Mục tiêu của đề tài Khảo sát công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng tử thế hyperbol bằng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái là sử dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái để thành lập biểu thức công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến, từ đó khảo sát cộng hưởng electron - phonon và độ rộng vạch phổ trong giếng lượng tử thế hyperbol.
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỒN THỊ ĐƠNG PHƯƠNG
KHAO SAT CONG SUAT HAP THU PHI TUYEN TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ HYPERBOL BẰNG PHƯƠNG
PHÁP TỐN TỬ CHIÊU PHỤ THUỘC TRẠNG THÁI
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ 'THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Trang 2ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐỒN THỊ ĐƠNG PHƯƠNG
KHAO SAT CONG SUAT HAP THU PHI TUYEN TRONG GIENG LUGNG TU THE HYPERBOL BANG PHUGNG
PHAP TOAN TU CHIEU PHU THUOC TRANG THAI
Chuyén nganh : VAT LY LY THUYET VA VAT LÝ TỐN
Mã số : 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ 'THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ ĐÌNH
Trang 3LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được cơng bố trong bất
kỳ một cơng trình nghiên cứu nào khác
Huế, tháng 9 năm 2016 Tác giả luận văn
Đồn Thị Đơng Phương
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Hồn thành luận văn tốt nghiệp này, tơi xin bày tổ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Lê Dinh da tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tơi trong suốt quá trình thực hiện
Qua đây, tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cơ giáo trong khoa Vat Lý; phịng Dao tao Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm - Dai hoc Huế; các bạn học viên Cao học khĩa 23 cùng gia đình, bạn bè đã dong viên, gĩp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn
Huế, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn
Đồn Thị Đơng Phương
Trang 5MỤC LỤC "a4 ee Lời cam đoạn ch MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN 11 12 “Tổng quan về giếng lượng tử thế hyperbol_ 1.1.1 Tổng quan về bán dẫn thấp chiều 1.1.2 Tổng quan về giếng lượng tử 1.1.3 Ham song và phổ năng lượng của electron trong
giếng lượng thế hyperbol
1.1.4 Hamiltonian cia hé electron tương tác với phonon
trong giếng lượng tỬ
Phương pháp tốn tử chiếu phụ thuộc trạng thái
Chương 2 CƠNG SUẤT HẤP THỤ PHI TUYẾN
21
TRONG GIENG LUGNG TU THE HYPERBOL
Trang 6
22 3.1 3.2 Biểu thức giải tích của cơng suất hấp thụ trong giếng lượng tử thế hyperbol
2.2.1 Biểu thức giải tích của cơng suất hấp thụ tuyến tính 36
2.2.2 Biểu thức giải tích của cơng suất hấp thụ phi tuyến 46
Chương 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
Hiệu ứng cộng hưởng electron - phonon tuyến tính trong
giếng lượng tử thế hyperbol -
3.11 Khảo sát sự phụ thuộc của cơng suất hấp thụ
tuyến tính vào năng lượng của photon 3.1.2 Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ của đỉnh
ODEPR tuyến tính vào nhiệt độ
3.1.3 Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ của đỉnh
55
ODEPR tuyến tính vào thơng số ø của thế hyperbol 59 Hiệu ứng cộng hưởng eleetron - phonon phi tuyến trong
giếng lượng tử thế hyperbol -
3.2.1 Khảo sát sự phụ thuộc của cơng suất hấp thụ phi
tuyến vào năng lượng của photon 3.2.2 Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ của đỉnh
ODEPR phi tuyến vào nhiệt độ 3.2.3 Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ của đỉnh
ODEPR phi tuyến vào thơng số ø của thé hyperbol 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
Trang 73.1 3.2 3.3 34 3.5 3.6 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thụ tuyến tính uào năng lugng photon ở nhiệt độ 200 K, ø = 0.015 a) Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thụ tuyến tinh vao năng lượng pholon tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ T;¡ nhiệt độ T=100 K (đương màu xanh), T=200 K (đường màu đỏ).b) Sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến
tính tào nhiệt độ ee
a) Su phụ thuộc của cơng suất hấp thụ tuyến tính uào năng lượng photon tại các giá trị khác nhau của thơng số Ø;ø = 0.015 (đương màu đỏ), ø = 0.025 (đường màu
sanh).b) Sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính uào
thơng số ø lại nhiệt độ T=200 K Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thụ phi tuyến nào năng lượng photon ở nhiệt độ 200 K, ø = 0.015 a) Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thụ phí tuyến uào năng lượng photon tại hai giá trị khác nhau của nhiệt độ T; nhiệt độ T=100 K (đương màu sanh), T=200 K (đường
mau d6).b) Sự phụ thuộc của độ rộng phổ phi tuyến uào 8o sánh sự thay đổi của độ rộng phổ của đỉnh ODEPR
tuyến tính (đường màu xanh) uà phi tuyến (đường màu đỏ) khi thay đổi nhiệt độ từ 100K — 300K _
57
Trang 83.7
38
a) Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thụ phí tuyến uào năng lugng photon tại hai giá trị khác nhau của thơng số 0; 0 = 0.015 (đương màu đỏ), g = 0.025 (đường màu zanh).b) Sự
phụ thuộc của độ rộng phổ phì tuyến ào thơng số ơ tại
nhiệt độ T=200 K
8o sánh sự thay đổi của độ rộng phổ của đỉnh ODEPR
tuyến tính (đường màu xanh) uà phi tuyến (đường màu đỏ) khi thay đổi thơng số øơ
Trang 9MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Khoa học cơng nghệ đang ngày càng phát triển địi hỏi con người
phải sáng tạo ra những vật liệu mới cĩ tính ưu việt hơn để phục vụ cuộc
sống ngày càng hiện đại Vào năm 2000, hai nhà vật lý Zhores Alferov (Học viện kỹ thuật Ioffe-Nga) và Herbert Kroemer (Đại học California tại Santa Barbara, Hoa Kỳ) đã nhận được giải Nobel vật lý khi nghiên cứu về bán dẫn thấp chiều, đánh dấu cho cuộc cách mạng trong khoa học kĩ thuật nĩi chung và quang điện tử nĩi riêng Vậy bán dẫn thấp chiều là gì?
