Luận án tiến sĩ khảo sát các tính chất phi cổ điển và vận dụng các trạng thái phi cổ điển vào thông tin lượng tử

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG HỮU ĐỊNH KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN VÀ VẬN DỤNG CÁC TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN VÀO THÔNG TIN LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý tốn Mã số: 62 44 01 03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HUẾ - NĂM 2017 NGHIÊN CỨU ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ Người hướng dẫn khoa học: TS Võ Tình PGS TS Trương Minh Đức Phản biện 1: GS TSKH Nguyễn Ái Việt Phản biện 2: PGS TS Đỗ Hữu Nha Phản biện 3: PGS TS Hồ Khắc Hiếu Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận văn cấp Đại học Huế họp tại: vào hồi giờ, ngày tháng năm 20 Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia Thư viện trường Đại học Sư phạm Huế MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện lĩnh vực thông tin truyền thông quan tâm phát triển, trạng thái phi cổ điển tập trung nghiên cứu tính chất phi cổ điển chúng có nhiều lợi ích truyền thông tin làm tăng tốc độ truyền tin, bảo mật thơng tin Trong tính chất phi cổ điển đan rối có nhiều ứng dụng đáng ý lĩnh vực truyền tin quang học Một ứng dụng đầy tiềm tính chất đan rối viễn tải lượng tử Các giao thức viễn tải đề xuất sử dụng loạt trạng thái phi cổ điển dùng làm nguồn rối Đề xuất mơ hình tạo trạng thái phi cổ điển sử dụng làm nguồn rối phù hợp với nhiều giao thức viễn tải tiện ích đem lại hiệu cao cho việc xử lý thơng tin Việc nghiên cứu tính chất phi cổ điển trạng thái phi cổ điển mới, lý thuyết góp phần nhà thực nghiệm đưa chế mới, áp dụng vào lĩnh vực khoa học đại, mà tiêu biểu thông tin lượng tử Do đó, chúng tơi chọn việc khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ, từ đề xuất mơ hình tạo trạng thái này; đề xuất trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích, sau khảo sát tính chất phi cổ điển chúng, đồng thời vận dụng trạng thái mèo kết cặp điện tích kết cặp phi tuyến điện tích để viễn tải trạng thái kết hợp Mục tiêu nghiên cứu Khảo sát tính chất phi cổ điển đề xuất mơ hình tạo trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ Đề xuất trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích khảo sát tính chất phi cổ điển chúng; xác định độ trung thực trung bình trình viễn tải lượng tử sử dụng nguồn rối trạng thái mèo kết cặp điện tích phi tuyến điện tích Nội dung nghiên cứu Khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ bao gồm: phản kết chùm; nén bậc cao; nén tổng; nén hiệu; đan rối đề xuất mô hình tạo trạng thái Khảo sát tính chất phi cổ điển bậc cao trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích đề xuất; định lượng độ rối sử dụng trạng thái làm nguồn rối để viễn tải trạng thái kết hợp Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp lượng tử hóa trường lần thứ hai phương pháp thống kê lượng tử để đưa biểu thức giải tích sử dụng phương pháp tính số để biện luận kết thu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài khảo sát tính chất phi cổ điển đề xuất mơ hình tạo trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ theo tính tốn lý thuyết; độ trung thực trung bình mức độ thành cơng q trình viễn tải sử dụng trạng thái mèo kết cặp điện tích phi tuyến điện tích cải thiện biết sử dụng phép đo phù hợp việc thay đổi tham số trạng thái hiệu ứng phi tuyến hợp lý Cấu trúc luận án Ngồi ký hiệu viết tắt, danh sách hình vẽ, mở đầu, kết luận, danh mục cơng trình tác giả sử dụng luận án, tài liệu tham khảo, phần nội dung luận án gồm chương Chương trình bày sở lý thuyết liên quan đến nghiên cứu đề tài Chương trình bày khảo sát tính chất phi cổ điển trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ bao gồm: phản kết chùm; nén bậc cao; nén tổng; nén hiệu; đan rối đề xuất mô hình tạo trạng thái Chương trình bày đề xuất trạng thái mèo kết cặp phi tuyến điện tích khảo sát tính chất phi cổ điển bao gồm: phản kết chùm bậc cao hai mode; nén bậc cao hai mode; đan rối Chương trình bày trình viễn tải trạng thái kết hợp sử dụng nguồn rối trạng thái mèo kết cặp điện tích phi tuyến điện tích định lượng độ rối theo entropy tuyến tính Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Trạng thái kết hợp trạng thái phi cổ điển 1.1.1 Trạng thái kết hợp Trạng thái kết hợp |αi đưa cách tác dụng toán tử dịch ˆ chuyển D(α) = exp (αˆa† − α∗aˆ) lên trạng thái chân khơng ˆ |αi = D(α)|0i, (1.5) α = |α| exp (iϕa) Trạng thái kết hợp xem ranh giới cổ điển phi cổ điển để từ đưa định nghĩa trạng thái phi cổ điển 1.1.2 Trạng thái nén Trạng thái nén hai mode đưa cách tác dụng toán tử nén hai mode Sˆab(ξ) = exp (ξ ∗aˆˆb − ξˆa†ˆb†) lên trạng thái chân không hai mode |0, 0iab, ξ = |ξ| exp (iθ) Trong hệ sở Fock, trạng thái nén hai mode có dạng P n |ξiab = Sˆab(ξ)|0, 0iab = sech r ∞ n=0 [− exp (iϕ) r] |n, niab (1.34) Trạng thái đan rối với độ rối hoàn hảo |ξ| đạt đến ∞ 1.1.3 Trạng thái kết hợp cặp Trạng thái kết hợp cặp khai triển theo trạng thái Fock có dạng |ξ, qiab = Nq ∞ P n=0 √ ξn |n n!(n+q)! + q, niab, Nq = [|ξ|−q Iq (2|ξ|)]−1/2 hệ số chuẩn hóa (1.36) 1.1.4 Trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ Trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn định nghĩa theo trạng thái Fock hai mode có dạng |ξ, qieab = Nqe ∞ P n=0 √ ξ 2n |2n (2n)!