Mục tiêu nghiên cứu của đề tài Khảo sát độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử GaN/AIN là khảo sát độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử chế tạo từ hai loại vật liệu bán dẫn GaN và AIN có tính đến ảnh hưởng của một số nguồn giam giữ có thể.
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN THI HAI YEN
KHAO SAT DO LINH DONG CUA DIEN TU TRONG GIÊNG LƯỢNG TỬ GaN/AIN
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học PGS.TS DINH NHƯ THẢO
Trang 2ĐẠI HỌC HUẾ
TRUONG DAI HOC SU PHAM
NGUYEN THI HAI YEN
KHAO SAT DO LINH DONG CUA DIEN TU TRONG GIÊNG LƯỢNG TỬ GaN/AIN
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐINH NHƯ THẢO
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Toi xin cam đoan đây là công trình nghiền cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bắt kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác,
Huế, tháng 9 năm 2016 Tác giả luận văn
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tô lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS.TS Đinh Như Thảo đã tận tình giảng dạy, định hướng, động viên, giúp đỡ và
tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành Luận văn này
‘Toi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo trong bộ môn Vật lý Lý ững người đã truyền thụ những kiến thức cơ bản
thuyết, nị là ngành
Lý thuyết cũng như tư duy Vật lý cho tôi
‘Toi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế các bạn học viên Cao học khóa 23 và bạn bè tối đã đồng viên, góp giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đồn cha mẹ, anh
em cùng chồng và con tôi, gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho toi hoc tap, gia đình là chỗ dựa tỉnh thần lớn nhất của tôi
Huế, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn
Trang 5MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh sách các hình vẽ Danh sách các bằng .- Danh mục các ký hiệu và chữ viết tất MỞ ĐẦU NỘI DUNG - `
Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
141 Tổng quan về cấu trúc thấp chiều
1.2 Tổng quan về giống lượng tử
1⁄2.1 Giếng lượng tử vuông góc sâu vô hạn 1.2.2 Giống lượng tử vuông góc sâu hữu hạn 1.2.3 Gigng lượng tử parabol
124
Giếng lượng tử tam giác 13 Tổng quan về vật liệu
1.3.1 Các đặc trưng của GaN
132 Các đặc trưng của AÌN
1.3.3 Dị cấu trúc bán dẫn GaN/AIN
Trang 6
1.4.3 Giải phương trình Schrödinger bằng phương pháp bién phan 144 Các cơ chế tán xạ ảnh hưởng đến độ linh động điện tử Chương 2 ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA ĐIỆN TỬ TRONG 31 2.2
GIẾNG LƯỢNG TU GaN/AIN
Sư phân bố điện tử trong dị cầu trúc pha tap điều biến phân eve cà cà: 2.1.1 Hàm sóng biến phân trong dị cấu trúc ứng với rào thế hữu hạn 2.1.2 Thế giam giữ trong dị cầu trúc pha tạp điều biến phân cực 2.1.3 Năng lượng toàn phần của điện tử trong vùng con thấp nhất
Độ linh động của điện tử ở nhiệt độ thấp trong dị cầu trúc pha tạp điều biến GaN/AIN
22.1 Thời gian sống vận chuyển của hạt tải ở nhiệt do thấp 2.2.2 Hàm tự tương quan cho các cơ chế lần xạ trong di cấu trúc pha tạp điều biến phân cực
2.3.3 Độ linh động của khí điện tử ở nhiệt độ thấp Chương 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN 34L
32 Hàm sóng trong giếng lượng tử GaN/Al,Nị_„
Độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử tam giác sâu hữu hạn GaN/Al,Nụ_„
3.2.1 Sự phụ thuộc độ linh động của điện tử vào mật đội
điện tích phân cực trên mặt chuyển tiếp
Trang 73.2.2 Sự phụ thuộc độ linh động
điện tử lá sa „59,
3.2.3 Sự phụ thuộc độ linh động của điện tử vào mật độ
tap chit cho 60
3.2.4 Sit phu thuộc độ lĩnh động của điện tử vào bề dày
lớp spacer 61
KẾT LUẬN ¬¬ ¬¬ 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO sài „63
Trang 8Ll 12 13 14 16 l8 19 1410 Lu 112 118 114 115 34 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ Mơ hình cấu trúc của bán dẫn thấp chiều 3D, 2D, 1D, và 0D nh nh nh vn và
Sơ đồ thể năng của giếng lượng tử sâu vô hạn - Sơ đồ 3 mức năng lượng và hàm sóng của giếng thế vuông góc sâu võ hạn
Sơ đồ thế năng của giống thế một chiều vuông góc sâu hữu hạn
Nghiệm đồ thị cho giếng thế vuông góc sâu hữu hạn ứng với các giá trị & khác nhau Hình (a) ting với các giá trị chẵn, Hình (b) ứng với các giá trị lẻ
Sơ đồ 3 mức năng lượng và hầm sóng trong giếng thé mot chiều Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét
ứng với thế vo hạn
Sơ đồ thế năng của giếng thế parabol
