúng tơi sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở nề các tính chất phi cổ điển Tuy nhiên để đảm bảo tính logic tà dễ hiểu, chúng tơi sẽ nhắc lại một cách khái quát các khái niệm cơ bản về trang thái kết hợp và trang thái nén
1.1 Trạng thái kết hợp
‘Trang thái kết hợp, kí hiệu |a) đã được Glauber [13] và Sudarshan [22] dita ra lần đầu tiên vào năm 1963, hai nhà bác học đã dùng trang
thái này để mơ tả tính chất của chùm sáng laser, là chùm sáng cĩ độ đơn sắc cao và cường độ lớn 1.141 h nghia
Trạng thái kết hợp đã được Glauber [13] và Sudarshan [22] đưa ra
vào năm 1963 Trạng thái kết hợp |a) là trạng thái được tạo ra bằng cách tác dụng tốn tử dịch chuyển Ư(o) lên vectơ trạng thái chân khơng
|0) của trường điện từ [6]
la) = Ơía) |0), (ut)
trong d6 D(a) = exp(aat—a"a) la tofn tit dich chuyén, với œ = r exp(ig) là tham số kết hợp, r và g lần lượt là biên độ kết hợp và pha kết hợp,
a’, @ lần lượt là tốn tử sinh, hủy hạt bosson và chúng tuân theo các hệ
thức giao hốn sau
(aa) = [at,#!]
Trang 14
Sử dụng đồng nhất thức Baker-Hausdorff
` Ta TỊ z
exp(Â, ð) = exp(Â) exp(B) exp (-} {a 2))
trong đĩ Â va B 1a céc toan tit khong giao hốn với nhau nghĩa là ÍÂ.B] # 0 hay nĩi cách khác 4Â và Ư là các tốn tử mà giao hốn tử
{A, B] 1a một tốn tử Ở nào đĩ Dựa vào đồng nhất thức Baker-Hausdorf,
Trang 15Như ta đã biết khi tác dụng toan tit dich chnyén D(a) lên trạng thái chân khơng |0) sẽ thu được trạng thái kết hợp do đĩ chúng tơi cĩ biểu thức la) = Da) 0) = exp(ậ') esp(~a'8)exp(~lal?) I0)- (15) Từ (1.4) và (L5) ta được la Mặt khác SE? ye ( vi a |0) = 0, với n= Do đĩ la) = Đía)|0) = exp(Ial?)exp(s8') (0) (16) Từ (1.3) và (1.6) ta được - Sun
|a) = Ble) |0) = œp(~Ialf) 3ˆ (857 Ip)
trong đĩ |n) = EU) |0) là veetơ trạng thái chứa n hat boson hay cịn được gọi là các trang théi Fock |n) Ia trang thái riêng của tốn tử số hạt
nin)
Trạng thái Fock là trạng thái cĩ số hạt xác định và được khái quát hĩa lên từ trạng thái chân khơng (trạng thái mà tại đĩ khơng cĩ hạt nào
Trang 16được kích thích và được kí hiệu |0)), valn-1), âÏ |n) = vn + TỊn + 1) â|n) Các trạng thái Foek là một hệ cơ sở đủ, nghĩa là 3 @|=1,
do đĩ cĩ thể khai triển một voctơ bất kỳ trong hệ cơ sở này Điều này cĩ nghĩa trong khơng gian Fock, các trạng thái kết hợp cĩ thể biểu diễn dưới dạng
(18)
Trang 17
Mat khée, phuong sai cia todn tit sé hat trong trang thai két hop |a) 1A
(any?) = (88) — (n)® = (0 |A?|a) = ((alđ|a))"
= (a|alaa†a|a) = ((a |a†a|a))
= lol? {a |(alã + 1)|a) — la|Ê (110) = lal! + lal? — Jal! = lal? ‘Trong khi d6, đối với trạng thái Fock ((Ađ)) = (8) ~ (32 = (n|A?|n) — (nan)? = (n|alaala| n) — ((n|atal n))* =n?—nẺ =0 (1)
