Mục tiêu của đề tài Khảo sát cộng hưởng cyclotron trong giếng lượng tử thế tam giác bằng phương pháp toán tử chiếu cô lập là sử dụng toán tử chiếu cô lập để thiết lập công suất hấp thụ, từ đó khảo sát cộng hưởng cyclotron trong giếng lượng tử thế tam giác và khảo sát sự phụ thuộc độ rộng phổ của các đỉnh cộng hưởng cyclotron này vào từ trường, nhiệt độ.
Trang 1ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYÊN THỊ QUỲNH OANH
KHẢO SÁT CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON
TRONG GIÊNG LƯỢNG TỬ THÊ TAM GIÁC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ CHIẾU CƠ LAP
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TỐN
Mã số : 60 4401 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ 'THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ ĐÌNH
Trang 2LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi,
c sỐ liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được cơng bố trong bất kỳ một cơng trình nào khác
Huế, tháng 9 năm 2016 Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Quỳnh Oanh
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Hoan thành luận văn tốt nghiệp này, tơi xin bày tổ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Lê Dình đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ
tơi trong suốt quá trình thực hiện
Qua đây, tơi xin chân thành cảm ơn quý Thay, Cơ giáo trong khoa Vật Lý và phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Dai học Sư phạm, Dại học Huế; các bạn học viên Cao học khĩa 23 cùng gia đình, bạn bè đã động viên, gĩp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn
Huế, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Quỳnh Oanh
Trang 4MỤC LỤC "da i Loicamdoan 2 ee eee đ j8 eee ii Mục lục 1 Danh sách các hình vẽ co 3 MỞ ĐẦU 4 NỘI DUNG 8
Chuong 1 TONG QUAN VE BAN DAN THAP CHIEU, GIENG LUGNG TU THE TAM GIAC VA PHUGNG
PHÁP TỐN TỬ CHIẾU §
1.1 Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và giếng lượng tử thế
tam giée Ắ 8 1.1.1 Tổng quan về bán dẫn thấp chiều § 1.12 Giéng lugng tir thé tam giée "1
1.1.3 Hamiltonian cia hé electron tuong tac véi phonon
trong giếng lượng tử đặt trong từ trường 15
1.2 Téng quan về các tốn tử chiếu và phương pháp chiếu cơ
Ip eee 17
1.2.1 Tổng quan về các tốn tử chiếu .- wv
1.3 Tổng quan về phương pháp chiếu cơ lập 20 Chương 2 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TENXƠ
ĐỘ DẪN QUANG TỪ 22
Trang 52.1.2 Biểu thức tổng quát của hàm suy giảm
2.1.3 Tính biểu thức hàm suy giảm
2.1.4 Hàm suy giảm cộng hưởng cyclotron trong giếng lượng tử thế tam giác
Chương 3 KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
3.1 3.2 Sự phụ thuộc cơng suất hấp thụ vào năng lượng photon Độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng eyelotron 3.2.1 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng eyelotron vào nhiệt độ
3.2.2 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng eyclotron vào cường độ từ trường
3.2.3 Khảo sát sự phụ thuộc độ rộng phổ của đỉnh cộng hưởng eyclotron vào cường độ điện trường
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 611 1.2 13 14 15 3.1 3.2 3.3 34 DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
Hàm Airy Aix) va Bilt) oe
Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thụ uào năng lượng photon
ứng uới T =200 K, B= 15 T
a) Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thu uào năng lượng
photon tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ T = 100K (đường màu den), T = 200 K (đường màu xanh), T = 400
(đường màu đỏ) b) Sự phụ thuộc của độ rộng phổ của đỉnh cộng hưởng cyclotron uào nhiệt độ T
a) Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thu uào năng lượng
photon ting uới các giá trị khác nhau của từ trường B = 15.6 T (đường màu đen), B = 15.8 T (đường màu xanh), B=16.2 T (đường màu đỏ) b) Sự phụ thuộc của độ rộng
phổ của đỉnh cơng hưởng cyclotron vao cường độ từ trường
a) Sự phụ thuộc của cơng suất hấp thu uào năng lượng
photon ứng tới các giá trị khác nhau của biên độ cường độ điện trường E = 25 MV/m (đường màu đen), E = 50 MV/m (đường màu xanh), E = 60 MV/m (đường màu đỏ) b) Sự phụ thuộc độ rộng phé cyclotron vao biên độ
cường độ điện trường Ặ ẶẶ Ặ
46
Trang 7MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài
Ngày nay, khi mà khoa học cơng nghệ đang ngày càng phát triển
thì nhu cầu lưu trữ, xử lý một khối lượng thơng tin khổng lồ với tốc độ nhanh chĩng đang trở nên bức thiết hơn bao giờ hết Điều này địi hỏi
con người phải khơng ngừng tìm ra những vật liệu mới với những tính chất mới ưu việt hơn mà vật liệu trước đây khơng cĩ, cơng nghệ nano