Bán dẫn thấp chiều bao gồm bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng, ), bán dẫn một chiều (đây lượng tử) và bán dẫn khơng chiều (chấm lượng tử) Trong đĩ các hạt tải chỉ chuyển động tự do theo hai
chiều hoặc một chiều hoặc bị giới hạn cả ba chiều
Nhiều đặc tính mới ưu việt hơn đã xuất hiện khi nghiên cứu cấu trúc vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều mà trước đĩ trong hệ ba chiều khơng cĩ Các hệ bán dẫn với cầu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hồn tồn mới, cơng nghệ cao, hiện đại như các laser bán dẫn chấm lượng tử, các điơt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các vi mạch điện tử tích hợp thấp chiều, Đĩ là các ứng dụng quan trọng mà các các nhà khoa học vật lý đạt được khi nghiên cứu về các hiệu ứng động trong hệ bán dẫn thấp chiều
Trang 10thu hút rất nhiều nhà khoa học ở nước ngồi, trong đĩ đáng chú ý nhất là cơng trình của nhĩm tác giả H J Lee, N L Kang và S D Choi (18), [19], [20] Trong cơng trình này, mục đích của các tác giả là tìm thành phần phi tuyến của độ dẫn sau khi tìm được thành phần tuyến tính của
độ
Về việc nghiên cứu độ rộng phổ hấp thụ, đã cĩ nhiều tác giả sử
dụng các phương pháp nghiên cứu khác nhau trong giếng lượng tử [2],
[10], [12], [I3] Các kết quả của các cơng trình trên cho thấy rằng độ rộng vạch phổ dịch chuyển quang do tương tác electron - phonon quang dọc tăng theo nhiệt độ và giảm theo kích thước của mẫu
Ở trong nước, từ trước đến nay đã cĩ rất nhiều đề tài sử dụng các
phướng pháp tốn tử chiếu để nghiên cứu các vấn đề của giếng lượng tử như “Cơng suất hấp thụ và độ rộng phổ trong dây lượng tử với các cơ chế tương tác eleetron - phonon khác nhau” của Lê Quốc Anh cao học khĩa KI7 năm 2010 [2], “Cơng suất hấp thụ và độ rộng vạch phổ trong giếng lượng tử với các thế vuơng gĩc (bán vơ hạn)” của Thái Phi Phụng cao học khĩa K18 năm 2011 [12], “Cong suất hấp thụ và độ rộng phổ phi tuyến trong siêu mạng chấm lượng tử thế giam giữ parabol” của Nguyễn Thị Ly Na cao học khĩa K20 năm 2013 [10] và “Cơng suất hấp thụ và độ rộng phổ phi tuyến trong siêu mạng chấm lượng tử thế giam giữ vuơng gĩc” của Vũ Thị Chung Thủy cao học khĩa K20 năm 2013 [13]
C6 thé nghiên cứu các tính chất của hệ thấp chiều bằng nhiều
phương pháp và đối với mỗi yêu cầu trong từng trường hợp phải dùng
một phương pháp cụ thể, nhưng trong đĩ phương pháp tốn tử chiếu là
phương pháp được sử dụng nhiều nhất, bởi vì dùng phương pháp này ta
Trang 11Giếng thế parabol, giếng thế hình chữ nhật hay giếng thế hình tam giác là đối tượng đã cĩ nhiều người nghiên cứu từ trước nhưng giếng thế hyperbol là một đối tượng khá mới mẻ nên chưa ai nghiên cứu, đĩ là lý
đo tơi chọn đề tài “Khảo sát cơng suất hấp thụ phá tuyến trong giếng lượng tử thế hụperbol bằng phương pháp tốn tử chiếu
phụ thuộc trạng thái”
2 Mục tiêu nghiên cứu
Sử dụng phương pháp tốn tử chiếu phụ thuộc trạng thái để thành lập biểu thức cơng suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến, từ đĩ khảo sát cộng hưởng eleetron - phonon và độ rộng vạch phổ trong giếng lượng tử
thế hyperbol
3 Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp tốn tử chiếu phụ thuộc trạng thái - Sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và vẽ đồ thị 4 Nội dung nghiên cứu
Ngồi mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần:
- Phần mở đầu: trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
~ Phần nội dung: chia làm 3 chương
Trang 12thuộc trạng thái
Chương 2: Trình bày kết quả giải tích của độ dẫn và cơng suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng tử thế hyperbol khi chịu tác dụng của trường laser, từ đĩ khảo sát cộng hưởng electron - phonon và đị tìm bằng quang học cộng hưởng này
Chương 3: Trình bày kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận kết
quả
5 Phạm vi nghiên cứu
~ Chỉ xét đến tương tác eleetron - phonon, bỏ qua tương tác cùng, loại (electron - electron, phonon - phonon)
Trang 13NỘI DUNG
Chương 1
MOT SO VAN DE TONG QUAN
Chương này trình bay tổng quan về giếng lượng tử; ham
sĩng à phổ năng lượng của electron trong giếng lượng tử thế
hụperbol; Hamillonian của hệ eleetron - phonon; ly thuyét phản ứng tuyến tính uà phương pháp tốn tử chiếu phụ thuộc trạng thái
1.1 Tổng quan về giếng lượng tử thế hyperbol 1.1.1 Tổng quan về bán dẫn thấp chiều