Nhu vay, từ các biểu thức (1.10) và (1.11) cho thấy rằng đối với trang
thái Fock số hạt cĩ thể được đo một cách chính xác nhưng trong trạng
thá
la) phép đo này phải chịu một sai số tỷ lệ với trung bình của số hạt Với các hệ cĩ số hạt lớn như hệ photon trong các chùm laser, hệ là khơng khả thí Bên cạnh đĩ theo nguyên lý bất định và độ bất định tối thiểu trong,
exciton ở mật độ cao thì việc xác định chính xác số hị trạng thái |a), sự thăng giáng theo pha của hệ hạt là rất nhỏ Các hạt
ứng với trạng thái |a) hầu hết cĩ cùng một pha, trái ngược với sự hồn tồn khơng xác định về pha của các hạt trong trạng thái Fock Voi ý
nghĩa trên, trạng thái |a) được gọi là trạng thái kết hợp
1.1.2 Các tính chất của trạng thái kết hợp
Để hiểu rõ hơn ý nghĩa "kết hợp" của trạng thái |a) thì những tính chất sau sẽ gĩp phần làm sáng tỏ điều đĩ (6)
Trang 18Tinh chất 1: Trong trạng thái kết hợp |a), phân bố số hạt tuân theo phan bé Poisson, nghia là số hạt trung bình của trạng thái kết hợp |a) chính bằng bình phương biên độ kết hợp r hay là (8) = z3
Ta cĩ số hạt boson trung bình ở trang thái kết hợp |a) Mặt khác al = (ala’,a = rexpliy), do đĩ (0) = (ala*a|a) = la Tinh chat 2: Tap hyp tắt cả các trạng thái kết hợp |a) là một tập hợp đủ £ f jo) (ata aa) That vay ¬= Sey”
Jieroito= fe tal 3vn p> Vat (m|@a,
Trang 20
Hệ quả của sự khơng trực giao là bất kỳ một trạng thái kết hợp nào cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác, nghĩa là
la)= =fi (a|a)#a (18) = = [ee la)ep(~5 Lins ala P — 5la'? + e/a") Điều này cho thấy rằng tập hợp tất các trạng thái kết hợp tạo thành hệ quá đủ (over-complete)
‘inh chat 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái tương ứng với độ
bất định nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bit dinh Heisenberg,
Để dễ dàng làm rõ trạng thái kết hợp là trạng thái cĩ độ bắt định cực
tiểu chúng tơi đưa vào hai đại lượng X, P khong thứ nguyên và được biểu diễn thơng qua hai tốn tử tương ứng là Ä và Ð được định nghĩa như sau
mg, [te
#=VJ*>2P=
trong đĩ z, p là các đại lượng cĩ thứ nguyên tương ứng với tọa độ và
xung lượng Các tốn tử Ä và P được biểu diễn thơng qua các tốn tử sinh, hủy photon cua trường điện từ đưới dạng
c1 5 i
X=-(@ +4), P= <a s(ê! +8) Ê = Ha
Mà Ý và Ê là các tốn tử Hermitic nên chúng tương ứng với các đại
lượng vật lý đo được Do đĩ, ta cĩ thể tính được phương sai của mỗi đại
lượng
Trang 21Phuong sai cia X:
(a|(aXƯ'la) = (al Xa) ~ (al Xa)?
= Fal al +a? |a) ~ j[(alat + ala)
= (a 40? + 2a)? +1) — je +a" + 2aa*)
Tương tự đối với phương sai của P:
(o| (AP)? |a) = (a| P? Ja) = ((al Pa)?
(al (@ — a)" Ja) + Gliala ~ ala)?
