Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA ĐS6 CHUYÊN ĐỀ - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 2-3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH TRỰC TIẾP VÀ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc so sánh: + Ta biến đổi hai lũy thừa cần so sánh thành lũy thừa số số mũ để so sánh Nếu luỹ thừa số (lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn a m > a n ( a > 1) ⇔ m > n Nếu luỹ thừa số (nhỏ 1) luỹ thừa có số mũ lớn nhỏ a m > a n ( a < 1) ⇔ m < n Nếu luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn an > bn ( n > 0) ⇔ a > b Khi số 1, hai lũy thừa với số mũ tự nhiên + Để so sánh lũy thừa A B, ta tìm lũy thừa M cho Trong A A>M > B M M B ; so sánh trực tiếp + Để so sánh hai lũy thừa Hoặc A< M < B A B , ta tìm hai lũy thừa X Y cho: A< X X >Y > B Trong lũy thừa A X ; X Y Y B ; so sánh trực tiếp PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Biến đổi số số mũ Bài 1: Hãy so sánh: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA a 1619 2711 b 825 818 Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy, câu a) 16 số liên quan tới lũy thừa số 2, câu b) 27 81 liên quan tới lũy thừa số Do để so sánh, ta biến đổi lũy thừa các lũy thừa có số, dựa vào so sánh số mũ để so sánh chúng với b) Lời giải: 1619 = (2 )19 = 276 ;825 = (23 ) 25 = 275 a) Ta có Vì 276 > 275 ⇒ 1619 > 825 b) Ta có ( ) =3 =(3 ) =3 2711 11 ⇒ 81 < 27 33 818 = 34 32 11 Bài 2: Hãy so sánh: a b c d 1287 536 3260 3500 1124 và 424 8150 7300 Lời giải: a) Ta có : a) Ta có : 1287 = (27 )7 = 249 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 424 = (22 ) 24 = 248 Vì 249 > 248 Nên 1287 > 24 b) Ta có: 536 = 12512 ⇒ 536 > 1124 24 12 11 = 121 c) Ta có : 3260 = 2300 = 8100 ⇒ 3260 < 8150 50 200 100 81 = = d) Ta có: 3500 = 243100 ⇒ 3500 < 7300 300 100 = 343 Bài 3: Hãy so sánh: a) b) 1619 6255 825 1257 Lời giải: 1619 = (2 )19 = 276 ;825 = (23 ) 25 = 75 a) Ta có: Vì 276 > 275 ⇒ 1619 > 825 5 20 21 625 = (5 ) = ;125 = (5 ) = b) Ta có: Vì 20 231 c) Ta có: 430 = 230.230 = (23 )10 (22 )15 = 810.415 > 810.315 3.2410 = 3.(3.8)10 = 810.311 Mà 810.315 > 810.311 nên Bài 5: Chứng minh 810.415 > 810.311 527 < 263 < 528 hay 430 > 3.2410 Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 527 = 1259 27 63 ⇒ < (1) 63 9 = (2 ) = 128 263 = (29 )7 = 3127 63 28 ⇒ < (2) 28 7 = (5 ) = 625 Từ (1) (2) ⇒ 527 < 263 < 528 Bài 6: Hãy so sánh: a) b) 32 n 5300 23 n ( n ∈ N * ) 3500 Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy, câu a) lũy thừa có chung số mũa n, câu c) lũy thừa có chung số mũ 100 Do để soa sánh, ta biến đổi lũy thừa lũy thừa có số số mũ, dựa vào so sánh số để so sánh chúng với b) Lời giải: a) Ta có: 32 n = ( 32 ) = 9n n 23 n = ( ) = n n mà 9>8 ⇒ 32 > 23 Vậy 32 n > 23n b) Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 5300 = ( 53 ) 100 = 125100 3500 = ( 33 ) 100 = 243100 ⇒ 5300 < 3500 Bài 7: Hãy so sánh: n( n+ ) a) b) 256n 9( n+1) 16n+5 (với n∈ N ) Lời giải: a) Ta có: 32 n ( n + 2) = 9n ( n + 2) = n 9( n +1) = n 2 +2n + n +1 n + 2n + > n + 2n ⇒ 9( n +1) > 9n.