Bài tập Giải tích

Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường DẤU NHỊ THỨC VÀ TAM THỨC. A. Lí thuyết: 1/ Nhị thức :  ;0fx axba  x -  b a  + f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a 2/ Tam thức:   2 ;fx ax bxca0 c 2 4ba  * 0   0fx vô nghiệm x -  + f(x) cùng dấu a * 0   0fx có nghiệm kép 2 b x a   x -  2 b a  + f(x) cùng dấu a 0 cùng dấu a * có hai nghiệm phân biệt 0  0fx 1,2 2 b x a    Giả sử: 12 x x  : x -  1 x 2 x + f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a Định lí Vi-et: Phương trình 2 0ax bx c   có hai nghiệm 12 ; x x thì: 12 b Sxx a    và 12 . c Pxx a   Chú ý: Phương trình: 2 0ax bx c   có hai nghiệm phân biệt: 1. Trái dấu 2. Cùng dấu .0ac 0 0P        3. Dương 4. Âm 0 0 0 P S         0 0 0 P S            Trang 1 Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Trang 2 Bài tập : I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc nữa khoảng và f là hàm số xác định trên K.  Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:     12 12 1 2 ;,xx Kxx f x f x   Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:    12 12 1 2 ;,xx Kxx fx fx  2. Định lí : Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu  ' 0 f x  với mọi xI  thì hàm số f đồng biến trên I. b) Nếu   ' 0 f x  với mọi xI  thì hàm số f nghịch biến trên I. Chú ý : Khoảng I có thể thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng và hàm số f liên tục trên I thì định lí trên vẫn đúng. Ta có thể mở rộng định lí trên: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu   ' 0fx với mọi xI  (hoặc   ' 0fx với mọi x I ) và chỉ tại một số hữu hạn điểmthì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên I  ' 0fx I) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số : 1) 2) 42 21yx x  24 2yxx   3) 42 15 3 2 yxx 2 4)  2 3yx x 5) 2 44 1 xx y x    6) 2 2 1 xx y x    7) 21 1 x y x    8) 3 32yx x   Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường 9)  2 2 1 x y x    10) 32 34yx x   II) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số : Trang 3 1) 3yx 2)  2 2yxx   3) 2 2yx x 4) 2 1yxxx   III) Tìm tham số m để : 1) đồng biến trong khoảng   2 123ym x m xm      2;   2)  3 2 1 3 x ymxmx  1 luôn luôn đồng biến 3)    3 2 12222 3 x y m mx mx     5 đồng biến trong   6;  4)     32 32 1 12 5 2yx m x m x     đồng biến trong khoảng   2;  IV) Cho hàm số:   2 21 1 x mx m y xm     . định m để : 1) Hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định. 2) Hàm số đồng biến trong   1;   V) CMR: 1) sin cos 1; 0; 2 xx x x      2) 3 sin ; 0 6 x xx x Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường Trang 4 II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: 1) Định nghĩa : Giả sử hàm số f xác định trên và D 0 x D  . Nếu tồn tại   ;ab chứa điểm sao cho 0 x   ;ab D và: a)      0 ;\ 0 f xfx xDx  0 thì được gọi là điểm cực đại của hàm số, khi đó 0 x f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số. b)      0 ;\ 0 f xfx xDx  0 thì được gọi là điểm cực tiểu của hàm số, khi đó 0 x f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số. Điểm cực đại, cực tiểu nói chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu nói chung là cực trị 2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị : Định lí: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại thì 0 x 0 x  ' 0 0fx 3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị : Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trong khoảng   ;ab chứa điểm và có đạo hàm trên các khoảng 0 x   0 ;ax và   0 ; x b . Khi đó: a) Nếu   0 ;  ' 