Flo"? +a? —2lal?- 1) + Fle? +a*2~ 2aa")
Vậy ta thu được
2 1
{a| (AX)? a) (al (AP)? Ja) = T8
Đây là giá trị nhỏ nhất tương ứng với hệ thức bit dinh Heisenberg Do vây, các trạng thái kết hợp là trang thái cho phép thực hiện các phép (14) đo đồng thời hai tốn tử Ä và Ê với sai số nhỏ nhất Hệ thức (1.14) gọi
là giới hạn lượng tử chuẩn (standard quantum limit) Đây cũng chính là
tính chất quan trọng nhất của trang thái kết hợp
1.2 Trang thai nén
Khái niệm về các trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler [23] vao năm 1970 và Hollenhorst [15] đặt tên vào năm 1937 Với hai tốn tử Hermitic A va Ơ theo thứ tự lần lượt biểu diễn cho hai đại lượng vật lý: A va B, hai đại lượng này khơng đo được đồng thời nên hai tốn tử Â và Í khơng giao hốn với nhau, nghĩa là
Trang 22Với trường hợp này, ta cĩ được hệ thức bắt định trong trạng thái bắt kỳ:
|) của hệ
" Ẻ
(aan(asy > 1|(A.8)|`= KP, aà)
trong đĩ đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được
A quanh giá trị trung bình lượng tử (Â) của đại lượng A là phương sai
((Â)”) được định nghĩa
{(A)*) = (A — (A))?) = (4?) - (4)? a1)
Nếu cụ thể hĩa  = X va B = P thi ta dé dang suy ra
c= [XP]
7 Fo + a), 5a - a
= ¥ {latal] = [ata] + (aa) - faa)p
Trang 23+ FU(nlalin) ~ 1 =qj(n~n~1) = 1A +1) Do đĩ ((AX?)(AP)®) = mê" +p (1.18) Với trạng thái kết hợp thì (a (Axj|a) (a \ary| a)= ? hay (a lax?| a)(a (AP) a) = a (1.19)
Các biểu thức (1.18) và (1.19) cho ta thấy nếu ở trạng thái kích thích
các trạng thái Foek luơn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg, cịn đồi
với các trạng thái kết hợp thì dấu bằng của bất đẳng thức sẽ xảy ra
Chính vì vậy mà các trạng thái kết hợp cịn được gọi là trạng thái ứng
với độ bắt định tối thiểu
Mặt khác, hệ thức bất định Heisenberg chỉ áp đặt sự bất định lên tích
của các thăng giáng ((AA)”)((AB)”) Hệ thức này hồn tồn khơng vĩ
phạm nếu một trong hai thăng giáng là rất bé và thăng giáng cịn lại trở
nên lớn hơn Vậy chúng ta cĩ thể tìm cách tạo ra các trạng thái mà cĩ
thể đo được một đại lượng với độ chính xác cao Nếu xét về mặt tốn học, một trạng thái gọi là trạng thái nén với đại lượng 44 nếu thỏa mãn
2) < MOE _ CDI
(aay) < f= (1.20)
Mat khée “Ol là độ bắt định ứng với giới hạn lượng tử chuẩn Do đĩ nếu
một trạng thái cĩ một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn giới hạn lượng tử chuẩn thì trạng thái đĩ được gọi là trạng thái nén Đối với trường hợp
Trang 24đặc biệt hạn nếu trạng thái nào mà các thăng giáng lượng tử bằng, lượng tử chuẩn thì trạng thái đĩ cĩ thể coi là trang thái nén lý tưởng 1.3 Một số tính chất phi cỗ điển
1.3.1 Nền tổng và nén hiệu hai mode
Để phục vụ cho việc tính tốn chương ba, chúng tơi sẽ tìm hiểu các
kiểu nén bậc cao Khái niệm về trạng thái nén đã được các nhà vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu đặc biệt trong đĩ là các kiểu nén bậc cao Nén don mode bac cao đã được đưa ra béi Hong va Madel [16] Trang thái nến đa mode bậc cao đã được Hilery [14] đưa ra vào năm 1989 Trong nội dung nghiên cứu của luận văn này, chúng tơi chỉ xét trường, hợp hai mode bậc hai được đưa ra bởi Hillery và được gọi là nén tổng, và nén hiệu hai mode
a, Nén téng hai mode
Nến tổng được
tần số lần lượt là ø„,«; («„ # «y), kết hợp thành một photon cĩ tần số iéu mot cách đơn giản là chúng ta cĩ hai photon a, cĩ
We = wa +p Tốn tử nĩn tổng được định nghĩa dưới dạng
Alb! + ead), (1.21)
?