( n + 2) ⇒ 9( n +1) > 32 n ( n + 2) (∀n ∈ N ) b) Ta có +) Nếu +) Nếu +) Nếu 256n = 162n , suy toán trở thành so sánh 2n n+5 2n > n + ⇔ n > ⇒ 256 n > 16 2n 2n = n + ⇔ n = ⇒ 256 n = 16 2n 2n < n + ⇔ n < ⇒ 256 n < 162n Bài 8: Hãy so sánh 3.275 2435 Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 2435 = ( 35 ) = 325 3.275 = ( 33 ) = 3.315 = 316 Vì 316 < 325 ⇒ 3.275 < 2435 Dạng 2: Đưa tích có thừa số giống Bài 1: Hãy so sánh 202303 303202 Lời giải: 202303 = (2.101)303 = 2303.101303 = 2303.1013.101 = 8101.1013.101 = 8101.101101.1012.101 Ta có: 303202 = (3.101) 2.101 = 32.101.101 2.101 = 9101.1012.101 ⇒ 202303 > 303202 Bài 2: Hãy so sánh 2115 27 5.498 Lời giải: Ta có: 2115 = 315.715 275.498 = 315.716 Mà Vậy 715 < 716 2115 < 275.498 Bài 3: Hãy so sánh 20152015 − 20152014 20152016 − 2015 2015 Lời giải: Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 20152015 − 20152014 = 20152014 (2015 − 1) = 2014.20152014 20152016 − 20152015 = 2014.20152015 Mà 20152015 > 20152014 ⇒ 20152016 − 20152015 > 20152015 − 20152014 Bài 4: Hãy so sánh 201510 + 20159 201610 Lời giải: Ta có: 201510 + 20159 = 20159 (2015 + 1) = 2016.20159 201610 = 2016.20169 Mà 2015 < 2016 ⇒ 201610 > 201510 + 20159 Bài 5: Hãy so sánh A = 7245 − 72 44 B = 7244 − 7243 Lời giải: A = 7244 (72 − 1) = 72 44.71 Ta có: B = 7243 (72 − 1) = 72 43.71 ⇒ A > B Mà 44 > 43 ⇒ A>B Bài 6: Hãy so sánh 3775 7150 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 7150 < 7250 = ( 8.9 ) 50 = 2150.3100 ( 1) Ta có: 3775 > 3675 = ( 4.9 ) 75 = 2150.3150 ( ) 2150.3150 > 2150.3100 ( 3) Mà Từ (1)(2)(3) suy 3775 > 7150 Bài 7: Hãy so sánh: a) b) c) 523 7.213 1512 6.522 và 216 813.1255 Lời giải: a) Phân tích: Ta nhận thấy số lũy thừa cần so sánh số mũ chúng đề khơng có ước chung, số chúng biểu diễn dạng chung số Do việc đưa lũy thừa lũy thừa có số (hoặc số mũ) để so sánh khơng khả quan Tuy nhiên số lũy thừa có ước chung, nên việc tách lũy thừa thành tích, để xuất thừa số chung so sánh thừa c.d k , an số riêng khả quan Để làm điều ta cần dùng phương pháp sau: Biến đổi dạng m k n m b e.d a b biến đổi dạng so sánh hai số e c Từ so sánh hai số b) Lời giải: a) Ta có: 523 = 5.522 < 6.522 ⇒ 6.522 > 523 b) Ta có: 7.213 < 8.213 = 23.213 = 216 ⇒ 216 > 7.213 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 813.1253 = ( 34 ) ( 53 ) = 1512.53 c) Ta có: mà 1512.53 > 1512 ⇒ 813.1255 > 1512 c) Nhận xét: Việc phân tích lũy thừa thành tích lũy thừa giúp nhìn thừa số chung lũy thừa, từ việc so sánh hai lũy thừa dựa vào việc so sánh thừa số riêng Bài 8: Hãy so sánh 9920 999910 Lời giải: Ta có: 9920 = ( 99 ) = ( 99.99 ) 10 999910 = ( 99.101) ( 99.99 ) 10 10 10 < ( 99.101) 10 Vì Nên 992 < 999910 Bài 9: Hãy so sánh: a) b) 85 3.47 1010 48.505 Lời giải: a) Ta có: 85 = 215 = 2.214 3.47 = 3.214 Vì 2 7810 ⇒ 7811.77 > 7810.77 ⇒ 7812 − 7811 > 7811 − 7810 Vì Dạng 3: So sánh thông qua lũy thừa trung gian I Phương pháp giải: Để so sánh lũy thừa A>M > B A Trong A B , ta tìm lũy thừa M cho A< M < B M M B ; so sánh trực tiếp II Bài tốn Bài 1: Hãy so sánh 230 + 330 + 430 3.2410 Lời giải: 430 = ( 2 ) 30 = ( 2.2 ) 30 = 230.230 = ( 23 ) ( 2 ) 10 15 > 810.315 > 810 310.3 = ( 8.3 ) = 2410.3 10 Ta có: Vậy 30 + 330 + 30 > 3.2410 Bài 2: Hãy so sánh: a) b) c) 225 19920 291 3151 200315 536 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Lời giải: 2{225 = (23 )75 = 875 < 975 = (32 )75 = 3150 < 3{151 1442443 A B M a) Ta có => 2225 < 3151 b) Ta có: 19920 < 200 20 = (8.25) 20 = (23.52 )20 = (23.52 ) 20 = 60.540 ; 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53 )15 = (2 4.53 )15 = 60.545 ⇒ 260.545 > 260.540 ⇒ 200315 > 19920 18 2{91 > 290 = (25 )18 = 3218 > 25 = 536 44 4 43 14 43 A M B c) Ta có: => 291 > 536 Bài 3: Hãy so sánh: a) b) 9920 96142 910 11 30 100.2393 ' Lời giải: 9920 = [(99) ]10 = 980110 < (223 )10 = 2230 a) Ta có 2230 = (2.11) 30 = 230.1130 = 810.1130 mà 810.1130 < 910.1130 Nên 9920 < 910 11 30 b) Ta có: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 96142 < 1000 42 = 10126 = 100.10124 100.10124 = 100.(104 )31 < 100.(233 )31 = 100.2393 ⇒ 96142 < 100.2393 Bài 4: Hãy so sánh: a) b) 10750 3339 và 7375 1121 Lời giải: a) Ta có 10750 < 10850 = (4.27)50 = 2100.3150 7375 > 7275 = (8.9)75 = 2225.3150 ⇒ 7375 > 10750 b) Ta có: 339 < 340 = (34 )10 = 8110 1121 > 1120 = (112 )10 = 12110 => 1121 > 339 Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải: Gợi ý: Hãy chứng tỏ 527 < 263 263 < 528 263 = ( 27 ) = 1289 Ta có: ( ) 527 = 53 = 1259 ⇒ 263 > 527 ( 1) TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 263 = ( 27 ) = 1289 Lại có: 528 = ( 54 ) = 6257 ⇒ 263 < 528 ( ) Từ (1)(2) ⇒ 527 < 263 < 528 Bài 6: Hãy so sánh 3775 7150 Lời giải: a) Phân tích: Biến đổi b m 7150 < 7250 = ( 8.9 ) 50 sánh hai số a n an cd k , dạng biến đổi bm dạng e.d k so sánh hai số e c Từ so b) Lời giải: = 2150 3100 ( 1) Ta có: 37 75 > 36 75 = ( 4.9 ) 75 = 2150.3150 ( ) 2150 3150 > 2150 3100 ( ) Mà Từ (1)(2)(3) ⇒ 37 75 > 7150 Bài 7: Hãy so sánh: a) b) 5020 99910 255010 9999995 Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 15 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 10 a) Ta