bai tap giai tich 12 rat hay

I. ĐẠO HÀM 1) Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của các hàm số: a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = 1x |x| + tại x 0 = 0. 2) Cho hàm số y = f(x) = x 3 −3x 2 +1, có đồ thò (C). a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Cho (C) : y = f(x) = x 4 − 2x 2 . a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm có hoành độ bằng 2 . 2. Tại điểm có tung độ bằng 3. 3. Biết tiếp tuyến song song với d 1 : y = 24x+2007 4. Biết tiếp tuyến vuông góc với d 2 : y = 10x 24 1 − . 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x 2 − 2x − 3 đi qua M 1 (5;3). 5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x 3 –3x+1 kẻ từ M(3; − 1). 6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x − 2+ 1x 4 − đi qua A(0;3). 7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)= 1x 1x + − đi qua H(1;1). 8) Tìm đạo hàm các hàm số a) y = ( x 3 – 3x + 2 ) ( x 4 + x 2 – 1 ) b) y = 1xx x2x 2 3 ++ − c) y = qpx cbxax 2 + ++ 9) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y = ( 5x 3 + x 2 – 4 ) 5 b) y = sin 2 (cos 3x) c) y = ln 3 x d) y = e sinx e) y = e 4x + 5 f) y = 1x2 2 x a ++ (0< a ≠ 1) 10) Tìm đạo hàm các hàm số : a) y= ln ( x + 2 x1+ ) b) y = log 3 ( x 2 – sin x ) c) y = e x – ln ( sin x) d) y = tg ( 2x+3) e) y = tg 2 x . sinx f) y = 2 x tg g) y = cotg ( 5x 2 + x – 2 ) h) y = cotg 2 x + cotg2x 11) Tính đạo hàm của hàm số f(x) =    ≥ < 0x nếu x 0x nếu x 2 3 tại điểm x 0 = 0 12) Tìm đạo hàm cấp n ( n nguyên dương) của các hàm số sau : a) y = lnx b) y = e Kx c) y = sin x d) y = cos x e) y = ln (x 2 + x – 2 ) 13) Chứng minh rằng : a) Với y= 3 + x 5 ( x ≠ 0), ta có xy’ + y = 3 b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0 c) Với y = ( x +1 ) e x ta có : y’ – y = e x d) Với y= e sin x ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0 e) Với y = ln x1 1 + ta có xy’ + 1 = e y 14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm: a) Cho hàm số y = xcos.xsin1 xcosxsin 33 − + . Chứng minh rằng: y’' = −y b) Cho y = ln(sinx) . Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg 2 x = 0 c) Cho y = e 4x +2e − x . Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0 d) Cho y = 4x 3x + − . Chứng minh rằng : 2(y’) 2 = (y−1)y’’ e) Cho y = 73xgxcotxgcot 3 1 3 ++++− . Chứng minh rằng: y’ = cotg 4 x 15) Cho f(x) = xsin1 xcos 2 2 + . Chứng minh rằng : 3) 4 ('f3) 4 (f = π − π 16) Cho f(x) = 2 2 x e.x − . Chứng minh rằng : ) 2 1 (f3) 2 1 (f2 ' = 17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x +sin x + x. b) f(x) = (x 2 +2x−3)e x c) f(x) = sinx.e x d) f(x) = xxcosxsin3 +− 18) Giải bất phương trình f / (x) < 0 với f(x) = 3 1 x 3 −2x 2 + π . 19) Cho các hàm số f(x) = sin 4 x + cos 4 x; g(x) = x4cos 4 1 Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), ∀x∈R 20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: a) f(x) = ln (sinx) tại x 0 = 4 π . b) f(x) = x. cosx tại x 0 = 3 π 21) Tìm vi phân của mỗi hàm số: a) f(x) = 1x 2 + b) f(x) = x.lnx. c) f(x) = x xsin . 22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782. II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5 x 3 + . 24) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x 3 −3x 2 +1. b) y = f(x) = 2x 2 −x 4 . c) y = f(x) = 2x 3x + − . d) y = f(x) = x1 4x4x 2 − +− . e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx. g) y = f(x) = )5x(x 3 2 − . h) y= f(x) = x 3 −3x 2 . i) 1x 3x3x f(x) y 2 − +− == . j) y= f(x) = x 4 −2x 2 . k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]. 