Các hệ thấp chiều (low-dimensional system) tạo ra một cuộc cách mạng trong vật lí bán dẫn Chúng dựa trên cơ sở cơng nghệ của các đị cầu trúc (heterostrueture) trong đĩ thành phần của một chất bán dẫn cĩ thể thay đổi trên phạm vi nanơmét Chẳng hạn một lớp GaAs bị kẹp ở giữa hai lớp AlGaAs tác động giống như một giếng lượng tử cơ bản Các mức năng lượng bị tách ra nếu hố đủ hẹp và tất cả các điện tử cĩ thể bị bẫy trên mức thấp nhất Chuyển động song song với các lớp khơng bị ảnh hưởng và các điện tử chuyển động tự do theo các hướng này Kết quả là một chất khí điện tử 2 chiều và các lỗ trồng cĩ thể bị bãy theo cùng một cách
Vào cuối thế kỷ 20, vật lí chất rắn chuyển hướng nghiên cứu từ tỉnh
Trang 14lí mới trong đĩ cĩ hiệu ứng giam giữ lượng tử Trong các cấu trúc cĩ kích thước bé, các hạt dẫn bị giới hạn trong các vùng cĩ kích thước đặc trưng vào eỡ bước sĩng de Broglie và chịu tác động của các qui luật cơ học lượng tử Chẳng hạn phổ năng lượng của các hạt dẫn trở thành gián đoạn theo phương bị giam giữ Khi đĩ, điện tử chỉ chuyển động tự do
theo hai chiều và được gọi là khí điện tử hai chiều Cầu trúc với khí điện tử hai chiều cĩ nhiều tính chất khác thường so với cấu trúc của các hệ hat dan ba chiều Ví dụ như hiệu ứng Hall lượng tử (1980) Các cấu trúc
tương tự ngày càng phổ biến trong nhiều linh kiện bán dẫn mới nhất là trong quang điện tử
Vào năm 1970 L Esaki và R.Tsu là người tạo ra siêu mạng (su- perlattiee) bán dẫn đầu tiên Đĩ là một cấu trúc tuần hồn nhân tạo gồm các lớp xen kẽ của hai chất bán dẫn khác nhau cĩ độ dày lớp cỡ nanơmét Siêu mạng thuộc về cấu trúc nanơ (nanostructure) Sự tuần hồn nhân tạo là do vàng Brillouin bị gập lại thành các vùng Brillouin nhỏ hơn gọi là các vùng mini
Các cấu trúc nanơ thu được nhờ các cơng nghệ hiện đại như MBE (molecular beam epitaxy), MOCVD (metal-organic chemical vapor de- position), Cong nghé này cĩ khả năng tạo ra các cấu trúc với phân bố thành phần tuỳ ý và với độ chính xác tới từng lớp phân tử riêng rẽ Siêu mang và giếng lượng tử QW (quantum well) là các cầu trúc nanơ phẳng hay hai chiều Cấu trúc nanơ một chiều gọi là dây lượng tử QW: (quantum wire) Cầu trúc nanơ khơng chiều gọi là chấm lượng tử QD (quantum dot)
Trang 151.1.2 Tổng quan về giếng lượng tử
Bán dẫn giếng lượng tử là một trong những ví dụ của các tỉnh thể dị cấu trúc Khi đặt một lớp mỏng bán dẫn cĩ vùng cấm hẹp giữa hai lớp chất bán dẫn khác cĩ vùng cắm rộng hơn ta được một cấu trúc gọi là giếng lượng tử Đĩ là các tỉnh thể nhân tạo gồm các vật liệu khác nhau được "nuơi" cấy trên bề mặt của một tỉnh thể dày hơn Bề dày của lớp tỉnh thể được "nuơi" cấy cĩ thể điều chỉnh với độ chính xác cỡ nguyên tử Khi đĩ, ta cĩ thể dễ dàng đạt được kích thước phù hợp để cĩ thể
quan sát được hiệu ứng giam giữ lượng tử với electron
Bán dẫn giếng lượng tử đơn giản nhất cĩ thể nuơi cấy được là trường,
hợp cấu trúc GaAs/GaAlAs được nuơi lớn trên đế GaAs Khi dé mot
lớp bán dẫn GaAs cĩ bề dày cỡ 10 nm được đặt xen kẽ giữa hai lớp bán dẫn GaAlAs cĩ bề dày lớn hơn, độ rộng vùng cấm của GaAlAs lớn hon so với GaAs Vì vậy các hàng rào thế được sinh ra tại các biên tiếp xúc, giữa các lớp bán dẫn hình thành nên một giếng thế ở lớp GaAs gọi là giếng lượng tử Khi đĩ các electron bị "giam nhốt" trong các giếng thế này, chúng cĩ đặc điểm chung là chuyển động theo một phương nào đĩ bị giới hạn mạnh Lúc này, chuyển động của electron theo trục đĩ bị lượng tử hĩa, eleetron chỉ cịn chuyển động tự do trong mặt phẳng của hai trục cịn lại
Cĩ nhiều loại giếng lượng tử với các thế khác nhau, ví dụ giếng lượng tử thế chữ nhật, thế tam giác, thế parabol, thế hyperbol Trong giới hạn luận văn này tơi chỉ đề cập đến giếng lượng tử thế hyperbol
Trang 16* Giải phương trình Sehrodinger theo chiều z [17]: Me hề (E~ V(2)|0() (18)
trong đĩ V(z) là một hàm thực liên tục theo biến z Phương trình
Schrodinger tương đương với phương trình Riccati
d =a 2m,
{E - V(2)] - o(2)°, (19)
trong đĩ ĩ(2) = 0(2)~!dJ(z)/dz là đạo hàm logarit của hàm sĩng (2)
Trong phương trình (1.9), ĩ(z) giảm đơn điệu theo trục z giữa hai điểm quay, trong d6 E > V(z) Đặc biệt, khi z tăng qua một nút của hàm sĩng j(z) thì hầm ø(z) giảm đột ngột từ +oe đến —oo và sau đĩ lại
giảm tiếp Quy tắc lượng tử chính xác mới thu được cho phương trình
Schrodinger theo bién z là, 7 ke) = Nz+ [” (2) [=] [22] ° dz, (1.10) 2A 2A dz dz k(z) = V2m.[E=Vữ)| h E>V(z) (LH)
trong đĩ z4 và zp là hai điểm quay xác định bởi # = V(z) W=n+1 là số nút của ø(z) trong miền E > W(z) và lớn hơn số nút n của hàm sĩng U(2) Số hạng đầu tiên z là sự đĩng từ đạo hàm logarit của hàm sĩng, số hạng thứ hai được gọi là hiêu chỉnh lượng tử Đối với tắt cả các
hệ lượng tử giải được chính xác, hiệu chỉnh lượng tử này độc lập với số
nút của hàm sĩng của hệ Điều này cĩ nghĩa rằng ta cĩ thể xét trạng thái cơ bản khi tính tốn hiệu chỉnh lượng tử
se [%e] Í#] « (1.12)
trong đĩ ”0° chỉ trạng thái cơ bản Tuy nhiên, xung lượng k(2) trong về trái của quy tắc lượng tử hĩa chính xác mới (1.10) cĩ liên quan tới các
Trang 17mức năng lượng F„ Như vậy các mức năng lượng của hệ cĩ thể tách
được từ trạng thái cơ bản
* Thế hyperbol nghiên cứu ở đây được đề xuất bởi Schioberg, nĩ cĩ dạng V(z) = DỊI - øeoth(az)]3, (1.13) trong đĩ D, œ và ø là ba tham số mơ tả tính chất của thế Ta kí hiệu #=E-D(+ø°) (1.14) và sử dụng cơng thức coth?(az) = 1 + cosh*(az) (1.15) thì phương trình Schrodinger được viết lại như sau: hề d2 _ 2m,dzẺ Đặt W(z) + Dio? cosh?(az) — 2ø coth(az)]j(z) = Uạ = D9); U = 2Dơ, (1.17) khi đĩ ta được phương trình Pe 3 : 1
~smm„ g0) + [Uucosh”(az) — Ủi coth(az)]0(z) = Bu(e) (1.18)
Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu hệ này bằng quy tắc lượng tử chính xác Sử dụng biến mới w = coth(az), ta cĩ
du dz
Hai diém quay u4 va ug duge xdc dinh bing cach giai phương trình
= —acosh*(az) = —a(u? — 1) (1.19)
V{u) = Uạ(w2 — 1) — Uyu = Ê
U; — \/4EU + U2 + 4UỆ U, + \/4EU + U2 + 42
2D te Wo (1.20) ,
ua=
Trang 18y = Ua(uP — 1) — Uyu, uẠ+ugp= CU, uạng=—— Uo Uo— — (120 Xung lượng k(2) giữa hai điểm quay được biểu diễn như sau 2 k(z) = Hy Bn Upu? + Uyu + Uo, 4k — _ vV2mUụ u — U\/2Ua du ho VE,—Ugu®+Uyu + Uy Phương trình Riccati (1.9) trở thành (122) (Ey — Unu? + Uru + Uo) — P(u) (1⁄23)
Ta biết rằng hàm sĩng của trạng thái co ban khong cĩ nút và đạo hàm logarit của nĩ khơng cĩ cực và giảm đơn điệu khi z tăng trong miền E > V(z) Đối với trạng thái liên kết, nghiệm khả đĩ của phương trình
Riccati (1.9) thỏa mãn các điều kiện trên là đo(u) = Cu — B(C > 0)
'Thay ĩo(0) vào phương trình (1.23), ta được 2mUo ac = “TP = C8, 2mel o= eh oe, (29 2m, aC=~ (Ey + Up) — BỀ Kết quả là a 8mUo mU, t= 2 (14/14), B= „ do =Cu-B, (12 c-šÍ+ SP) Gye? f= Cu-B, (125) - he 2 2meUo RC? mU?
đu = ào (cac-» ¬ nh (1.26)
Trong tính tốn của hiệu chỉnh lượng tử (1.12) và tích phân của xung lượng &(z) trong quy tắc lượng tử (1.10), ta sử dụng các tích phân
Trang 19sau: oo J mm ig za (1.27) (2B — 2)(2 — 2a) a Geog
1, (a+) Vp—2)G—2a) Vb+azaP+uzn)
Bay gid ta suy ra hiệu chỉnh lượng tử (1.13) dựa vào trạng thái cơ bản đia(2)] [đĩa(2)] [roo fe + vðm,Dn (u= B/©)|u = U20) — ah J„„ (1—19)Vug—u)(n— uẠ) oe (1-1?) + u(B/C + Ui/2Uo) — (1+ XI) a- ị (u— ua)(ug — 5 v2m.ÙU Slut hp, ah {f° TETAS " 7 (1.29) trong đĩ h -ƒ u(B/C + Ui/2Uo) = (1+ 2a) 5, ua (1—u*) (eaten u) = fe ng 8+3 au 1 sau lu 2(1—u)y 6= uA)(mg— t) x Œ - 1), (1.30) trong đĩ ta đã kí hiệu ¬ UB BOY B= (+): Y= Gt og (1.31)
Như vậy ta cĩ thé thu được hiệu chỉnh lượng tử
ự éo(2) [Ae] [2 dz= rend + É - 1) „ (139) khơng phụ thuộc vào tham số U¡ Tích phân của xung lượng k(2) trong
quy tắc lượng tử (1.10) được tính như sau
Trang 20trong đĩ
b= st + 16kØ?|, (1.41)
4= v2+k=ø)° (142)
Trang 21E,=- 20h? { [” +1)? — 4kø(1 — ø) + (9n + 1ổ 2 2n+ð+1) | -#q-e Me n+1)? — 4ko(1 — 0) + (Qn + 1)8]° 2(n+d+1) | Ỷ (152)
Bây giờ ta tìm dạng của hàm sĩng của hệ Sử dụng hệ thức (1.49),
ta cĩ thể viết dạng của hàm sĩng như sau:
9(0) = N(L— ø)Š 99 oFi(—n,n + 9(ð + 8+ 1):98+ 1:9), — (1.53)
trong đĩ Đ được xác định từ điều kiện chuẩn hĩa ƒ Š_ ¿(0)®du = 1 Điều
kiện chuẩn hĩa được viết lại như sau: 1 2a N? [ (1—v)?O Dy? Fi (—n, n + 2(6 + 8 + 1); 28 + 1:0)/dv = 1, 0 (1.54) từ đĩ, ta được biểu thức của hệ số Ni B) nT Inl(n +6 + 1)(n + 2(Š + 8 + 1))„E(1 + 28)P(n + 26 N= trong đĩ kf hiéu (a),, duge dinh nghia nhu sau: (a), = Re (1.56)
Vay hàm sĩng và năng lượng trong tồn bộ giếng lượng tử với thế hyperbol, tương ứng với nghiệm của phương trình (1.1) là
1 pitta thw) (1.57)
Whee kyn.(,Y, 2) = Vil,
x N(1 = e207) +1e-208* 5 Fy (—nn + 2(6 + 8 + 1);28 + Le"),
Trang 22hề
Fụ,(ke ly) = an ( (2 + #2) (1.58)
+ D(l-o)- 2a?h? [(n Me + 1)? — 4ko(1 — 0) + (9n 2(n+ð+1) + 1)ð]?
1.1.4 Hamiltonian của hệ electron tương tác với phonon trong giếng lượng tử
Xét hệ electron va phonon cita ban din dat trong điện trường ngồi
biến thiên theo thời gian 3 E(t) = So Eyjeje™", (1.59) ja là vectơ don vi theo phuong j, Ep; va w là biên độ theo phương,
7 và tần số của trường ngồi Hamiltonian tồn phần của hệ lúc này
sẽ gồm Hamiltonian can bằng của hệ eleetron - phonon và Hamiltonian
khơng cân bằng do tương tác của hệ với trường ngồi,
H(t) = Heq + Hint(t)- (1.60)
Hamiltonian cân bing „„ của hệ bao gồm Hamiltonian của hệ
electron - phonon ty do cĩ dang chéo Hy va Hamiltonian tương tác electron - phonon khong chéo H, = V: Hạ, = Hạ + V, (1.61) Ha= He+ Hy = 3 re tat Dole bị bự, (1.62) V >> Jag ay (bg + ĐỀ) (1.63)
Trong các biểu thức trên, HH, và H, là Hamiltonian ciia hé electron và hệ phonon khơng tương tá
+ ag va ag lần lượt là tốn tử sinh và tốn
Trang 23tử hủy electron ở trạng thái |a) với năng lượng e„ = (alh,|a); hự là
Hamiltonian cia một eleetron; br và b„ là các tốn tử sinh và tốn tử
hủy phonon trong trạng thái |q) = |g, s), 71a vectơ sĩng phonon, s là chỉ
số phân cực ; j¿¿„ là năng lượng của phonon Đại lượng Œ,.„(g) là ¬ tố
ma trận tương tác eleetron - phonon, Cu „(q) = Vạ(a|exp(i8:7)|w) với #
là vectơ vị trí của electron, V, la hằng số tương tác electron - phonon
phụ thuộc vào loại phonon, phần cịn lại của Œa,„() là thừa số dạng phụ
thuộc vào các trạng thái của electron
Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngồi biến thiên tuần hồn theo thời gian cĩ dạng
3
Hine( "` rj)s,ga+aaE; exp(iøt),
trong đĩ (X)a„„ø = (a|X|Ø) đối với tốn tử X bất kì Nếu xét đến giả thuyết đoạn nhiệt, biểu thức của Hamiltonian tương tác cĩ thêm thừa số e^f(A + 0*) Ta cĩ Hin(t) = )= gy DEW 0,94 a3 Eo; exp( it), (1.64) Ta 1.2 Phương pháp tốn tử chiếu phụ thuộc trạng thái
Năm 1965, khi nghiên cứu về chuyển động và chuyển tải của hệ nhiều hạt, Hazime Mori đã đưa ra phương pháp chiếu tốn tử gọi là phép chiều
tốn tử Mori Sau đĩ nhĩm tác giá A Suzuki và M Ashikawa khi khai
Trang 24Chương 2
CONG SUAT HAP THU PHI TUYEN TRONG GIENG LUGNG TU THE HYPERBOL
Chuong nay trinh bay biểu thúc tổng quát của tenzơ độ
dẫn tuyến tính tà phi tuyến, từ đĩ áp dụng để tính tốn giải
tích biểu thức của cơng suất hấp thụ tuyến tinh va phi tuyến
trong giếng lượng tử thế hụperbol
2.1 Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn khi cĩ
điện trường
2.1.1 Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn
Theo phương pháp thống kê lượng tử, giá trị trung bình của một đại lượng động lực A bất kì bằng vết của tích đại lượng này đối với tốn
tử mật độ
(A) = Tr(pA),
trong d6 Tr 1a ki hiéu vét, ø là tốn tử ma trận mật độ, ( ) là kí hiệu trung bình thống kê theo tốn tử ma trận mật độ
Giả sử ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động, tốn tử mật độ của hệ lúc này là g„„ Khi cĩ trường ngồi phụ thuộc thời gian, tốn
tử mật độ thay đổi theo thời gian và cĩ thể được khai triển thành
P(t) = Peg + pine(t),
trong đĩ ø¡„(£) là tốn tử mật độ tương tác Dé tìm hiểu biểu thức khai
Trang 25tốn tử mật độ
TU) = Ji().ø()| = F()ø(0) (21)
trong d6 L(t) là toan tit Liouville toan phan duge dinh nghia béi L(t)X = (H(t), p(t) voi X là toan tit bat i Toan tit L(t) c6 thé phan thành hai phan L(t) = Leq + Lint(t) tong ứng với các thành phần H„„, H„ và Leq = La + Ly ting với Hạ, V Thay L(t) va p(t) vao (2.1), sau đĩ khai triển các số hạng với chú ý rằng tốn tử mật độ cân bằng khơng phụ thuộc thời gian
Opeg để = (Hoy eq] = 0 ta được phương trình: ¡pƯ0m:) Ob Giải pinion trình trên ta được nghiệm (Phụ lục 1) Pint(t) = 3mm mf ™ dt (` Ta ¬" ™ diye Ta (£ — th) = [Heg(t), pint(t)] + [Hine(t), Peq(t)] + [Hine(t), Pine(t)]- (2.2) = thet Ling (t= ty — tạ) .e tel Line(t = ty — ty = = tn) Peg =ø®() + ø®10) + + PM), (23)
trong đĩ ø(®(0) chứa n lần toan ttt Lins(t)
'Từ phương trình (2.3), ta thu được trung bình theo tập hợp thống
kê của thành phần thứ ¡ (¡ = z,,z) tốn tử dịng điện J:
(Jidens = yu = = tk (0 (t) (24)
n=l n=l
Tốn tử mật độ dịng điện của hé nhiéu electron J; 6 thé viét dưới dang khai triển theo các tốn tử mật độ dịng điện của một eleetron
Ji = Yi) satas (2.5)
Trang 26Thay (2.3), (2.5) vào (2.4) ta thu được biểu thức của các số hạng tuyến tính, phi tuyến bậc 1, bậc 2, của mật độ dịng điện Thực hiện
phép lấy tổng các số hạng này ta được biểu thức khai triển của trung bình thống kê thành phần thứ ¿ của các tốn tử mật độ dịng như sau:
3
Tidens = Yeu) Ej(6) + YO ox wr, w2)Ej(@Di)Ex(@2) + (2.6)
jk=1
trong đĩ dấu " " chỉ các số hạng bậc cao Các đại lượng ø(ø) và oijx(wi,W2) lần lượt là tenxơ độ dẫn tuyến tính ứng với sĩng tới cĩ tần số œ và tenxơ độ dẫn phi tuyến bậc một ứng với các sĩng tới tan số œị
và øs, Biểu thức của các đại lượng này cĩ dang oij(w) = >> 2 lim 355 ()2s(s)sa(0)6-U27(01,), (28) as 18 & 18 (Ji)>6-Aaa(@), (2.7) = Trpa| (HE — Leg)” ta$ 05,0805), (2.9) UYS (Br, De) = Tr Peql Ne — Leg)! X [(HDigLeg) tag ac, a°a5],aza3]}, (2.10)
trong d6 Dy) = Dy +B, By = wy — ib (b> 0) va B Say — ie (c > 0)
2.1.2 Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn tuyến tính
Khi bán dẫn đặt trong điện trường biến thiên theo thời gian cĩ dang
3
Ê) = 3) Fuyẽje'°' thì trong hệ xuất hiện dịng điện cĩ thành phần độ A dẫn tuyến tính được xác định bởi (2.7) như sau
o;;(w) = —e lim UX fj)aa(0)¬sAaa(), A-s0t (2.11)
Trang 27trong đĩ z; là kí hiệu thành phần thứ j của vectơ vị trí của electron,
(X)a¿ = (a|X|2) là yếu tố ma trận đối với tốn tử X bất kì
Để xác định biểu thức cụ thể của tenxơ độ dẫn tuyến tính trên, ta
cần xác định biểu thức của A„z(Ø) Theo (2.9) ta cĩ:
Aaa(8) = Tre{peq| (hi — Leg) ‘as a5, a, ag)}
= (ND — Leg) "05 45) 03, (2.12)
tức là tính vết của các tốn tử sau khi thực hiện các giao hốn tử Để
thực hiện điều đĩ, ta định nghĩa các tốn tử chiếu 7è và Q như sau X) as RX= Tnhh, (2.13) Qo=1-P (2.14) “Trong các biểu thức trên, kí hiệu (X)„z được định nghĩa bởi (X)as = Th{04[X, a2a¿Ì},
cĩ giá trị phụ thuộc vào hai trang thái |a) va |) Biểu thức (2.13), (2.14) mơ tả hình chiếu của tốn tử X qua phép chiếu P), Qo; trong d6
PoX + QoX = X Nhu vay, hình chiếu của tốn tử X cĩ thể phân tích
thành hai thành phần vuơng gĩc nhau Phép chiếu này được gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái vì tốn tử Fụ tác dụng lên tốn tử X bất kỳ sẽ chiều tốn tử đĩ lên "phương" tích hai tốn tử aŸa¿, trong đĩ + và ở
chỉ hai trạng thái khác nhau
Trong trường hợp khi X Fas, ta co
(a2 a8)a2
Pyar 05047 (gyagag 1 E7 008 as = q10 = d}ag, Qua‡a¿ = (L— Pạ)a‡a¿ = 0
Trang 28Ti Peahy bf} = Tr{ Peal (by bg] + be by)} = (L+ Na)
trong d6 fy = 1/[1 + exp(E, — Er)/kgT] la ham phan bé Fermi - Dirac của khí electron suy biến ở trạng thái |a), N, = 1/[exp(hw,/keT) — 1] la ham phan bé Bose - Einstein cita photon c6 nang hong hwy
Kết quả tính tốn cho ta
(a}as)aa = Tr{Peqla> a5, aạ0z]}
= Th{pô(&}assa, ax agơz)} (2.19)
= (fa — fa)dsad48.-
Thay (2.18), (2.19) vao (2.11), lấy tổng theo + và ở, ta nhận được
fa= to
auf) = —e Jim (oslo A-s0* Hang — a: (2.20)
Đây là biểu thức của độ dẫn tuyến tính xuất hiện trong bán dẫn
khi cĩ mặt trường ngồi, trong đĩ Tạ”(Ø) cĩ dạng:
Th{pu,|Luậaa, (RG — 1a) ⁄ua3aa]} ` (fs — fa)
Ham dang phé trong (2.21) c6 thé tinh cụ thể từ khai triển các
ry°@) © (2.21)
số hạng và tính trung bình thống kê theo tốn tử mật độ Thay các Hamiltonian tương ứng với các tốn tử Liouville vào ta tính được những
hệ thức tốn tử sau:
Lyagag = x 0 + b}2)(C:a(4)47aa — Czy(4)a2 đ,,
Lab,a3a¿ = (Saa — heu)b„d34, Tụ ,a3a, = (Sau + lo ,)BŠ a8,
Trang 29Để ý đến tính đối xứng của phổ phonon œ_„ = w, ta được biểu thức tổng quát của hàm dạng phổ
PSM =f) =D Me oly +82, 1Cyl hg — Coy (ade,
ad vy
Cyp(q)bqat ag Cys(q)btgatag Cas(4)b¿a3 0y
UG — Ey, + hax) * WS — Hạn thay [NG- Ep, + fy)
Con( bgt ay \
~ (Ri — Eạy + hen), (2.22)
Khai triển các số hạng trên (Phụ lục 3), ta nhận được biểu thức
ham dạng phổ trong độ dẫn tuyến tính dưới dạng: Tỷ 6) = 3 C00 [TE R ¬
‘Naha = fy) _ +! ren
Ti — Ey, — hw, ‘Wo — Ej, — hay |
Biểu thức (2.23) là biểu thức tính hàm dạng phổ theo các hàm phân bố electron ƒ„ và hàm phân bố phonon A„ Dưới tác dụng của điện trường ngồi, các electron chuyển mức kèm theo hấp thụ và phát xạ phonon Mỗi số hạng trong 8 số hạng của (2.23) cho thấy một quá trình tương tác giữa các hạt và sự dịch chuyển electron giữa các mức,
trong đĩ (1+ A„) xuất hiện như là điều kiện phát xạ phonon Mẫu số thể hiện quá trình chuyển mức tuân theo định luật bảo tồn năng lượng Ta cĩ thé lập bảng mơ tả các quá trình chuyển mức giữa các trạng thái như sau:
Trang 30SH | Chuyển mức |_ Định luật BTNL | Phonon hw, | Photon hw 1 xa |E,-huy—he=E,| phat xa | phat xa 2) asy |B, +he,+hw=E,| hấpthụ | hấp thụ 3} yoo |B, +hw,—hw=E,| hấpthụ | phat xa 4) asy | By—hw,+hw=E,| phátxạ | hấp thụ 5 8+ |Ey—hey— hoc E,| phat xa | phat xa 738 | Ey +hw,+hw=E;| hấpthụ | hấp thụ 6 7| Boy |Es+he,=he=E,| hấpthụ | phát xa §| +8 |E-he,+heo=E,| phátxạ | hấp thụ
ậy, với phương pháp thống kê lượng tử, sử dụng phương pháp chiếu tốn tử phụ thuộc trạng thái ta thu được biểu thức của tenxơ độ
dẫn tuyến tính và hàm dạng phổ Kết quả hàm dạng phổ (2.23) thể hiện một cách rõ ràng ý nghĩa vật lý của các quá trình tương tác và các
hiện tượng xả
ra trong bán dẫn dưới tác dụng của tường ngồi Đây là ưu điểm nổi bật mà một số phương pháp tính tốn khác khơng thể đạt được * Tiếp theo ta sẽ tính phần ảo của hàm dạng phổ (2.23) Hàm dạng phổ (2.23) là một hàm phức vì —id (A> 0%), đo đĩ ta cĩ thể phân tích
Te9(@) = Ao() + iBo(w) (2.24)
Cée dai lugng Ap(w) = Re(T$°(@)) va Bow) = Im(T§”(6)) tương
ứng được gọi là hàm dịch phổ diễn tả tốc độ dịch chuyển đỉnh cộng hưởng và hàm độ rộng của phổ đặc trưng cho tốc độ hồi phục của quá trình tương tác Để tìm được dang cụ thể của Ap(w) và Bo(w) ta sit dung
Trang 31đồng nhất thức Dirac
lim (# — is)” ae ) + ind(2), sot (2.25) trong đĩ P(1/x) là hàm lấy giá trị chính Cauchy của 1/x, cịn ð(z) là ham delta - Dirac Lần lượt tính các số hạng trong (2.23) rồi lay phan thực và phần ảo của chúng, ta được (Phụ lục 4):
- Ham dịch phổ được tính theo biểu thức
(fa — f2)Ao(ø) = Ð^|Cs„(4)|# Dã
«(la + Naat 4) Mf? (GE)
+ (Nel) - 0+ NAO fol? (EE) } + Leona? (2.26) -[la+Agsa~/- sp AP (ee) + (ht) C+) - HP (=) b - Hàm độ rộng phổ ứng với độ dẫn tuyến tính cĩ dạng:
x {I1+ M)£.(= #2) — Nofa(1 — /,)|ð(Re — Bụa + hay) +, = fa) — (2+ Ny) fal = f,)]8(heo — Ey — hig}
2ST ICy0(OP = (2.27)
x {[( + Na) fs =f) — Na f(1 = fs)]6(hew — Ey + hang)
+ÍM/¿q= đ) — (1+ Na) fy (1 = fa)]8 (Tie — Ey — hn}
Trang 32By (w12) = Dall (@P
x {Ít + Na) fa = Su) — Naf = f2)]ŠŒena — Bay + heey) — [(L+ Ny) full — fa) + Ngfa(1— f2)]ð(ena — Ea„ — hay) — [Lh + Na) fad = fu) = Nafu(l = fa)]ồ(Rena — Eau + Reu) + [+ Na) fu = fo) = Nafa(l = fy)]5(htwr2 — Ey — heu)}
+ renee (0 (2.33)
x {[(L + Na) full — Ngfa( — fu)|õ(ena — Eua + he)
~[d + Á)/a(1— 0) — NafÁ1— fa)|ðŒes — Eụa — Reu)},
Bo(wr2) “FEL [CuO
pn” Gu
x {[(1+.Nq) ful = fa) — No fal = fy))6(herr2 — Bua + hero)
=[(L+ MQ) fo(l = fu) + No ful — fo) |6(Rwr12 — Epa — Rwro)
[+ M)/„@= 2) = M/z(1L~ fu)]Š(ens — E„a + houo)
+[d+ ÄA)J2(— fu) — Nofu(l — f2)|Š(ena — E,a — heio)}
=> IG(0 (2.34)
x {Í + Na) fa(1 = fu) — No full — fs)]6(hur2 -— Bay + hwo) — [(L+ Na) full — fa) — No fal — fy)|6(hwor2 - Bay, — hwro)}- Các hàm độ rộng phổ chứa các hàm delta mơ tả các dịch chuyển khả dĩ của electron giữa các mức năng lượng và mỗi số hạng ứng với một quá trình chuyển mức Ý nghĩa vật lý của các số hạng cĩ thể được giải thích như phần tuyến tính Chẳng hạn số hạng đầu tiên trong (2.33)
Trang 33
biểu diễn sự chuyển mức của eleetron từ trạng thái 3 sang trang thai trung gian / kèm theo kèm theo phat xa mot photon va mot phonon Quá trình chuyển mức tuân theo định luật bảo tồn năng - xung lượng E,, = B3 — hz — hwy Cac số hạng cịn lại cĩ thể giải thích theo cách
tương tự
2.2 Biểu thức giải tích của cơng suất hấp thụ trong giếng lượng tử thế hyperbol
2.2.1 Biểu thức giải tích của cơng suất hấp thụ tuyến tính
sau:
P(w) = 2 Re[o;;(w)), (2.35)
trong d6 "Re" là kí hiệu lấy phần thực và ø¡;() là tenxơ độ dẫn tuyến
Trang 34thể bỏ qua đại lượng Ao(2), + = Lelie, Bay (2.37) Nhân tử số và mẫu số của (2.37) với lượng liên hợp phức hi — ja + iBo(w) ta được su(6) = =e520)43(0),2= 6= ~ 5à + u02) ap Ti — Eạa — iBa(ø)
= Str nasi LLM Bad = fated)
a8 (ho — Eq)? + Bw) * ‘Vio — Ba)? + Bele)"
Xét một sĩng điện từ đặt vào hệ cĩ tần số œ và biên độ Eụ;, cơng
suất hấp thụ sĩng điện từ do electron bị giam giữ theo phương z trong giếng lượng tử được cho bởi (2.38) trong đĩ ø::(2) là tenxơ độ dẫn tuyến tính theo phương giam giữ z như sau ¬ ƒ› — Ø::(2) = =e Jim, 3£)a;02z “NG— Đụ — Tạ f5 — fa
" =~) )à0)8ap——E— Bo) Tạy—- 0B)” (2.39)
Để tính cụ thể biểu thức của cơng suất hấp thụ tuyến tính theo phương z ta thay hàm sĩng, eikars Disnc(sys2) = Vin ALY, ~ Vr x N(1 = 67207) Đ+1Â 208% 4 Fy (<n, n + 2(6 + 8 + 1); 28 + 1;€)
vào các yếu tố ma trận sau:
* Tinh (z)qa: (Phu luc 5)
= aia ¬
Trang 35trong đĩ m)a[n + 2(ỗ + 8 + 1)]; An = 8+) — (—n)„[m +3(ð + 8 + 1))„ Aw = (28+ 1)„w1
B„„ = =2ap — 4a8 — 2a(n +)
* Tính yếu tố ma trận của mật độ dịng điện theo phương giam giữ z, ta cĩ 2)2„ = au, nis 2 ihasn!) ich = in, @0(,)0( hoyle en) ich = i ad (2.41) Tinh J, (Phu luc 6) co 2541 Jy = 2N20(5 +1) SO YP Ay An(=1)?’C35.4° n!n=0 P=0 co (2642 Boy bs +—2a8N? = SP Ay An(=1)C lo n’.n=0 p=0 a= 2642 By Ls s2(—n)[n + 2(ä + 8 + 1)] € v71 +ẠN —— 2+1) Sa, 1 Anst(=1)? C359 By, (2.42) Để cĩ được biểu thức cu thể của cơng suất hấy thụ tuyến tính ta phải tìm được biểu thức giải tích cho hàm độ rộng phổ Bạ(œ) được xác định như sau:
Bo(w) = đ— a> CaP
x {+ M)2Œ~ #a) — Ma — đ)]Š(h@ — Eạa + hey)
Trang 36+[Mf(L= #4) = (1+ ÁM¿)fa(— #)lð(Rð — Bìa — hay)}
m3 “ i (2.43)
x {((14 Nall — fy) — Ngfy(1— fa)]6( hi — Eạ, + hai)
+ [Nafa(1 — fy) — (1+ Ng) fy(1 — fs)]Š(ø — E2, — hú, 3} = Bại + Bụa + Bos + Bos,
trong đĩ |q) = |k,,n ) là trạng thái trung gian, Ey, =
Eu(E)) — E.(EL) và Eạy = E› — E¿ = E„(E,) — Eur(R,), với Ea là
năng lượng của electron ở trạng thái |a) được cho ở phương trình (1.58),
=[I+ exp(E„ — Er)/kgT]T là hàm phân bố Fermi - Dirac của khí electron suy bién 6 trang thai la), Ny = [exp(hiw,/keT) — 1Ì"! là hàm
phan bé Bose - Einstein cita shonon cĩ năng lượng đ«g, k, là thành phần vectơ sĩng của electron trong mặt phẳng (x, y), 7 1a vecto sĩng của phonon
Để thu được biểu thức tường minh của tốc độ hồi phục, trước hết ta phải tính tường mỉnh các yếu tố ma trận tương tác electron - phonon
€z›(đ) C›a(đ) và tính Bạn, Bor, Bos, Bos
“Trong luận văn này, chỉ xét tương tác giữa electron và phonon quang
Trang 37Thừa số dạng 7 được thể hiện qua tích phân bao phủ Œ như sau: IGP = Ty Se sgt (2.47) với G= @„|e“luz) (2.48) và T được tính theo cơng thức sau (Phụ lục 7) Ty g@ (az) = N* >Ĩ 3 A,„(—UPCặ„;Ï?” — Xét tương tác electron va phonon quang dọc với w, = wro, gid sit
phonon la khong tan sic lie d6 wr * const vag? = @+a+q2 = +e,
với gid thiét q? > q? khi d6 thé tan xa cho béi
eme(t 1\5 1D
Vi@P = ——— => 2.49
IV) = sự i 2 Ve (2.49)
trong đĩ eo, Yc, Xọ lần lượt là hằng số điện, hằng số điện mơi tần số cao và hằng số điện mơi tĩnh, đuzo là năng lượng của phonon quang dọc, V = L,L,„L; là thể tích của hệ, ở đây ta đã đặt “4Á 1 ) D= ——=— 2.50 220 \Xs Xo (250) Tiép theo ta sé tính các s6 hang Boi, Boz, Bos, Bos: * Tinh Bo Bu = ` Yica(ol? ta
x [+ Na) Fl = fo) Mafa(1= #,)]Š(hð — E;a + heo)
=7 *zưaI6x6 đổ: sa, ‘im
x (U4 Ny) ~ fa) — Nofa(1 — f))5(hw ~ Eya + histo)
Trang 38
"Thực hiện phép chuyển tổng thành tích phân
ue La « Dg fm fan (2.51) 7 0
Thành phần vectơ sĩng đ xuất hiện trong yếu tố ma trận tương
Trang 39Giải phương trình g(4.) = 0 ta cĩ được hai nghiệm q¡¡2 = k¡ + Mọi với 2m 1⁄2 Mor = [ki + 5" (hw + hwro — Ey + | Suy ra d TP = can (CB, +) = an (My —49), re Bề hay dg(qus) _ — RP) dg(qis) HẺ V,
đại mg tHỦ Cẩn Mơi “uy Cụ Mơn
Sử dụng tính chat cia ham delta
Trang 40Ban = HL = Min)» f Gyo) j