Sáng kiến về khoảng cách trong hình học không gian lớp 11, đây là bài toán khó với học sinh, nhưng tôi đã viết rất cẩn thận và rất dễ hiểu để cho học sinh và giao viên tham khảo, là tài liệu bổ ích cho giáo viên khi dạy mảng hình học không gian, và là tài liệu tham khảo cho giáo viên khi viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm. tài liệu được phân dạng cụ thể có ví dụ minh họa, bài tập tự luyện cho học sinh, giáo viên có thể làm tài liệu dạy phụ đạo cho học sinh rất tốt.
Trường THPT Lê Q Đơn Sáng Kiến CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: - Hội đồng Sáng kiến Trường … - Hội đồng Sáng kiến huyện … - Hội đồng Sáng kiến tỉnh … Tên sáng kiến: Cách xác định tính khoảng cách khơng gian Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục Đào tạo Họ tên: ………… Ngày/ tháng /năm sinh: ………… Nơi công tác: Trường ……… Chức danh: Giáo viên Trình độ chun mơn: Đại học Ngày sáng kiến áp dụng dùng thử: Năm học 2014-2015, năm học 20152016, năm học 2016-2017 Trường THPT Lê Quý Đôn I Sáng Kiến NỘI DUNG SÁNG KIẾN: THỰC TRẠNG: Trong vài năm trở lại việc đổi phương pháp dạy học theo phương pháp ngày áp dụng rộng rãi thành công tiết dạy học sinh có hiểu hay khơng? Có biết vận dụng kiến thức hay khơng? Muốn phải phát triển tốt khả tư duy, tự học tự nghiên cứu sáng tạo, tính khoa học – đại, bản, tính thực tiễn giáo dục kỹ thuật tổng hợp, tính hệ thống sư phạm giáo án giáo viên Nhiều giáo viên chưa quan tâm mức tới giảng gánh nặng sống mà chưa tìm hiểu kỹ việc nêu vấn đề tiết học để học sinh nghiên cứu Chưa đặt cho nhiệm vụ trách nhiệm nghiên cứu để tìm cho phương pháp lơi hấp dẫn cho mơn tốn.Giáo viên nên người hướng dẫn học sinh chủ động trình lĩnh hội tri thức phá triển tư sáng tạo VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Vấn đề đề cập việc “Cách xác định tính khoảng cách khơng gian” nhằm mục đích giúp học sinh biết cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai đường thẳng chéo không gian Qua ví dụ khắc sâu cho học sinh cách làm tập chiếm lĩnh tri thức làm hành trang cho sau Giúp em tự tin làm đề kiểm tra 45 phút, đề học kì đề thi THPT quốc Trong phạm vi đề tài nêu số ví dụ mà tơi làm để góp thêm phần nhỏ bé vào việc dạy mơn tốn nói riêng, dạy học nói chung KIẾN THỨC CƠ BẢN a Tam giác: Tam giác ABC thường Trường THPT Lê Quý Đôn SABC Sáng Kiến 1 abc BC AH AB AC.sinA p.r 2 4R p(p a)(p b)(p c) A S ABM S ACM S ABC G AG AM (G trọng tâm tam giác ABC) Độ dài đường trung tuyến: AM C B M H 2( AB AC ) BC 2 Định lý cô-sin: BC AB AC AB AC.cos A BC AC AB 2R Định lý sin: sin A sin B sin C (với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) Tam giác ABC vuông A 2 Định lý pytago: BC AB AC Tỷ số lượng giác tam giác vuông: µ sinB Đố i AC Huyề n BC µ tan B Đố i AC Kề AB ; ; µ cosB µ cot B Kề AB Huyề n BC ; Kề AB Đố i AC 1 S ABC AB AC AH BC 2 Diện tích tam giác vuông: BA2 BH BC A AH.BC=AB.AC HB AB HC AC C B H Trường THPT Lê Quý Đôn AM Sáng Kiến BC 1 2 AH AB AC 2 CA CH CB HA2 HB.HC A Tam giác ABC cân A AH đường cao đường trung tuyến µ Tính đường cao: AH BH tan B Tính diện tích : S ABC B BC AH C H Tam giác ABC Đường cao tam giác đường trung tuyến: AH