25) Cho hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1. Đònh m để hàm số : a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. Kq:1 ≤ m ≤ 0 b) Nghòch biến trên khoảng ( −1;0). Kq: m ≤ 3 4 − c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤ 3 1 26) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) = mx 1mx − − đồng biến trên các khoảng xác đònh của nó. Kq: m = 0 27) Đònh m để hàm số y = f(x) = 2x 2x6mx 2 + −+ nghòch biến trên nửa khoảng [1;+∞). Kq: m ≤ 5 14 − 28) Chứng minh rằng : x1e x +> , ∀x > 0. 29) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên khoảng xác đònh (trên từng khoảng xác đònh) của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 1x 1xx y 2 − −− = . c) 1x2 1x y + − = . 30) Tìm m để hàm số ( ) ( ) x7mx1m 3 x y 2 3 −−−−= : a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó. b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞) 31) Tìm m để hàm số : mx 2mmx2x y 2 − ++− = luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh của nó. 32) Tìm m để hàm số : mx 1mx)m1(x2 y 2 − ++−+ = luôn đồng biến trên khoảng (1;+∞). Kq: 223m −≤ 33) Tìm m để hàm số y = x 2 .(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2). Kq: m≥3 34) Chứng minh rằng : a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 − 2 x 2 , với x > 0 . II. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU 35) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1: a) y = x 3 . b) y = 3x + x 3 + 5. c) y = x.e − x . d) y = x xln . 36) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 2: a) y = sin 2 x với x∈[0; π ] b) y = x 2 lnx. c) y = x e x . 37) Xác đònh tham số m để hàm số y=x 3 −3mx 2 +(m 2 −1)x+2 đạt cực đại tại x=2. ( Đề thi TNTHPT 2004 − 2005) Kết quả : m=11 38) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3x 2 +3mx+3m+4 a.Không có cực trò. Kết quả : m ≥1 b.Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m <1 c. Có đồ thò (C m ) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò (đạt cực trò 4 khi x = 0). Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:      = ≠ = b)a(f 0)a(''f 0)a('f Kết quả : m=0 d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O. Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1 39) Đònh m để hàm số y = f(x) = x1 mx4x 2 − +− a. Có cực đại và cực tiểu. Kết quả : m>3 b.Đạt cực trò tại x = 2. Kết quả : m = 4 c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kết quả : m = 7 40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = mx 1mx)1m(mx 422 − +−−+ luôn có cực trò. 41) Cho hàm số y = f(x) = 3 1 x 3 −mx 2 +(m 2 −m+1)x+1. Có giá trò nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không? Hd và kq : Sử dụng đkc,đkđ. Không 42) Cho hàm số y = f(x) = 3 1 x 3 −mx 2 +(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số: a) Có cực trò. Kết quả: m <−1 V m > 2 b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m > 2 c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kết quả: m <−2 V m > 2 43) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x 4 +2mx 2 −2m+1. Hd và kq : y’=−4x(x 2 −m)  m ≤ 0: 1 cực đại x = 0  m > 0: 2 cực đại x= m± và 1 cực tiểu x = 0 44) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) = 1x mxx 2 + +− có hai điểm cực trò nằm khác phía so với Ox. Kết quả : m > 4 1 45) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −6x 2 +3(m+2)x−m−6 có 2 cực trò và hai giá trò cực trò cùng dấu. Kết quả : 4 17 − < m < 2 46) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x 3 −3(2m+1)x 2 +6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trò tại hai điểm x 1 và x 2 với x 2 −x 1 là một hằng số. 47) Tìm cực trò của các hàm số : a) x 1 xy += . b) 6x2 4 x y 2 4 ++−= . c) y = 21x 3 +− 48) Đònh m để hàm số có cực trò : a) 2mxx3xy 23 −+−= . Kết quả: m<3 b) 1x 2mmxx y 22 − −++− = . Kết quả: m<−2 V m>1 49) Đònh m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) = 3 x 3 −mx 2 +(m+3)x−5m+1. Kết quả: m = 4 50) Cho hàm số : f(x)= 3 1 − x 3 −mx 2 +(m−2) x−1. Đònh m để hàm số đạt cực đại tại x 2 , cực tiểu tại x 1 mà x 1 < −1 < x 2 < 1. Kết quả: m>−1 51) Chứng minh rằng : e x ≥ x+1 với ∀x∈|R. III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 52) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x 2 −2x+3. Kq: R Min f(x) = f(1) = 2 53) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 −2x+3 trên [0;3]. Kq: ]3;0[ Min f(x)=f(1)=2 và ]3;0[ Max f(x)=f(3)=6. 54) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) = 1x 4x4x 2 − +− với x<1. Kết quả : )1;( Max −∞ f(x) = f(0) = −4 55) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m 3 , có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m 56) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y = 1xx x 24 2 ++ . Kết quả : R Max y = f(±1) = 3 1 57) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0). Kết quả : m ≤ 3 4 − 58) Tìm trên (C): y = 2x 3x 2 − − điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0; 2 3 ) 59) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx. 60) Tìm GTLN: y=−x 2 +2x+3. Kết quả: R Max y=f(1)= 4 61) Tìm GTNN y = x – 5 + x 1 với x > 0. Kết quả: );0( Min ±∞ y=f(1)= −3 62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 2 x4 − . Kết quả: 522)2(fyMax ]2;2[ −== − ; 7)2(fyMin ]2;2[ −=−= − 63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn       − 1; 2 1 Kết quả: 4)1(fyMax ]1; 2 1 [ == − ; 1)0(fyMin ]1; 2 1 [ −== − 64) Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x 4 -2x 2 +3. Kết quả: R Min y=f(±1)=2; Không có R Max y b) y = x 4 +4x 2 +5. Kết quả: R Min y=f(0)=5; Không có R Max y c) 2xcos 1xsin22 y + − = . Kết quả: R Min y= 3 7 − ; R Max y=1 d) 1xx 3x3x y 2 2 ++ ++ = . Kết quả: R Min y= 3 1 ; R Max y=3 65) Cho hàm số 2xx 1x3 y 2 ++ + = . Chứng minh rằng : 1y 7 9 ≤≤− 66) Cho hàm số ( ) π∈α +α− α+−α = ;0 1cosx2x cosx2cosx y 2 2 . Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1 Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin 2 α . x 2 −2sin 2 α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1. 67) Đònh x để hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất và tính giá trò nhỏ nhất : y =f(x)= lg 2 x + 2xlg 1 2 + Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg 2 x, t≥0, ⇒ hàm số y=g(t)=t+ 2t 1 + xác đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+∞ ) ⇒ );0[ Min +∞ g(t) = g(0) = 2 1 ⇒ );0( Min +∞ f(x) = f(1) = 2 1 68) Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx− xsin 3 4 3 trên đoạn [0;π] (Đề thi TNTH PT 2003 − 2004) Kết quả: ];0[ Max π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)= 3 22 ; ];0[ Min π f(x)=f(0)=f(π )=0 IV. TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò các hàm số : a) y = f(x) = x 4 −6x 2 +1 b) y = f(x) = x 4xx 2 +− 70) Đònh m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 3 −3(m−1)x 2 +m 2 x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn. Kết quả: m = 2 . 