ra đời đã đáp ứng được phần nào những nhu cầu đĩ Vật liệu nano là
những vật liệu cĩ kích thước nhỏ cd nanomét Đặc biệt, khi nghiên cứu
vật liệu bán dẫn thấp chiều người ta đã phát hiện nhiều hiện tượng vật lý mới lạ, cĩ khả năng ứng dụng rất lớn trong thực tế, một trong những
hiện tượng đĩ là hiện tượng cộng hưởng eyclotron
Hiện tượng cộng hưởng eyclotron là quá trình liên quan đến sự tương
tac electron-phonon xy ra trong ban din khi đặt đồng thời điện trường
và từ trường ngồi vào bán dẫn, trong đĩ từ trường là khong đổi cịn điện trường biến thiên tuần hồn theo thời gian Đã cĩ nhiều cơng trình khoa học trong và ngồi nước nghiên cứu về vấn đề này
+ Ở nước ngồi: đã cĩ các cơng trình nghiên cứu, khảo sát cộng hưởng eyclotron do tương tác electron-phonon trong bán dẫn khối [9], [12], [L3], [16] [1r], [19] [21].[22] [23], [24] và trong bán dẫn 2 chiều [10], [H], [25], [26] - các đề tài này đều đã đưa ra được biểu thức giải tích của tenxơ
độ dẫn và của cơng suất hấp thụ đối với từng trường hợp nghiên cứu; về
việc nghiên cứu độ rộng phổ hấp thụ, các tác giả đã sử dụng các phương
pháp nghiên cứu khác nhau: như tác giả Suzuki [23] bắt đầu từ việc sử dụng phương trình Kubo, hay sử dụng phương pháp tốn tử chiếu của Choi và Cho [12], [13] Các kết quả của các cơng trình trên cho thầy rằng,
Trang 8độ rộng vạch phổ ít nhiều phụ thuộc vào nhiệt độ và từ trường ngồi
+ Ở trong nước: cho đến thời điểm hiện tại đã cĩ nhiều tác giả, nhĩm
tác giả nghiên cứu về cộng hưởng eyclotron, trong đĩ cĩ đề tài đề cập
đến sự cộng hưởng cyclotron trong giếng lượng tử thế vuơng gĩc sâu
vơ hạn và thế parabol bằng phương pháp tốn tử chiếu của tác giả Võ Thanh Lâm [5], trong giếng lượng tử thế parabol và bán pararabol bằng
phương pháp tốn tử chiếu cơ lập của tác giả Trương Thị Hồng Nhung
[6], trong hồ lượng tử thế parabol bằng phương pháp tốn tử chiều độc lập trạng thái của tác giả Trần Ngọc Bích [1], và gần đây nhất là đề tài “Khảo sát ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên cộng huéng cyclotron trong giếng lượng tử thế tam giác” của tác giả Nguyễn Thị Anh Thư, trong đĩ sử dụng phương pháp chiếu tốn tử độc lập trạng thái [S] Các cơng trình nghiên cứu về cộng hưởng eyclotron trong bán dẫn thấp chiều trước đây chủ yếu sử dụng phương pháp chiếu tốn tử độc lập trạng thái hoặc phụ thuộc trạng thái, mà ít cĩ cơng trình sử dụng phương pháp chiếu cơ lập Vì lí do đĩ, tơi chọn đề tài “Khảo sát cộng hưởng cyclotron
trong giếng lượng tử thế tam giác bằng phương pháp tốn tử chiếu cơ lại
làm đề tài luận văn tốt nghiệp của mình
2 Mục tiêu nghiên cứu
Sử dụng tốn tử chiếu cơ lập để thiết lập cơng suất hấp thụ, từ
đĩ khảo sát cộng hưởng cyclotron trong giếng lượng tử thế tam giác và
khảo sát sự phụ thuộc độ rộng phổ của các đỉnh cộng hưởng cyclotron
Trang 93 Nhiệm vụ nghiên cứu
~ Nghiên cứu bán dẫn thấp chiều trong đĩ đặc biệt là giếng lượng
tử thế tam giác và phương pháp tốn tử chiếu cơ lập
~ Thiết lập tenxơ độ dẫn tuyến tính, độ rộng phổ và cơng suất hấp
thụ trong giếng lượng tử thế tam giác trong hệ electron-phonon tương tác dưới tác dụng của trường laser và từ trường ngồi
- Xác định điều kiện để cĩ cộng hưởng cyclotron và khảo sát sự phụ
thuộc độ rộng phổ của các đỉnh cộng hưởng này vào nhiệt độ, từ trường
4 Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp tốn tử chiếu cơ lập để thiết lập các biểu thức giải tích - Sử dụng chương trình tin học Mathematica để tính số và vẽ đồ thị 5 Phạm vi nghiên cứu Dé ti
ập trung nghiên cứu phương pháp tốn tử chiếu cơ lập, khảo sát cộng hưởng cyclotron trong giếng lượng tử thế tam giác với các giới hạn sau:
~ Chỉ xét phonon khối (3 chiều)
- Chỉ xét đến tương tác eleetron - phonon, bỏ qua tương tác cùng, loại (electron-electron, phonon-phonon)
6 Bố cục luận văn
Ngồi mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần:
- Phần mở đầu trình bày lý do chon dé tài, mục tiêu của đề tài, lịch sử nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu, giới hạn đề tài và bố
Trang 10cục luận văn
~ Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về bán dẫn thấp chiều, giếng lượng tử thế
tam giác và phương pháp tốn tử chiếu cơ lập
Chương 2: Sử dụng phương pháp tốn tử chiếu cơ lập để thiết lập
biểu thức giải tích tenxơ độ dẫn và cơng suất hấp thụ
Trang 11NỘI DUNG
Chương 1
TONG QUAN VỀ MƠ HÌNH KHẢO SÁT VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chương nay trình bàu tổng quan vé bán dẫn thấp ch tổng quan ề giếng lượng tử thế tam giác, năng lượng, hàm sĩng, biểu
thức thừa số dạng của giếng lượng tử thề tam giác, Hamillonian ctia hé electron tuong tac uới phonon trong giếng lượng tử đặt