AM cạnh A S Diện tích : ABC cạnh G B AH AG= cạnh C M Tam giác ABC vuông cân A C BC AB AC BC AB=AC= A B Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến S ABC AB AC b Tứ giác A Hình bình hành Diện tích: S ABCD BC AH AB AD.sin A D B C H Hình thoi A B D C Diện tích: S ABCD AC.BD AB AD.sin A 0 · · Khi ABC 60 BAC 120 tam giác ABC, ACD tam giác Hình chữ nhật A D Diện tích: S ABCD AB AD ( Diện tích dài nhân rộng) 2 Đường chéo hình chữa nhật AC=BD= dài rơng C B OA = OB = OC = OD O trung điểm AC BD Hình vng A B Diện tích hình vng : S ABCD AB Đường chéo hình vng AC BD AB OA = OB = OC = OD O D C Hình thang Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến D A C B H Diện tích: S ABCD ( AD BC ) AH (AH: đường cao hình thang ABCD) A c Các loại hình thường gặp Khối tứ diện đều: B Tất cạnh D O M Tất mặt tam giác C Chân đường cao trùng với tâm đa giác ABC trọng tâm tam giác đáy AO (BCD) Khối chóp tứ giác S.ABCD S Chân đường cao:Trùng với tâm đa giác đáy Đáy: ABCD hình vng Đường cao: SO A Cạnh bên: SA=SB=SC=SD B O D C Mặt bên: mặt bên tam giác cân S Các cạnh bên tạo với đáy góc Các mặt bên tạo với đáy góc Khối chóp tam giác S.ABC S Đáy: Tam giác ABC Đường cao: SO Cạnh bên: SA=SB=SC A C O B Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến Cạnh đáy: AB=BC=CA Mặt bên: Các mặt bên tam giác cân S Khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông với đáy (ABC) S Đáy: Tam giác ABC Đường cao: SA Cạnh bên: SA, SB, SC C A Mặt bên: (SAB), (SBC), (SCA) SAB SAC tam giác vuông A B Khối chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vng với đáy(Đáy tam giác, tứ giác, hình vng, hình chữ nhật,…) S A D H B C Vẽ SH AB H Vì ( SAB) ( ABCD) SH ( ABCD) nên SH đường cao khối chóp Chú ý: Tùy vào đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí điểm H đường thẳng AB Hình lăng trụ Tất cạnh bên Các mặt bên hình bình hành Trường THPT Lê Q Đơn Sáng Kiến Hai đáy hai đa Hình hộp Là lăng trụ có đáy hình bình hành Các mặt bên hình bình hành Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm đường Hình lăng trụ đứng Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên đường cao Các mặt bên hình chữ nhật Hình lăng trụ Là hình lăng trụ đứng, có đáy đa giác Độ dài cạnh bên đường cao Các mặt bên hình chữ nhật Hình hộp đứng Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Hình hộp chữ nhật Là hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương Là hình hộp chữ nhật có hai đáy bốn mặt bên hình vng d Quan hệ song song Đường thẳng song song với đường thẳng Nếu a/ /(P) d/ /a a (Q) (P) (Q) d Đường thẳng song song với mặt phẳng Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến d (P) d/ /a d/ /(P) a (P) Nếu Mặt phẳng song song với mặt phẳng Nếu a,b (P) (P)/ /(Q) a b I a/ /(Q),b/ /(Q) e Quan hệ vng góc Đường thẳng vng góc với đường thẳng a (P) a b b (P) Nếu Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Nếu d a , d b a , b ( P ) d ( P) a b Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng a (P) (Q) (P) a (Q) Nếu f Cách xác định góc Góc đường thẳng d với mặt phẳng (P) Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến d A A' P Bước 1: Tìm I d ( P ) Bước 2: Lấy