Hàm sóng và các mức năng lượng của giếng thế parabol Hàm sóng và các mức năng lượng trong giống thế tam giác,
Hai ham Airy Ai(s) và Bi(s) Cầu trúc tỉnh thể GaN hoặc AIN
Cầu trúc vùng năng lượng của GaN và AIN Sơ đồ mình họa giếng lượng tit GaN/AIN Hệ thức tán sắc của điện tử trong tỉnh thể, Hàm điện môi ứng với các giá trị khác nhau
Trang 942 33 34 3.6
Hàm sóng c(z) trong giếng lượng tử tam giác sâu hữu hạn
GaN/Alp3Noz ting voi các giá trị mật độ tạp chất cho ÁN,
khác nhau
Biểu diễn sự phụ thuộc độ linh động của điện tử vào mật
độ điện tích phân cực trên mặt chuyển tiếp ø/z trong
giếng lượng tử GaN/AluaNạ; ứng với L„ = T0Ä, n, =
0.5 x 10 m3, Nj = 60 x 10 m
Biểu diễn sự phụ thuộc độ linh động của điện tử vào mật độ điện tử lá n, trong giếng lượng tử GaN/AlusNụ; ứng
với độ dày lớp spacer L, = 70A, N; = 60 x 10° m~3 và
ofx =1x 10" m2,
Biểu diện sự phụ thuộc độ linh động của điện tử vào mật
độ tạp chit cho Ny trong giếng lượng tử GaN/AlssNoz ứng với n„ = 5 x 1017 em", L, = 70A, ø/z = 1 x 107 m_% Biểu diễn sự phụ thuộc độ linh động của điện tử vào bẻ đầy lớp spacer trong giéng lugng tit GaN/AlpsNoz ứng với ng = 5 x 10! em-®, N; = 60 x 108 m 3, ø/z = 1 x 10
59
Trang 10Danh sách bảng
1.1 Tham sé vat lieu GaN 30
1⁄2 Tham số vật liệu AIN sài ¬
Trang 11DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT sR Đồ nhầm b mặt DP | — Thếbiến đạng khdp sai RI “Tạp bị ion hóa
AD | Khong trat ty hop kim bán dẫn ACE Hàm tự tương quan,
Trang 12MG DAU 1 Ly do chon dé tai
mn tit hai chiều
"Trong những năm gần đây các cấu trúc với k
đã được nghiên cứu và ứng dụng rộng rãi và chúng đã mang lại những sự thay đổi lớn lao trong các ứng dung công nghệ điện tử (1), [2], [3],
12], [15] Nguyên nhân chính là do hệ khí di có một loạt
các tính chất khác với hệ điện tử và lỗ trống ba chiều mà chính sự khác tử hai chỉ biệt đó đã làm thay đổi nhiều đặc tính của vật liêu như tiêu tốn ít năng,
lượng, tốc độ hoạt động nhanh, kích thước nhỏ, khả năng lưu trữ lớn,
trong đó các đại lượng vật lý như độ linh động, thời gian hồi phục, các
quá trình tán xạ của điện tử đóng vai trò rất quan trọng, vì các đại lượng này quyết định đến tốc độ của linh kiện điện tử Ta biết rằng độ linh động của điện tử là đại lượng vật lý liên hệ với độ dẫn điện, nó đặc trừng cho phẩm chất của linh kiện điện tử và phụ thuộc vào các cơ chế tần xạ của diện tử như tán xạ tạp chất ion hóa, bề mặt nhám, mắt trật tự hợp kim, phonon,
Giếng lượng tử là một trong các hệ thấp chiều đang được quan tâm nhiều vì phổ năng lượng (các mức năng lượng) của nó gián đoạn và có
được khi
thé thay dé
hay đổi độ rộng của lớp giếng [3], |5] Nếu lớp giếng (lớp có độ rộng vùng cấm nhỏ) có độ dày đủ mỏng, hạt dẫn chuyển động vuông góc với mặt tiếp giáp của hai bán dẫn thì bị lượng tử hóa, tức các mức năng lượng bị gián đoạn Giếng lượng tử mà chúng tôi xét
ở đây được làm từ hai loại vật liệu (vật liệu làm rào và vật liệu làm
giếng) Có nhiều loại giếng lượng tử như giếng lượng tử vuông gó
giếng lượng tử tam giác, giếng lượng tử parabol Trong cấu trúc khí điện tử
hai chiều, chuyển động của hạt dẫn theo phương z và là chuyển động
Trang 13tự do, còn chuyển động đọc theo phương z bị giới hạn trong một vùng không gian hẹp Như vậy điện tử chuyển động trong giếng thế là khí điện tử hai chiều,
"Ngày nay vật liệu GaN dang được quan tâm nghiên cứu của các nhà
khoa học bởi các nguyên nhân sau (3), [12], [16), (18), [24]: GaN thuộc
bán dẫn hợp chất A!/BỲ, có bề rộng vùng cắm rộng 3,44 eV và thuộc loại vùng cấm thẳng GaN có tiềm năng ứng dụng quan trọng trong việc chế tạo các linh kiện quang điện tử hoạt động trong vùng khả kiến và vùng cực tím, được sử dụng trong công nghệ hiện đại Cho đến bây giờ
GaN đang được nghiên cứu để thay thé cho vat lien Silicon là loại vật liệu hiện nay đang sử dụng để chế tạo ra chip điện tử Khi cầu trúc mới được hình thành, các tính chất vật lý của chúng cẩn được khảo sát Vì vậy đưa ra cấu tạo của giếng lượng tử GaN/AIN là rất quan trọng trong, kỹ thuật
Trong những năm qua ở nước ta đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến lĩnh vực này Nhóm tác giả Nguyễn Thành Tiên, Nguyễn Thị Kim Ngân và Dặng Hoàng Phượng {HH] đã tiền hành khảo sát độ linh động của khí điện tử hai chiều tồn tại trong MgZnO/ZnO có các cầu hình tạp chất khác nhau Trong bài báo này đã đánh giá ảnh hưởng, của các cầu hình tạp khác nhau (đồng đều, diễu biến và dang delta) lên
sự phân bố khí điện tử và độ lĩnh động điện tử tồn tại trong các giếng
