BÀI tập GIẢI TÍCH IIII CHUỖI

BÀI TẬP GIẢI TÍCH III I CHUỖI Tính tổng chuỗi số sau: a) 1 + + ⋯+ +⋯ 1.2 2.3 𝑛(𝑛 + 1) b) ∞ ∞ c) ∑ ln (1 + ) 𝑛 𝑛=1 ∞ e) ∑ (−1)𝑛−1 d) ∑(sin(𝑛 + 1) − sin 𝑛) 𝑛=1 ∞ 𝑛 f) ∑ ( 𝑛 − 𝑛 ) 10 10𝑛+1 𝑛=1 ∞ g) ∑ arctan 𝑛=1 1 + + +⋯ 1.3 3.5 5.7 𝑛=1 ∞ 1 + 𝑛 + 𝑛2 h) ∑ 𝑛=2 (−1)𝑛 𝑛2 − Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số sau: a) Tiêu chuẩn phân kỳ ∞ (−1)𝑛 𝑛 𝑎) ∑ 𝑛+1 𝑛=1 ∞ 𝑒) ∑ 𝑛=1 2𝑛 + 6𝑛 − ∞ ∞ 𝑏) ∑ cos 𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑛+1 𝑓) ∑ ( ) 𝑛+2 𝑐) ∑(−1)𝑛−1 cos 𝑛=1 𝑛 𝑛 𝑛=1 b) Tiêu chuẩn so sánh ∞ 𝑎) ∑ √𝑛2 + 𝑛 + 𝑛=1 ∞ 𝑑) ∑ 𝑛=1 ∞ ∞ 𝑛 √𝑛 + 𝑐) ∑ ln(2𝑛 + 1) 𝑒) ∑ ln (1 + ) 𝑛 𝑓) ∑ 𝑔) ∑ arctan(2−𝑛 ) 𝑛=1 ∞ 𝑗) ∑ √𝑛 (1 − cos ) 𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 ∞ ℎ) ∑ sin 𝑛=1 ∞ 𝑛 𝑘) ∑ 𝑛=1 𝑛=1 ∞ ∞ c) Tiêu chuẩn D’Alembert 2019𝑛 𝑎) ∑ 𝑛! 𝑛=1 ∞ √𝑛 + 𝑏) ∑ 𝑛 +1 𝑛3 √𝑒 − √𝑛 (2𝑛 + 1)! 𝑏) ∑ 𝑛 𝑛 −1 𝑛=2 (𝑛 + 1)√𝑛 𝑛2 + 2𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 ∞ 𝑖) ∑ 𝑛=1 ∞ + cos 𝑛 𝑛2 (1 + 𝑒 −𝑛 ) ln 𝑛 𝑛2 1 𝑙) ∑ ( − sin ) √𝑛 √𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑐) ∑ 𝑛=1 𝑛! 3𝑛 ∞ ∞ (𝑛!)2 𝑎) ∑ (2𝑛 + 1)! ∞ 𝑛𝑛 𝑏) ∑ 𝑛 𝑛! 𝑛=1 2𝑛 𝑛! 𝑐) ∑ 𝑛 𝑛 𝑛=1 𝑛=1 d) Tiêu chuẩn Cauchy ∞ 3𝑛 + 𝑛 𝑎) ∑ ( ) 3𝑛 + 𝑛=1 ∞ 1 𝑒) ∑ 𝑛 (1 − ) 𝑛 𝑛2 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑛 𝑏) ∑ (𝑛 + 1) 𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑛 ) 𝑓) ∑ ( 𝑛+2 𝑛2 −1 𝑛=1 ∞ 𝑛−2 𝑛 𝑐) ∑ 𝑛 ( ) 𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑛 𝑔) ∑ (cos ) 𝑛 𝑛=1 e) Tiêu chuẩn tích phân ∞ ∞ 𝑎) ∑ 𝑛 ln2 𝑛 𝑏) ∑ 𝑛 ln 𝑛 ln(ln 𝑛) 𝑛=2 ∞ 𝑑) ∑ 𝑛=1 𝑛=4 ∞ ln 𝑛 𝑛 𝑓) ∑ ∞ cos 𝑛 𝑎) ∑ 𝑛=1 ∞ 𝑏) ∑ √𝑛3 + )𝑛 (−1 √𝑛 𝑑) ∑ 𝑛+1 𝑛=1 ∞ 𝑔) ∑ 𝑛=1 )𝑛 (−1 𝑛 2𝑛 − √(𝑛 + 1)3 𝑛 cos(𝑛𝜋) 𝑒) ∑ 2𝑛2 + ℎ) ∑ 𝑛=1 𝑛=2 −√𝑛 (−1)𝑛 cos 𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 ∞ ln 𝑛! 𝑐) ∑ √𝑛 𝑛=1 f) Chuỗi có dấu thay đổi ∞ 𝑒 ∞ )𝑛−1 (−1 𝑛 4/3 (𝑛 + ) ∞ (−1)𝑛 3𝑛 + cos 𝑛 𝑐) ∑ 𝑛=1 ∞ (−1)𝑛 (𝑛 − 1) 𝑓) ∑ 𝑛2 + 𝑛=1 ∞ 𝑖) ∑ 𝑛=1 (−1)𝑛 sin 2𝑛 + √𝑛 g) Bài tập tổng hợp ∞ 𝑛+1 𝑎) ∑ (𝑛 + 2) ln(𝑛 + 3) 𝑛=1 ∞ 2 − 𝑛 𝑑) ∑ 𝑛2 𝑛=1 ∞ 𝑔) ∑ 𝑛=1 𝑛 3𝑛 + 4𝑛 −𝑛 ∞ ∞ (−1)𝑛 ∑ (𝑒 √𝑛 𝑒 𝑛 𝑛! 