trong từ trường Trình bàu tổng quan uề các phương pháp tốn
tử chiếu uà phương pháp tốn tử chiếu cơ lập
1.1 Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và giếng
lượng tử thế tam giác
1.1.1 Tổng quan về bán dẫn thấp chiều
Hệ cấu trúc nano là hệ mà trong cấu trúc của các thành phần cầu tạo nên nĩ ít nhất phải cĩ một chiều ở kích thước nanomet (đã đề cập
ở phần lý do chọn đề tài) Trong các cấu trúc cĩ kích thước lượng tử này, các hạt dẫn bị giới hạn trong các vùng cĩ kích thước đặc trưng vào cỡ bậc của bước sĩng De Brolige Các cấu trúc nano cĩ tiềm nang ting dụng làm thành phần chủ chốt trong những dụng cụ thơng tin kỹ thuật cĩ những chức năng mà truớc kia chưa cĩ Một trong những tính chất quan trọng của cấu trúc nano là sự phụ thuộc vào kích thuớc “ở đây các
quy luật của cơ học lượng tử đã bắt đầu cĩ hiệu lực , trước hết thơng
qua đặc trưng cơ bản nhất của hệ điện tử là phổ năng lượng của nĩ Phổ
năng lượng bị gián đoạn đọc theo hướng tọa độ giới hạn [4]." Hệ bán
Trang 12dẫn thấp chiều bao gồm hệ bán dẫn 2 chiều, hệ bán dẫn 1 chiều và hệ bán dẫn 0 chiều
a Giếng lượng tử
Giếng lượng tử là cấu trúc trong đĩ một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai lớp bán dẫn khác Sự khác biệt của các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn đĩ tạo nên một giếng lượng tử (12) Các
eleetron bị giam trong lớp mỏng ở giữa chúng chuyển động tự do theo hai
chiều, cịn sự chuyển động theo chiều thứ ba đã bị lượng tử hĩa mạnh
Ví dụ như hệ hệ gồm hai chất bán dẫn GaAs và Al,Ga_ „4s, vì cả điện
tử và lỗ trồng đều bị nhốt trong giếng thế cĩ độ cao lớn hơn #¿7 ở 300
K nên ở nhiệt độ phịng ta cũng cĩ thể quan sát được hiệu ứng lượng tử
AlGaAs GaAs AlGaAs _ { Dimensional Electron Gas AlGaAs Enemy Gap | - GaAsEemyex} ——x 2mm ———— Hình 1.1: Cấu trúc ving của giếng lượng tử, b Dây lượng tử
Dây lượng tử là hệ cấu trúc một chiều, trong đĩ chuyển động của
điện tử bị lượng tử hĩa theo hai chiều, chiều cịn lại khơng bị lượng tử
hĩa (các eleetron khơng cịn chuyển động tự do nữa mà bị giới hạn theo hai chiều, chỉ cĩ một chiều chuyển động tự do) Dây lượng tử cĩ thể
Trang 13được chế tạo bởi phương pháp epytaxi hoặc kết tủa hĩa hữu cơ kim loại
MOCVD hay stt dung cac cong trên một transitor hiệu ứng trường (3] Gay Aly AS \ % nà 7X Zz Hinh 1.2: Minh hoa day lượng tử c Chấm lượng tử
Khi cả ba chiều của điện tử bị lượng tử hĩa thì ta cĩ cầu trúc chấm lượng tử Một chấm lượng tử tiêu chuẩn cĩ kích thước nhỏ hơn bán kính
exiton (10 nm) và lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tỉnh thể ( 0.5 nm) [6] Chấm lượng tử cĩ dạng hình elip, chữ nhật, tam giác, thậm chí là những hình khối khơng đối
Hình 1.3: Ninh họa chấm lượng tử
Trang 141.1.2 Giếng lượng tử thế tam giác
Xét hạt chuyển động trong giếng thế tam giác đặt trong điện trường,
ngồi e, cĩ rào thé cao vơ hạn tại z < 0 Biểu thức thế năng cĩ dạng
a= eK,
trong đĩ e = 1,6.10”! là điện tích của electron, Ep la bién do dién trường
V=dz
Hình 1.4: Đồ thị biểu diễn thế tam giác
Trang 15ae) với + = (2m phương trình (1.2) trở thành: 2m*a\?34U(6) - 2m°a /2m°a\ 13, te de oR ae su(s) =0 ° — —su(s) =0 Nghiệm cĩ dạng hàm Airy: 9(S) = aAi (<) + bBi()
Hinh 1.5: Ham Airy Ai(x) va Bi(x)
Dựa vào tính chất của hàm Airy, ta thấy rằng cả hai hàm Ai va Bi déu
là hàm tuần hồn ở miền giá trị âm của c Khi c đương thì hàm Ai suy
Trang 17Xét về trái của (1.8):
VT = (Wn(2)| 0„(2) /3 x 1⁄3
= la for lứz a _ Ai Éz*) +s] dz
/4 + 1⁄8
= tat fas] (2st) "s+ ae [(22) "a w]e
Trang 18trong đĩ y =
* Khi n=n: (gP)'2
= |al? [oe (e “) Movs
= lanl? le +6/2) A246) = LA%2+] ? { (0~0)~ | - 3A(6)] } = Pa Do khi n = n’ thi VT = 1 nén a +12 2m*a\/®8 1 "Ail ÁP Ai (sn) Vậy hàm sĩng cĩ dạng: * 1/6 + 1/3 02) — war) aca") +s) 2m°a\1/6 T7 2m*a\ 1/8 = hồ = 2 sft" n z+@|tỳdt, 3 (n =1,2,3, hay «\ 16 ey \ U3 1 2m*a 1 2m*a bo = pi(kertkyy) f Z+@n|- 2,060?) = Tee ( ie ) AiG) a (( „ề ) +s) 1.1.3 Hamiltonian ciia hé electron tong tac v6i phonon trong
giếng lượng tử đặt trong từ trường
Bây giờ ta xét hệ chuẩn hai chiều với từ trường tĩnh hướng theo
truc z: B = (0,0, B), chon thé vects A = (0, Bx, 0)
Phuong trinh Schrodinger cho 1 electron trong tit trudng:
[- we
2m,Ơz? ` 2m*
Trang 19Áp dụng phương pháp phân li biến số: U(.z) = X(z.9)#(): ta được: sợ [-zz+Y 9z = =se)
Nghiệm cĩ dạng hàm Airy đã khảo sát ở trên:
21/6 ete ¡(2 me) z+ s) sa)/3, Gn(2) = aạ-Ai (12 + s,) = (28% = (22) TA that, (n=138,.) và (1.13) trong đĩ ' 5 X=;g( Hạ: Mặt khác
nghiệm của phương trình (1.13) là
x(a) = ®y(e — X) = (2ŸMI 5n) 2a)
N=0,1,2,
trong đĩ Hx(2) là đa thức Hermite bac N, ro = (h/eB)'/?