trong đĩ â! và â lần lượt là tốn tử sinh và hủy photon của mode thứ nhat, 6! va Ư lần lượt là tốn tử sinh và hủy photon của mode thứ hai
Trang 25trong đĩ fig = mode b That vay Wo, org = Cliorn = 1981 + cái) | !6* Đạt! + eH ab] 1 " : : — 1 [ct+B)ạljt + ø~1€*8)á§] Al B+ (ald! + (ei#alột + e~1⁄j) ab) = ; [eter Palatine + eM" Daath + e'talilab + etaba' i] i eae | i [le# - ears = i [-2ialitab + 21 (ala-+1) (6+ 0] bi + eM Dabab + eFalbiab + e Fab lab + (e!# — e~'# aba’ d)| 5 (ia + y+) Mặt khác chúng luơn thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg AAf(,s) > Fle + fy +1) (1.24) Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu trung bình trạng thái này thỏa mãn bắt đẳng thức sau
((AV5)?) < i (ita + ity +1), (1.25) với mọi giá trị của ở và trong d6 ((AV,)?) = (V3) — (V,)? Day ehinh 1a
điều kiện dé chúng tơi khảo sát tính chất nén tổng hai mode của trang
thái SU(1,1) thêm một photon lẻ ở phần sau b Nén hiệu hai mode
Nền hiệu cũng được hiểu một cách đơn giản là hai photon cĩ tần số lần
lượt là e,,ey (œ„ < ey) kết hợp với nhau phát ra ánh sáng cĩ tần số hiệu IA we = 6y — œ¿ Tốn tử nén hiệu hai mode trong trường hợp này được
định nghĩa là
We= (e2 +e alb), (1.26)
Trang 26trong d6 a! va a lần lượt là tốn tử sinh và hủy photon của mode thứ nhất, Ơ† và Ơ lần lượt là tốn tử sinh và hủy photon của mode thứ hai
Tốn tử nén hiệu hai mode tương ứng khi (ở + š) là
1
Wi coos) = š [c2 Đaẩ! + c~eeĐalj] q2) Các tốn tử này thỏa mãn hệ thức giao hốn i [W W, (org) = 5 (a ~ fis), (1.28) tb lan lượt là tốn tử số hạt của mode a và WoWoorg) — Wang Wo
= eal baler Madl + te Pally
[ele Babt + e+ Bath|(etabt + e-Mealb) [ci2>+Bablabl + e@>+Dalbabl + e~“Fablalb + e'Falbabl] (1.29)
iGo ablabl + e+ Balbalb + e'Fablalb + e~“Falbabl] I(e# — e#)áBlal§ + (e3 ~ e~'#)atiaơ]
2iablalb + 2iâ!bãb!]
i
= 5 a ~ hs)
Mat khée Wy va W,, con théa mãn hệ thức bất định Heisenberg
AWW, > 1 {fa — fu) (130) Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trạng thái
này thỏa mãn bắt đẳng thức sau
Trang 27với mọi giá trị của ĩ và trong đĩ ((AW¿)?) = (W2) — (W¿)* Dây cũng,
là điều kiện mà chúng tối sử dụng để khảo sát tính chất nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ
1.3.2 Tính chất nén Hillery bậc cao
Vào năm 1985, Hong và Mandel [15] đã đưa ra được các trạng thái Hong-Madel Mot nén đơn mode bậc cao khác được đưa ra bởi Hillery vào năm 1987 (bậc
nến don mode bac cao và được gọi là kiểu n
hai) sau đĩ là nén bậc ba và bậc k, ta gọi chung là kiểu nén Hillery
Tốn tử biên độ lũy thừa k được định nghĩa như sau
Ä¿¿(6) = Feat + cathe’), (1.32)
Trang 281.3.3 Tính phản kết chùm
"Tính phản kết chùm cịn cĩ nghĩa là phản kết hợp, hay chúng ta cĩ thể hiểu rằng các photon phản kết chùm là các photon độc lập, cách xa nhau và chúng khơng thể kết hợp với nhau Khái niệm photon phản kết n được đưa ra bởi Kimble và Madel [17], Carmichael và Walls (10] năm 1976 và kiểm chứng bằng thực nghiệm bởi Kimble, Dagenrus và