0; f xxax và     ' 0; 0 ; f xxxb thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x b) Nếu   0 ;  0; ' f xx ax và     0 ; ' 0; f xx xb thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x Định lí 2 :Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng   ;ab chứa điểm 0 x , và f có đạo hàm cấp hai tại điểm  ' 0 0fx 0 x . a) Nếu   " fx 0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 0 x b) Nếu   " fx 0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 0 x Bà i tập : I. Tìm cực trị của hàm số: Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường Trang 5 1 1) 2) 3 1yxx  32 3yx x    3) yx 32 x x   2 4) 3 3 y xx 5) 6) 3 26yx  2 x 42 2 y xx  7) 8) 42 42 25yx x  yx x   9) 42 2yx x   10)  2 2 4 y xx 11) 21 1 x y x    12) 2 4yx x   13) 3 2yx x  14) 2 23 1 xx y x     15) 2 22xx y x   16) 2 22 1 xx y x     17) 2 1 x y x    18) 2 1 2    x x y 19) 2 42 y x 20) 1 1 1 yx x   21) 1 1 x y x    22) 2 2 xxy  23) 2 2 21 x y x x    24) 2 2 24 1 xx y x    II. Tìm các giá trị của m để : 1. Hàm số y = f(x) = 3 1 x 3 +mx 2 + (2m+3)x + 2 có cực trị. 2. Hàm số y= f(x) = 1 )2(2 2   x xmx có một cực đại và một cực tiểu. 3. Hàm số y = mx mmxx 2 3 2   có một cực đại và một cực tiểu và hai giá trị cực trị trái dấu ? 4. Hàm số y = 4 3 2   x mxx có một cực đại và một cực tiểu và 4 CTCD yy . 5. Hàm số y = f(x) = 3 1 x 3 +mx 2 +(2m+3)x+2 đạt cực tiểu tại x 0 =2. 6. Hàm số y=f(x)= mx mxx   1 2 đạt cực đại tại x 0 =2 7. Hàm số 1 2 2    x mxx y có một cực đại và một cực tiểu. Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường 8. Hàm số: x đạt cực đại tại 1 0 x . mmxxxf )1(33)( 223  9. Hàm số có điểm cực đại là gốc tọa độ O 42 2yx mx m  10. Hàm số: 1 3 1 23  mxmxxy có cực đại và cực tiểu 11. Đồ thị hs 2) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung 1(33 223  xmmxxy 12. Hàm số 22 (1) 4 (): 1 m xmxm m Cy x      2 có cực tri 13. Hàm số y = 22 2 1 xmxm x   2 có cực trị 14. Hàm số x đạt cực đại tại x=1 mmxxxf )1(33)( 223  15. Hàm số 1 2 )( 2    mx mxx xf có cực trị 16. Hàm số 1 2 )( 2    x mxx xf có một cực đại và một cực tiểu 17. Hàm số 1)84()2( 3 2 3  mxmxm x y đạt cực trị tại các điểm 21 , xx thoả 2 1 2 xx  18. Hàm số 1 4)1(2)1( )( 2    x mxmxm xfy có cực đại,cực tiểu, đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau. 19. Hàm số 43 2 () 8 6( 2) 4fx x mx m x   chỉ có 1 cực tiểu mà không có cực đại. 20. Hàm số 1)2(3)1( 3 1 )( 23  xmxmmxxfy . đạt cực trị tại 21 , xx thoả 1 2 21  xx 21. Hàm số: mx mmxx y    1 22 có cực trị 22. Hàm số: mxmxm x y  )23()1( 2 1 3 22 3 đạt cực đại tại 1  x Trang 6 Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường 23. Hàm số: 2 42 2    x mmxx y có hai cực trị 24. Hàm số 5 có cực đại, cực tiểu 3)2( 23  mxxxmy 25. Hàm số: 1 2    x mxx y có giá trị cực đại là 0 26. Hàm số 2 2(2) 1 x mx có cực đại và cực tiểu y x    27. Hàm số (C m ): 1 ymx x  , có cực trị 28. Hàm số y = 1 432 23 x mx x mx có 3 cực trị III. Xác định hàm số : 1) Cho hàm số y = 4 2 () 2 x f xaxb . Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1.  2) C ho b x axx y    2 2 52 Tìm a và b để đồ thị hàm số nhận điểm       6; 2 1 làm điểm cực trị. 3) Cho hàm số:   32 yfx axbxcxd . Tìm các hằng số biết: ;;;abcd a) Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 tại 2x   và có cực tiểu bằng – 4 tại . 