lượng tử đó Luận văn Thạc sĩ của Hoàng Lĩnh (S) và Hồ Thanh Hồng, [6] đã tiến hành nghiên cứu độ linh dong cita dien tử ứng với cơ chế tán
xạ nhám bề mặt phân cực trong dị cấu trúc bán dẫn Các tác giả đã khảo sát sự phụ thuộc độ linh động của điện tử vào cơ chế tần xạ do bề mặt nhám và bề mặt nhám phân cực Nhóm tác giả Dinh Như Thảo,
Trang 14
dị cầu trúc pha tạp điều biến AIGaN/GaN có tính đến ảnh hưởng của
một số nguồn giam giữ Nhóm tác giả Nguy
Thảo, Phạm Thị Bích Thảo và Đoàn Nhật ăn Thành Tiên, Dinh Như Quang (20) đ một số cơ chế tán xạ chính ảnh hưởng đến việc vận chuyển điện tử bên
nghiên cứu
trong một dị cầu trúc điều biến pha tạp Trong bài báo này đã đưa ra được kết quả dưới tác dụng của cơ chế tán xạ do mắt trật tự hợp kim và tần xạ do độ nhám phân cực thì van chuyển điện tử phụ thuộc mạnh vào thành phần hợp kim và sự phân bồ điện tử ở bề mặt tiếp xúc của giếng và rào
Nhu vay
v, dù đã có một số công trình nghiên cứu về độ linh động của điện tử nhưng qua khảo sát chúng tôi thấy chưa có công trình nào nghiên cứu về độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử GaN/AIN Do đó, việc sử dụng các phương pháp cơ học để nghiên cứu độ linh động, của điện tử trong giếng lượng tit GaN/AIN là thiết thực Vì vậy tôi chọn đề tài "Khảo sát độ linh động của điện tử trong giếng lượng
tử GaN/AINT làm đề tài Luận văn Thạc s
2 Mục tiêu nghiên cứu Me tiêu nghiên cứu của đề
¡ là khảo sát độ linh động của di
tử trong giếng lượng tử chế tạo từ hai loại vật liêu bán dẫn GaN và AIN có tính đến ảnh hưởng của một số nguồn giam giữ có thể
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nêu tổng quan về vật liệu GaN và AIN;
- Tổng quan về cầu trúc thấp chiều;
~ Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử GaN/AIN;
Trang 15- Lập trình tính toán và vẽ đỏ thị
- So sánh kết quả nghiên cứu với thực nghiệm và rút ra kết luận 4 Phạm vi nghiên cứu
“Trong khuôn khổ Luận văn, chúng tôi chỉ nghiên cứu độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử GaN/AIN
5 Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết dựa trên lý thuyết của Cơ học lượng tử; - Sử dụng các phương pháp số; - Sử dụng chương trình Mathematica, để tính số và vẽ đồ thị 6 Bố cục luận văn
Ngoài Mục lục, Phu luc, Tai ligu tham khảo, Luận văn gồm ba phần: ~ Phần Mỡ đầu trình bày về lí do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu của đề tài ~ Phần Nội dung gồm ba chương
Chương 1: Cơ sở lí thuyết
Chương 2: Độ linh động của điện tử trong giếng lượng tử GaN/AIN: Chương 3: Kết quả tính số và thảo luận
Trang 16NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương nàu trình bày tổng quan uề cấu trúc thấp chiều, tổng
quan về giếng lượng tử, đặc trưng của tật liệu GaN, AIN
các đặc trưng của khí điện tử hai chiề
1.1 Tống quan về cấu trúc thấp chiều
“Tiến bộ của vật lý chất rắn được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu từ vật liêu bán dẫn khối sang vật liệu bán dẫn nano Các nghiên cứu chỉ ra rằng khi vật liệu ở kích thước nano, những tính chất của chúng trở nên ưu việt hơn so với vật liệu khối [1], [2|, 3], (12),
[15] Khi ở dạng vật liêu khối (3D) các điện tử và lỗ trống di chuyển
tự do trong các vùng tương ứng của chúng theo tất cả các phương nên
chúng có 3 bậc tự do, phổ năng lượng điệ tử liên tục Khi ở dạng nano, bước sóng của điện tử có thể so sánh với bước sóng De Broglie của hạt, khi đó điện tử bị giới hạn về chuyển động cũng như truyền sóng, gây ra hiện tượng hạt bị giam giữ dẫn đến bị lượng tử hóa hàm sóng và năng lượng Tùy theo chiều giam giữ mà vật liêu bán dẫn được chia ra thành các loại 3D, 1D, 0D Đối vớ lượng tử) các điên tử bị giam giữ theo một hướng và chuyển động tư do một chiều giam giữ (2D - giếng,
theo hai hướng còn lại, phổ năng lượng bị gián đoạn theo chị 1 bi giới
hạn Khi các điện tử giữ theo hai hướng và chuyển động tự do
theo hướng còn lại, phổ năng lượng bi gián đoạn theo hai chiều trong không gian thì đó là vật liệu hai chiều giam giữ (1D - dây lượng tử)
Trang 17Chối cùng là vat liệu ba ch ều giam giữ (0D - chấm lượng tử), các điện
tử bị giam giữ theo cả ba chiều trong không gian và không thể chuyển
động tự do, các mức năng lượng bị gián đoạn theo cả ba chiều trong, không gian Hình 1.1 là mô hình cấu trúc của các bán dẫn Hình 11: Mô hình cí của bán đẫn thấp chiều 3D, 2D, 1D, và 0D, "Trong các cầu trúc thấp chiều, ngoài điện trường của thể tuần hoàn