Mandel (18] vào năm 1977 Các photon phản kết chùm tuân theo thống,
kê Sub-Poisson nên trạng thái cĩ phân bố số photon loại này cũng tuân theo thống kẽ này Diều này cĩ nghĩa là hàm phân bố xác suất tương
ứng với trạng thái đĩ là âm Đối với lý thuyết cổ điển thì hàm phân bổ
xác suất luơn cĩ giá trị đương, Do đĩ, các trạng thái cĩ hàm phân bối xác suất mang giá trị âm khơng cịn mang tính chất cổ điển mà chúng là các trạng thái phí cổ điển Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn, chúng tơi chỉ khảo sát tính phản kết chùm cho hai mode nhưng để hiểu 19 bain chất của nĩ ta xĩt tính phản kết chàm đơn mode và sau đĩ mở rộng cho hai mode
a Tiêu chuẩn tính phản kết chùm đơn mode'
Trang 29C6 thé (0) — Ga? =f { “SỰ “P(a,ø)laf? (+ lá =slaf2l) <0, (L4) trong đĩ P(a, 9) = P(œ) P (8) là hàm phân bố xác suất trong biểu diễn Glauber-Sudarshan Mặt khác ta lại bất đẳng thức (1.39) dưới dạng sai Mal 2\a\|3)?) > 0 (1.42)
Từ (141) và (1.42) ta thấy P(a,) nhận giá trị âm Dây là lập luận hợp lý cho ta thay rõ tính phản kết chùm là một tinh chất phi cổ điển Năm 1903, bắt đẳng thức (1.42) được Muirhead [20] khái quát hĩa dưới dạng
lal?*3\4|-? + |a|-?Iøl**3 < Ja|*\|+ |a|*Iđi” (43) với Í,p là các số nguyên dương thỏa mãn ¡ > p Điều kiện để một trạng
thái thể hiện tính phân kết chàm trong trường hợp đơn mode là
da )(a) — YAY) <0 (44)
Để thuận tiện cho việc khảo sát, Lee [19] dita ra tham s6 R(J.p) đặc trưng cho mức độ phân kết chùm cĩ dạng
-1 (1.45)
Trang 30
đơn mode, Lee [19] mở rộng tiêu chuẩn này cho trường hợp hai mode
(áp'Đđg”Đ) + (nợ Đã,“ ~ (a0a/”) — (al?) <0, (140)
trong d6 fig fy, = bd lần lượt là tốn tử số hạt của mode ø va mode b trong trường bức xa
Tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phân kết chùm cho trang thái hai mode trong trường bức xạ thể mwvw ` ("9ư") + (sỹ Đaƒ*Đ) (Ala?) + (ila)
Như vậy, một trạng thái bất kỳ thể hiện tính chất phản kết chùm khi
m quả tham số R(1,p) được viết dưới dang
Rip)
1 (148)
tham số #(1,p) < 0 Nếu tham số /4(1,p) càng âm thì tính phản kết chùm cũa trạng thái mà ta đang xét thể hiện tính phản kết chùm càng
Trang 31Chương 2
KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA
TRANG THAI HAI MODE SU(1,1)
THEM MOT PHOTON LE
Trong chương nàu, chúng tơi sé hé théng vé trang thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ Dựa tào điều kiện tồn tại
của các kiểu tiền đã được trình bà ở chương một, chúng tơi ti tue khảo sát các tính chất nén tổng, nén hiệu tà nén Hillery bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ
2.1 Trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon
lẻ