0x  b) Đồ thị hàm số   yfx có một điểm cực đại là   1; 3M  và đi 2 qua điểm ,  2;0A   2;12B c) Hàm số có giá trị cực trị bằng 0 tại 1x  và đồ thị hàmsố đi qua hai điểm ,  0; 1A    2;1B d) Hàm số có giá trị cực trị cực tiểu bằng 3 tại 1 x  và nếu chia   f x cho   2 2xx thì phần dư là   29x  e) Hàm số có giá trị cực trị cực tiểu bằng – 4 tại 1x  và nếu chia   f x cho   2 32xx thì phần dư là   3x   IV. Các dạng khác : Trang 7 Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường Trang 8 1 1) C hứng minh rằng: với mọi giá trị của hàm số a   32 2321 6 1 y xaxaax     luôn đạt cực trị tại hai điểm  12 1 2 ; x xx x 21 với x x không phụ thuộc vào tham số a 2) Với những gi á trị nào của thì đồ thị hàm số a 32 212yxax x13   có điểm cực đại và cực tiểu và hai điểm này cách đều trục tung. 3) Tìm các giá trị của tham số để đồ thị hàm số: m    32 13 2 33 m yxmx m 1 x có điểm cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực trị 12 ; x x thỏa mãn điều kiện 12 21xx   4) Với giá trị nào của thì đồ thị hàm số: m     32 21 3yx m x mx m1     đạt cực trị tại 12 ; x x thỏa 12 2xx   III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT: 1. Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên . Nếu tồn tại điểm D 0 x D sao cho:     0 ; f xfx xD thì số   0 M fx được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D , kí hiệu   D M ax f x M  .     0 ; f xfx xD thì số   0 mfx được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D , kí hiệu   D M in f x m  . 2. Cách tìm: Lập bảng biến thiên của hàm số trên rồi từ đó kết luận. D Đặc biệt: Giả sử hàm số f liên tục trên   ;ab và có đạo hàm trên khoảng   ;ab có thể trừ một số hữu hạn điểm thuộc . Thì qui tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số f trên  ;ab    ;ab là:  Tìm các điểm thuộc 12 ; ; xx   ;ab tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.  Tính         12 ; ; ; ; fa fb fx fx  So sánh các số vừa tính. Số lớn nhất là giá trị lớn nhất của hàm số f trên   ;ab , số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên   ;ab Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường Bài tập Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 1. 24yx x  2. 2 1 22 x y xx    3. 2 2cos cos 1 y xx 4. x 4sin 3cosyx 5. 3 31yx x trên đoạn   0;3 6. 2 2 1 1 x y x    7. 54yx trên   1;1 8. 2 cos trên yx x 0; 2     9. 2 2 1 1 xx y xx    10. 2 1 22 x y xx    11. sin 2cos x y x   trên   0;  12. 3 trên 62 4(1 )yx x    1;1 13. 3 trên 42 2yx x    0;2 14.  2 64yx x  trên   0;3 15. 1 542 2 2    x xx y 16. 5 trên 32 393yx x x    4; 4 17. x sin cosyx 18. 2 4 xxy  Trang 9 Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường 19. 2 1 1 x y xx    20. 32 33x trên yx    1; 3 21. 2 2cos 0 2 yxxx      22. y = sin 4 x – cox 2 x. 23. y = x 4 – 4x 2 + 2 trên   2;3 24. y = 2sin 2 x + sinx trên  0;  25. y = 33 23  xx trên đoạn   1; 3 26. 2 2 24 1 xx y x    5 27. 432 3 2 3  xx x y trên   1; 4 28. 18)( 24  xxxf trên   1;1 Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: Trang 10 1.  2 2 yx x  0x 2. 42 23yx x  3.  2 2 1 23 1 xx yx xx    4. y = x 3 (x-4) 5.  x x y 2 2  trên khoảng (0; + ∞) 6. 3 1 tan 2 cos yx x  (0< x < 2  ) 7. y= x 3 + 11 2xx 1 x xx    (x > 0)       Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: [...]... B và tam giác OAB có diện tích bằng Bài 3: (KD02) Cho hàm số:  2m 1 x  m2 y x 1 Trang 14 1 4 (1) (m là tham số ) Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hs (1) ứng với m = - 1 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x x2 (1) Bài 4: (KA09) Cho hàm số y...   