bai tap GT DH KSHS TICH PHAN

Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết: a Tiếp điểm là A-1; -1... Tìm k đểtiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5 Bài2: Viết phơng trình tiế

−

x x

Bài3: Tính f'(8) biết f(x) = 3 x

Bài4: Cho đờng cong y = x3 Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết:

a) Tiếp điểm là A(-1; -1)

b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2

c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5

d) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y =

3 1

2 x+ + x+ − x − x+

5) y = (x+1) (2 x +2) (3 x+3)4 6) y =

4 3

6 5

−

x x

1

1 1

1 2

2

2 2

2

1

1 1

1

x x

x x

x x

x x

++

−++

−+

++

11) y = (1+x) 2+x 2 3 3+x 3 12) y = 3

3

1

1 x

x

−+

13) y =

6 4

5 3

6 2

3 1

x

x cos x sin

x cos x

sin

+

−

15) y = sin[sin(sin x) ] 16) y = x sin x ( x )cos xe−x

3

x ln

4 3

5 4

2 3

1

−

−

++

+

x x

x x

0 x nếu x

x cos 1

1) Xét tính liên tục của f(x) tại x = 0

2) Xét tính khả vi của f(x) tại x = 0

Bài4: Cho hàm số: f(x) =

1 3

3 2

>

0 x nếu 1 ax - x -

0 x nếu e

≤

−

0 1

0 x nếu b

ax

x nếu x sin b x cos a

IV) đạo hàm cấp cao:

Bài1: Cho f(x) =

1 2

2 3

2

2

−+

+

−

x x

x

x Tính: f(n)(x)

Bài2: Cho f(x) =

6 11 6

8 4 3

2 3

2

−+

−

−+

−

x x

9 4 2

2 4

2 3

+

−

−

−+

x x

x x

x Tính: f(n)(x)

Bµi4: Cho f(x) =

18 9

11 5

3

2 4

x

x TÝnh: f(n)(x)

Bµi5: Cho f(x) = cosx TÝnh: f(n)(x)

Bµi6: Cho f(x) = cos(ax + b) TÝnh: f(n)(x)

Bµi7: Cho f(x) = x.ex TÝnh: f(n)(x)

Bµi3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR: y + xy' + x2y" = 0

Bµi4: Cho f(x) = sin32x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x Gi¶i ph¬ng tr×nh: f'(x) = g(x) Bµi5: Cho f(x) = 5 2 1

2

1 x+ ; g(x) = 5 x +4 x ln 5 Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh: f'(x) < g'(x)

2 2

2 2

2

++

++

x lim

x

3 3

3 2 0

1

++

→

2)

2 0

2

3 x

x cos lim x

x

−

→3)

2

3 0

2 1 2

1

x

x x

x sin x

lim

++

−

1 2 1

0

Bài2: Tìm a để phơng trình: (a + 1)x2 - (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm ∈ (0;1)

Bài3: Tìm m để phơng trình: 9 2 x 2−x −m 6 2 x 2−x +(3 m−8)4 2 x 2−x =0 có nghiệm thoả mãn:

Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6) ≥ m nghiệm đúng với ∀x

Bài10: Xác định a để bất phơng trình: -4 (4−x)(2+x) ≤ x2 - 2x + a - 18 nghiệm đúng với

∀x ∈ [-2; 4]

Bài11: Tìm m để:

x x

x sin x

cos

2 2

2

1 1

3 3

Bài13: Tìm m để bất phơng trình: mx− x−3 ≤ m + 1 có nghiệm

3) Sử dụng ph ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơngtrình, hệ ph ơng trình, hệ bất ph ơng trình:

Bài1: Giải các phơng trình và các bất phơng trình sau:

0 1 3

0 1 2 3

3

2

x x

x x

−

<

−

0 9 5 3

3 1

0

2 3

2 2

2 2

x x

x

x log x

=

−++

=

−++

=

2 2 2

2 3

2 3

2 3

x x x z

z z z x

y y y x

1 2

1−x 2 <cos x< − x 2 + x 4 ∀x > 0

2)