Trước khi khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lễ chúng tơi đưa ra trang thái hai mode SU(141) [2] vA trạng thái hai mode SU(1,1) 18 [7] dé làm cơ sở đưa ra trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ
a Trạng thái hai mode SU(1,1)
Cho hai mode của trường điện từ đã được lượng tử hĩa với â và at Lin lượt là tốn tử hủy photon và tốn tử sinh photon của mode thứ nhất; b va Ủ! tương ứng là tốn tử hủy photon và tốn tử sinh photon iia mode thứ hai Bay gid ta xét các tốn tử sau
K nh 3(ala + bib +1),
Ky = alt,
Trang 32Tiến hành đại số Lie SU(1,1) ta nhận được
Trang 333 KR + RR)
= Hala + bib + 1)(a@'a + 61641) — (a8 + abath') = Halaata + 2alabt + bibbth + 2a'a + 264 + 1)
— Haitab + aba
= 1ataata + Blơtb + sa†a + 301 + 1 — 2aatbbt)
ì !ãa!a + bibbth + 2ata + 2616+ 1 — 2(atã + 1)(ơ!ð + 1]
3aaata + bb — 2atai'b —1)
= 1a — bt) - 1) = Ti =1,
trong đĩ A = ata — ÊlỖ là giá trị riêng chỉ sự khác nhau về số photon
giữa hai mode với nhau Nếu khơng xét đến tính tổng quát, chúng ta
lấy giá trị riêng (4 nguyên) để khẳng định Như vậy trạng thái cơ sở cho một biểu diễn tối giản đơn vị được hiểu như là khẳng định chuỗi
hữu hạn cho bởi tham số suy biến q gồm cĩ nhĩm trạng thái hai mode |na.m) = |r.) ® |m), cđa dạng { Jn +q.m), n = 0,1, , 00}
‘Trang thái hai mode SU(1,1) được tác giả Lê Đình Nhãn [3] đưa ra trong, phần nghiên cứu của mình và trang thái này được Perelomov [21] định
Trang 34
lz)„ = exp(aKi = a*Ấ- |a,0)„, “ [ee e (2.1) 1-95” nhi Int aban nao boa tương tự Isa„ = 0= P35) [E TP gn tama 02)
trong d6 |n + q.n)ob IA trạng thái Fock tương ứng với hai mode của trường điện từ a và b, q là số photon chênh lệch giữa hai mode, € = — tanh (6/2) exp(—ig)
b Trang thái kết hợp hai mode SU(1,1) lẻ
Trang thái kết hợp hai mode SU(1,1) lẻ được tác giả Phạm Văn Tiến [7]
Trang 35Vay Ie = Nielle)as— ea "¬" ee <5 [ent no = Me [:-# yey [eee = (arin anal ¬ Qs) Ma [n+ an)as—(1 — Ig?) ) th —6)"In + am) với 1 1 lee 7 “i [ § +I£P
©¿ Trạng thái kết hợp hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ
“rạng thái kết hợp hai mode SU(1,1) thêm một photon lẽ được định nghĩa như sau
u)- = AV(á! + (le), = |~g)a)- (2.9)
Khai triển (2.9) được như sau
Ju)- =AV(át +đ(le)„ — |~g)
=N@ +8) Ke) > P | Chtte)2 nhi
ery: [eee yc ~8”ln+n)x} sao lg! Loma
= Xa! +90 ~|gP)## ye 1 (Ayer wo Lola! + anda
Chúng tơi tìm hệ số chuẩn hĩa AV trong (2.9) dita vào điều kiên chuẩn hĩa
Trang 36hay
WA + BVI) — Í—ø)2,) Ÿ = 1
®W(ø(g|= ø(~el)(4 + 8Q(ᆠ+ Ê)(lø)2 = |~e)„) = 1 IV Ploalel — aal—el) (al + bat + 8Š + áB)J(z),; — en) = IN Peal ~ tol) (Ip)as — Ia)
+W“((el ~ ø{—ellBỀ (l2), — |—e)„) ) ) +|W†f((el = „(=el)äff(l2)„„ — |) an) +|Wf(»(g| = ø{=øl)ĂÍ(le)2 = |~ø)„,) = 1 (2.11)
Chúng tơi lần lượt đĩ tính các số hang trong (2.11)
[X#0x(z| — á(—ø|)âãÌ(|z)„, — |—#)2,) = Fonte ~ Fen V2 =IVPd ~Igf)"+ È [se] ma cuc» Š [sợ] ú
xÍI — (—1)P]€*,,ên,m + qlââÌn + g,n)u
=Wfq=eP)"+ È [#]''~ cpIen Š [gạt '?