có 5020 = ( 50 ) = 250010 < 255010 ⇒ 5020 < 255010 b) Ta có 99910 = ( 999 ) < 9980015 < 9999995 ⇒ 99910 < 9999995 Bài 8: Hãy so sánh A = 123456789 B = 567891234 Lời giải: A = 123456789 > 100050000 = 10150000 Ta có Vì B = 567891234 < 1000002000 = 1010000 1010000 < 10150000 ⇒ 567891234 < 123456789 Bài 9: Hãy so sánh 111979 371320 Lời giải: Ta có 111979 < (113 ) 660 = 1331660 371320 = (37 )660 = 1369660 1331660 < 1369660 Nên 111979 < 371320 Dạng 4: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian I Phương pháp giải: Để so sánh hai lũy thừa A< X X >Y > B Trong lũy thừa A X ; X Y Y B ; so sánh trực tiếp II Bài toán TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Bài 1: Hãy so sánh a) b) c) 1720 19920 3111 3115 và 10024 1714 Lời giải: 20 20 80 75 15 15 17 ) = 3215 > 31 { > 16 { 14 2=423 > 21 4=4(2 4 4 A B X Y a) Ta có: b) Ta có: 1995 < 2005 = 25.1005 = 32.1005 (1) 1006 = 100.1005 (2) ⇒ 1995 < 1006 ⇒ (1995 ) < (1006 ) Từ (1) (2) ⇒ 19920 < 10024 c) Ta có: 3111 < 3211 = 255 1714 < 164 = (24 )14 = 256 ⇒ 3111 < 1714 Bài 2: Hãy so sánh a) 111979 371321 b) 10750 5175 c) 3201 6119 Lời giải: a) Ta có: TÀI LIỆU NHĨM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 111979 < 111980 = (113 )660 = 1331660 371321 > 371320 = (37 )660 = 1369660 ⇒ 1331660 < 1369660 ⇒ 111979 < 371321 10750 < 15050 = (3.50)50 = 925.5050 < 5025.5050 = 5075 < 5175 b) Ta có: 3201 > 3200 = (35 ) 40 = 24340 ;6119 < 6120 = (63 ) 40 = 21640 ⇒ 3201 > 6119 c) Ta có: Bài 3: Chứng minh 21995 < 5863 Lời giải: a) Phân tích: Xét Nếu cq < e p an biến đổi dạng dk < gh c q d k bm e p g h biến đổi dạng c q d k < e p g h b)Lời giải: 21995 = 21990.25 ;5863 = 5860.53 Ta có: Nhận xét: 25 = 32 < 53 = 125 21990 nên cần so sánh 5860 210 = 1024;55 = 3025 ⇒ 210.3 < 55 ⇒ 21720.3172 < 5860 Ta có: 21990 = 21720.2270 , Lại có cần so sánh 21720.2270 với số 21720.3172 sau: 172 11 11 270 37 = 2187; 211 = 2048 ⇒ 37 > 211 = ( ) > ( ) > ( ) = ; 24 Do Mà 21720.2270 < 21720.3172 < 5860 ⇒ 21990 < 5860 25 < 53 ⇒ 21995 < 5863 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Bài 4: Chứng minh 21999 < 714 Lời giải: Ta có: 10 28 = 256 2 = 1025 10 10 238 238 238 2380 238 714 ⇒ < 3.7 ⇒ ( ) < ( ) ⇒ < ; ⇒ 35 < 28 7 = 343 3 = 243 Mà: 3238 = 33 3235 = 33 ( 35 ) 47 < 33 ( 28 ) 47 < 25.2376 = 2381 ⇒ 3238 < 2381 22380 < 3238 714 ⇒ 22380 < 2381 714 ⇒ 21999 < 714 PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài Khơng tính kết biểu thức, so sánh (Trích đề thi HSG Hoa Lư) a) A = 2019.2021 M= b) 102021 + 102022 + B = 2020 N= 102022 + 102023 + Lời giải: A = 2019.2021 = 2019.(2020 + 1) = 2019.2020 + 2019 a) B = 20202 = 2020.2020 = 2020.