! n

x

x x

e x > + + + + n

2 1

∀x ∈ [0; 1]

2 1

2

x x x

6)

x

x x

x

m x

x luôn có một cực đại và một cực tiểu với mọi

m

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:

1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1

3) y = 5cosx - cos5x với x ∈ − π4 ;π4 4) y =

x cos x sin

x cos x

sin

4 4

6 6

1

1

++

++

a

b b

a a

b b

a a

b b

−+ 4 4 2 2 2 2

4

4

Bài4: Cho x, y ≥ 0; x + y = 1 Tìm Max, Min của: S = +1+ x+1

y y

Bài6: Tuỳ theo a tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = sin6x + cos6x + asinx.cosx

IV) tiệp cận:

Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:

1) y =

1 2

2 3

2

2

−+

++

x x

x x

3 2

2

+

mx x

2

2

−

+++

+

x

a x a

ax , a ≠ -1; a ≠ 0 Chứng minh rằng tiệm cận xiên của(C) luôn đi qua một điểm cố định

Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

1

2 3

1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M ∈ (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi

2) Tìm M ∈ (C) để tổng khoảng cách từ M ∈ (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất V) Khảo sát và vẽ đồ thị:

Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1) y =

1

4 2

13 6

2

+

++

1 4

1 x 4 − x 3 −x 2 + 2) y =

5 4

11 8

x x

3) y =

1

5 4 2

2

2

+

++

x

x

50 15

14 9

x x

5) y =

x x

x x

2 2

1 2

3) y =

2

3 3

5) y =

1 2

7) y = x−1(x 2 +x−2)

VII) tiếp tuyến:

1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị Bài1: Cho hàm số: y = x3 - 1 - k(x - 1) (1)

1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;

2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung Tìm k đểtiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5

Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): y = x 2 +2 x+4+cos x tại giao điểm của đờng

cong với trục tung

Bài3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1

a) Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E

b) Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

=

=

m x x g y : ) P (

x x

x f y : ) C (

2

2 2

2

1 1

1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau

2) Viết phơng trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P)

Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y = ( )

m x

m m x

3 với trục Ox tiếp tuyến của (C)

song song với (∆): y = x - 10 Viết phơng trình tiếp tuyến đó

Bài7: Cho (C) : y =

1

1 2

−

−

x

x và M bất kỳ thuộc (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận tiếp

tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B

1) CMR: M là trung điểm của A và B

2) CMR: S∆IAB không đổi

3) Tìm m để chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài8: Cho (C): y =

m x

m x

mx

x

+

++

1) Điểm M ∈ (C) với xM = m Viết phơng trình tiếp tuyến (tm) tại M

2) Tìm m để (tm) qua B(1; 0) CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và haitiếp tuyến tơng ứng vuông góc với nhau

3) Gọi I là giao điểm của hai đờng tiệm cận Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đờng tiệmcận tại A và B CMR: M là trung điểm của AB và diện tích ∆IAB không phụ thuộc vào vị trí

điểm M trên (C)

2) Phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc cho trớc Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 - 3x2 biết tiếp tuyến vuông góc với đờngthẳng: y =

Bài3: Cho (C): y =

2

3 3

1 3

Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó Chứng minh rằngtiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận

Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác của góc phần t thứ nhất của hệtoạ độ

x CMR: trên đờng thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm

đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 450

3) Phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 4

12

19 ; đến đồ thị (C): y = f(x) = 2x3 + 3x2 + 5 Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0; -1) đến (C): y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 Bài3: Cho hàm số (C): y = f(x) = x3 + 3x2 + 2

1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A− −2

Tìm các điểm A ∈ Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài6: Tìm trên đờng thẳng x = 3 các điểm kẻ đợc tiếp tuyến đến (C): y =

1

1 2

Bài1: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: 3x - 4x3 = 3m - 4m3

Bài2: Tìm m để phơng trình: x3 - 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài3: Tìm a để phơng trình: x3 - 3x2 - a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2 nghiệmlớn hơn 1