gây ra bởi các nguyên tử tạo nôn tỉnh thể còn tồn tại một trường điện thế phụ Trường điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần) Cầu trúc giếng lượng tử thực hình thành bởi dị
cấu trúc tạo ra khí điện tử hai chiều, là cơ sở để chế tạo các linh kỉ
bán dẫn mới với những tính năng vượt trội hon so với ci
dẫn truyền thống như: kích thước nhỏ, tốc độ nhanh, tiêu tốn ít năng linh kiện bán
lượng và mật độ chức năng cao
1.2 Tổng quan về giếng lượng tử
" bán dẫn mà điện tử của hệ có cầu trúc
Giếng lượng tử là vat
Trang 18hạt tải nằm trong lớp bán dẫn giữa không thể xuyên qua mặt phân cách
để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh Tùy thuộc vào dạng thế năng của giếng mà ta có các loại giếng khác nhau như: giếng thế vuông góc, giếng
thé parabol, giếng thế tam giác [3], [5], [17]
Khong thé tao ra giếng vuông góc sâu vo hạn trong thực tế, nhưng tính đơn giản của giếng này làm eho nó trở thành một mô hình được sử dụng thường xuyên Giếng có độ sâu hữu hạn cung cấp một sự mô tả tốt hơn nhiều đối với một giống lượng tử thực Các giếng parabol có
thể được nuôi bằng cách thay đổi thành phần của bán dẫn một cách liên
tục, giống thé nay liên quan nhiều nhất đến nghiên cứu từ trường Cuối cùng là một giếng thế tam giác nó được dùng như một mô tả thô đối với khí điện tử hai chiều (2DEG) tạo thành tại một đị chuyển tiếp pha tạp
1.2.1 Giếng lượng tử vuông góc sâu võ hạn
Xét một hạt chuyển động tự do trong trong giống thế một chiều có tích của thế năng là (3), [3] [17]: bé rong L Dang 0 kh 0<z<E, V2) = co khi : 2 <0,2>L (0) Tình 1.2 là sơ đồ thế năng của giếng thé sau vo han Ta thay ring ben ngoài giéng thé V(z) — ae, hàm sóng (=) — Ú hạt không tồn tại Vì vay ta chỉ xét hat ben trong giếng thế 0 < = < L
Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng có dạng:
= Eu(), (12)
hay
Trang 19V(z)=0 0 L + Hình 1.2: Sơ đồ thế năng của giếng lượng tử sâu võ han Dat k? = 2m22/h?, phuong trình (1.3) trở thành: #0) | ays ae + Puls) (14) Nghiệm của phương trình có dạng: Asin(kz) + Beos(k2) (15)
Do điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên (điểm có thế năng gián đoạn) nên ta có: (0) = 0, 0(E) = 0, suy ra = ( và sinkk =0 = kb,= nã Vì
= 2m.E,/BỀ nên ta có biểu thức năng lượng của hạt trong giếng thế: he 2mT2 trong 46 Ep = n°h?/2mL? la nang lượng của E, (16) n tử ứng với n = 1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản
‘Nine vay, hạt ở trong giếng có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng Eù, 4Eo, 9Fo, 16Eu, Vì năng lượng của hạt chỉ là động năng nên vận tốc của hạt chỉ có những giá trị nhất định Đây là điều khác hẳn với trường hợp cổ điển: khi vật chuyển động không ma
a nó luôn luôn không đổi
Trang 20
và bằng chính vận tc ban đầu
Hàm riêng (1.5) được viết lại dưới dang
naz
Win(2) = Asin(ke) = Asin(>) (17)
Từ điều kiện chuẩn hóa ƒ |0(z)Ï“dz = 1, ta suy ra A= 5/1
Vậy, hàm sóng ở trạng thái dừng ứng với hạt có năng lượng E, là ney = lewis _ vale) = Zan, n=1,23, (8) Hình 1.3 biểu diễn 3 mức năng lượng và hàm sóng đầu tiên của giếng thế vuông góc sâu võ hạn
Hình L3: Sơ đỗ 3 mức năng lượng và hàm sóng của giếng thể vuông góc sâu vô hạn
1.2.2 Giếng lượng tử vuông góc sâu hữu hạn
Trang 21-L/2 0 1/2
Mình L.4: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiêu vuông góc sâu hữu hạn
Hình 1.4 là sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều vuông góc sâu hữu
hạn
Có thể thấy rằng khi năng lượng E > Vộ thì hạt tự do khong bị liên kết, năng lượng E là liên tục Ngược lai, khi E < Vp hat bị nhốt trong giếng
năng lượng của hạt bị lượng tử hóa ứng vớ ic trang thái liên kết
Trang 22Đặt
=,
mm TT ST IO, (3)
ant) > 0, m la khéi lượng hiệu dụng của điện tử Sit dung ký hiệu d?y(z)/dz? = ý” ta được phương trình Schrödinger va trong đó œ nghiệm tương ứng cho từng miền như sau: Mién I (V(2) = Vo) (2) = a?ya(z) = 0 + da(z) = Ae’ Miền II (V(z) = 0): 2(z) + k2úa(z) = 0 —> ta(z) = Bcos(kz) + Csin(kz) miễn HH ((z) = V2): tất) — ava(2) = 0+ va(z) = De
Vì giếng thế là đối xứng nên nghiệm ở miễn II thuộc về hai lớp nghiệm chẵn (0a(z) = ie = Beoskz) hoặc nghiệm lẻ (/a(z) = vr = Csinkz) Sử dụng điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại các điểm
biên (z = +/2), ta được:
tan ( = ? đối với lớp nghiệm chẫn, (14)
(5) `, đối với lớp nghiệm lẻ F (115) Thay & và œ vào hai phương trình (1.14) và (1.15) đồng thời đặt £? =
mL?E,,/(2h?), & = mL?Vo/(2h?), ta duge:
ftan€ = \/—&, déi với lớp nghiệm chẫn, (1.16)