điểm A d ( A I ) Bước 3: Tìm AA ' ( P) (tức A ' hình chiếu A lên (P)) IA ' hình chiếu d lên (P) (d , ( P )) ( AI , IA ') ·AIA ' Góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) Bước 1: Tìm ( P) (Q) Bước 2: Tìm mặt phẳng (P) đường thẳng a a Tìm mặt phẳng (Q) đường thẳng b b (( P ), (Q)) (a, b) PHÂN DẠNG CÁCH XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Dạng 1: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Phương pháp: A Dựng AH ( H ) d ( A; ) AH H 10 Trường THPT Lê Q Đơn Sáng Kiến đường thẳng lấy điểm thuộc mặt đáy qua kẻ đường thẳng song song với đường thẳng cịn lại Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vuông với đáy, SA a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AD Giải Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng SB(Vì SB khơng nằm mặt phẳng đáy) song song với đường thẳng AD Xác định khoảng cách từ SB đến AD S Tính d(SB,AD) Lời giải: H a B A a D a C Vì AD / / BC ( SBC ) AD / /( SBC ) mà SB ( SBC ) d ( SB, AD) d ( AD, ( SBC )) d ( A, ( SBC )) Gọi H hình chiếu A lên SB AH SB SA ( ABCD ) A chân đường cao hình chóp(Từ A kẻ đường vng góc với cạnh BC nằm mặt đáy (SBC) AB) 22 Trường THPT Lê Q Đơn Ta có BC AB ( SAB) BC SA ( SAB) BC ( SAB ) AB SA A mà AH ( SAB ) BC AH AH SB ( SBC ) AH BC ( SBC ) AH (SBC ) d ( A, (SBC )) AH SB BC B Mặt khác Sáng Kiến SA ( ABCD) SA AB SAB vuông A 1 1 2a a AH AH AS2 AB (a 2) a 2a 3 d ( A, ( SBC )) AH a Nhận xét: Đối với tốn học sinh gặp khó khăn chọn mặt phẳng chứa đường song song với đường Học sinh gặp khó khăn lý luận khoảng cách SB AD khoảng cách từ A đến (SBC) Khơng tính độ dài AH · Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 60 , SA vng góc với đáy, SC tạo với đáy góc 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SD, AB Giải Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình Xác định góc SC với mặt phẳng (ABCD) 23 Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến Xác định mặt phẳng chứa đường thẳng SD song song với đường thẳng AB Xác định khoảng cách từ SD đến AB Tính d(SD,AB) Lời giải: S H D A K 60 B 60 a C Ta có SC ( ABCD) C mà hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) A · ( SC , ( ABCD)) ( SC , CA) SCA 60 Vì AB//CD ( SCD ) AB / /( SCD ) d ( AB, SD) d ( AB, ( SCD)) d ( A, ( SCD)) Gọi K hình chiếu A lên CD AK CD Gọi H hình chiếu A lên SK AH SK CD AK ( SAK ) CD SA ( SAK ) CD ( SAK ) Ta có AK SA A mà AH ( SAK ) CD AH 24 Trường THPT Lê Quý Đôn Mặt khác Sáng Kiến AH SK ( SCD ) AH CD ( SCD ) AH (SCD ) d ( A, (SCD )) AH SK CD K Vì SA ( ABCD ) SA AK SAK vuông A Ta có SACD Vì Mà S ABCD 2S ABC 1 2 AH SA AK a2 · .BA.BC.sin ABC a.a.sin 60 a 2 1 a2 a2 S ABCD 2 S ACD 2S AK CD AK ACD CD a2 a a AC BA2 BC BA.BC.cos ·ABC a a 2a.a a 2 Xét ABC AC a Vì SA ( ABCD) SA AC SAC vuông A tan 600 SA SA AC.tan 600 a a AC 1 1 3a a 15 AH AH SA2 AK (a 3) 5 a 3a ( ) Nhận xét: Đối với tốn học sinh gặp khó khăn chọn mặt phẳng chứa đường song song với đường Học sinh lúng túng lý luận khoảng cách SD AB khoảng cách từ A đến (SCD) Khơng tính độ dài AC, SA, AK, AH Ví dụ 3(Đề thi THPT Quốc Gia 2015): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc SC với mặt phẳng (ABCD) 45 Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC 25 Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến Giải Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình Xác định góc SC với mặt phẳng (ABCD) Do khơng có mặt phẳng chứa SB song song với AC ta chọn đường thẳng khơng nằm mặt đáy (ABCD) đường thẳng ta chọn điểm nằm mặt đáy kẻ đường thẳng qua điểm song song với AC Xác định khoảng cách từ SB đến AC Tính d(SB,AC) Lời giải: S H A D d K a 45 B C Ta có SC ( ABCD) C Mà hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) A 26 Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến · ( SC , ( ABCD)) ( SC , CA) SCA 450 Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC Gọi K hình chiếu A lên d AK d AK BK Gọi H hình chiếu A lên SK AH SK Ta có AC / / d AC / / BK (SBK ) AC / /( SBK ) d ( SB, AC ) d ( AC , ( SBK )) d ( A, ( SBK )) Ta có BK AK ( SAK ) BK SA ( SAK ) BK ( SAK ) BK AH AK SA A AH SK ( SBK ) AH BK ( SBK ) AH ( SBK ) d ( A, ( SBK )) AH Mặt khác SK BK K Vì SA ( ABCD ) SA AK SAK vuông A 1 2 AH AS AK Vì ABCD hình vng cạnh a AC cạnh a Vì SA ( ABCD ) SA AC SAC vuông A tan 450 SA SA AC.tan 450 a 2.1 a AC Xét ABK vuông K sin 450 AK a AK AB.sin 450 a · · BAC 450 ) AB 2 (vì KBA 1 1 2 2 AH AS AK (a 2) a 2 2a ( ) AH 2a a 10 a 10 d ( SB, AC ) d ( A, ( SBK )) AH 5 27 Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến Nhận xét: Đối với tốn học sinh gặp khó khăn chọn mặt phẳng chứa đường song song với đường Học sinh lúng túng kẻ đường thẳng qua điểm song song với đường Học sinh gặp khó khăn lý luận khoảng cách SB AC khoảng cách từ A đến (SBK) Khơng tính độ dài AH Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BC=a, AC=2a, tam giác SAC Hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy trùng với trung điểm M AC Tính khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Giải Phân tích: Hướng dẫn học sinh vẽ hình Xác định hình chiếu đỉnh S Khơng có mặt phẳng chứa SA song song với BC S qua A kẻ đường thẳng song song với BC Xác định khoảng cách từ SA đến BC Tính d(SA,BC) K x Lời giải: y D E C A M 2a a B 28 Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến Qua A kẻ đường thẳng Ax//BC Qua C kẻ đường thẳng Cy// AB Gọi D= Ax Cy D ABCD hình chữ nhật Vì BC//AD ( SAD) BC / /( SAD) d (SA, BC ) d ( BC , ( SAD)) d (C , (SAD)) Vì M hình chiếu đỉnh S lên (ABC) nên M chân đường cao hình chóp S.ABC d(C,(SAD)) C khơng phải chân đường cao nên ta di chuyển C chân đường cao M Ta có CM ( SAD) A C M A SAD d (C , (SAD )) AC AC d (C , ( SAD)) d ( M , ( SAD)) d ( M , ( SAD)) d ( M ,( SAD)) AM AM Gọi E hình chiếu M lên AD ME AD Gọi K hình chiếu M lên SE MK SE Ta có AD ME ( SME ) AD SM ( SME ) AD ( SME ) ME SM M mà MK ( SME ) AD MK MK SE ( SAD) MK AD ( SAD) MK (SAD) d ( M , ( SAD)) MK Mặt khác SE AD E 29 Trường THPT Lê Q Đơn Sáng Kiến Vì SM ( ABCD) SM ME SME vuông A 1 2 MK MS ME 3 2a a Vì SAC cạnh 2a SM cạnh 2 2 Xét tam giác ABC vuông B AB AC BC 4a a a Vì ABCD hình chữ nhật mà E trung điểm AD, M trung điểm AC 1 a ME CD AB a 2 2 1 1 3a a 15 MK MK MS ME (a 3) 5 a 3a ( ) d ( SA, BC ) 2d ( M , ( SAD)) 2MK 2a 15 Nhận xét: Đối với toán học sinh gặp khó khăn khơng biết qua A kẻ đường