Bài4: Biện luận theo b số nghiệm của phơng trình: x4 -2x2 - 2b + 2 = 0

Bài5: Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình: x2 + (3 - a)x + 3 - 2a = 0 và so sánh cácnghiệm đó với -3 và -1

Bài6: Tìm m để −2 x 2 +10 x−8 = x2 - 5x + m có 4 nghiệm phân biệt

2) Sự tơng giao của hai đồ thị hàm số:

Bài toán về số giao điểm

Bài1: Tìm k để đờng thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị: y =

2

3 4

x tại hai điểm phân biệt

Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x3 + 3x2 + mx + 1 cắt đờng thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt Bài3: Cho (Cm): y = x3 - 2mx2 + (2m2 - 1)x + m(1 - m2)

Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng

Bài9: Tìm m để (Cm): y = x3 - 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x - m3 - 1 cắt Ox tại đúng 1 điểm

Bài toán về khoảng cách giữa các giao điểm

Bài1: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt đờng thẳng y = x tại ba điểm phân biệt lậpthành cấp số cộng

Bài2: Tìm m để (Cm): y = f(x) = x3 - (2m + 1)x2 - 9x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt lập thànhcấp số cộng

Bài3: Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x4 - 5x2 + 4 tại A, B, C, D phânbiệt mà AB = BC = CD

3) Các điểm đặc biệt:

Bài1: Tìm điểm cố định của (Cm): y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)

Bài2: CMR: (Cm): y = (m + 2)x3 - 3(m + 2)x2 - 4x + 2m - 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng Viếtphơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó

Bài3: CMR: (Cm): y = (m + 3)x3 - 3(m + 3)x2 - (6m + 1)x + m + 1 có 3 điểm cố định thẳnghàng Viết phơng trình đờng thẳng đi qua ba điểm cố định đó

Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y =

m x

m mx

x

−

++

m mx

x

−

++

2

Tìm các điểm ∈ Oxy mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua

Bài6: Cho (Cm): y = 2x3 - 3(m + 3)x2 + 18mx + 6 CMR: trên Parabol (P): y = x2 + 14 có 2

điểm mà không có đồ thị nào của (Cm) đi qua

Bài7: Cho họ đồ thị (Cm): y =

m x

m mx

x

−

−+

2

−

++

−

x

x m

x có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, cực

tiểu

Bài4: Cho họ đồ thị (Cm): y = ( )

5 4

1 2

2 2

2 2

+++

−++

−

m m

x

m m x m

các trục Ox, Oy khi m thay đổi

Bài5: Cho (C): y = x3 - 3x2 và đờng thẳng d: y = mx Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phâm biệt

A, O, B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu của y =

Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (Cm): y = mx3 - 2(m + 1)x2 + 2(m - 3)x + m - 1

5) tâm đối xứng, trục đối xứng:

Bài1: Tìm m ≠ 0 để (C): y =

-m

x 3 + 3mx2 - 2 Nhận I(1; 0) là tâm đối xứng

Bài2: Cho (Cm): y = x3 + mx2 + 9x + 4 Tìm m để trên (Cm) có một cặp điểm đối xứng nhauqua gốc toạ độ

Bài4: CMR: đờng thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị: y =

Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đờng thẳng: y = x - 1

7 30

2 3

17) ∫ + dx

x

1 - x

19) ∫ + dx

cosx 1

x 4sin 2

2) Phơng pháp đặt ẩn phụ:

Tính các nguyên hàm sau đây:

1) ∫ (3 x+1)4 dx 2) ∫ − − + dx

x x

x

2 4

4 2

dx x

ln

1 1

x

1

1

4) Nguyªn hµm hµm h÷u tû:

Bài1: Tính các nguyên hàm sau đây:

1) ∫ + dx x

x 1

−

+ dx (a 0)

a x

x

4

7 2

Bài2: 1) Cho hàm số y =

2 3

3 3 3

x x

x x

a) Xác định các hằng số A, B, C để:

y =

( −1)2 +( −1) + x+2

C x

B x

+

++

=+

+

x

B x

A x

x

b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) =

( 1)3

1 3

+

+

x x

5) Nguyªn hµm hµm lîng gi¸c: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y:

1) ∫sin x dx . cos x 2) ∫sin 2 xdx

2

x cos x cos

5) ∫4sinx+dx 2cosx+5 6) ∫sin 2 x+2sinxcosx dx - cos 2 x

9) ∫cos dx 6 x 10) ∫sin dx 6 x

x x.sin cos

cos2x

2

13) ∫sin2x.cos3 xdx 14) ∫cosx.cos2x sin4xdx

15) ∫cos 3 x sin 8 xdx 16) ∫cos 2 xdx

19) ∫sin 2 x.cosxdx 20) ∫ dx

x cos

tgx

3

21) ∫sin 4 x cos+2 x 3+cos 1 x

6) Nguyªn hµm hµm v« tû: TÝnh c¸c nguyªn hµm sau ®©y:

1 x

1 1

x dx

9) ∫ 4−x 2 dx 10) ∫ −4 x−x 2 dx

11) ∫

−+

−3 x 2 4 x 1 dx

II) tÝch ph©n :

1) Dïng c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n:

2 x cos x sin x dx cos

3)

∫

π

++

++

sin

x cos x

0

3

5xdx cos x cos x

5)

∫

π

2 0

4 xdx sin

Bài2: Cho f(x) =

x cos x sin

x sin x cos

2) Tính: I = ∫ ( )

π

3 0

dx x f

Bài3: Cho hàm số: h(x) =

2 x sin

x sin

+

1) Tìm A, B để h(x) =

B x

sin

x cos

Bài4: Cho hàm số: f(x) = 4cosx + 3sinx ; g(x) = cosx + 2sinx

dx x f

x g

5) ∫4

1

dx x

x

x ln

3 x cos xdx sin

3)

∫

π

2 0

5 xdx

π

4 0

6 xdx tg

π

+

2 0

1 cos x dx ln

x cos

7) ∫e( + )

e

dx x

x ln

9 1

3

1 4

1 1

2

x x

sin x

2) Tính phân và đẳng thức:

Bài1: CMR: Nếu f(x) là hàm lẻ liên tục trên [-a; a] thì: I = ∫ ( )

−

a a

dx x

Bài2: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên [-a; a] thì: I = ∫ ( ) = ∫ ( )

−

a a

a

dx x f dx

x f

dx x f b

dx x f

2 2

2 4

1 2

1 2

dx x

x sin

Bài5: Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = f(x) thì I = ∫ ( ) = + b∫ ( )

a

b a

dx x f b a dx x xf

Bài6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = -f(x) thì: I = b∫ ( ) =0

a

dx x f

x sin

π

+

4 0

dx x sin

π

2 0

dx x cos f

3) Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:

dx x g x

∫

x x

8

2 1

6

2 1

2)

3

3 2 1 3

e e

5 3

2

<

< ∫f x dx

5) TÝch ph©n truy håi:

Bµi1: Cho In = ∫tg n x dx

π

4 0 2

xdx sin n

1) ThiÕt lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a In vµ In - 2

2) TÝnh In ¸p dông tÝnh I11 =

∫

π

2 0

11 xdx sin

∫

π

2 0

xdx cos

x

0 y

; x cos x sin

x y

x y

; x

8

8

2

=+

0 2

0

x

y x

x y

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:







) d ( và ) d (

) C (

2 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đờng thẳng y = 1, x = 0, x =

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

0 x

; x

y

; e x

x y

; y

x y

Tính thể tích vật thể tròn xoay

đ-ợc tạo thành do ta quay D quanh Ox

Bài4: Cho miền D giới hạn bởi các đờng tròn (C): x2 + y2 = 8 và Parabol (P): y2 =2x

1) Tính diện tích S của miền D

2) Tính thể tích V sinh ra bởi A khi quay quanh Ox

Bài5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi ta quay Elíp (E): 1

2

2 2

x quanh Ox