𝑏) ∑ 𝑛 𝑛 𝑐) (−1)𝑛 cos 𝑛 𝑒) ∑ 𝑛 ln2 𝑛 (−1)𝑛 +cos 𝑛 𝑓) ∑ 𝑛 ln2 𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑛=2 ∞ ℎ) ∑ (cos 𝑛=1 − 1) 𝑛=2 ∞ 𝑛=3 ∞ 1 − cos ) 𝑖) ∑ (𝑛𝑛2 +1 − 1) 𝑛+1 𝑛 𝑛=2 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số sau: ∞ ∞ a) ∑ + 𝑛−𝑥 𝑛=1 ∞ (−1 d) ∑ 𝑛𝑥 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 ∞ sin 𝑛𝑥 e) ∑ 𝑛𝑥 𝑒 𝑛 f) ∑ (𝑥 + ) 𝑛 𝑛=1 ∞ 2𝑛 𝑥 g) ∑ 𝑛 j) ∑ 𝑥𝑛 c) ∑ 2𝑛 𝑥 +1 𝑛=1 ∞ )𝑛 𝑛=1 ∞ h) ∑ 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑥 𝑒 𝑛2 + 𝑛 + k) ∑ 𝑛=1 ∞ 𝑛 m) ∑ 𝑥𝑛 + 𝑛3 𝑛=1 ∞ ∞ b) ∑ 𝑛 𝑥 +1 (𝑥 + 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 ∞ )𝑛 √𝑛3 + i) ∑ (𝑥 + 1)𝑛 𝑥 𝑛 √𝑛 (𝑥 − 𝑛=1 ∞ )𝑛 l) ∑ 2𝑛√𝑛 + 1 + 𝑛 2𝑥 + n) ∑ ( ) 𝑛 (𝑛 − 1) − 𝑥 𝑛=2 ∞ 𝑛 𝑥 p) ∑ (2𝑛 + 1)! q) ∑ 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 ∞ (𝑛!)3 𝑛 𝑠) ∑ 𝑥 (3𝑛)! 𝑡) ∑ 𝑛=1 𝑛=1 )𝑛 (−1 𝑛 √𝑛3 + (2𝑥 + 1)𝑛 𝑛 𝑛=1 ∞ 𝑛 (𝑥 − 2)𝑛 2𝑛 + 1 𝑥+1 𝑛 o) ∑ ( ) 2𝑛 + 1 − 𝑥 𝑛=1 ∞ 𝑥𝑛 r) ∑ 𝑛 + 3𝑛 𝑛=1 𝑛2 𝑥 𝑛3 4.1 Xét hội tụ chuỗi hàm số sau tập tương ứng: ∞ sin 𝑛𝑥 a) ∑ ℝ 2𝑥 + 𝑛2 𝑛=1 ∞ c) ∑ 𝑛=1 ∞ e) ∑ 𝑛=1 ∞ 𝑛 2𝑥 + ( ) [−1,1] 2𝑛 𝑥 + ∞ b) ∑ 𝑛=1 ∞ d) ∑ 𝑛=1 ∞ 𝑒 −𝑛𝑥 + [0, ∞) 𝑛2 𝑥 [0, ∞) + 𝑛4 𝑥 𝑥 (0,1] f) ∑(1 − 𝑥)𝑥 𝑛 (0,1] [1 + (𝑛 − 1)𝑥][1 + 𝑛𝑥] g) ∑ 𝑛=1 𝑛=1 )𝑛−1 (−1 ℝ 𝑥2 + 𝑛 + 4.2 Cho hàm 𝐹 (𝑥) = ∑∞ 𝑛=1 sin 𝑛𝑥 𝑛3 a) 𝐹 (𝑥) liên tục với 𝑥 𝜋 cos 2𝑥 4.3 CMR: ∫0 ( 1.3 4.4 CMR: lim ∫0 𝑛→∞ + b) lim 𝐹 (𝑥) = 𝑥→0 cos 4𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 (1+ ) 𝑛 , CMR 3.5 + cos 6𝑥 5.7 c) 𝐹′(𝑥) = ∑∞ 𝑛=1 cos 𝑛𝑥 𝑛2 + ⋯ ) 𝑑𝑥 = = − 𝑒 −1 4.5 CMR chuỗi hàm số ∑∞ 𝑥 (1+(𝑛−1)𝑥)(1+𝑛𝑥) đoạn [𝑎, 𝑏] với < 𝑎 < 𝑏 không hội tụ đoạn [0, 𝑏] hội tụ Tính tổng chuỗi số, chuỗi hàm số sau: ∞ ∞ 𝑛 ∑ 𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ (−1,1) 𝑛=1 ∞ 𝑛 𝑥 ∑ , 𝑥 ∈ (−1,1) 𝑛 (𝑛 + 1) 𝑛=1 ∞ ∑ 𝑛=1 ∞ )𝑛 2𝑛+1 (−1 𝜋 (2𝑛 + 1)! ∑ 𝑛=1 𝑛−1 3𝑛 𝑥𝑛 ∑ , 𝑥 ∈ (−1,1) 𝑛+1 𝑛=1 ∞ 4𝑛−2 𝑥 ∑ , 𝑥 ∈ (−1,1) 4𝑛 − 𝑛=1 ∞ ∑ 𝑛=1 ∞ ∑ 𝑛=1 )𝑛 (−1 (𝑛 + 1) 2𝑛 3𝑛 + 8𝑛 Bài tập trang 24 sách giáo trình (hướng dẫn) ∞ ∑(𝑛2 + 𝑛)𝑥 𝑛+1 , 𝑥 ∈ (−1,1) 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑥 𝑛+1 ∑ , 𝑥 ∈ (−1,1) 𝑛+1 𝑛=1 ∞ ∑ 𝑛=1 ∞ ∑ 𝑛=1 𝑛 𝑒𝑛 (2𝑛)‼ Khai triển hàm số sau thành chuỗi Maclaurin: 𝑎) 𝑓 (𝑥) = sin2 𝑥 cos2 𝑥 𝑑) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 