Trang 23hay tan£= = đối với lớp nghiệm chẵn 5 (118) eee
—coté = ee đối với lớp nghiệm lẻ (119) Hai phương trình siêu việt (1.18), (1.19) xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn Giá trị năng lượng chứa trong số hạng £ = \/mL?E/(2h*) Céc phuong trinh nay khong thé giải bằng, phương pháp giải tích mà chỉ có giải bằng phương pháp tính số hoặc đồ
thị Ở đây ta sẽ giải bằng phương pháp đồ thị al & in le zm 0 2 © 3a Qn San Se Tad € 0 a 3nd De Se Swed € @ ®
Hin Lõ: Nghiêm đồ thị cho giếng thể uống góc sau hữu hạn ứng với các giá trị É› khác nhau Hình (a) ng với các giá trị chân, Hình (b) ứng với các gi tị lẻ
Hình L.5a biểu diễn đồ thị của tan€ và y/&Ÿ — € € theo €, hình 1.5b biểu diễn đồ thị của — cot€ và v/§Ÿ — €? /€ theo € với các giá trị &u khác nhau, nghĩa là Vạ và L khác nhau Giao điểm của các đường cong này
xác định các giá trị £ thỏa mãn các phương trình (1.1) và (1.19) ứng với
Trang 24
cho phép Khi &u tăng số giá trị năng lượng cho phép tăng lên trong cả hai trường hợp Vậy phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẫn và lẻ xen kể nhan, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẫn
Một cách tổng quát giá trị của bề rộng giếng mà tại đó có n trạng thái liên kết, nghĩa là có n giá trị năng lượng được cho bởi:
mi
m
& Ã hoặc w= (5) (120)
Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thai chin va lé xen kế nhau, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thai chin
Nếu giếng thế rt sâu, nghia IA Vj 00 thi & — se, hàm v⁄@ — £® / sẽ cất —cot£ và tang tai ede điểm tiệm cận € = nz/2, vì khi Vj => se
thì cả tang va cot € dau tiến tới vô cùng 3n + 2 tan€ +00 + €= n=0,1,2,3, (120) coL£ + 00 + = nz, n=0,1,2.3, (1.22) Kết hgp (1.21) và (1.22) ta duge € = nz/2, n = 1,2.3, Vi @ = m1?B,,/(2h*) nen biéu thite năng lượng là ne Tá = oma” (1.23) trùng với năng lượng trong trường hợp giếng thế sâu vô hạn ) và trạng thái kích thích thứ hai (n = 3) là trạng thái chẵn, trạng thái kích thích thứ nhất ( Trang thai cơ bản (n = 2) là trạng thái lẻ Đồ thị cho thấy rằng, các hàm sóng “lan tỏa” qua miền # < Vụ Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt |j(z)|Ÿ ở miền I và miền HI khác không,
nghĩa là hạt có thể có mặt ở bên ngoài giếng Mức độ “thấm qua” của hạt phụ thuộc vào độ lớn của œ nghĩa là độ sâu Vọ của giếng, hạt thấm qua được một đoạn 1/a = h (/Øm(Ta— E) kể từ biên của giếng Chú
Trang 25ý rằng khi Vụ —› se thì 1/a + 0, nghfa là hạt không thể ra khỏi giếng,
Đây là trường hợp giếng thế võ hạn như đã khảo sát ở trên
‘Ta xét một nghiệm với một giá trị m đã cho như là một hầm của Vj Phuong trình (1.20) cho thấy trạng thái này xuất hiện khi giao điểm ứng với € — (n = 1)2/2, từ đó là ổn (n — Đ (2m12 Sử dụng điều kiện liên tục tại biên 2 = —L/2 va z = E/2 của các hàm sóng ta tìm hệ số A, B,C, D Đối với lớp nghiệm chẵn: = (n— 1)z/L và chiều sâu của giếng ey(-L/2) = vx(-L/2), ay 9a(L/2) = 0a(1/3) Suy ra { A= Boos (-kL/2) = Beos(kL/2), " D= Bcœ(kL/2) Các hàm sóng được viết lại như sau: va(z) = Beos (kL/2) €* (1.26) va(z) = Beos (kz), (1.27)
1a(z) = Beos (kL/2) e~** (128)
“Từ điều kiện chuẩn hóa
i edz = 1 (1.29)
ta có
1 tr toe
J itd + ƒ nie I „ W0 =1, (130)
Cho các hàm sóng trên toàn bộ miền z ta sẽ tìm được hệ số chuẩn hóa B Tiền hành tương tự đối với lớp nghiệm lẻ, ta cũng sẽ thu được hệ số
Trang 26Ta tìm nghiệm của (1.39) dưới dạng chuỗi: 7) =3 2£ (140) «= Lấy đạo hàm bậc nhất rồi bậc hai của ƒ(€), ta được: © = Sing FO =Sii-Vae (141) Thay (1.40), (141), vào (1.39) và đưa các số hạng về cing téng 3S , & ta được: DE + NE + aise — Bias + (€ = Dai] = 0 i ty ra công thức truy toan ding dé xée dinh céc hé s6 aj là: (1.42) Từ đó, ta s 2i+1— woe" (1.43) điya =
Để đảm bảo điều kiện giới nội của hàm sóng khi £ => oo thì chuỗi (1.40) phải bị chan ở một số hạng nào đó, nghĩa là trở thành một đa thức Giả sử bậc của đa thức là n, lúc đó a, Z 0, ø„+z = 0, từ cơng thức truy tốn (148) suy ra: 2n+1l~e=03e=2n+1 (14) Kết hợp (1.34) với (1.44) ta được biểu thức của năng lượng: 0/1/24 (145) En = (n+ s)he, với
Biểu thức (1.45) chứng tỏ năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn Năng lượng thấp nhất của đao động tử ứng với n = 0 là
Ei
1 ghe, (1.46)
được gọi là “năng lượng không” Năng lượng này có liên quan đến dao
Trang 27lượng tử thì ngay cả khi nhiệt độ tiến đến không độ tuyệt đối các hạt vẫn dao động, do đó có năng lượng
Hàm sóng ứng với năng lượng #2, có dạng:
1„(€) = Aue°/2ƒ(6) (1)