Bài 2: Cho hàm số: y  2 x  x 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A   2 ; 0  2 4 Trang 13 GV: Nguyễn Thế Cường Bài tập giải tích 12 ban KHTN Bài 3 : Cho hàm số y  1 4 5 x  3x2  có đồ thị (C) 2 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết pttt của (C) tại điểm uốn   5  2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A  0;  2   4 2 2 Bài. .. Tìm m để bất pt có nghiệm thỏa x   0; 2  4  x  2  x   0 nghiệm đúng với  x    2; 4  2 Bài 10: Cho bất phương trình: x  2 x  m  18  4 Tìm m để bất phương trình Trang 11 Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ A Hàm bậc ba: 3 2 Bài 1: (KD08) Cho hàm số : y  x  3 x  4 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Chứng... thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt 1 y  x 3  2 x 2  3 x (1) có đồ thị (C) Bài 7: (KB04) Cho hàm số : 3 1) Khảo sát hàm số (1) Trang 12 Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường 2) Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất 3 2 Bài 8: (KB03) Cho hàm số : y  x  3 x  m (1) (m là tham số) 1) Tìm m để đồ thị hàm... số góc m Biện luận theo m số giao điểm của (C) và d x2  2x Bài 8: Cho hàm số: y  x 1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và trục hoành Bài 9 : Cho hàm số : x  2 y x 1 2 (C) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ nguyên Trang 15 Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường 2) Gọi d là đường thẳng... dương Bài 15: (KD03) x2  2 x  4 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y  x2 2) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt Bài 16: (KA2000) 2x2  x 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) hàm số: y  x 1 2) Tìm những điểm M trên đường thẳng y = 1 sao cho từ M có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (H) Trang 16 Bài tập giải tích. ..GV: Nguyễn Thế Cường Bài tập giải tích 12 ban KHTN 3 4 1 y  4 x  3 x 2 2 y   x  2 x  3 5 3 3 y  x  5 x  1 trên đoạn  2;3 2 4 y  2sin x  x  0  x    2 5 y  3  2 x  x 6 y  cos x  sin x 2 7 y  3  2 x  x 2 8 y = 4 x  2 x  3 + 2x – x2 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2 1 y  4 x  2  16  4 x 5 y... 2 cos x  1 sin x  cos x  2 2 2 Bài 5: Cho hàm số y  4 x  4ax  a  2a Tìm a để giá trị bé nhất của hàm số trên [ -2 ; 0] bằng 2 2 Bài 6: Tìm m để bất phương trình : x  1  x  m a) Có nghiệm b) Nghiệm đúng với  x    1;1 Bài 7: Định m để bất phương trình: x  3  x 2  m 2 vô nghiệm 2 Bài 8: Cho bất pt : m 2 x  7  x  m Tìm m để bpt nghiệm đúng với x Bài 9: Cho bất pt:  m  2 x  m ... (C) và đường thẳng y = 1 – m Bài 11: (KA1999) 3 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số: y   x  3x Từ đó suy ra đồ thị 3 hàm số: y   x  3 x 3 2) Tìm các giá trị của m để phương trình: x  3x  2m có ba nghiệm m2 1 Bài1 2: Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – 5 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2 Viết pt tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13) B Hàm trùng phương : 4 2 Bài 1 : Cho hàm số: y  x... tại gốc tọa độ O  x 1 2x  1 Bài 5: Cho hàm số y  (C) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox Bài 6: Cho hàm số y  x x 1 (C) 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân Bài 7 : Cho hàm số: y x2  4x . số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên   ;ab Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường Bài tập Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 1. 24yx x .  Trang 1 Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Trang 2 Bài tập : I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM.  Bài 10: Cho bất phương trình:  2 218442xxm x x0      . Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với   2;4x . Bài tập giải tích 12 ban KHTN GV: Nguyễn Thế Cường CÁC BÀI