𝑔) 𝑓 (𝑥) = ln(1 + 2𝑥) 𝑏) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 sin 3𝑥 2𝑥 − 𝑒) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 − ℎ) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥 + 2) 𝑐) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥 𝑓) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥 1+𝑥 𝑖) 𝑓(𝑥) = ln 1−𝑥 𝑚) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥 + √1 + 𝑥 ) 1+𝑥 ( ) 𝑙) 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)2 𝑥2 + 𝑥 + Khai triển hàm số sau thành chuỗi Taylor lân cận điểm 𝑥0 tương ứng: 𝑘) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑏) 𝑓(𝑥) = ,𝑥 = , 𝑥0 = 𝑥 + 2𝑥 − 𝑥+2 𝜋𝑥 𝑑) 𝑓 (𝑥) = √𝑥, 𝑥0 = 𝑐) 𝑓 (𝑥) = sin , 𝑥0 = 8.1 Vẽ đồ thị hàm số sau, tìm khai triển Fourier hàm số Tại điểm khơng liên tục hàm số đó,chuỗi Fourier hội tụ giá trị nào? 𝑎) 𝑓(𝑥) = 4, < 𝑥 < 2, −𝑥, −4 ≤ 𝑥 ≤ 0, 𝑎) 𝑓 (𝑥) = { 𝑇 = 𝑏) 𝑓(𝑥) = { 𝑇 = −4, < 𝑥 < 4, 𝑥, ≤ 𝑥 ≤ 4, 1, −𝜋 ≤ 𝑥 < 0, 2𝑥, ≤ 𝑥 < 3, 𝑐) 𝑓 (𝑥) = { tuần hoàn 𝑇 = 2𝜋 𝑑) 𝑓 (𝑥) = { 𝑇 = −1, ≤ 𝑥 < 𝜋, 0, −3 < 𝑥 < 0, − 𝑥, < 𝑥 < 4, 𝑓) 𝑓(𝑥) = 2𝑥, < 𝑥 < 10 𝑇 = 10 𝑒) 𝑓 (𝑥) = { 𝑇 = 𝑥 − 6, < 𝑥 < 8, 8.2 Khai triển hàm số sau thành chuỗi Fourier: a) 𝑓 (𝑥) lẻ, tuần hoàn 𝑇 = 2𝜋 , 𝑓 (𝑥) = 𝑥, 𝑥 ∈ [0, 𝜋] c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, ≤ 𝑥 < 𝜋, theo hàm cosin 𝑓 (𝑥) = |𝑥|, 𝑥 ∈ [−𝜋, 𝜋] b) 𝑓 (𝑥) chẵn, tuần hoàn 𝑇 = 4, 𝑓 (𝑥) = − 𝑥, 𝑥 ∈ (0,2) d) 𝑓 (𝑥) = 𝑥 − 1, < 𝑥 < 𝜋, theo hàm sin 𝑓 (𝑥) = 𝑥 (𝜋 − 𝑥), 𝑥 ∈ (0, 𝜋), theo cosin II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2.1 Phương trình biến số phân ly a) tan ydx − x ln xdy = 0, b) y′ cos y = y, c) d) e) f) g) h) +2 ′ √ 4+ y = 3y x + 1y x +4x +13 y′ = a cos y + b(b > y′ − y2 − 3y + = 0, y′ (2x + y) = 1, y′ = sin(y − x − 1), y′ = a > 0), x − y −1 x − y −2 , i) x2 y3 + dx + x3 + y2 dy = 0, y(0) = 1, √ √ j) xydx + + y2 + x2 dy = 0, y( 8) = 2.3 Phương trình đẳng cấp a) b) c) d) e) f) g) h) y′ = y x + yx + 1, y xy′ = x sin x + y, x2 y′ + y2 + xy + x2 = 0, ( x + 2y)dx − xdy = 0, y xydy − y2 dx = ( x + y)2 e− x dx ( x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = 0, y xy′ = y ln x , y(1) = 