xÍL= (U"]£ (n + 4+ 1)-ỗm+as+aỗm.n
~2WIP( = lki)"* > SP — (—1)P]€i (n + +1), tương tự
WP Cabo ~ (edi eas = Fa) vs
Trang 37Wff(slel=«(=llffl2)2 = |¬e)z)
= plete SS [sa] a — aie [Se] aie ye
[1 — (-1)"]€"salm, m + glat|n + 9, mas
= n2 l
= Wrap (ie (ay) en sey” | má,
x[1 = (Iyer n(n $9 +1) bm tqnt ett Fant =0, IVE(.(z| — „(~ellla(le), —I=9a) va = PUKE 3 (orien Š [s#'] ‹ x[t = (=1)"]€"alm,m + glblaln + g, na, Š a 2 "1⁄2
=Wio ~kP'¬ Š [##] n~ cu & i)”
x[1= (=1"}e" we De + O)Smsante most
“Thay các số hạng vita tính được vào (2.11)
[Neal +B) (Ueda = I¬ø)2)|Ÿ
> 2INPCL = le) Set — (—1)"YP"@n +442) = 1, h a
suy ra
an
aw fa - ie? oy ee t= (-ay sigan a2)
"Trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ được viết dưới
dang
|v) =MG@ +I) leas [Pan
ats oa — Hey 5 [age]! €lin +4.n)„
[Ba —ltPPY È SP — CDflede +a+2)
Trang 38trong đĩ ue
x=ls- — KP St ~(-U]§fP(ðn +442) nid! lại
Sau khi tìm được hệ số chuẩn hĩa AV và đưa ra được trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ, chúng tối tiếp tục khảo sát các tính chất
cụ thể là tính chất nén tổng hai mode,
phí cổ điển của trạng thái
nén hiệu hai mode và nén Hillery bậc cao
2.2 Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lễ
Sử dụng điều kiện nén tổng hai mode đã được đưa ra bởi Hillery [13] vào năm 1989, chúng tơi khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một photon lẻ
((a%)') < 1 (ig tig $1)
Trang 39hay Suy ra S= ; q0) + (c4)” + 240lbtab - 1 #20) + (ead) Tính trung bình trạng thái hai mode 8U(1,1) thêm một photon lẻ trong (2.14)
biểu thức (2.14) chúng tơi cĩ các kết quả sau
(e'9a!B!)2 = (c*#atBtatBt) = _(wle%albtalétyyy
= FPN Pale] — ø(—el)(á + Ơ)ál8latơt(ᆠ+ Ê)(ø)z„ — Ì—e)„) = £9|I*(s(z| ø(—el)âá!alal8!Ê(|ø)„, — |~ø)„)
Trang 40tương tự
NP Gael — ta(—9)A1a! 661616 (Ip) — |—ø)„)
= ¿IV ~ l pees eee) = cone [ee 1" x [1 = (-1)"e"(n + 3) Vn Dns Vn 4 Dnt q42) x bnagasge28naed = 22*INPCL — || re — Cayo? x(n+qg+ Đ(n +4+Đ)(n +3)
PIN Plalel — 1868 ( (Wea = |-¥)as)
= We leP condita Jn-co+=E[
x [1= (~1*k°(m,m + qlââi ha0081n +q,n)a,
= PUL ke rey [eee - coneny [HP x[1~ (-1)"}£'(n +ạ+9)Vfn+T)0+Đ)(n+3)n+g+T) XẪm+am+g+1Ơmm+3 = Ơ; CIN (a(el ~ a—e))alal al Bb (pba ~ |~e)a) Piola 1 +02 "kh " h II-(-)" > (Se ]
x [L—(-1)"Je"sa(mn, a + glalalal 6616! In + q,n)„, ~ ưa = CWP — [el pers [ey ụ -cueS [| Lm tại Sonu mỊ
x (L-(-1)"e"(n + 2)V (nF Dnt qs Nn tg Din +q+3) Ơmsante+aƠma+1 = 0