So sánh phương trình (1.41) với phương trình đa thức Hermite, ta thấy (©) chính là đa thức Hermite, nên #2(€) = H„(€) = (—1 (148) hà hoá của hàm sóng và điều kiện trực giao của đa thức Hermite ta tìm được hệ số A, là: 1 Ay (ma /hn) (1.49) Như vậy, hàm sóng ứng với năng lượng Eạ, có dạng: 9(€) = (ma/ha)!^(29n1)"!/% (1.50)
chuyển qua biến z ta được:
Trang 2890M0 He; She 32he- Ver
Tình L8: Hầm sống và các mức năng lượng cita giéng thé parabol
năng lượng khác nhau trong giếng thế parabol "Ta định nghĩa điểm mà tại đó hàm sóng yi 0 là nút, thi ham tu() có Ú nút, hàm thị 2) có 1 nút, him yo(2) có # nút Nói chung số nút chính là số lượng tử n
1244 ng lượng tử tam giác
Dạng giải tích của thế nang la (3) (5), [17]: co <0, eFz z>U, trong đó e là điện tích của electron, # là cường độ điện trường ( tích e# dương), z là tọa độ Ta thấy z < 0 thì V(z) = se hàm sóng (2) = Hình 1.9 biểu diễn hàm sóng cia hat dao động điều hòa ứng với 4 mức
hạt không tồn tại, như vậy hạt chỉ tồn tại trong miền z > 0,
Trang 29
2m)
Hình 1.9: Hàm sóng và các mức năng lượng trong giếng thế Lam giác
với điều kiện biên U(2 = 0) = 0 áp đặt bởi rào vô hạn Ta nhận thấy phương trình (1.56) có dạng giống với (1.33) nên ta dùng phương pháp đổi biến số để giải phương trình này bằng cách đặt nw y's : 2= (se) 7 8a tán va Fh) E 0 (‘= | Fa, chối (1.58) Khi đó " đầu — (2meF\?°dU s 2n (TH ) ue phương trình Schrödinger được viết lại theo biến £ là: (160)
Phương trình (1.60) có thể được đơn giản hoá hơn nữa bằng cách định
Trang 30TnP Các hợp chất này thường được kết tỉnh dưới dạng lập phương tâm mặt có cầu trúc zinc-blend (Z), các tứ diện là đều hoặc lục giác xếp chặt có cấu trúc wurtzite (W) với sự sắp xếp các nguy không đều C h tử có dạng tứ diện ä hai loại cấu trúc trên nguyên tử ở tâm khác loại với 4 nguyên tử ở đình tứ diện Đại hưng King Bia tị "Hồng sỐ mạn @ 318A Khối lượng viens p | 645 g/cm Nhiệt độ nóng chảy Tr, 2500 C He <6 giãn nở nhiệt aụ | 55910 K Độ dẫn nhiệt @ [1s Wem kK Đô rộng vùng cắm 3 300K Ey 3.48 Khối lượng hiệu dựng diem tit | m*/mo 018 Khối lượng hiệu dung l trống nhẹ | mặ /mạ 03 Khối lượng hiệu dụng lỗ trồng năng | mặ/mo m ng số điện mỗi tĩnh, & 10 Hồng số điện môi tần số cao < 545 Đồ lĩnh động của điện tử ở 300K | „| 1000cm°/Vx Độ lĩnh động của lỗ trồng ở 300K | yp | 30cm°/Vs
Bing 1.1: Tham số vật liệu GaN
Vật liệu GaN là một bán dẫn có độ rộng vùng cấm rộng và thuộc ving
cầm thẳng, còn có độ dẫn nhiệt cao, vận tốc cuốn bão hòa lớn, cường độ
điện trường đánh thủng cao, rất ổn định tính chất lý, hóa nên có nhiều
ứng dụng trong lĩnh vực quang - điên tử vùng khả kiến và vùng cực tím cũng như để chế tạo các linh kiện công suất lớn hoạt động được ở nhiệt độ cao Hợp chất GaN kết tỉnh dưới dạng lập phương tâm mặt hoặc lục giác xốp chặt nhưng các nguyên tử trong cầu trúc đều sắp xếp theo kiểu tứ diện Mỗi nguyên tử Ga là tâm của một hình tứ diện và 4 nguyên tử
N xung quanh là đỉnh tứ diện Ngược lại, mỗi nguyên tử N là tâm của
Trang 31một hình tứ diện và 4 nguyên tử Ga lận cận tạo thành đỉnh tứ diện (hình 1.11) Trong hợp chất GaN tồn tại đồng thời ba hiệu ứng: hiệu ứng bề mặt (do các liên kết treo ở mặt ngoài gây ra), lượng tử (theo cä mặt ngoài và giao điện gây ra), và hiệu ứng giao điện (do sự
lệch hằng số mạng tại mặt giao diện gây ra) Kết quả là gây ảnh hưởng, đồng thời lên các thuộc tính của cấu trúc này Bảng 1.1 trình bày các
tham số vật liệu GaN (13], |20)
1.3.2 Các đặc trưng của AIN Đại lượng Ki i Hing số mang, a Khối lượng tiông | 32/60 g/em* Nhiệt độ nóng chảy T 2400 C He <6 giãn nở nhiệt au | 5610%K+ Độ dẫn nhiệt ø |28WemK+ Độ rộng vùng cắm 6 300K Ey 63N Khối lượng hiệu dụng điện từ — | m°/mạ 04 Khối lượng hiệu dụng lõ trống nhẹ | mị /ma 021 “Khối lượng hiệu dụng lỗ trồng năng | my/mạ | —_ 1049)
Tầng số điện môi tình < 85 hing 96 điện môi tần số cao « 16 Độ lĩnh động của điện từ ở 300K | „„ | 135em8/Vx Độ lĩnh động của lỗ trồng ở 300K | „„ | Hcm8/Vs
Bang 1.2: Tham số vật liệu AIN
AIN được tổng hợp từ nhôm và Nitơ, nó không xảy ra tự nhiên AINỶ
có tính chất ổn định với nhiệt độ cao trong môi trường trơ AIN là loại vật liệu gốm duy nhất kết hợp tính dẫn nhiệt cao với điện trở suất cao AIN cũng là bán dẫn hợp chất A"BY trong đó bán kính đồng hóa trị
của AI và Ga bằng nhau Cấu trúc tỉnh thể của AIN hoàn toàn giống với
Trang 32Cầu trúc tỉnh thể của GaN Hằng số mạng của AIN gần bằng hằng số mạng của GaN Dộ rộng vùng cấm của AIN lớn hơn nhiều so với GaN,