(2n+q)! + q, 2niab, (1.40) Nqe = {[Iq (2|ξ|) + Jq (2|ξ|)]/2|ξ|q }−1/2 hệ số chuẩn hóa Trạng thái hai mode kết hợp điện tích lẻ định nghĩa theo trạng thái Fock hai mode có dạng |ξ, qioab = Nqo ∞ P n=0 √ ξ 2n+1 |2n (2n+1)!(2n+q+1)! + q + 1, 2n + 1iab, (1.42) Nqo = {[Iq (2|ξ|) − Jq (2|ξ|)]/2|ξ|q }−1/2 hệ số chuẩn hóa Trạng thái trạng thái phi cổ điển 1.1.5 Trạng thái mèo kết cặp điện tích Trạng thái mèo kết cặp điện tích cho dạng trạng thái Fock P ξ n [1+(−1)n eiφ ] √ |ξ, q, φiab = Nφ,q ∞ |n + qia|nib, (1.47) n=0 n!(n+q)! P∞ hệ số chuẩn hóa Nφ,q = { n=0 (2r 2n [1 + (−1)n cos φ])/[n!(n + q)!]}−1/2 1.2 Một số tính chất phi cổ điển bậc cao trạng thái phi cổ điển 1.2.1 Tính chất phản kết chùm bậc cao Tiêu chuẩn để tồn tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode định nghĩa hệ số phản kết chùm đơn mode Ax(l) thỏa mãn bất đẳng thức có dạng Ax(l) ≡ (l+1) hˆ nx i (l) hˆ nx ihˆ nx i − < 0, (i) (1.50) n(ˆ n − 1) (ˆ n − i + 1)i, nx i = hˆ ˆ x = xˆ†xˆ hˆ tốn tử số hạt n h i ký hiệu trung bình lượng tử Tiêu chuẩn để tồn tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode định nghĩa hệ số phản kết chùm hai mode Aa,b(l, m) thỏa mãn bất đẳng thức có dạng Aa,b(l, m) ≡ (l+1) (m−1) (m−1) (l+1) n ˆb i+hˆ na n ˆb i (l) (m) (m) (l) hˆ na n na n ˆ b i+hˆ ˆb i hˆ na − < (1.54) 1.2.2 Tính chất nén bậc cao hai mode Một trạng thái gọi nén bậc N hai mode thỏa mãn bất đẳng thức Sab(N, ϕ) = {ℜ[h(ˆa + ˆb)2N ie2iϕ]+h(ˆa† + ˆb†)N (ˆa + ˆb)N i − 2ℜ2[h(ˆa + ˆb)N eiϕi]} < (1.59) 1.2.3 Tính chất nén tổng hai mode Một trạng thái hai mode tồn nén tổng tham số nén tổng hai mode S thỏa mãn bất đẳng thức 4h(∆Vˆϕ ) i−hˆ na +ˆ nb +1i < 0, S= hˆ na +ˆ nb +1i (1.62) với h(∆Vˆϕ)2i = hVˆϕ2i − hVˆϕi2 < [(1/4)h(ˆna + nˆ b + 1)i]; Vˆϕ = eiϕaˆ†ˆb† + e−iϕaˆˆb /2 Từ đó, ta có nén tổng hai mode xuất −1 ≤ S < cấp độ nén tổng hai mode đạt cực đại S = −1
1.2.4 Tính chất nén hiệu hai mode Một trạng thái hai mode tồn nén hiệu tham số nén tổng D thỏa mãn bất đẳng thức ˆ ϕ ) i−|hˆ 4h(∆W na −ˆ nb i| D= < 0, |hˆ na −ˆ nb i| (1.65) ˆ ϕ )2 i = h W ˆ ϕ2i − hW ˆ ϕi2 < [(1/4)|hˆ ˆ ϕ = eiϕaˆˆb† + e−iϕaˆ†ˆb /2 Do với h(∆W na − n ˆ bi|]; W đó, trạng thái có nén hiệu hai mode −1 ≤ D < cấp độ nén hiệu hai mode đạt cực đại D = −1
1.3 Tiêu chuẩn dị tìm đan rối 1.3.1 Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy Dựa vào hệ thức bất định Heisenberg bất đẳng thức Schwarz, Hillery Zubairy đưa tiêu chuẩn dị tìm đan rối Đối với số nguyên dương k l bất kỳ, trạng thái đan rối cần phải thỏa mãn điều kiện (1.81) |hˆak ˆbl i|2 > hˆa†k aˆk ˆb†lˆbl i 1.3.2 Phương pháp định lượng độ rối Phép lấy gần entropy von Neumann cho ta entropy tuyến tính dùng để đo độ rối trạng thái lượng tử có dạng M = − Tr(ρˆ2A(B)), (1.89) ρˆA(B) = TrB(A)ρˆAB ma trận mật độ rút gọn ρˆAB Một trạng thái có entropy tuyến tính < M ≤ Khi M = trạng thái đan rối hồn hảo 1.4 Viễn tải lượng tử biến liên tục Giao thức viễn tải lượng tử biến liên tục tiến hành sau: phép đo Bell thực đo đồng thời hiệu tọa độ tổng xung lượng mode a có trạng thái đan rối biến liên tục |Ψiab mode c có trạng thái cần viễn tải |ψinic Trạng thái riêng tương ứng với trị riêng đo có dạng P ˆ |βiac = √1π ∞ (1.90) j=0 Dc (β)|j, jiac , ˆ c(β) toán tử dịch chuyển tác dụng lên trạng thái mode D c, β = x− + iy+ số phức, với x−, y+ giá trị riêng cần đo Trạng thái đầu cuối mà nơi nhận thu |Ψoutib = √ |Ψ′out ib ′ ′ b hΨout |Ψout ib = √1 P (β) Tˆ (β)|ψinic, (1.96) P (β) xác suất phép đo Tˆ (β) = cahβ|Ψiab gọi toán tử viễn tải Sự xác q trình viễn tải thể độ trung thực trung bình 2 Fav = P (β) chψin|ψoutib d β = chψin|T (β)|ψinic d β (1.98) Q trình viễn tải hồn hảo xảy Fav = 1, trình viễn tải lượng tử xử lý theo cách cổ điển có độ trung thực đạt Fav = 0.5, trình viễn tải lượng tử thành cơng Fav > 0.5 1.5 Một số dụng cụ quang 1.5.1 Thiết bị tách chùm Thiết bị tách chùm thiết bị dùng tạo trạng thái chồng chập trạng thái đầu vào Nếu trạng thái đầu vào thiết bị tách chùm 50:50 trạng thái tích |αia|βib ta có biến đổi E E β+iα α+iβ ˆ Bab|αia|βib = √2 √2 , (1.105) a b |αia |βib trạng thái kết hợp đưa vào 1.5.2 Thiết bị dịch pha Khi qua thiết bị dịch pha mode a: Pˆa(ϕ) = exp(iϕˆa†aˆ), ta có Pˆa(ϕ)|αia = |αeiϕia (1.107) Như thiết bị dịch pha tác dụng lên trạng thái kết hợp |αia biến đổi thành |αeiϕia, biên độ α có dịch pha ϕ 1.5.3 Phương tiện chéo-Kerr phi tuyến Nếu trường tín hiệu trạng thái Fock |nia trường dị tìm trạng thái kết hợp |αic vào phương tiện chéo-Kerr phi tuyến Kac(χ) = eiχtˆnanˆ c tạo hệ kết hợp hai mode tiến hóa sau |Φ(t)iout = eiχtˆnanˆ c |nia|αic = |nia|αeinaχtic, (1.109) t thời gian tương tác tín hiệu mode dị tìm với mơi trường phi tuyến 1.5.4 Đầu dị quang Hai tốn tử đo mơ tả đầu dị quang mở-tắt có dạng ∞ q P on ˆ = Ξ fjon(η)|nj ij hnj |, fjon(η) = − (1 − η)nj , j nj =0 (1.110) ˆ of f Ξ j = ∞ q P nj =0 fjof f (η)|nj ij hnj |, fjof f (η) = (1 − η)nj , (1.111) fmon(η) fmof f (η) xác suất xuất khơng xuất dịng quang điện đầu ra, trạng thái đầu vào chứa m photon Chương CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN BẬC CAO VÀ MƠ HÌNH TẠO TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP ĐIỆN TÍCH CHẴN VÀ LẺ 2.1 Tính phản kết chùm bậc cao 2.1.1 Tính phản kết chùm bậc cao đơn mode Tiêu chuẩn để tồn phản kết chùm bậc cao đơn mode định nghĩa hệ số phản kết chùm đơn mode Ax(l) thỏa mãn (1.50) Hệ số phản kết chùm đơn mode Aea(l) ≡ Aeb(l) trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn, l lẻ, ta có Aeb(l) = Jq (2|ξ|)+Iq (2|ξ|)