71) Đònh m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 4 −6mx 2 + 3 a) Có hai điểm uốn. Kết quả: m > 0 b) Không có điểm uốn. Kết quả: m ≤ 0 72) Chứng minh rằng đồ thò (C): 1xx 1x2 y 2 ++ + = có 3 điểm uốn thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này. Hướng dẫn và kết quả: (C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(− 2 1 ;0), C(1;1). →−→− = AC 2 1 AB ⇒ A, B, C thẳng hàng. Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc 3 2 xx yy k AC AC = − − = nên có phương trình : y = k(x-x C )+y C = 3 2 (x-1)+1⇔ y= 3 2 x + 3 1 . 73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x 2 −3x+2 Kết quả: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞). Lồi trên khoảng (1;2). Điểm uốn : I 1 (1;0) và I 2 (2;0) 74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox. b) Tìm m để (C m ):y = x 3 −3mx 2 +2m(m−4)x+9m 2 −m cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng). Hướng dẫn và kết quả: a) Cho y = 0⇔ ax 3 +bx 2 +cx+d = 0 có 3 nghiệm x 1 , x 2 , x 3 , lập thành cấp số cộng ⇒ 2x 2 = x 1 +x 3 ⇒ 3x 2 = x 1 +x 2 +x 3 = a b − ⇒ x 2 = a3 b − . Vậy điểm uốn I(x 2 ;0)∈Ox. b) Tìm I(m;m 2 −m). Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m 2 −m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1. Điều kiện đủ : Chọn m = 1. 75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) : a) y=x 3 −3x 2 +2. b) 2x 4xx y 2 + +− = . 76) Chứng minh rằng đồ thò của các hàm số sau có phần lồi, lõm nhưng không có điểm uốn: a) 2x 1x y − + = . b) y = x + x 1 . 77) Tìm tham số để: a) (C m ) : y=x 3 −3x 2 +3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn. b) (C a,b ) : y=ax 3 +bx 2 +x+1 nhận I(1;−2) làm điểm uốn. c) Biện luận theo m số điểm uốn của (C m ) :y=x 4 +mx 2 +m−2 . 78) Tìm m để đồ thò (C m ):y = f(x) = x 3 −3x 2 −9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng. Kết quả : m = 11. 79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thò (C) : y=x 3 −3x 2 −9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC. Hướng dẫn và kết quả : • Lập phương trình hoành độ giao điểm : ax+b = x 3 −3x 2 −9x+1⇔ f(x) = x 3 −3x 2 −(a+9)x+1−b = 0.(1) • Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thò hàm số (1) là I(1;−a−b−10)∈Ox ⇒ −a−b−10 = 0 ⇒ a+b = −10. • Điều kiện đủ : a+b = −10 ⇒ f(x) = (x−1).g(x) = 0 với g(x) = x 2 −2x+b−1. YCBT ⇔    ≠−= >−=∆ 02b)1(g 0b2 g ⇔ b<2 Kết luận :    < −=+ 2b 10ba 80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thò (C):y= 1x 1x 2 + + . Kq:y = 4 3 x 4 1 + 81) Tìm m để (C m ):y = x 3 −3mx 2 +2m(m−4)x+9m 2 −m có điểm uốn : a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x. Kết quả : m = 0 V m = 2 . b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O. Kết quả : m= 3 . c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox. Kết quả : m= 5 . d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy. Kết quả : m= 7 . V. TIỆM CẬN 82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thò các hàm số : a) y = 2x3x 1x2 2 2 +− − . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = 2x 1xx 2 + +− . Kết qua û: x = −2 và y = x−3 83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thò các hàm số : a) y = 1+ x 2 e − . Kết quả: y = 1 b) y = x 1xx 2 ++ . Kết quả: y = ±1 84) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số y = 1x 2 + .Kết qua û: y = ±x 85) Tìm các tiệm cận của đồ thò các hàm số: y = 3 32 xx3 − . Kết quả : y = −x+1. 86) Cho (C m ) : ( ) 1x mmx1mx y 222 + ++++ = . a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thò (C m ). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò (C m ) đi qua I(1;2). 87)Tìm trên đồ thò (C):y = 1x 2x + + điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) = 2x 1x3x 2 − −+ . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d 1 .d 2 = 2 9 . VI. KHẢO SÁT HÀM SỐ 89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số: a) y = x 3 -3x+1 b) y = 3x 2 -x 3 c) y = x 3 +3x−4 d) y = (1-x) 3 e) y = 2 1 x 2 x 2 4 +− f) y = x 4 +x 2 -2. g) y=2x 2 −x 4 -1 h) y=x 4 -1 i) y = 1x 1x − + j) y = 2x x2 + k) y = 1x x 2 − l) y = 2x 4 1x + −− m) y = x1 )2x( 2 − − n) y = 2x 1 2x + +−− VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thò: a) (C): y = 2x 3x6x 2 + +− và d: y = x−m. Hd: Lý luận x= 2 m8 3m2 −≠ − + b) (H): 1x 1x y − + = và d: y= −2x+m. Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành độ giao điểm. 91) A.Vẽ đồ thò (C) hàm số y = x 3 +3x 2 −2 B.Biện luận bằng đồ thò (C) số nghiệm của pt: x 3 +3x 2 −(m−2) = 0 92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= 4 1 x+3 và tiếp xúc với đồ thò (C) hàm số y= −x 3 +3x 2 −4x+2. 93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C): y=x 3 +3x 2 +1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. 94) Dùng đồ thò (C): y = x 3 −3x 2 +1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 −3x 2 − 9x+1−m = 0. 95) Cho parabol (P): y=x 2 −2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m. a) Khảo sát và vẽ đồ thò (P) b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P). c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB. 96) Cho hàm số 1x 1x y − + = , có đồ thi (H). a) Khảo sát và vẽ đồ thò (H). b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m. Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. 97) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số y=f(x)=x 3 −3x 2 +1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng. 98) Cho hàm số y = x 4 −4x 3 −2x 2 +12x−1. a) Chứng minh rằng đồ thò (C) của hàm số có trục đối xứng. b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox. Hướng dẫn và kết quả: a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thò (C) : Tìm đến y (3) và cho y (3) = 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0. Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C). b) Cho Y= 0, tìm được X= 104 ±± ⇒ y=0 và x =1 104 ±± . [...]... rằng: ∫e −1 1 cos x dx =2 ∫ e cos x dx Áp dụng bài 123 ) 0 x −x a 127 ) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: −a ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt Hd: t=−x a 128 ) Chứng minh rằng ∫ sin x.f (cos x)dx =0 Áp dụng bài 124 ) −a a 129 ) Chứng minh rằng ∫ cos x.f (x −a 1 130) Chứng minh rằng ∫x 0 2 a) ∫ ln(x + x + 1)dx )dx =2 ∫ cos x.f (x 2 )dx Áp dụng bài 123 ) 0 1 m (1 − x) n dx = ∫ x n (1 − x) m dx Hd:x=1−t... x 4 0 0 123 ) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [−a;a] quả bài 118a) Tính a dx = π 2 ∫ 1 + cos 2 dx , đặt t=cosx, kq: a −a (a>0) thì: ∫ 1 + cos 0 ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx Hd: t=−x 124 ) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [−a;a] (a>0) a thì: ∫ f (x)dx =0 Hd: t=−x −a π 8 125 ) Chứng minh rằng: ∫x 6 sin 7 xdx =0 Áp dụng bài 124 ) π − 8 1 126 ) Chứng... bằng 12? Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa 3 phần tử có phần tử 0 có tổng 12. Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số 163) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác nhau, biết: 3 a) Các số này < 5000? Kết quả: 2 A 5 Ï =120 số b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x= abcd : d=8 có 4.4.3.1= 48 số ; d≠8 có 3.4.3.2=72 số Vậy có 48+72 =120 số... dẫn và kết quả: a) Giai đoạn 1: Cho 2 chữ số 1 và 2 vào 2 ô liền nhau, 3 chữ số 3, 4, 5 vào 3 ô còn lại: Có 4!