1, √ ( xy − x )dy + ydx = 0, y(1) = 2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp a) y′ − 2xy = − 2x2 , b) y′ = 1x (2y + xe x − 2e x ), c) y′ √ + y cos x = sin x cos x, ′ d) y − x2 + y = arcsin x a) b) c) d) e) f) a) xy 1− x y x = √ 2.6 Phương trình Bernoulli y′ + = x y, y′ + x y2 , ydx + x + x2 y2 dy = 0, y′ − 2y tan x + y2 sin2 x = 0, 3dy + + 3y3 y sin xdx = 0, y2 + 2y + x2 y′ + 2x = 2.7 Phương trình vi phân tồn phần x2 + y dx + ( x − 2y)dy = 0, b) y + x22 dx + x − y32 dy = 0, c) (e x + y + sin x ) dx + (ey + x + cos y) dy = 0, d) ey dx + ( xey − 2y) dy = 2.8 Thừa số tích phân Giải phương trình sau a) 8y2 x − y dx + xdy = 0, y(1) = 1, y y b) x − dx + x + dy = 0, c) (y + cos y)dx + (1 − sin y)dy = d) 2xy2 − y dx + y2 + x + y dy = 0, y > 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 3.1 Phương trình khuyết y a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) x = (y′′ ) + y′′ + 1, xy′′ = x2 − x, y(0) = 0, − x2 y′′ − xy′ = 2, y′′ = y′ + x, 2xy′ y′′ = y′2 − 1, xy′′ + xy′2 = y′ , y(2) = 2, y′ (2) = 1, y′′ = 1x , y′′ = x + sin x, y′′ = ln x, y′′ = arctan x a) b) c) d) e) f) g) h) i) y ′2 3.2 Phương trình khuyết x a) b) a) c) b) d) + 2yy′′ = 0, = 1, ′′ ′ 2yy = y + 1, y′2 + 2yy′′ = 0, yy′′ + = y′2 , yy′′ = y′2 − y′3 , y′′ + y′2 = 2e−y , y′ + y′2 = y′′ , + yy′′ + y′2 = 0, y(1) = 0, y′ (1) = yy′′ + y ′2 3.3 Giải phương trình tuyến tính cấp biết nghiệm ( x + 1)y′′ − (2x + 3)y′ + ( x + 2)y = 0, ( x + 2)y′′ − (2x + 5)y′ + ( x + 3)y = 3.4 Giải phương trình tuyến tính cấp sau y′′ = xy′ + y + 1, (2x + 1)y′′ + 4xy′ − 4y = 0, x2 y′′ + xy′ − y = 0, (y1 = x ) xy′′ − (2x + 1)y′ + ( x + 1)y = 3.5 Giải phương trình tuyến tính cấp không a) y′′ − y′ = 2x−3x e x , b) x2 y′′ + xy′ − y = x2 , c) x2 y′′ − xy′ = 3x3 , d) y′′ + 3y′ + 2y = e x 3.7 Giải phương trình tuyến tính cấp với hệ số a) y′′ − 3y′ + 2y = 0, b) y′′ + 4y′ + 4y = 0, c) y′′ + y′ + y = 0, d) y′′ + 3y′ + 2y = Phương trình tuyến tính cấp với vế phải có dạng đặc biệt a) b) c) d) e) f) g) h) 3.8 Giải phương trình sau y′′ + 4y′ + 4y = e−2x , y′′ + 3y′ − 10y = xe−2x , y′′ + 3y′ + 2y = xe− x y′′ − y′ = x, y′′ − 3y′ + 2y = x, y′′ + y = xe x + 3e− x , y′′ + y′ + y = xe x , y′′ − y′ = x + y 3.9 Giải phương trình sau y′′ + y = 4x sin x, y′′ + y = cos x cos 2x, y′′ − 3y′ + 2y = sin x, y′′ + 4y′ + 4y = x sin 2x − 2x, y′′ + 3y′ + 2y = − x sin x, a) b) c) d) e) f) y′′ + y′ + y = x2 a) b) c) d) e) f) 3.10 Giải phương trình sau + 2y = e x sin x, y′′ − 4y′ − 8y = e2x + sin 2x, y′′ + 4y′ + 4y = −e x sin 2x, y′′ + y′ + y = e−2x sin x, y′′ + 3y′ + 2y = e− x sin x y′′ − 22y′ + y = sin x + sinh x, a) 3.11 Giải phương trình sau y′′ − y = 1+ex , b) y′′ + y′ = tan x, c) y′′ − 2y′ + y = y′′ − 3y′ ex 3.11 Giải phương trình Euler sau x3 2, a) x2 y′′ − 3xy′ + 4y = b) c) d) e) f) y′′ − x + x2 = 2x , x2 y′′ + 2xy′ − 6y = 0, x2 y′′ − 9xy′ + 21y = 0, x2 y′′ − 2xy′ + 2y = 2x3 − x, x2 y′′ + xy′ + y = x y′ y ex x a) b) a) b) c) d) 6.1 Giải hệ phương trình vi phân sau = y + z + ex , = y−z y′ = y − z − e x z′ = y + z y′ z′ 6.2 Giải hệ phương trình vi phân sau = y + z, = x + y + z y′ = 2y − 5z, z′ = 5y − 6z y′ = z z′ = −y + cos1 x y′ = y−z z , y z′ = y−z y′ z′ III PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI NGƯỢC a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) 1.1 Tìm biến đổi Laplace hàm số sau định nghĩa L{1}(s) L e at (s), a ∈ R L {t a } (s), a > −1 L {tn } (s), n ∈ N L{cos kt} L{sin kt} Tính chất tuyến tính biến đổi Laplace L 6e−5t + e3t + 5t3 − L{4 cos(4t) − sin(4t) + cos(10t)}, L{3 sinh(2t) + sin(2t)} L e3t + cos(6t) − e3t cos(6t) 1.2 Tìm biến đổi Laplace hàm số sau a) L{t}, b) L e3t+1 , c) L sin2 t , d) L cos2 t , L 3t2 + 4t3/2 , f) L{cosh kt}, g) L{sinh kt}, h) L 3e2t + sin2 3t e) 1.3 Sử dụng bảng phép biến đổi Laplace, tìm phép biến đổi Laplace hàm số sau √ a) f (t) = t + 3t, b) f (t) = t − 2e3t , c) f (t) = + cosh 5t, d) f (t) = cos2 2t, e) f (t) = (1 + t)3 , f) f (t) = tet , g) f (t) = sin 3t cos 3t h) f (t) = sinh2 3t i) f (t) = cosh2 3t 1.4 Tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau a) F (s) = s34 , b) F (s) = 1s − s5/2 , c) F (s) = s−4 , d) F (s) = 5s2−+3s9 , −3 , e) F (s) = 10s 25−s2 f) F (s) = 2s−1 e−3s 1.5 Tính a) L cos2 t , b) L{sin 