và giá thành rẻ hơn, độ bền tốt hơn Bảng 1.2 trình bày các tham s
vật liệu AIN [13], (20)
1.3.3 Dị cấu trúc bán dẫn GaN/AIN
Dị cầu trúc là một cấu trúc bán dẫn trong đó thành phần hoá học thay đổi theo vị trí [3], [13] Dị cầu trúc đơn giản nhất gồm hai lớp tiếp xúc di thể (goi là dị tiếp xúc, lớp tiếp xúc xảy ra giữa hai bán dẫn có bề rộng vùng cắm khác nhau) Trong công nghệ chế tạo bán dẫn dị cầu trúc, điều quan trọng là phải đảm bảo sự phù hợp giữa các thông số mạng của hai chất tiếp xúc Nếu hai lớp chất với các hằng số mạng khác
nhau được cho xen phủ lên nhau, sau đó tăng độ dày của chúng lên thì sẽ xuất hiện sự bién dang va lech mạng tai mặt tiếp xúc
Dị cầu trúc bán dẫn GaN/AIN có hằng số mạng và cấu trúc khá tương đồng, sự sai lệch hằng số mạng là 2,5% nhưng có bề rộng vùng cắm khác nhau Hình 1.12 biểu diễn cấu trúc vùng năng lượng của GaN và AIN Hình 1.13 chỉ ra sơ đồ chung của một giếng lượng tử đơn giản có thể nuôi cấy |20| AIN có độ rộng vùng cắm lớn hơn nhiều so với GaN, do chech lệch khe vùng tồn phần là
AE, = EỆ~— =6,
(1.65)
trong đó E}, B2 twang ing la bé rong ving cm cia GaN va AIN Chinh, vi vay Giéng lượng tử bán dẫn GaN/AIN là tỉnh thể dị cấu trúc kép, trong đó vật liệu làm rào là AIN còn vật liệu làm giếng là GaN, Trong,
thực nghiệm, mẫu này được nuôi bằng phương php epitaxi cl phân
tử AIN được nuôi cấy trên lớp nền GaN nhờ sự tương thích về hằng số
Trang 33
1s 10 NÂNG ƯỢNG so as + lớp di ( x 7
Trang 34Nếu ta giam giữ một hạt tại một miền ở trục x c6 độ rộng Az thì ta chỉ
quan sát được hiệu ứng giam giữ lượng tử khi
AI Bê /(mkg1), (166)
Độ dày đ được chọn sao cho chuyển động của electron trong lớp bán dẫn GaN được lượng tử hóa theo
tụ chuẩn (1.66) Ta chọn hệ trục tọa độ
sao cho trục z dọc theo hướng nuôi cấy tỉnh thể, còn trục z và trục y nằm trên mặt phẳng đế Khi đó chuyển động của hạt bị lượng tử hóa
theo phương z, còn chuyển động trong mặt phẳng (z, ) là tự do
1.4 Các đặc trưng của khí điện tử hai chiều
Hệ hai chiều là hệ mà trong đó các điện tử có thé di chuyển tương đối tự do trong hai chiều còn một chiều bị hạn chế Tuy nhiên hộ hai chiều thuần túy chỉ là một mô hình lý tưởng không có trong thực tế
Việc nghiên cứu các hệ hai chiều trong thực tế đời hỏi phải có bổ chính
thích hợp vì các điện tử ít nhiều vẫn có thể chuyển động trong chiều thứ ba, làm cho hệ hai chiều không còn là hai chiều nữa mà là giả hai chiều
1.4.1 Điện tử trong trường tuần hoàn tỉnh thể
6 vat rin két tỉnh, cá
nguyên tử hay phân tử sắp xếp một cách có
trật tự, tuần hồn trong khơng gian Hàm sóng của điện tử trong tỉnh thể là nghiệm của phương trình Sehrödinger:
Hy(r) Eu(r), (1.67) hay
Trang 35trong đó ¡(r) là hàm sóng của điện tử, E là năng lượng, V(r) là thế năng của điện tử trong trường tuần hoàn của tỉnh thể ï) Trong trường hợp điện tử tự do V(z) = 0 phương trình (1.68) có dạng Rw —5—Av(r) = Ev 2m (1.69) Nghiệm của phương trình này có dạng sóng phẳng [7]: a(n) = Ae, (1.70)
với k 1A vée to song, A là biên độ Năng lượng của điện tử tự do là rep a 2mạ — 2mạ` (71) với Ø iF 1a xung lượng của điện tử, mụ là khối lượng của điện tử trong,
chân không Trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều k2 = k} + kỷ + kỂ, với
k, kụ„,k, là các hình chiếu của vée tơ sóng Ê lên các trục tọa độ 2, y, 2
Biểu thức (1.71) được viết lại là
E= (319318) = am (31388) (179
Nghĩa là electron tut do được mô tả bằng hàm sóng phẳng là sóng chạy mo mang theo xung lượng Ø và năng lượng Eụ xác định, năng lượng này phân bồ liên tục từ giá trị bằng 0 đến những giá trị vô cùng lớn Phổ năng lượng của hạt tải trong mặt phẳng này có dạng parabol thông thường
ii) Xét chuyển động của eleetron trong tỉnh thể
Trong trường hợp này V(z) là hàm của toa độ, tốn tử xung lượng
8
khơng được bảo toàn, do đó trang thái của eleetron không được biểu diễ 'NV không giao hoán với Haminton nữa, nên xung lượng của electron
dưới dạng sóng phẳng Do tác dụng của trường tỉnh thể nên mỗi mức
Trang 36nhau đến mức có thể coi chúng phân bố gần như liên tục Tùy theo độ tách của các mức năng lượng (do tương tác giữa các nguyên tử mạnh hay yếu) mà độ rộng của các vùng năng lượng đó có thể khác nhau Bức tranh vùng năng lượng gồm ba vùng: vùng dẫn, vùng cấm, vùng hóa trì Vũng năng lượng được phép là vùng dẫn và vùng hóa trị, chúng được ngăn cách nhau bởi vùng năng lượng cấm có giá trị E, [7] Trong mỗi
Hình 1.14: Hệ thức tần sắc của điện tử trong tỉnh thể
vùng được phép, năng lượng của điện tử là hàm tuần hoàn của véc tơ
Trang 37
ig lượng tử có kích thước đủ nhỏ để khoảng cách giữa các mức năng lượng đủ lớn thì điện tử ở mức năng lượng ¿ không thể nhảy lên
năng lương E Do đó điện tử luôn nằm ở trạng thái cơ bản và hàm sóng ở trạng thái cơ bản đặc trưng cho trạng thái của hệ Như vậy điện tử có ba chiều nhưng chỉ có hai bậc tự do theo mặt phẳng (z,y) còn là khí điện
theo phương z bị giam giữ nên ta có thể xem khí điện tử này
tử hai chiều
1.4.2 Hiệu ứng màn chấn và hàm điện môi
Một đặc tính quan trọng của khí điện tử hai chiều là sự phản hồi của nó trong trường điện từ Một tập hợp các điện tích nếu phân bố đều trong tồn khơng gian thì khơng tạo ra được trường thế, bởi vì thế tĩnh điện ở mỗi điểm là như nhau Khi có mặt nguồn ngoài (trường chính) nào đó và do tương tác Coulomib (hút hoặc đây) thì các điện tử cảm ứng trong hệ sẽ phân bồ lại (phân bồ theo khuynh hướng không đều nên hệ bị phân cực) và tạo thành một lớp màn chấn xung quanh nguồn ngoài, do đó làm giảm cường độ ảnh hưởng và bán kính tác dụng (bán kính chấn) của các trường ngoài
'Khi các điện tử tham gia vào hiệu ứng chấn mà vẫn không di chuyển (định xứ tại chỗ) thì được gọi là hiệu ứng chắn tĩnh Sự phân bố lại các
m tử này là do sự định hướng lại các lưỡng cực điện tại chỗ, ảnh hưởng của nó là làm giảm cường đô trường chính (trường ngoài) nhưng không làm thay đổi bán kính tác dụng Người ta mô tả chấn tĩnh bằng hằng số điện môi €, và giá trị của nó được đo bằng thực nghiệm
Ngược lại, khi các phần tử tham gia vào hiệu ứng chấn là các điện
Trang 38
Lenz và đồng
lại nguyên nhân sinh ra nó (trường chính) theo định
thời trường phụ này lại làm yếu nguồn ban đầu Tính chấn động phụ
thuộc vào độ cơ động của điện tích Nghĩa là các electron dễ di el din dén electron dé phan bé lai, hệ electron dé bị phân cực làm cho tính
chấn tăng Tĩnh chấn trong hệ ba chiều (3D) mạnh hơn trong hệ hai
chiều (2D) vì tính co động của các điện tích di động trong hệ ba chiều cao hơn Tính chấn trong hệ 2D phụ thuộc vào cầu trúc giếng lượng tử
chứa khí điện tử 2D Ngoài ra tính chấn còn phụ thuộc vào nguyên
loai trit Pauli
khí điện tử đều bj chấn động,
Khí điện tử hai chiều (2DEG) dưới tác dụng của nguồn ngoài sẽ
Như vậy, tắt cả các tương tác làm thay đổi phân bố của
phân bố lại không đều nên hệ sẽ bị phân cực tạo ra một trường phụ ngược với trường chính Kết quả là làm giảm cường độ cũng như bán kính tác dụng của các thế tán xa Khi ấy khí điện tử 2 chiều không còn chịu tác dụng của thể U(g) như ban đầu mà thay vào đó là một thế chấn U“@) 4) U(q) > UG) = sứ lều ứng chấn phụ thuộc vào với € (g) là hàm điện mới định lượng cho
độ cơ động của hạt tham gia vào hiệu ứng chắn và các loại tương tác mà hạt tham gia chấn bị ảnh hưởng
'Ở đây chúng tôi chỉ đưa ra kết quả hàm điện môi trong trường tĩnh
đồng nhất với phổ năng lượng E„ =
cho khí điện tử hai cÍ
vectơ sóng Feemi kp :
1+# $< 2kp
Sen L gael Yin] so ake,
Hinh 1.15 vẽ cho €, phụ thuộc vào s/(2kz) ứng với những giá trị khác
Trang 39chúng ta thấy hàm điện môi không phụ thuộc vào hạt tải Điều đó có nghĩa là các hạt tải mật độ rất thấp cũng chấn như các hạt tải mật độ
cao hơn Đáng chú ý là khi k tiến tới không, mật độ hạt tải cũng tiền tới không và hiệu ứng chắn chỉ tác động tới các giá trị rất nhỏ của s mà
thôi Khi s > 2kg hiệu ứng chấn giảm rất nhanh khi s tăng Hình L15: Hàm điện 1.4.3 Giải phương trình Schrödinger bằng phương pháp biến phân
€6 nhiều phương pháp giải phương trình Schrödinger Một trong các phương pháp đó là phương pháp biến phân [5] Phương pháp này
Trang 40ta thu được, [+ Re =3 las? Ey > 4 lal = B= = f6 n{E,} (L78) Thực tế, việc tính năng lượng cơ bản Eụ quy về việc tìm các hàm ú, được gọi là các
phân khác nhau ở cách chọn các hàm thử Thông thường người ta chọn hàm thử phụ thuộc vào các thông số a,ổ, Tìm cực tiểu của phiếm hài am thử Các phương án cụ thể trong phương pháp biến J(a,8, (179) Dé tim a, 6 ta tinh oy _ os da” 5B và thu được au, đị, Ta tìm được ham thit E = J(au đụ, ) rất gin Ey (180)
va ham song vo(§,00, i Uz Khi đã biết Eụ, rat gin vi yo Ta tiép tục tim Ei, vi, Be, Ey = min J tị Ñu¡d€, (181) với điều kiện [viva f viva =0 (1.82) Ey = min J tà Ñuad€, (183)
với điều kiện
aisk=n [iae= [ siad =0 (89)
“Tương tự cho việc tính các mức kích thích thứ ba, thứ tu, Phuong
pháp tìm năng lượng của trạng thái cơ bản nêu trôn được gọi là phương, pháp biến phân thuận hay phương pháp Ritz