(2019 + 1) = 2020.2019 + 2020 Vì 2019 > 2020 Nên A> B 10 M = + b) 10 2022 +1 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA 10 N = + 10 Vì 10 2022 1+ Nên Vậy 2023 > +1 + 10 2023 10 2022 +1 +1 > 1+ 10 2023 +1 M >N Bài 2: Chứng minh Hoài Nhơn) 2021 2022 B = − + − + + 2021 − 2022 < 3 3 3 16 (Trích đề thi HSG thị xã Lời giải: 2021 2022 B = − + − + + 2021 − 2022 3 3 3 2021 2022 => 3B = − + − + + 2020 − 2021 3 3 1 1 2022 => B = B + 3B = − + − + + 2020 − 2021 3 3 Đặt 1 1 A = − + − + + 2020 − 2021 3 3 1 1 1 A = + − + − + + 2019 − 2020 3 3 3 => TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 20 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA A = A + 3A = − => A < 2021 B < A < Từ (1) (2) => B < 16 M= Bài 3: Cho 1 1 + + + + 101 2 2 Chứng tỏ M < Lời giải: M = 1+ Ta có 1 1 + + + + 100 2 2 M = 2M − M = − M = 1− Mà 2101 B S= Bài 5: Chứng minh 1 1 + + + + + < 2 50 (Trích đề thi HSG Quảng Trạch) Lời giải: Ta có 1 1 < = − 2 1.2 1 1 < = − 2.3 1 1 < = − 50 49.50 49 50 S= => 1 1 1 1 1 1 + + + + + < + 1 − ÷+ − ÷+ + − ÷ 2 50 2 3 49 50 1 1 1 + + + + + < − 2 50 50 S= 2− 1+ 1 1 1 1 1 1 1 + + ÷+ + + + ÷+ + + + ÷+ + 100 + 100 + + 100 + 100 ÷− 100 4 8 8 16 16 16 2 2 A > 1+ 1 1 1 + + + + + − 100 = + 50 − 100 > 50 24 422 4 32 2 100 so hang 1 1 1 − + − + − < 16 32 64 Bài 7: Chứng minh rằng: Lời giải: TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 23 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA Hướng dẫn : Đưa dạng tổng A= S = + a + a + a + + a n để tính tổng so sánh 1 1 1 1 1 1 − + − + − = − + − + − 16 32 64 22 23 24 25 26 Đặt 1 1 => A = − + − + − 2 2 26 − => A + A = A = − = < 2 => A < => A < 10 28 398 + + + + + 98 27 Bài 8: Cho B = Chứng minh B < 100 Lời giải: B= 10 28 398 + 10 28 398 + + + + + 98 = + + + + 98 27 3 3 => B − 98 = 10 28 398 + 10 28 398 + − + − + − + + 98 − = + + + + 98 3 3 27 1 1 B − 98 = + + + + 98 3 3 1 1 => 3( B − 98) = + + + + + 97 3 3 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 24 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA => 3( B − 98) − ( B − 98) = − => 2( B − 98) = 98 97 97 97 => B − 98 = => B = 98 + < 100 98 196 196 TÀI LIỆU NHÓM :CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC Trang 25 ... Dạng 3: So sánh thông qua lũy thừa trung gian I Phương pháp giải: Để so sánh lũy thừa A>M > B A Trong A B , ta tìm lũy thừa M cho A< M < B M M B ; so sánh trực tiếp II Bài toán Bài 1: Hãy so sánh. .. 4: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian I Phương pháp giải: Để so sánh hai lũy thừa A< X X >Y > B Trong lũy thừa A X ; X Y Y B ; so sánh trực. .. Nhận xét: Việc phân tích lũy thừa thành tích lũy thừa giúp nhìn thừa số chung lũy thừa, từ việc so sánh hai lũy thừa dựa vào việc so sánh thừa số riêng Bài 8: Hãy so sánh 9920 999910 Lời giải:
Ngày đăng: 15/08/2022, 20:38
Xem thêm:
