BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 1 - Soạn cho lớp LTĐH I. ĐẠO HÀM 1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số: a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = 1x |x| + tại x 0 = 0. 2) Cho hàm số y = f(x) = x 3 −3x 2 +1, có đồ thò (C). a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Cho (C) : y = f(x) = x 4 − 2x 2 . a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm có hoành độ bằng 2 . 2. Tại điểm có tung độ bằng 3. 3. Biết tiếp tuyến song song với d 1 : y = 24x+2007 4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d 2 : y = 10x 24 1 − . 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x 2 − 2x − 3 đi qua M 1 (5;3). 5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x 3 –3x+1 kẻ từ M(3; − 1). 6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x − 2+ 1x 4 − đi qua A(0;3). 7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)= 1x 1x + − đi qua H(1;1). 8) Tìm đạo hàm các hàm số a) y = ( x 3 – 3x + 2 ) ( x 4 + x 2 – 1 ) b) y = 1xx x2x 2 3 ++ − c) y = qpx cbxax 2 + ++ 9) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y = ( 5x 3 + x 2 – 4 ) 5 b) y = sin 2 (cos 3x) c) y = ln 3 x d) y = e sinx e) y = e 4x + 5 f) y = 1x2 2 x a ++ (0< a ≠ 1) 10) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y= ln ( x + 2 x1+ ) b) y = log 3 ( x 2 – sin x ) c) y = e x – ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3) e) y = tg 2 x . sinx f) y = 2 x tg g) y = cotg ( 5x 2 + x – 2 ) h) y = cotg 2 x + cotg2x Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 2 - Soạn cho lớp LTĐH 11) Tính đạo hàm của hàm số f(x) =    ≥ < 0x nếu x 0x nếu x 2 3 tại điểm x 0 = 0 12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau : a) y = lnx b) y = e Kx c) y = sin x d) y = cos x e) y = ln (x 2 + x – 2 ) 13) Chứng minh rằng : a) Với y= 3 + x 5 ( x ≠ 0), ta có xy’ + y = 3 b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0 c) Với y = ( x +1 ) e x ta có : y’ – y = e x d) Với y= e sin x ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0 e) Với y = ln x1 1 + ta có xy’ + 1 = e y 14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm: a) Cho hàm số y = xcos.xsin1 xcosxsin 33 − + . Chứng minh rằng: y’' = −y b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg 2 x = 0 c) Cho y = e 4x +2e − x . Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0 d) Cho y = 4x 3x + − . Chứng minh rằng : 2(y’) 2 = (y−1)y’’ e) Cho y = 73xgxcotxgcot 3 1 3 ++++− . Chứng minh rằng: y’ = cotg 4 x 15) Cho f(x) = xsin1 xcos 2 2 + . Chứng minh rằng : 3) 4 ('f3) 4 (f = π − π 16) Cho f(x) = 2 2 x e.x − . Chứng minh rằng : ) 2 1 (f3) 2 1 (f2 ' = 17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x +sin x + x. b) f(x) = (x 2 +2x−3)e x c) f(x) = sinx.e x d) f(x) = xxcosxsin3 +− 18) Giải bất phương trình f / (x) < 0 với f(x) = 3 1 x 3 −2x 2 + π . Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 3 - Soạn cho lớp LTĐH 19) Cho các hàm số f(x) = sin 4 x + cos 4 x; g(x) = x4cos 4 1 Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R 20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: a) f(x) = ln (sinx) tại x 0 = 4 π . b) f(x) = x. cosx tại x 0 = 3 π 21) Tìm vi phân của mỗi hàm số: a) f(x) = 1x 2 + b) f(x) = x.lnx. c) f(x) = x xsin . 22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782. II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5 x 3 + . 24) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x 3 −3x 2 +1. b) y = f(x) = 2x 2 −x 4 . c) y = f(x) = 2x 3x + − . d) y = f(x) = x1 4x4x 2 − +− . e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx. g) y = f(x) = )5x(x 3 2 − . h) y= f(x) = x 3 −3x 2 . i) 1x 3x3x f(x) y 2 − +− == . j) y= f(x) = x 4 −2x 2 . k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]. 25) Cho hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1. Đònh m để hàm số : a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0 b) Nghòch biến trên khoảng ( −1;0). Kq: m ≤ 3 4 − c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤ 3 1 26) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) = mx 1mx − − đồng biến trên các khoảng xác đònh của nó. Kq: m = 0 27) Đònh m để hàm số y = f(x) = 2x 2x6mx 2 + −+ nghòch biến trên nửa khoảng [1;+∞). Kq: m ≤ 5 14 − 28) Chứng minh rằng : x1e x +> , ∀x > 0. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 4 - Soạn cho lớp LTĐH 29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng khoảng xác đònh) của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 1x 1xx y 2 − −− = . c) 1x2 1x y + − = . 30) Tìm m để hàm số ( ) ( ) x7mx1m 3 x y 2 3 −−−−= : a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞) 31) Tìm m để hàm số : mx 2mmx2x y 2 − ++− = luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh của nó. 32) Tìm m để hàm số : mx 1mx)m1(x2 y 2 − ++−+ = luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞). Kq: 223m −≤ 33) Tìm m để hàm số y = x 2 .(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3 34) Chứng minh rằng : a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 − 2 x 2 , với x > 0 . II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU 35) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1: a) y = x 3 . b) y = 3x + x 3 + 5. c) y = x.e − x . d) y = x xln . 36) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 2: a) y = sin 2 x với x∈[0; π ] b) y = x 2 lnx. c) y = x e x . 37) Xác đònh tham số m để hàm số y=x 3 −3mx 2 +(m 2 −1)x+2 đạt cực đại tại x=2. ( Đề thi TNTHPT 2004 − 2005) Kết quả : m=11 38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3x 2 +3mx+3m+4 a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1 b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1 c. Có đồ thò (C m ) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0). Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi: Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 5 - Soạn cho lớp LTĐH      = ≠ = b)a(f 0)a(''f 0)a('f Kết quả : m=0 d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O. Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1 39) Đònh m để hàm số y = f(x) = x1 mx4x 2 − +− a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3 b.Đạt cực trò tại x = 2. Kết quả : m = 4 c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kết quả : m = 7 40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = mx 1mx)1m(mx 422 − +−−+ luôn có cực trò. 41) Cho hàm số y = f(x) = 3 1 x 3 −mx 2 +(m 2 −m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không 42) Cho hàm số y = f(x) = 3 1 x 3 −mx 2 +(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số: a) Có cực trò. Kết quả: m <−1 V m > 2 b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2 c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <−2 V m > 2 43) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x 4 +2mx 2 −2m+1. Hd và kq : y’=−4x(x 2 −m)  m ≤ 0: 1 cực đại x = 0  m > 0: 2 cực đại x= m± và 1 cực tiểu x = 0 44) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) = 1x mxx 2 + +− có hai điểm cực trò nằm khác phía so với Ox. Kết quả : m > 4 1 45) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −6x 2 +3(m+2)x−m−6 có 2 cực trò và hai giá trò cực trò cùng dấu. Kết quả : 4 17 − < m < 2 46) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x 3 −3(2m+1)x 2 +6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trò tại hai điểm x 1 và x 2 với x 2 −x 1 là một hằng số. 47) Tìm cực trò của các hàm số : a) x 1 xy += . b) 6x2 4 x y 2 4 ++−= . c) y = 21x 3 +− Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 6 - Soạn cho lớp LTĐH 48) Đònh m để hàm số có cực trò : a) 2mxx3xy 23 −+−= . Kết quả: m<3 b) 1x 2mmxx y 22 − −++− = . Kết quả: m<−2 V m>1 49) Đònh m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) = 3 x 3 −mx 2 +(m+3)x−5m+1. Kết quả: m = 4 50) Cho hàm số : f(x)= 3 1 − x 3 −mx 2 +(m−2) x−1. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x 2 , cực tiểu tại x 1 mà x 1 < −1 < x 2 < 1. Kết quả: m>−1 51) Chứng minh rằng : e x ≥ x+1 với ∀x∈|R. III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 52) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x 2 −2x+3. Kq: R Min f(x) = f(1) = 2 53) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 −2x+3 trên [0;3]. Kq: ]3;0[ Min f(x)=f(1)=2 và ]3;0[ Max f(x)=f(3)=6. 54) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) = 1x 4x4x 2 − +− với x<1. Kết quả : )1;( Max −∞ f(x) = f(0) = −4 55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m 3 , có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m 56) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y = 1xx x 24 2 ++ . Kết quả : R Max y = f(±1) = 3 1 (Chọn vào lớp 10 chuyên Tỉnh năm học 03-04- vòng 1) 57) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0). Kết quả : m ≤ 3 4 − 58) Tìm trên (C): y = 2x 3x 2 − − điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0; 2 3 ) Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 7 - Soạn cho lớp LTĐH 59) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx. 60) Tìm GTLN: y=−x 2 +2x+3. Kết quả: R Max y=f(1)= 4 61) Tìm GTNN y = x – 5 + x 1 với x > 0. Kết quả: );0( Min ±∞ y=f(1)= −3 62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 2 x4 − . Kết quả: 522)2(fyMax ]2;2[ −== − ; 7)2(fyMin ]2;2[ −=−= − 63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn       − 1; 2 1 Kết quả: 4)1(fyMax ]1; 2 1 [ == − ; 1)0(fyMin ]1; 2 1 [ −== − 64) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x 4 -2x 2 +3. Kết quả: R Min y=f(±1)=2; Không có R Max y b) y = x 4 +4x 2 +5. Kết quả: R Min y=f(0)=5; Không có R Max y c) 2xcos 1xsin22 y + − = . Kết quả: R Min y= 3 7 − ; R Max y=1 d) 1xx 3x3x y 2 2 ++ ++ = . Kết quả: R Min y= 3 1 ; R Max y=3 65) Cho hàm số 2xx 1x3 y 2 ++ + = . Chứng minh rằng : 1y 7 9 ≤≤− 66) Cho hàm số ( ) π∈α +α− α+−α = ;0 1cosx2x cosx2cosx y 2 2 . Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1 Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin 2 α . x 2 −2sin 2 α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1. 67) Đònh x để hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất và tính giá trò nhỏ nhất : y =f(x)= lg 2 x + 2xlg 1 2 + Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg 2 x, t≥0, ⇒ hàm số y=g(t)=t+ 2t 1 + xác đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+∞ ) ⇒ );0[ Min +∞ g(t) = g(0) = 2 1 ⇒ );0( Min +∞ f(x) = f(1) = 2 1 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 8 - Soạn cho lớp LTĐH 68) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx− xsin 3 4 3 trên đoạn [0;π] (Đề thi TNTH PT 2003 − 2004) Kết quả: ];0[ Max π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)= 3 22 ; ];0[ Min π f(x)=f(0)=f(π )=0 IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò các hàm số : a) y = f(x) = x 4 −6x 2 +1 b) y = f(x) = x 4xx 2 +− 70) Đònh m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 3 −3(m−1)x 2 +m 2 x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn. Kết quả: m = 2 . 71) Đònh m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 4 −6mx 2 + 3 a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0 b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0 72) Chứng minh rằng đồ thò (C): 1xx 1x2 y 2 ++ + = có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này. Hướng dẫn và kết quả: (C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(− 2 1 ;0), C(1;1). →−→− = AC 2 1 AB ⇒ A, B, C thẳng hàng. Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc 3 2 xx yy k AC AC = − − = nên có phương trình : y = k(x-x C )+y C = 3 2 (x-1)+1⇔ y= 3 2 x + 3 1 . 73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x 2 −3x+2 Kết quả: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2). Điểm uốn : I 1 (1;0) và I 2 (2;0) 74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox. b) Tìm m để (C m ):y = x 3 −3mx 2 +2m(m−4)x+9m 2 −m cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng). Hướng dẫn và kết quả: a) Cho y = 0⇔ ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 có 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , lập thành cấp số cộng ⇒ 2x 2 = x 1 +x 3 ⇒ 3x 2 = x 1 +x 2 +x 3 = a b − ⇒ x 2 = a3 b − . Vậy điểm uốn I(x 2 ;0)∈Ox. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 9 - Soạn cho lớp LTĐH b) Tìm I(m;m 2 −m). Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m 2 −m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1. Điều kiện đủ : Chọn m = 1. 75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : a) y=x 3 −3x 2 +2. b) 2x 4xx y 2 + +− = . 76) Chứng minh rằng đồ thò của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn: a) 2x 1x y − + = . b) y = x + x 1 . 77) Tìm tham số để: a) (C m ) : y=x 3 −3x 2 +3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn. b) (C a,b ) : y=ax 3 +bx 2 +x+1 nhận I(1;−2) làm điểm uốn. c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C m ) :y=x 4 +mx 2 +m−2 . 78) Tìm m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 3 −3x 2 −9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11. 79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) : y=x 3 −3x 2 −9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC. Hướng dẫn và kết quả : • Lập phương trình hoành độ giao điểm : ax+b = x 3 −3x 2 −9x+1⇔ f(x) = x 3 −3x 2 −(a+9)x+1−b = 0.(1) • Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thò hàm số (1) là I(1;−a−b−10)∈Ox ⇒ −a−b−10 = 0 ⇒ a+b = −10. • Điều kiện đủ : a+b = −10 ⇒ f(x) = (x−1).g(x) = 0 với g(x) = x 2 −2x+b−1. YCBT ⇔    ≠−= >−=∆ 02b)1(g 0b2 g ⇔ b<2 Kết luận :    < −=+ 2b 10ba 80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thò (C):y= 1x 1x 2 + + . Kq:y = 4 3 x 4 1 + 81) Tìm m để (C m ):y = x 3 −3mx 2 +2m(m−4)x+9m 2 −m có điểm uốn : a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 . b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 . Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 10 - Soạn cho lớp LTĐH c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox. Kết quả : m= 5 . d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 . V. TIỆM CẬN 82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số : a) y = 2x3x 1x2 2 2 +− − . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = 2x 1xx 2 + +− . Kết qua û: x = −2 và y = x−3 83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò các hàm số : a) y = 1+ x 2 e − . Kết quả: y = 1 b) y = x 1xx 2 ++ . Kết quả: y = ±1 84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y = 1x 2 + .Kết qua û: y = ±x 85) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y = 3 32 xx3 − . Kết quả : y = −x+1. 86) Cho (C m ) : ( ) 1x mmx1mx y 222 + ++++ = . a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C m ). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C m ) đi qua I(1;2). 87)Tìm trên đồ thò (C):y = 1x 2x + + điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) = 2x 1x3x 2 − −+ . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d 1 .d 2 = 2 9 . VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ 89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x 3 -3x+1 b) y = 3x 2 -x 3 c) y = x 3 +3x−4 d) y = (1-x) 3 e) y = 2 1 x 2 x 2 4 +− f) y = x 4 +x 2 -2. g) y=2x 2 −x 4 -1 h) y=x 4 -1 i) y = 1x 1x − + j) y = 2x x2 + Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 11 - Soạn cho lớp LTĐH k) y = 1x x 2 − l) y = 2x 4 1x + −− m) y = x1 )2x( 2 − − n) y = 2x 1 2x + +−− VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thò: a) (C): y = 2x 3x6x 2 + +− và d: y = x−m. Hd: Lý luận x= 2 m8 3m2 −≠ − + b) (H): 1x 1x y − + = và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm. 91) A.Vẽ đồ thò (C) hàm số y = x 3 +3x 2 −2 B.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x 3 +3x 2 −(m−2) = 0 92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= 4 1 x+3 và tiếp xúc với đồ thò (C) hàm số y= −x 3 +3x 2 −4x+2. 93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y=x 3 +3x 2 +1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 94) Dùng đồ thò (C): y = x 3 −3x 2 +1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 −3x 2 − 9x+1−m = 0. 95) Cho parabol (P): y=x 2 −2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. 96) Cho hàm số 1x 1x y − + = , có đồ thi (H). a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H). b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x 3 −3x 2 +1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 98) Cho hàm số y = x 4 −4x 3 −2x 2 +12x−1. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 12 - Soạn cho lớp LTĐH a) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số có trục đối xứng. b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox. Hướng dẫn và kết quả: a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thò (C) : Tìm đến y (3) và cho y (3) = 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C). b) Cho Y= 0, tìm được X= 104 ±± ⇒ y=0 và x =1 104 ±± . 99) Chứng minh rằng (C): y = 1x 3x + − có hai trục đối xứng. Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(−1;1). Suy luận có hai đường phân giác y=−x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C). Chứng minh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C). 100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C): y = 2x 2x + − . Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò của các hàm số: a) (C 1 ): y = f 1 (x) = 2x 2x + − b) (C 2 ): y = f 2 (x) = 2x 2x + − c) (C 3 ): y = f 3 (x) = 2x 2x + − d) (C 4 ): |y| = f 4 (x) = 2x 2x + − e) (C 5 ): y = f 5 (x) = 2x 2x + − f) (C 6 ): |y| = f 6 (x) = 2x 2x + − 101) a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) hàm số : y = f(x) = x 3 −3x 2 +2. b) Từ đồ thò (C), suy ra đồ thò (C’): y = g(x) = | x| 3 −3x 2 +2. Từ đó biện luận theo m số nghiệm của phương trình: | x| 3 −3x 2 +1 − m = 0. 102) Chứng tỏ rằng (C m ): y=x 2 +(2m+1)x+m 2 −1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình đường thẳng đó. Lời giải 1: 1. Dự đoán đường thẳng cố đònh: Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m 2 +2xm+x 2 +x−1−y=0, phương trình này có ∆= (x) 2 −1.(x 2 +x−1−y)=0 ⇔ −x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố đònh. Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m 2 +2xm=−x 2 −x+1+y (2) Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường thẳng cố đònh. 2. Chứng tỏ (C m ) tiếp xúc với đường thẳng cố đònh: ( Bắt đầu lời giải) Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và d:y=x−1 là: Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 13 - Soạn cho lớp LTĐH x 2 +(2m+1)x+m 2 −1=x−1 ⇔ x 2 +2mx+m 2 =0 ⇔ (x+m) 2 =0 ⇔ x=−m (nghiệm kép) Vậy (C m ) luôn tiếp xúc d:y=x−1. Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau ⇔ phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép” . Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc. Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố đònh. d tiếp xúc (C m ) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m: x 2 +(2m+1)x+m 2 −1= ax+b⇔ x 2 +(2m+1−a) x+m 2 −b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m ⇔ ∆ =(2m+1−a) 2 −4.1(m 2 −b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1) 2 +4b+4=0 với ∀ m ⇔    =++ =− 044b1)-(a 01a 2 ⇔    −= = 1b 1a . Vậy d:y=x−1 là đường thẳng cố đònh mà (C m ) luôn tiếp xúc. 103) Chứng tỏ rằng (C m ): y= mx mmx)1m3( 2 + +−+ (1), m ≠ 0 luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố đònh. Xác đònh phương trình hai đường thẳng đó. 1. Dự đoán các đường thẳng cố đònh: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m: m 2 +(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m 2 +(t−3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x) 2 −4tx=0 ⇔ t 2 −10xt+9x 2 =0⇔ t=9xV t=x. Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d 1 :y=9x+1, d 2 :y=x+1 cố đònh tiếp xúc (C m ) 2. Chứng tỏ (C m ) tiếp xúc với d 1 , và tiếp xúc d 2 : ( Bắt đầu lời giải) • d 1 :y=9x+1 tiếp xúc (C m ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:        = + += + +−+ 9 )mx( m4 1x9 mx mmx)1m3( 2 2 2 ⇔ (3x+m) 2 =0 ⇔ x= − 3 m Vậy d 1 :y=9x+1 tiếp xúc (C m ) tại điểm có hoành độ x= − 3 m (m ≠ 0). • Tương tự : d 2 :y=x+1 tiếp xúc (C m ) tại điểm có hoành độ x= m (m ≠ 0). 104) Chứng tỏ rằng (C m ): y=mx 3 −3(m+1)x 2 +x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố đònh tại một điểm cố đònh. Hướng dẫn giải: Tìm được (C m ) đi qua hai điểm cố đònh A(0;1) và B(3;−23) và tiếp tuyến của (C m ) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố đònh. 105) Chứng tỏ rằng (d m ): y=(m+1)x+m 2 −m luôn tiếp xúc với một parabol cố đònh. Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y= 4 1 x 2 3 x 4 1 2 −+− là parabol cố đònh và chứng tỏ (d m ) tiếp xúc (P) tại x=1−2m. Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 14 - Soạn cho lớp LTĐH VIII.TÍCH PHÂN 106) Cho f(x)= 3 2 )1x( 3xx − −+ , tìm A, B và C sao cho: f(x)= 1x C )1x( B )1x( A 23 − + − + − . Kq: A= -1; B=3 và C=1 2) Từ đó tính dx )1x( 3xx 3 2 ∫ − −+ 107) Tính dx )2x( 2xx 3 3 ∫ − −+ 108) Tính ∫ +− − 2x3x dx)3x2( 2 109) Tính ∫ −1x dxx3 3 2 110) Tìm A, B , C để sinx−cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx−2sinx) +C Kq: A= 5 1 − ; B= 5 3 − và C= 5 8 111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: Hàm số Kết quả Hàm số Kết quả a) y= x 1x + b) y=2 2 x sin 2 )1 3 x (x2 + +C x−sinx+C c) y= xcos.xsin 1 22 d) y= xsinxcos x2cos + tgx−cotgx+C sinx+cosx+C 112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x 3 −x 2 +2x−1 biết rằng F(0) = 4. Kết quả: F(x) = 3 x 4 x 34 − +x 2 −x+4 113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx. Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C 114) Tìm A và B sao cho với mọi x≠ 1 và x≠2 , ta có: 1x B 2x A 2x3x 1x 2 − + − = +− + Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số: 2x3x 1x )x(f 2 +− + = Kết quả:A=3; B= −2. F(x) = 3 l nx−2−2 l nx−1+ C= l n 2 3 )1x( 2x − − +C 115) Tính các tích phân: Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 15 - Soạn cho lớp LTĐH Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) ∫ dx.gxcot b) ∫ dx.xgcot 2 c) ∫ xdxcos.xsin 2 l nsinx+C −cotgx−x+C 3 1 sin 3 x+C d) ∫ dx xln.x 1 e) ∫ +3xcos2 e .sinxdx f) ∫ xsin dx l n l n x+C 3xcos2 e 2 1 + − +C l n 2 x tg +C 116) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) ∫ + 2 1 2 2 dx x2 2x b) ∫ + 3 1 2 dx x x4x c) ∫ − − 2 2 2 dx|1x| d) ∫ π 4 0 2 xdxtg 1 12 4 4 4 π− e) ∫ π π − 3 4 2 2 dx xcos xgcot23 f) ∫ π π − 4 6 2 3 dx xsin xsin1 g) ∫ π 2 0 2 xdxcosxsin 3 15311 − 2 223 −+ 3 1 117) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) ∫ + 1 0 1x dx b) ∫ − 2 1 2 )1x2( dx c) dx 1xx 2x4 1 0 2 ∫ ++ + d) ∫ π 4 0 tgxdx e) ∫ + 2ln 0 x x 3e dxe f) ∫ π 2 0 3 dx.xcos ln2 3 1 2ln3 ln 2 ln 4 5 3 2 g) dx xcos31 xsin 2 0 ∫ π + h) ∫ π π 2 6 2 3 dx. xsin xcos i) ∫ π π − + 2 3 dx. xcosxsin xcosxsin j) ∫ +−− 1 0 2 dx.1xx)1x2( k) ∫ e 1 2 dx x xln 3 2 ln2 2 1 ln( 3 +1) 0 3 1 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH 118) Chứng minh rằng: a) 2xsin23 dx 4 4 3 4 2 π ≤ − ≤ π ∫ π π b) 108dx)x117x(254 11 7 ≤−++≤ ∫ − 119) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả a) ∫ π 4 0 dx.x2sin b) dx x x e ∫ + 1 ln1 c) 33 2 0 sin cos xdx x π ∫ d) ∫ π 4 0 4 xdxtg e) 2 4 4 sin dx x π π ∫ f) 1 3 0 1 xdx − ∫ g) dx1xx 1 0 2 ∫ + h) ∫ ++ 1 0 2 1xx dx k) 1 0 1 x x e dx e + ∫ l) ∫ π 2 0 3 dxxcos xsin 2 1 )122( 3 2 − 2 1 12 83 −π 3 4 4 3 )122( 3 1 − 33 π )21e(2 −+ 4 3 120) Tính các tích phân: Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 17 - Soạn cho lớp LTĐH Tích phân Kết quả m) ∫ − 2 2 2 1xx dx n) 3 2 3 9 x dx − − ∫ o) ∫ − 1 0 2 x4 dx p) ∫ − 1 0 22 dxx1x q) ∫ + 3 0 2 1x dx r) 1 2 2 1 2 1 x dx x − ∫ s) ∫ + 1 0 x e1 dx t) ∫ π + 2 0 xcos1 dx u) ∫ π 3 0 2 xcos xdxsin v) ∫ π + 2 0 2 dx xcos1 xsin w) ∫ e 1 4 dx x xln Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq: 12 π 2 9π 6 π x=sint. Kq: 16 π )32ln( 2 1 3 ++ 3 33 π− TS+e x −e x .Kq:l n 1e e2 + 1 1 4 π 5 1 121) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả a) ∫ 1 0 2 dxxe x b) 2 0 ( 1)cosx xdx π − ∫ 4 1e 2 + 2 2 − π c) ∫ e 1 xdxln d) 4 2 0 cos xdx x π ∫ 1 2ln 4 − π Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 18 - Soạn cho lớp LTĐH Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả e) 2 0 sin .cosx x xdx π ∫ f) ∫ e 1 2 dx)x(ln g) ∫ + 1 0 2 dx)x1ln( 8 π e−2 ln2−2+ 2 π h) 1 2 0 ln(1 )x x dx+ ∫ i) cos 0 ( )sin x e x xdx π + ∫ j) 2 0 sin x e xdx π ∫ ln2− 2 1 π+ − e 1e 2 2 1e 2 + π 122) Chứng minh rằng: a) ∫∫ ππ = 2 0 2 0 dx)x(cosfdx)x(sinf Hd: x= 2 π −t b) ∫∫ −= b 0 b 0 dx)xb(fdx)x(f Hd: x=b−t c) ∫∫ = 2 a 0 a 0 23 dx)x(xf 2 1 dx)x(fx (a>0) Hd: t=x 2 d) ∫∫ ππ = 2 0 2 0 dx)gx(cotfdx)tgx(f Hd: x= 2 π −t e) ∫∫ π π π= 2 00 dx)x(sinfdx)x(sinxf . Áp dụng, tính: ∫ π + 0 2 dx xcos1 xsin.x Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=π −t. Lần 2, để tính ∫ π π 2 dx)x(sinf ta đặt x= 2 π +s và kết quả bài 118a). Tính ∫ π + 0 2 dx xcos1 xsin.x = π ∫ π + 0 2 dx xcos1 xsin , đặt t=cosx, kq: 4 2 π 123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0) thì: ∫∫ − = a 0 a a dx)x(f2dx)x(f . Hd: t=−x 124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0) thì: 0dx)x(f a a ∫ − = . Hd: t=−x Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 19 - Soạn cho lớp LTĐH 125) Chứng minh rằng: 0xdxsinx 8 8 76 ∫ π π − = . Áp dụng bài 124). 126) Chứng minh rằng: ∫∫ − = 1 0 xcos 1 1 xcos dxe2dxe . Áp dụng bài 123). 127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: ∫∫ − − = x a x a dt)t(fdt)t(f . Hd: t=−x 128) Chứng minh rằng 0dx)x(cosf.xsin a a ∫ − = . Áp dụng bài 124) 129) Chứng minh rằng ∫∫ − = a 0 2 a a 2 dx)x(f.xcos2dx)x(f.xcos . Áp dụng bài 123). 130) Chứng minh rằng ∫∫ −=− 1 0 mn 1 0 nm dx)x1(xdx)x1(x . Hd:x=1−t 131) Tính các tích phân sau: Tích phân Kết quả a) ∫ − ++ 2 2 2 dx)1xxln( b) ∫ π π + + 2 6 dx xcos1 xsinx c) ∫ 2 1 5 dx x xln d) ∫ − 2ln 0 x dxe.x e) ∫ e e 1 dx|xln| f) ∫ + 1 0 2 3 dx 1x x g) ∫ π 2 0 6 dx .sinxcosx-1 Hs lẻ: 0 )31( 6 + π 64 2ln 256 15 − 2 e ln e )1e(2 − 2 e ln 7 6 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 20 - Soạn cho lớp LTĐH Tích phân Kết quả h) ∫ + 3ln 0 3x x )1e( dxe k) ∫ − ++ 0 1 3 x2 dx)1xe(x l) ∫ π + 4 0 dx x2cos1 x m) ∫ π + − 4 0 2 dx x2sin1 xsin21 n) ∫ + 32 5 2 4xx dx o) ∫ 1 0 23 dx x-1x p) ∫ − 5ln 2ln x x2 dx 1e e q) ∫ 2 0 2 dx |x-x| r) ∫ 1 0 2 x3 dx ex s) ∫ + e l 2 dx .lnx x 1x 12 − 7 4 e4 3 2 − )2ln 2 ( 4 1 − π 2ln 3 5 ln 4 1 15 2 3 20 1 u=x 2 , dv=?. 2 1 )3e( 4 1 2 + 132) Cho I n = ∫ 1 0 xn dx.ex (n∈ N) a) Tìm hệ thức liên hệ giữa I n và I n − 1 (n≥1) b) Áp dụng tính I 3 = ∫ 1 0 x3 dx.ex . Kết quả: 6−2e 133) Cho I n = ∫ π 4 0 n dx.xtg (n∈ N ) a) Chứng minh rằng I n > I n+1 . Hd: In>In+1,∀x∈(0; 4 π ) Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều [...]... Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 26 - Soạn cho lớp LTĐH Hoặc: 1 5 1 2 4 3 Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 2, 3, 4 và 5 vào 4 trong 6 ô vuông, 4 sau đó xếp chữ số 1 vào 2 ô còn lại (không có thứ tự ) Vậy có A 6 1 = 360 số 162) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau Biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 12? Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa 3... f(n)=…=f(0)= - 1 π 4 π Giáo trình Giải tích 12 π 2 c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận : 1.3 (2 k − 1) π • n=2k ( n chẵn): I2k= 2.4 2 k 2 2.4 2 k • n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1= 3.5 (2 k + 1) Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều ∫ e dt = 0 t Kq: 0 0 140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= −x2+3x−2, d1:y = x−1 và 1 d2:y=−x+2 Kq: 12 141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C):... 8 tập con có 7 phần tử không có 0 và 1 Hợp mỗi tập con này với {0,1} ta có 8 tập con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1 Từ mỗi tập hợp này có thể tạo 8.8!=322560 Vậy có 8.322560=2580480 số Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu) Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8 cách Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vò trí còn Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích. .. 7 học sinh nam đứng liền nhau Kết quả: 4!.7! =120 960 191) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở đòa điểm A; 2 người ở đòa điểm B và 4 người trực nhật tại đồn Có bao nhiêu cách 3 2 phân công? Kết quả: C9 C6 1 = 126 0 192) Có 10 câu hỏi ( 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập ) Một đề thi gồm có 3 câu có cả lý thuyết và bài tập Có bao nhiêu cách tạo đề thi? Kết quả: 96(có... của (P) và (d) là nghiệm phương trình y2-3y = 0 ⇔ y=0 V y=3 Vậy diện tích hình phẳng cần 3 3 9 2 tìm là: S = ∫ (x P − x d )dy = ∫ (− y + 3y)dy = = 2 0 0 146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây: π a) (C): y = cosx ; y = 0 ; x = ; x = π 2 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Kq: 1 Giáo trình Giải tích 12 - Trang 23 - Soạn cho lớp LTĐH 9 2 2401 3 2 c) (C): y = 2x – x –... , y = 0 g) y = x.e x , x = 1 , y = 0 Kq : πe 2 Kq : π 3 148) Cho (E) : 9x2 + 25y2 = 225 ;(d):y = Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 15 3 (d) và phần trên d của (E) Kq: 5π− 4 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 24 - Soạn cho lớp LTĐH 149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2−x2 , (C): y= 1− x 2 và Ox 8 2 π − 3 2 2 3 150) Tính V của vật thể do (H)... Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 25 - Soạn cho lớp LTĐH 155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5 a) Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? 4 Kết quả: 5 A 5 = 600 b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 600−4 A 4 3 (lẻ)=312c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0? Hướng dẫn và kết quả: Hoán vò các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5}... Kiều - Trang 30 Giáo trình Giải tích 12 - Soạn cho lớp LTĐH Trang 31 - 1 1 1 − n = n n C4 C5 C6 Kết quả:n = 2 d) Pn + 2 = 210 4 P3 A n −1 n− Kết quả:n = 5 e) Pn − Pn −1 1 = Pn +1 6 Kết quả: n = 2 V n = 3 Soạn cho lớp LTĐH 8 12  1   Kết quả:T9=495 210) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:  x +   x  211) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển: n 197) Giải các phương trình: 2 a)... + 3) Kết quả: n = 12 và a9=495 n+4 n x  211) Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai triển là P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 Tính hệ số a9 Kết quả:3003 3 15 21 12 212) Xét khai triển của: (x + xy) Tính hệ số của hạng tử chứa x y Kết quả: 455 213) Tìm n biết trong khai triển ( x + Kết quả: x=9 3 n−2 199) Giải phương trình A n + C n =14n 3 4 2 200) Giải phương trình... tg2a= sin3a= cos3a= 1 + cos 2a 4 4 a 4.Biểu diễn theo t=tg : 2 Phạm Văn Luật – Tổ Toán THPT Đốc Binh Kiều Giáo trình Giải tích 12 - Trang 33 2t 1− t cosa = 2 1+ t 1+ t2 IV Công thức biến đổi: 1 .Tích thành tổng: 1 cosa.cosb= [cos(a+b)+cos(a−b)] 2 1 sina.cosb= [sin(a+b)+sin(a+b)] 2 2.Tổng thành tích: α+β α −β cosα + cosβ = 2cos cos 2 2 α+β α −β sinα + sinβ = 2sin cos 2 2 sin(α ± β) tg α ± tg β = cos α cos