Jl+q+1 (2|ξ|)+Il+q+1 (2|ξ|)

− Iq+1 (2|ξ|)−Jq+1 (2|ξ|) Il+q (2|ξ|)−Jl+q (2|ξ|) (2.5) Hệ số phản kết chùm đơn mode Aea(l) ≡ Aeb(l) trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn, l chẵn, ta có Aeb(l) = Jq (2|ξ|)+Iq (2|ξ|)

Il+q+1 (2|ξ|)−Jl+q+1 (2|ξ|)

− Iq+1 (2|ξ|)−Jq+1 (2|ξ|) Jl+q (2|ξ|)+Il+q (2|ξ|) (2.6) Tương tự, hệ số phản kết chùm đơn mode Aoa(l) ≡ Aob(l) trạng thái hai mode kết hợp điện tích lẻ, l chẵn, ta có A0b (l) = Iq (2|ξ|)−Jq (2|ξ|)

Jl+q+1 (2|ξ|)+Il+q+1 (2|ξ|)

−1 Jq+1 (2|ξ|)+Iq+1 (2|ξ|) Il+q (2|ξ|)−Jl+q (2|ξ|) (2.7) l lẻ Aoa(l) ≡ Aob(l) trạng thái hai mode kết hợp điện tích lẻ có dạng Iq (2|ξ|)−Jq (2|ξ|) A0b (l) =
Jq+1 (2|ξ|)+Iq+1 (2|ξ|) 0.0 0.0 -0.2 -0.4 (a) l=1 l=2 l=3 l=4 -0.6 -0.8 -1.0 (2.8) Jl+q (2|ξ|)+Il+q (2|ξ|) AoaHlL º AobHlL AeaHlL º AebHlL
Il+q+1 (2|ξ|)−Jl+q+1 (2|ξ|)

− -0.2 (b) -0.4 -0.8 -1.0 10 l=1 l=2 l=3 l=4 -0.6 10 ÈΞÈ ÈΞÈ e e Hình 2.1: Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm đơn mode Aa (l) ≡ Ab (l) Aoa (l) ≡ Aob (l) vào |ξ| trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn (a) lẻ (b), cho q = l = 1, 2, 3, 0.0 AebH9L -0.2 -0.4 q=0 q=1 q=3 q=5 -0.6 -0.8 -1.0 10 ÈΞÈ Hình 2.2: Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm đơn mode Aeb (9) vào |ξ| trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn, cho l = q = 0, 1, 3, Xét trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn q = 0, giới hạn giá trị |ξ| bé với q = 0, tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode tồn l chẵn không tồn l lẻ, |ξ| đủ lớn tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode luôn tồn với giá trị l Tương tự, xét trạng thái hai mode kết hợp điện tích lẻ q = 0, |ξ| đủ lớn tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode ln tồn với giá trị l Cấp độ phản kết chùm bậc cao đơn mode lớn l tăng hai trạng thái Trường hợp q ≥ 1, tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode xuất hầu hết với giá trị |ξ|, giới hạn giá trị |ξ| bé, tính chất phản kết chùm bậc cao đơn mode trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn khơng tồn l lẻ 10 2.1.2 Tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode Tiêu chuẩn tồn tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode định nghĩa hệ số phản kết chùm hai mode Aa,b(l, m) thỏa mãn (1.54), cho m = Hệ số phản kết chùm hai mode trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn J (2|ξ|)−J (2|ξ|)+I (2|ξ|)+I (2|ξ|) Aea,b(l) = −J−l+q−1 (2|ξ|)+Jl+q+1 (2|ξ|)+I−l+q−1 (2|ξ|)+Il+q+1 (2|ξ|) −1, (2.9) −l+q+1 l+q−1 −l+q+1 l+q−1 l chẵn Nếu l lẻ, ta có hệ số phản kết chùm hai mode Aea,b(l)= J−l+q−1 (2|ξ|)+Jl+q+1 (2|ξ|)+I−l+q−1 (2|ξ|)+Il+q+1 (2|ξ|) −J−l+q+1 (2|ξ|)−Jl+q−1 (2|ξ|)+I−l+q+1 (2|ξ|)+Il+q−1 (2|ξ|) − (2.10) Tương tự, hệ số phản kết chùm hai mode trạng thái hai mode kết hợp điện tích lẻ Aoa,b(l)= −J−l+q−1 (2|ξ|)+Jl+q+1 (2|ξ|)+I−l+q−1 (2|ξ|)+Il+q+1 (2|ξ|) J−l+q+1 (2|ξ|)−Jl+q−1 (2|ξ|)+I−l+q+1 (2|ξ|)+Il+q−1 (2|ξ|) − 1, (2.11) l chẵn Trường hợp l lẻ, ta có hệ số phản kết chùm hai mode Aoa,b(l)= −J−l+q−1 (2|ξ|)−Jl+q+1 (2|ξ|)+I−l+q−1 (2|ξ|)+Il+q+1 (2|ξ|) J−l+q+1 (2|ξ|)+Jl+q−1 (2|ξ|)+I−l+q+1 (2|ξ|)+Il+q−1 (2|ξ|) 0.0 0.0 (a) -0.2 -0.4 l=1 l=2 l=3 l=4 -0.6 -0.8 -1.0 10 15 20 Aoa,bHlL e Aa,b HlL -0.2 − (2.12) (b) -0.4 l=1 l=2 l=3 l=4 -0.6 -0.8 -1.0 10 15 20 ÈΞÈ ÈΞÈ e o Hình 2.3: Sự phụ thuộc hệ số phản kết chùm hai mode Aa,b (l) Aa,b (l) vào |ξ| trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn (a) lẻ (b), cho q = l = 1, 2, 3, Tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode tồn với giá trị l |ξ| Trường hợp với l q = 0, |ξ| dần giá trị bé, l chẵn Aea,b(l) tiến đến cấp độ phản kết chùm cao −1; Aoa,b(l) dần giá trị −l/(l + 1) < 0, l lẻ Aea,b(l) dần giá trị −l/(l + 1) < 0; Aoa,b(l) dần đến cấp độ phản kết chùm cao −1 Khi |ξ| đủ lớn, cấp độ phản kết chùm lớn l tăng 11 Với bậc l cho trước q = l, cấp độ phản kết chùm thấp |ξ| bé Nếu q ≥ l + khơng tồn tính chất phản kết chùm bậc cao hai mode hai trạng thái 2.2 Tính chất nén bậc cao hai mode Tham số nén Sab(N, ϕ) có dạng phương trình (1.59), trường hợp bậc N lẻ, tham số nén Sab(N, ϕ) lớn trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn lẻ, khơng có nén bậc cao hai mode trường hợp Trường hợp N = 2k, với k số nguyên dương lẻ, ta có tham số nén trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn Sab(N, ϕ)= ×  N P (2N )!|ξ|2k cos[2(kθ+ϕ)] 4[(2k)!]2 N [J−2n+N +q (2|ξ|)+I−2n+N +q (2|ξ|)] [2n!(N −n)!]2 n=0,2,4, |ξ| (N !) + Jq (2|ξ|)+I q (2|ξ|) NP −1 + (2.14) [I−2n+N +q (2|ξ|)−J−2n+N +q (2|ξ|)] [2n!(N −n)!]2 n=1,3,5,  tham số nén trạng thái hai mode kết hợp điện tích lẻ Sab(N, ϕ)= ×  N P (2N )!|ξ|2k cos[2(kθ+ϕ)] 4[(2k)!]2 + |ξ|N (N !)2 Iq (2|ξ|)−Jq (2|ξ|) [I−2n+N +q (2|ξ|)−J−2n+N +q (2|ξ|)] (2n!(N −n)!)2 n=0,2,4, + NP −1 (2.15) [J−2n+N +q (2|ξ|)+I−2n+N +q (2|ξ|)] [2n!(N −n)!]2 n=1,3,5,  Trường hợp N = 2k, với k số nguyên dương chẵn, ta có tham số nén trạng thái hai mode kết hợp điện tích chẵn  2 (2N )!|ξ|2k cos[2(kθ+ϕ)] (N )!|ξ|k cos(kθ+ϕ) √ − Sab(N, ϕ)= 4[(2k)!]2 2(k!)2  P N [J−2n+N +q (2|ξ|)+I−2n+N +q (2|ξ|)] |ξ|N (N !)2 + Jq (2|ξ|)+Iq (2|ξ|) [2n!(N −n)!2 ] n=0,2,4, + NP −1 [I−2n+N +q (2|ξ|)−J−2n+N +q (2|ξ|)] n=1,3,5, [2n!(N −n)!]2  tham số nén trạng thái hai mode kết hợp điện tích lẻ 2  (2N )!|ξ|2k cos[2(kθ+ϕ)] (N )!|ξ|k cos(kθ+ϕ) √ Sab(N, ϕ)= − 2 4[(2k)!] 2(k!) (2.16)