2t cos 4t}, c) L−1 s23 , d) L −1 5s−2 9− s2 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải toán giá trị ban đầu a) b) c) d) e) f) g) h) x ′′ + 4x = sin 3t, x (0) = x ′ (0) = 0, x ′′ + 9x = 0, x (0) = 3, x ′ (0) = 4, x ′′ + 4x = 0, x (0) = 5, x ′ (0) = 0, x ′′ + x = sin 2t, x (0) = 0, x ′ (0) = 0, x ′′ + 4x ′ + 3x = 1, x (0) = x ′ (0) = 0, x ′′ − x ′ − 2x = 0, x (0) = 0, x ′ (0) = 2, x ′′ + x = cos 3t, x (0) = 1, x ′ (0) = 0, x ′′ + 3x ′ + 2x = t, x (0) = 0, x ′ (0) = 2.2 Sử dụng phép biến đổi Laplace để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính sau   2x ′′ = −6x + 2y, y′′ = 2x − 2y + 40 sin 3t, a)  x (0) = x ′ (0) = y(0) = y′ (0) = 0,   x ′ + 2y′ + x = x ′ − y′ + y = b)   x (0) = 0, y(0) =  x ′ = 2x + y y′ = 6x + 3y c)  x (0) = 1, y(0) = −2   x ′′ + x ′ + y′ + 2x − y = 0, y′′ + x ′ + y′ + 4x − 2y = 0, d)  x (0) = y(0) = 1, x ′ (0) = y′ (0) = 0,   x ′′ + 2x + 4y = y′′ + x + 2y = e)  x (0) = y(0) = 0, x ′ (0) = y′ (0) = −1 2.3 Sử dụng Phép biến đổi Laplace đạo hàm để chứng minh a) L tn e at = b) L tn e at = n n−1 e at , s− a L t n! , n ∈ N, ( s − a ) n +1 c) L{t sinh kt} = d) L{t cosh kt} = e) L{t cos kt} = 2sk ( s2 − k ) , s2 + k 2, ( s2 − k ) s2 − k 2 ( s2 + k ) 2.4 Dùng Phép biến đổi Laplace tích phân để tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo hàm số sau a) F (s) = s(s−3) , b) c) d) e) , s ( s2 +4) F (s) = s2 (s21+1) , F (s) = s2 (s21−1) , F (s) = s(s+11)(s+2) F (s) = PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÂN THỨC ĐƠN GIẢN 3.2 Áp dụng Định lí Phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace hàm số sau πt a) f (t) = t e , b) f (t) = e−2t sin 3πt, t c) f (t) = e− cos t − π8 3.3 Áp dụng Định lí Phép tịnh tiến để tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau a) F (s) = 2s3−4 , b) F (s) = s2 +4s , +4 c) F (s) = s2 −3s6s++5 25 3.4 Tìm phép biến đổi Laplace ngược a) F (s) = b) G (s) = c) H (s) = s2 +1 s −2s2 −8s s2 +2s s +52s2 +4 s2 −2s s +3s2 +2 , , 3.5 Giải toán giá trị ban đầu a) = 2, x (0) = = x ′ (0), b) = e − t , x (0) = = x ′ (0), c) x (4) − x = 0, x (0) = 1, x ′ (0) = x ′′ (0) = x ′′′ (0) = 0, d) x (4) + 13x ′′ + 36x = 0, x (0) = x ′′ (0) = 0, x ′ (0) = 2, x ′′′ (0) = −13 x ′′ − 6x ′ + 8x x ′′ + 4x ′ + 8x 3.6 Sử dụng phân thức đơn giản để tìm phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau , s2 −4 5−2s , s2 +7s+10 F (s) = s3 −15s2 , F (s) = s4 −1 16 , s2 −2s , F ( s ) = s4 + 5s2 +4 F ( s ) = s +3 (s +2s+2) a) F (s) = b) F (s) = c) d) e) f) 3.7 Sử dụng phép phân tích s4 + 4a4 = s2 − 2as + 2a2 chứng minh a) L−1 s4 +s 4a4 = cosh at cos at, b) L−1 s2 s +4a4 = c) L−1 s s4 +4a4 = s2 + 2as + 2a2 2a (cosh at sin at + sinh at cos at ), sinh at sin at 2a2 ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI 4.1 Tính phép biến đổi Laplace ngược hàm số sau a) b) c) d) , (s−1)(s2 +4) , s ( s2 +4) , s2 ( s2 + k ) s(s2 +4s+5) 4.2 Áp dụng Định lí tích chập để tìm biến đổi Laplace ngược hàm sau a) F (s) = s(s−3) , b) c) d) 2, ( s2 +9) F (s) = s , ( s +4) F (s) = (s−3)(ss2 +1) F (s) = 4.4 Tính biến đổi Laplace hàm số sau a) b) c) d) e) t cos2 t, t2 sin kt t2 cos kt t sin 3t, te2t cos 3t 4.6 Dùng Định lí tích phân phép biến đổi Laplace) để tìm phép biến đổi Laplace hàm sau a) f (t) = sin t t , 3t b) f (t) = e t−1 , t c) f (t) = sinh t , t d) f (t) = cosh t , 2t e) f (t) = 1−cos , t et −e−t f) f (t) = t a) 4.7 Tìm phép biến đổi Laplace nghịch đảo hàm sau −2 , F (s) = ln ss+ b) F (s) = ln (s+s2)(+s1−3) , c) F (s) = ln + a) L −1 b) L{ g(t)} với g(t) = s2 4.8 Tính mx ′′ a) e− as s3 , 0, t2 , t < 3, t ≥ 4.9 Giải toán giá trị ban đầu + kx = f (t), x (0) = x ′ (0) = trường hợp sau: 1, ≤ t < π m = 1, k = 4, c = 0, f (t) = 0, t ≥ π + cx ′ b) m = 1, k = 9, c = 9, f (t) = sin t, 0, c) m = 1, k = 4, c = 4, f (t) = t, 0, ≤ t < 2π, t ≥ 2π ≤ t < 2, t≥2 4.11 Biến đổi phương trình vi phân sau để tìm nghiệm khơng tầm thường cho x (0) = ′′ ′ a) tx + (t − 2) x + x = 0, b) tx ′′ − (4t + 1) x ′ + 2(2t + 1) x = 0, c) tx ′′ − 2x ′ + tx = 0, d) tx ′′ + (4t − 2) x ′ + (13t − 4) x = 4.12 Giải toán giá trị ban đầu phương pháp sử dụng phép biến đổi Laplace a) ty′′ − ty′ + y = 2, y(0) = 2, y′ (0) = −4, b) ty′′ − ty′ + y = 1, y(0) = 1, y′ (0) = −4  ... ∞ ln