Trang 20Hamiltonian của hệ electron tương tác với phonon trong giếng lượng tử đặt trong từ trường
Hạy= Hạ + V = Hụ + Hạ + V,
với Hạ = H, + Hp,
H, = S) Eaa†aa là Hamiltonian của hệ electron, H—S he,b‡b, là Hamiltonian cia hệ phonon,
V = SLC (q)atay(by + bi) là thể tương tác giữa electron -
" “
6 day af, (a,) là tốn tit sinh (hity) electron 6 trang thai |A) , tuan theo hệ thức phản giao hốn; bẻ, (b,) là tốn tử sinh (hủy) phonon ở trạng thái |q) = |đ,s), là vectơ sĩng của phonon, s là chỉ số phân cực, hug la ning lượng phonon; C„(đ) = V'(8)(A|exp(iấ7)|u) là yêu tố ma trận tương tác electron-phonon, Z là veetơ vị trí của eleetron, V(đ) là
thừa số kết cặp, phụ thuộc mode của phonon
1.2 Tổng quan về các tốn tử chiếu và phương pháp chiếu cơ lập
1.2.1 Tổng quan về các tốn tử chiếu
Năm 1965 Hazime Mori đã đưa ra phương pháp chiếu tốn tử khi nghiên cứu chuyển tải của hệ nhiều hạt, gọi là phép chiều tốn tử Mori fỊ-
Xét một hệ nhiều hạt cĩ Hamiltonian #f và một biến động lực A sao cho [H, A] = HA—AH #0 Bién dong luc A trong biéu dién Heisenberg cĩ dạng
ime ime
A(t) =e A(O)e**, (1.14)
Trang 21trong đĩ A = A(0)
Phương trình chuyển động của 4(/) biểu diễn sự biến thiên của biến động lực A theo thời gian, cĩ dạng
dA(t) i
SA = GLA, (1.15)
hay A(t) = Ae™/", với L là tốn tử Liouville
Dé thuận tiện cho việc nghién cttu A(t) duge phan tich thành hai
thành phần là ®(/).A và A’(t) Su thay đổi của thành phần ®(t).A theo thời gian hồn tồn được xác định bởi hàm tác dụng tuyến tính (t)
Thành phần A() mơ tả hiệu ứng phi tuyến, các quá trình khơng ổn định Lúc này ta cĩ thể viết:
A(t) = ®(t).A + A'(t) (1.16)
H Mori đã đưa ra biếu diễn hình học đơn giản cho phân tích tốn tử 4 thơng qua việc xây dựng một hệ cơ sở các vectơ sĩng trực giao (hình
11)
®Œ).4 A
Hinh 1.1:Vecto A(t) duge phan tich thanh hai thành phần vudng gĩc vdi nhau la ©(t).A va A'(t) dựa trên kỹ thuật chiếu tốn tử của Moni Xét khơng gian Hilbert các biến động lực cĩ thành phần bất biến được đặt bằng khơng Tích vơ hướng (F, G*) trong khơng gian được định nghĩa bằng
(F,G") = (F,G"), (trường hợp cổ điển), (1.17)
Trang 22và bằng
8
tnŒ9=3 (eM Fe MG") dd, (trường hợp lượng tử), (1.18)
P Jo
trong 6 G* 1A liên hợp Hermite của Ớ, đ = 1/(kz7), kg là hằng số Boltzmann, 7 là nhiệt độ và A là biến tích phân Ngồi ra tích vơ hướng thỏa mãn các tính chất giao hốn và kết hợp
(F.GŒ) =(G,F*), (G,G)>0, (1.19)
(Moh) = Vo(h.@) (1.20)
7 7
Theo lý thuyết của Mori, tốn tử Liouville L thudc khơng gian vectơ xây dựng phải Hermite, tức là
(LF, G") = (F,[LG) (121)
Với khơng gian nĩi trên, biến A xác định một vectơ trong khơng
gian Hilbert Phép chiếu một vectơ Œ lên trục vectơ 4 được xác định bởi (G.4') A, A") Phương trình (1.22) định nghĩa một tốn tử Hermite P trong khơng gian PG= A (1.22)
Hilbert, théa man P(1 — P), 1— P = Q là tốn tử chiếu lên phương
vuơng gĩc với phương chiếu của tốn tử, sau này @Q được gọi là nghịch đảo Albel của P
Phương pháp chiếu tốn tử được chọn sao cho tốn tử P luơn
là phương của tốn tử chứa trong biểu thức cần khai triển, phương cịn
lại vuơng gĩc với phương chiếu của P là Q= 1— P Do đĩ P tác dụng
lên tốn tử đã chọn làm phương chiếu 4 thì bằng chính tốn tử 4, Q tác dụng lên tốn tử 4 bằng khơng và tích hai tốn tử chiếu bằng khơng
Qua quá trình nghiên cứu, phép chiều tốn tử Mori được phát
triển với nhiều cách định nghĩa khác nhau tùy thuộc vào mục đích tính
Trang 23tốn Cĩ nhiều kỹ thuật chiều như: kỹ thuật chiều khơng phụ thuộc trạng thái, kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái, kỹ thuật cơ lậ
- chiếu,kỹ thuật
chiếu - cơ lập, kỹ thuật chiếu tổ hợp, kỹ thuật chiếu trung bình cân bằng,
kỹ thuật chiếu mật độ cân bằng
1.3 Tổng quan về phương pháp chiếu cơ lập
Để xác định dạng tổng quát của hàm suy giảm cộng hưởng eyelotron và đưa về dạng Lorentz, người ta đã sử dụng một kỹ thuật gọi là kỹ thuật cơ lập - chiếu trong đĩ bao gồm kĩ thuật cơ lập và kĩ thuật chiếu thong
thường Trước tiên, để tránh nguy cơ phân kỳ trong hàm suy giảm ta
xác định cặp tốn tử cơ lập {A, A“} mà khi chiếu lên các thành phần Y¡ và Y¿ của tốn tử Y nào đĩ với Y = Y¡ + Y2, sao cho AY = Yị và AY = Yo Ma trận mật độ của Yị trong biểu diễn |đ) được xác định bởi
(| Yi JØ) = (8|Yi |Ø — 1) ðz,¿—¡ Vì vậy ta cĩ mối quan hệ
(|AY |#) = (6|AY|đ—1)ðx¿¡ và A'=A-L (128)
Các tốn tử này cĩ những tính chất hiển nhiên
A?=A, A?=A', AA=AA=0
Sau đĩ, để biến đổi hàm truyền thành dạng Lorentz người ta sử dụng
cặp tốn tử chiếu {P, P!} được xác định như sau
py TƠ, Q=1-P (1.24)
Như vậy, bằng cách sử dụng kỹ thuật cơ lap-chiéu ta cĩ thể tránh được nguy cơ phân kỳ trong hàm suy giảm và xác định cụ thể các phần thực
và phần ảo của hàm suy giảm Ngồi ra, với hàm suy giảm tìm được bing
Trang 24và của nhĩm Argyres và Sigel [6] trong trường hợp tương tác yếu của hệ
electron-tap
Trang 25Chương 2
BIEU THUC GIAI TICH CUA TENXO DO DAN VA CONG SUAT HAP THU
Chuong nay trinh bay tink todn tudng minh biểu thức của
tenzơ độ dẫn quang từ, từ đĩ tàm được tenzơ độ dẫn quang từ
tuyén tinh Trinh bay vé biểu thức giải tích của cơng suất hấp thụ trơng giếng lượng tử tam giác, từ đĩ xác định điều kiện cộng hudng cyclotron 2.1 Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn khi cĩ từ trường
2.1.1 Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn quang từ
Ta gia sit ban đầu khơng cĩ trường, hệ electron và phonon là vĩ mơ cân bằng nhiệt động với nhiệt độ tuyệt đối T Do đĩ, hệ này cĩ thể được
biểu diễn bởi tốn tử mật độ chính tắc exp|[~Ø(H„ — „Đ)| Tal expl—B(Hay — nN) với NV 1a téng sé electron trong hé, / là thế hĩa cia mot electron, 8 = Peq( Hea) (21) (kz7)”!, với kạ là hằng số Boltzmann, 7 là vết của hệ nhiều hạt của trạng thái electron-phonon
Hầu hết các lý thuyết đều chọn H„„~ Hụ, trong tốn tử mật độ vì khĩ tính được vết của V trong dang ham mũ chứa yếu tố ma trận khơng chéo [7] Tiếp theo, ta trình bày một dạng chéo hĩa-kết hợp-khơng chéo hĩa của tốn tử mật độ Trước hết ta đưa ra phương trình tốn tử U(A)
Trang 26cĩ dạng [23]
UQ) = exp|A9(1 — Đ)|exp|[—A9(Hụ — „Đ)| (2.2) Lấy vi phân đối với A, ta được
aud) 2 B(Ho — WN) exp[\8(Ho — øĐ)] exp[—A9(H,„ T—
—8(Hạ — uN) exp[\6(Ho — #rN)] exp[—A2(Hạạ — = B(Ho ~ Heq) exp[\8(Ho — UN) exp[-A8(Heq — HN)] = —BVexp[A3(Ho — N)] exp[—AB((Ho + V) — „Đ)} = —fexp[\B(Ho — #Đ)]V exp[—A9(Hạ — „Đ)]exp(—A8V) =_—#exp|À(Ho — „Đ)]V exp[—A9(Ho — nN) x exp[—\3(Heq — WN — Ho + #Đ)} = —BV(A)U(), (2.3) trong đĩ V(A) = exp[Ađ(Hạ — „Đ)]V exp[—A2(Hạ — „Đ)], A là cường độ tán xạ Vậy we = -BV(A)U(A) (2.4)
Trang 27A 1 [von 1-2 fv p-afv (As)U( si ala 3 d » ¬ By" y fan [do nl ¿ý ý Thay À = 1 trong phương trình (2.9), (2.6), ta được s—š dV (Ar) V (A2). V An): (2.6) exp[3(Ho — „ÄĐ)]exp[—8(H„„T— „Đ)] 1 Ai Am
= Š (-8)" far { đào J đÀ„V(A)V() V(A,)
© exp[—8(Heq — Đ)] =exp[—9(Hụ — „ÄĐ)|[I +S(V)], (27)
với: S(V) = Ie 2) fads f ddan ` @/V()VO)-V0): Từ (2.7) suy ra Taf exp[-B(Heq — HN)]} =Ti{exp[~Ø(Hụ — #N)][1 + S(V)]} = Taf expl—B(Hy — N)]} + Taf expl-6(Ho — nR)IS(V)} - 3z — nh „ Ta(exp[~2( — uÃ))} ~ Tr(sp(~8Uu— 0Đ) + a a} x- Tạ(exp[~8(w — /Ä)|§(V)J) = Taf expl—B(Hy — ,Ã)J}+T¡{e[~80I6 — „Đ)) esg[—đ(a — „Ä)JS(V) Te Saad NTS es) Lập tỉ số (2.7)/(2.8) ta được peg( Hes) = pol Ho) + SW) Za 29) 6: Zp = = (How NY]
trong 46: Zp = 1+ Trlpo(Ho)S(V)], po(Ho) = eee
Tốn tử mật độ biến đổi trong phương trình (2.9) cĩ thành phần khơng chéo chứa V tách riêng đạng mũ, vì vậy ta cĩ thể tính đễ đàng tập hợp trung bình và giá trị gần đúng thích hợp dựa trên điều kiện cho V
Trang 28Khi đặt một điện trường rất yếu so với trường bên trong hé electron va hạt nhân ion hĩa và cĩ bước sĩng lớn hơn hằng số nguyên tử Sự nhiễu
xạ liên kết với trường cĩ thể tăng đơn điệu và đoạn nhiệt từ trạng thái
cân bằng khơng nhiễu loạn đến trạng thái bị nhiễu loạn bền vững trong gần đúng Thành phần của mật độ dịng điện 7; cho các electron cĩ dạng, T= (al Gi|8)azag (i= 2,y,2), (2.10)
“8
với j; là tốn tử dịng của một điện tử Theo đĩ, chúng ta sẽ xác định được tenxơ độ dẫn cho dịng điện cảm thơng qua hình thức luận Kubo Đặc biệt với điện trường cĩ biên độ Eụ và tần số gĩc œ, bị phân cực trịn
trong mặt phẳng (x, y), cơng suất hấp thụ trung bình theo thời gian
được cho bởi
Plu) = gEÿReløi-(9)| (2.11)
với: Ø = œ —i (n > 0*), kf higu Re la phan thuc va tenxơ độ dẫn
được cho bởi i o4-(@) = —— Se) (K@)), + (2.12) trong đĩ K(®) = G@)J*, (2.13) G(@) = @-La)", (2.14) J* = J,tidy, (2.15) ja = (a+l1l7 |a), (2.16) (X)q = Tr Peq(Heq)[X, 4% 4a+1]}, (2.17)
v6i L = Ly + Ly la toan tit Liouville tương ứng với Hạ, = Hạ + V Tiếp theo ta sử dụng phép chiếu cơ lập đã được định nghĩa ở trên để tính tenxơ độ dẫn Ta thay (2) = AK(@) + A/K(), sau đĩ áp dụng cặp
Trang 29tốn tử {A,A"} vào Theo phụ lục 1 và phụ lục 2 ta cĩ
( ø = AL)AK(ð) — ALA'K(@) = AJ* = J*, @ — A'L)A'K(8) ~ A'LAK(8) = A'J* =0, Sử dụng hệ thức: Aly = LạA = (wy + Ly)A, ALA! = A'LgA = 0, véi L =Lp + Ly, ta cĩ:
(@ — Ly — AL, AK (@) — AL,A'K(@) = AJ* = J*, Lạ — A'L))A'K(6) — A'L, AK (@) = A'J* = 0 Tit (2.19) ta tim duge dang cita A’K(@) A'LiAK(ø) NK @) = TT TA = G6)A'1¡AK(3) với G'(2) = Lag: thay (2.20) vào (2.18) ta được
(@ — Lo — AL, AK (a) = ALiG(6)A'LIAK(8) = J* © (@ — Ly — AL; — AL,G'(@) AL) AK (a) = J* = AK(@) = —— (6)= ø@-La—-9(0) 7 ` với O@) = A+ LG'@A'LA (2.18) (2.19) (2.20) (2.21)
Phương trình (2.21) tương đương với kết quả của Argyres và Sigel tim
được bằng phương pháp tích phân
Tiếp theo, ta sẽ biến đổi hàm truyền trong phương trình (2.21) thành dạng Lorentz từ đĩ chúng ta cĩ thể xác định hàm suy giảm của phổ cơng suất hấp thụ bằng cách tác dụng cặp tốn tử chiếu P,Q
vào K(0), vi K(®) = PK (a) + QK(ø) Sử dụng đẳng thức (AB) cho
Trang 30(@ = Lạ — Ơ(2))“` tương tự như đã làm với cặp tốn tử cơ lập {A,A'}, theo phụ lục 1, phụ lục 2 và kết hợp điều kiện (1.24) ta được (@ = we — PA(B)) PK(@) - PO(0)QK(ð) = PJ* = J*, — (329) (@ = Ly — QO(@))QK (a) — QO@)PK(@) = QJ* =0 (223) Tit (2.23) suy ra Ae QK(ư) = eee = đ!(ø)Q9(8)PK(ð), (2.24) trong đĩ G16) = pone (2.25) thay (2.25) vào (9.22) ta được [@ = w — PAB) ~ PO()Œ"(6)Q0(ø)]PK(ư) = â { ~ ô) P|O(6) + 9(ø)G"(6)Q9(2)]} Px) = & {((@ =u) — PIA(®) + 9(6)G(6)Q0(2))} LQ 3), = (Fa TC: — G=s)-PING)+06J06)0n0)) °°) = (227) Từ đĩ Ka ee (228) trong đĩ T,(@) = rợn, (0 ø) + 0(6)G"(6)@9(6)]7*),„- (2.29) Với thế tán xạ rất yếu V, ta cĩ thể bỏ qua số hạng thứ hai của mẫu số trong phương trình (2.29) và thay Q(@) = [Ly + LiGo(@)A'LiJA Laie
này, phương trình (2.29) được viết lại thành
Tạ(6) = —i([\J} + LịGŒ(@)A'L\J*])a/(J2)a (2.30)
Trang 31Hàm T„(Ø) thu được trong (2.30) là một biểu thức phức do cĩ # = w—in (n => +0), vì vậy ta cĩ thể viết hàm suy giảm dưới dang Tạ(Ø) ~ —/Áa + Yaw), A¿=(A22)2/21)4, (2.31) Yaw) = —i(LiGo(@)A'L1J*))a/(J*)a- (2.32) Thay (2.28) vao (2.12) ta duge
Phương trình (2.33) cho thầy rằng bằng việc sử dụng phương pháp chiều
cơ lập, ta đã đưa được biểu thức tenxơ độ dẫn về dạng cụ thể, với A„
và 2a(@) là các hàm suy giảm
2.1.2 Biểu thức tổng quát của hàm suy giảm
Áp dụng phương pháp tập hợp trung bình thống kê, ta sẽ cĩ được thành phần chính của tốn tử mật độ trong phương trình (2.9) với Zp ~ 1 Theo dé, mỗi thành phần trong (2.31) và (2.32) cĩ dạng như trong phụ lục 3, phụ lục 4 và phụ lục 5
(Fa = Tr {p0(Ho)[I*,a;.aas1]} » 1 (2.34)
(LiJ*)q ~ ~8 [ du; {po(Ho)V(A)[LiJ*, agaasil},
, (2.35)
(LiGo@)A’LiJ*))a ~ Tp {øe(Họ)[LiGa(6)A'LìJ*, a2aa21]} (9.36)
Tiếp theo, ta sẽ xác định cụ thể các hàm suy giảm Ag, Ya(w)
Trang 32Để xác định +4(ø), ta sử dụng tính chất hốn vị vịng của vết và tính chất giáo hốn của /„„ với H theo phụ lục 6
(LiGo(@)A'L1J*)) a > Th {0(Ho)[LiGa(ð)A'LiJ*,a2aa+1]}
= Tr {po(Ho)[Liagaa+1,X}} — Tr {p0(Ho)[LiAX, azaasi]}- Thay X = Go(@)LiJ* = (@ — Lo)“'LiJ* vao (2.32), ta duge Yaw) = —i(LiGo(@)A'LiJ*))a/(J* ax (J*)aia(w) = (LiGo(@)A’'LiJ*))a = Tr {p0(Ho)[LiGo(@) AL J*, a aa+i)} = Tr {po(Ho)[Liay aa+1,Go()LiJ*}} —Tr {po(Ho) [Li AGo(@)LiJ*, a aa+1)} = SH1— SH2 + Tinh SH2:
SH2 = Tx {po(Ho)[LiA@ = Lo)" LaT*, ahaa} }
= Ta {po Ho)[La(@ = La) "La J*,000-}}
= Th Ìn (Hi) HẬ(G = lạ)" J*,a‡a,a]} ~ 0,
với AJ* — J#và khi xét gần đúng đến bậc 2 của thế tán xạ thì L? ~ 0
Vậy
(J9aa(9) = Tre {o0(Ho)[Lrazanss(@ = Tạ)" lịJ |} @37)
Đối với các tốn tử sinh hủy electron, ta cĩ
Th{0na2aa:} = fade,
Tr{ Pog} = Tr{Polda, ae)y — Gta} = (L= fa)ỗ»«› trong đĩ
fa = {exp[B(ea — er)] +1} * (2.38) là hàm phân bố Fermi-Dirac của electron ở trạng thái |a) cĩ năng lượng
€q, €r là năng lượng Fermi ở nhiệt độ TT
Trang 33Đối với các tốn tử sinh hủy phonon, ta cĩ Tn{øb‡by} = Nuỗỳ,
Tr pobgbir} = Tn{øa[bạ, bạ]+bgbạ} = (1+ Na),
trong đĩ A„ = [exp(đs,) — 1]! là hàm phân bố Bose-Einstein của phonon cĩ năng lượng e„ Các hệ thức trung bình khác bằng 0
Theo phụ lục 6 ta cĩ
(J*)a = Ja (fort — fa),
thay cơng thức trên vào (2.37), ta được
J3 (6= fa)na() = Tr {po(Ho) [ras a41(@— Lo) Lat" ]} , (2.39)
trong đĩ Ly J* va Laa#a„¿¡ được xác định bởi phụ lục 6 và phụ lục 8 Do đĩ (Ø= Lạ) !UiJ* =>) 3) /2(5 4(4)[GE2/(4)uajax + Gi2/(—4)b-,a3a,] 7 op ~€m.2(8)|G0211,2(4)Bua>.,ias + GI)1,2(—4)b-¿ajaa]}, (2⁄40) trong đĩ
GE(q) = Ga — ea top +exg)Ð1, (2.41)
Trang 34Khai triển (2.42) ta được 16 số hạng Trong 16 số hạng cĩ 8 số hạng chứa giao hốn tử hoặc cĩ 2 số hạng sinh phonon, hoặc 2 tốn tử hủy phonon, 8 số hạng này sẽ đĩng gĩp bằng 0 vì trị trung bình của 2 tốn tử cùng sinh hay 2 tốn tử cùng hủy phonon bằng 0, 8 số hạng cịn lại cho đĩng gĩp khác 0 Tính cụ thể từng số hạng [14] ta được Pu(ø) = 3) 3) Ga (Gsan=Cs-ssf-/i2) 7 Batt 14N, N, Ễ + fa + | @ = ER0— Eq — Egat Eq +3) G,(Gi-Geisa/7/2) 4 8/a+1 1+ N,+ x_ fs_,_ M+ fa - O-Eqtigteg W—€a41,8 — Eg (2.43) Biểu thức (2.43) cho phép tính hàm suy giảm theo các hàm phân bồ của điện tử và phonon Như vậy, dưới tác dụng của điện từ trường ngồi, điện tử chuyển mức kèm theo hấp thụ hoặc phát xạ phonon Mỗi số
hạng trong (2.43) biểu diễn một quá trình tương tác giữa các hạt và sự dich chuyển của điện tử giữa các mức năng lượng Như vậy, tám số hạng trong biểu thức (2.43) mơ tả tất cả các quá trình dịch chuyển cĩ thể cĩ
của điện tử giữa hai trạng thái œ và œ + 1 thơng qua trạng thái trung
Trang 35
[* 1= exp[Ø(c¿a + e)|} „ ( + 1) {1 = exrlB (Ei — 2)
Epa + &q Eats + Eq
+ey Bet, (Coya Castes) x [2Nsinh(á,) +1 — exp(đs/):
q 8
(2.44)
Tuy nhiên, trong giới han lugng tit a >> kg7, nên cĩ thể bỏ qua A„ khi
so sánh với œ¿ Khi đĩ, ta viết lại biểu thức tenxơ độ dẫn [14]
_i lứa = /a«l l2
ð;_(ø) = Ra 2 [0 =0) — Hala (2.45) trong đĩ +ø(2) là hàm suy giảm được xác định bằng phương pháp chiều
cơ lập Biểu thức hàm suy giảm sẽ được khai triển tường minh hơn và
kết quả thu được từ phương pháp chiếu cơ lập sẽ được áp dụng vào mơ
hình bán dẫn là giếng lượng tử thế tam giác để nghiên cứu cộng hưởng
cyclotron (sé khảo sát ở phần tiếp sau)
2.1.3 Tính biểu thức hàm suy giảm
Trong cơng thức (2.43) thì [exp(đz,) — 1|” và ea,¿ = £a — #2:
Thực hiện tính các ma trận tương tác
Caa(q) = V(q)(alexp(igr)|8)
Trang 36
9y Xe) = GXAI/Emu) exp [##] ay |], ï
(247)
[ha) = #u.(2)aa-4i(%z + Sn.)