=24 cách xếp Giai đoạn 2: Vì 1 và 2 nằm trong 2 ô liền nhau nên có 2!=2 cách xếp Theo quy tắc nhân, có 24.2=48 số b) Có 5! =120 số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập nên từ 5 chữ số đã cho trong đó có thể có 1 và 2 đứng cạnh nhau; hoặc 1 và 2 không đứng cạnh nhau Vậy có 120 −48=72 số trong... lần 3 2 Hướng dẫn và kết quả: Tương tự bài 8b): Có A 7 1 − A 6 = 180 số Ta có thể giải bằng cách khác: Với 7 ô : Giai đoạn 1: Ta lắp chữ số 0 vào trước: Có 6 cách (bỏ ô đầu tiên) Giai đoạn 2: Ta lắp chữ số 1 vào 6 ô còn lại: Có 6 cách Giai đoạn 3: Ta lắp chữ số 2 vào 5 ô còn lại: Có 5 cách Giai đoạn 4: Ta lắp chữ số 3 vào 4 ô còn lại: Có 1 cách (không thứ tự) Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số 172)... triển:  x +   x  211) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển: n 12 Kết quả:T9=495  1   3 + x 5  biết : C n +1 − C n +3 = 7(n + 3) Kết quả: n = 12 và a9=495 n+4 n x  212) Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai triển là P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 Tính hệ số a9 Kết quả:3003 3 15 21 12 213) Xét khai triển của: (x + xy) Tính hệ số của hạng tử chứa x y Kết... 3 khác nhau? 2 4 Kết quả: 5 A 5 = 600 b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 600−4 A 4 3 (lẻ)=312c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0? Hướng dẫn và kết quả: Hoán vò các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có 5! =120 số không có mặt chữ số 0 Phần bù: 600 120 =480 số có mặt chữ số 0 156) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, Hỏi... hàm y= (1+x) rồi thay x=1 219) Chứng minh rằng: C 2 n 0 n + C1 n + C 2 n + C 3 n + + C 2 n = 4 n 2 2 2 2n 220) Chứng minh rằng: a) 12 C1 + 2 2 C 2 + 3 2 C 3 + + n 2 C n = (n 2 + n)2 n −2 n n n n Hướng dẫn : Lấy f' ' (1) + f' ' ' (1) với f(x) = (1 + x) n b) C 0 + n 1 1 1 2 1 2 n +1 − 1 C n + C n + + Cn = n 2 3 n +1 n +1 221) Tính S= 0 1 C6 +C6 + + C66 Hướng dẫn: Xét (x+1)6 và thay x=1 0 5 222) Tính... 1 2 TS+ex−ex.Kq:l n dx 1 + ex 0 1 s) ∫ π 2 dx 0 1 + cos x π 3 u) ∫ sin xdx 2 0 cos x 1 π 2 π 4 sin x dx 1 + cos 2 x 0 v) ∫ 1 5 ln 4 x ∫ x dx 1 e 121 ) Tính các tích phân: Tích phân 1 a) ∫ xe 2x dx 0 π 2 b) ( x − 1) cos xdx ∫ 0 Tích phân 2e e +1 1 t) ∫ w) π 12 Kết quả Tích phân c) ∫ ln xdx π −2 2 d) Kết quả Kết quả e e +1 4 2 1 1 π 4 xdx 2 x π − ln 2 4 ∫ cos 0 Tích phân Kết quả π 2 e) 1 ∫ x sin x.cos... đôi một khác nhau? Kết quả: A 5 =120 b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên? Kết quả:60X155554 = 9333240 175) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5 Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72 176) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số: 0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4 .125 = 625 177) Với 10 chữ số từ 0 . 0dx)x(f a a ∫ − = . Hd: t=−x 125 ) Chứng minh rằng: 0xdxsinx 8 8 76 ∫ π π − = . Áp dụng bài 124 ). 126 ) Chứng minh rằng: ∫∫ − = 1 0 xcos 1 1 xcos dxe2dxe . Áp dụng bài 123 ). 127 ) Chứng minh rằng:. xdx − ∫ g) dx1xx 1 0 2 ∫ + h) ∫ ++ 1 0 2 1xx dx k) 1 0 1 x x e dx e + ∫ l) ∫ π 2 0 3 dxxcos xsin 2 1 )122 ( 3 2 − 2 1 12 83 −π 3 4 4 3 )122 ( 3 1 − 33 π )21e(2 −+ 4 3 120 ) Tính các tích phân: Tích phân Kết quả m) ∫ − 2 2 2 1xx dx n) 3 2 3 9. ∫∫ − − = x a x a dt)t(fdt)t(f . Hd: t=−x 128 ) Chứng minh rằng 0dx)x(cosf.xsin a a ∫ − = . Áp dụng bài 124 ) 129 ) Chứng minh rằng ∫∫ − = a 0 2 a a 2 dx)x(f.xcos2dx)x(f.xcos . Áp dụng bài 123 ). 130) Chứng minh rằng