thẳng song song với BC Học sinh lúng túng lý luận khoảng cách SA BC khoảng cách từ M đến (SAD) Không tính độ dài ME, SM , MK BÀI TẬP HỌC SINH TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O với AB= 2a 3, BC 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H đoạn OD Góc hợp đường thẳng SB mặt phẳng (ABCD) 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC 30 Trường THPT Lê Q Đơn Sáng Kiến Bài 2: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy, tam giác SAB cân S SC tạo với đáy góc 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng BD SA Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng A, AB=AC=a, I trung điểm SC, hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy góc 600 Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SAB) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có SC ( ABCD ) , đáy ABCD hình thoi có cạnh · a ABC 120 Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 450 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA, BD Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60 Gọi M, N trung điểm cạnh SA SB Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DMN) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, SA ( ABCD), SA a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a cạnh bên 2a, H chân đường cao hình chóp a) Tính khoảng cách từ S đến (ABC) b) Tính khoảng cách từ H đến SA Bài 9: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm H cạnh B ' C ' , góc 31 Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến A ' B với mặt phẳng ( A ' B ' C ') 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng CC ' A ' B II KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN: “Cách xác định tính khoảng cách khơng gian” áp dụng giảng dạy phụ đạo cho học sinh khối 11 khối 12 trường THPT Lê Quý Đôn Đề tài áp dụng vào giảng dạy đa số học sinh cảm thấy dễ hiểu vận dụng làm tập tương tự được, tạo cảm hứng u thích mơn hình học khơng gian hơn, khơng cịn lúng túng, chán nản học hình học Đa số em học sinh làm tốn tính khoảng cách khơng gian có đề học kì I học sinh khối 12 đề thi học kì II học sinh khối 11 III NHỮNG THÔNG TIN CẦN BẢO MẬT: Khơng có IV CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: Đề tài “Cách xác định tính khoảng cách khơng gian” muốn thực cần có điều kiện sau: Giáo viên cần hệ thống cách tóm tắt nội dung kiến thức cũ có liên quan để từ học sinh dễ hiểu Sau hệ thống dạng dạng cho ví dụ minh họa cụ thể Tìm cách đưa nội dung kiến thức cần trang bị cho học sinh cách thích hợp để học sinh dùng hết khả để thỏa mãn nhu cầu nhận thức hứng thú em trình học tập sở có định hướng giáo viên V ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC: Kết khảo sát kiểm tra chưa áp dụng đề tài tài “Cách xác định tính khoảng cách khơng gian” vào giảng dạy cho học sinh lớp 12A8, 12A4, 11B3, 11B6, 11B7 thu số liệu cụ thể sau: 32 Trường THPT Lê Quý Đôn Sáng Kiến Sau đề tài “Cách xác định tính khoảng cách không gian” áp dụng vào giảng dạy lớp 12A8, 12A4, 11B3, 11B6, 11B7 trường THPT Lê Quý Đôn Số liệu thống kê theo thi học kì I em học sinh lớp 12A8, 12A4 cụ thể sau: Kết Năm học Lớp Sĩ số SL % SL % 5.0