_ (2ma\!" 1 ((2ma eee
V2) ro) ae) Free)
Trang 37
Xo=Xs)" _ (aero)? Xa+ Xu
x ep Lí mơ) ()+»(“22)| 6á
với AN = N„ — N., N =min{N„,N;}, N„ = max{N„,N;} Q(na.nạ,:) = / ha (ael* yng (2)d2 0 Mặt khác theo [17] ta cĩ các cơng thức: 2 = —ie|2(Na + 1)he./m°]12 (251) " Ng 1⁄2 jg Wa+1 12 — \Aa+l/ }) 7 \A¿+l/ 7 Thay (2.48), (2.50) ở trên vào (2.43) ta được C2Ca„+i = |V()ÏKI(Na + 1, Na; ĐF (nạ, nạ, g;)ð(Eay, Ray + đụ), (2.52) Char gCo-Aadia/ia = [Ns/(No + 1)]'?|V(q))?K2(No, Na = 1:8) x_F(na,na,q:)Š(Ea kay + đụ), (253)
C206, = |V (a)? Ki (Nay Nait)F(Mas03;4:)5(Kay: kay + dy), (2-54)
ChaCasior43/Je = (No/(Na + V]'?|V (a)? Ko(Na Noi t)
Trang 38— (Đc+1\(N ~ ĐN +1 G day: AN =|N, — Nal, t ) 1 exp(—) LEM DLE 0), (2.58) [(Xa — Xz)? + q?rj]/(2r3) 'Từ các kết quả ở trên ta được các tích của các yếu tố ma trận tương tác trong (2.43) là Củ¿ (Csaaa=Cs-lajj 4/32) = V(Q)PK (No, Nost)F (Mas 9,42) x 5(kgy, Kay + Ms (2.59) ha (Cas—Conrseri/i2) = WER Na, Noit)F(ma,1954) x_ð(Rụ, uy ~ 40) (2.60) trong đĩ K(Na, Not) (LY), (Na < Na) Hah) th Mesp(—ĐLÐ _Í( i en
| (sen) OM exp( EG DER NP), (No > Na) (2.61)
Dé cĩ thể tính số ta chuyển các cơng thức từ tổng sang tích phân Đĩ là: Le > »= > _ (2.62) Nana kay Nang v5 * han fae (2.63) a trong dé ApL: = LeLyL- la thé tich hé đang xét, hw, la ning lugng cia
photon quang doc
Trang 39với €, Xx, xo lần lượt là hằng số điện mơi trong chân khơng, hằng số điện mơi cao tần và hằng số điện mơi tĩnh, q¿ là nghịch đảo độ chấn Debye Gia sit q? đổ, hay q¡ >> g:, khi dé V(q) V/(g:), lúc này 1 2 = >) —— (2.65) (+4) AT, nạ :=n, nạ :=
Để thuận tiện ta thay 2
Thay (2.59), (2.60), (2.62), (2.63), (2.65) vào (2.35) ta được AoL, Chu, (1 1\ Tự me) = WE (AF) fata f tae f ay 4n 2€ AgE: \Xs Xã 0- X: Xo 7 J KÃ G 5 Xi ( +43) F(n.n!,g.)K (n,n! Đ(kạy, kạy $y) Sa 3 G , 1 + ———sFtn.n'.4.)K(n,m!,t)ð(Eay, hạy + q,) * (a +a)" ov ngơn" [ 1+ AT fs + N, + fa |} 2.66 #a+l,8 + Eq ( ) — Êa+1,8 — Eq
Vì kạy chỉ chứa trong ma trận K(A, N',£) và hàm ð(kz„, kạy =qy) Ngồi
ra vì chuẩn của vectơ sĩng là liên tục nên tổng theo trạng thái đ được
chuyển như sau
[eK e.My hay a)
Trang 40Nhận thấy rằng tich phan theo dq, chi tồn tại với V(q,) và ma trận K(N, N';z), tích phân theo dạ chỉ tồn tại đối với F{n,n!,d.) Ta phải tính: (2.68) (2.69) thì mới thu được biểu thức tường mìỉnh của hàm suy giảm Lúc này phương trình (2.67) trở thành — AgL; - c°hay 1 1 — 4m DEAL \Xx Xo mến"
Lưu ý rằng: Ø —œ — ứ,- (n —> 0°) và cơng thức đồng nhất thức Dirac lim (+is)”! = P(1/z) #ixð(x), (271)
„út
với P(1/x) là hàm lấy giá trị chính của x, ð(x) là hàm delta Dirac
Ap dung cho các số hạng trong phương trình (2.70), chẳng hạn
= Jo) lity, (tas S20 — 24
= (14.Ny- fs) [P(e "` — ea)
Thuc hién phép tính cho các số hạng cịn lại, ta được các kết quả tương tự