olympic toán các nước tập 3(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển

Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1998 – 1999 46 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 3) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO D . UC 2 L ` o , i n ´ oi đâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ đê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi đ ˜ a l ` am b ` ai t . âp khi h . oc t . âp L A T E X. Ðê , ph . u v . u c ´ ac b . an ham h . oc to ´ an tôi thu th . âp v ` a gom l . ai th ` anh c ´ ac s ´ ach đi . ên t , u , , c ´ ac b . an c ´ o thê , tham kh , ao. M ˜ ôi t . âp tôi s ˜ e gom kho , ang 50 b ` ai v ´ o , i l ` o , i gi , ai. Râ ´ t nhiê ` u b ` ai to ´ an d . ich không đu , . o , c chuâ , n, nhiê ` u điê , m không ho ` an to ` an ch ´ ınh x ´ ac v . ây mong b . an đ . oc t . u , ng ˜ âm ngh ˜ ı v ` a t ` ım hiê , u lâ ´ y. Nhu , ng đây l ` a nguô ` n t ` ai li . êu tiê ´ ng Vi . êt vê ` ch , u đê ` n ` ay, tôi đ ˜ a c ´ o xem qua v ` a ngu , ` o , i d . ich l ` a chuyên vê ` ng ` anh To ´ an phô , thông. B . an c ´ o thê , tham kh , ao l . ai trong [1],[2]. Râ ´ t nhiê ` u đo . an v ` ı m ´ o , i h . oc TeX nên câ ´ u tr ´ uc v ` a bô ´ tr ´ ı c ` on xâ ´ u, tôi không c ´ o th ` o , i gian s , u , a l . ai, mong c ´ ac b . an thông c , am. Cuô ´ n s ´ ach n ` ay c ´ o c ´ ach không cho sao ch ´ ep ch ˜ u , Vi . êt, c ´ ac b . an th , u , xem nh ´ e. H ` a N . ôi, ng ` ay 20 th ´ ang 9 năm 2013 Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n 51 GD-05 89/176-05 M ˜ a sô ´ : 8I092M5 M . uc l . uc L ` o , i n ´ oi đâ ` u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M . uc l . uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chu , o , ng 23. Ðê ` thi olympic to ´ an Vu , o , ng Quô ´ c Anh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 23.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 23.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chu , o , ng 24. B , AN D . ICH Ð ` Ê THI OLYMPIC NU , ´ O , C M ˜ Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 24.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 24.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chu , o , ng 25. Ðê ` thi olympic to ´ an châu ´ A Th ´ ai B ` ınh Du , o , ng . . . . . . . . . . . . . . . 16 25.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 25.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chu , o , ng 26. Ðê ` thi olympic to ´ an v ` a đ ´ ap ´ an ´ Ao-Balan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 26.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 26.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chu , o , ng 27. Ðê ` thi olympic to ´ an c ´ ac nu , ´ o , c Balkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chu , o , ng 28. Ðê ` thi olympic to ´ an c ´ ac nu , ´ o , c Czech - Slovak . . . . . . . . . . . . . . . . 31 28.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 28.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chu , o , ng 29. Ðê ` thi olympic c ´ ac nu , ´ o , c Iberoamerican . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 29.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 M . UC L . UC 5 29.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chu , o , ng 30. Ðê ` thi olympic Th . uy Ðiê , n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 30.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 30.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 T ` ai li . êu tham kh , ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 CHU , O , NG 23 Ð ` Ê THI OLYMPIC TO ´ AN VU , O , NG QU ´ ÔC ANH 23.1. Ðê ` b ` ai B ` ai 23.1. M . ôt h ` ınh vuông 5×5 đu , . o , c chia th ` anh 25 h ` ınh vuông đo , n v . i. Trong m ˜ ôi h ` ınh vuông đu , . o , c viê ´ t m . ôt trong c ´ ac sô ´ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho m ˜ ôi h ` ang, m ˜ ôi c . ôt, m ˜ ôi đu , ` o , ng ch ´ eo ch ´ u , a m ˜ ôi sô ´ đ ´ ung m . ôt lâ ` n. Tô , ng c ´ ac sô ´ trong c ´ ac h ` ınh vuông ngay bên du , ´ o , i đu , ` o , ng ch ´ eo t ` u , h ` ınh ph ´ ıa trên bên tr ´ ai đê ´ n h ` ınh ph ´ ıa du , ´ o , i bên ph , ai đu , . o , c g . oi l ` a sô ´ điê , m. Ch ´ u , ng minh r ` ăng sô ´ điê , m không thê , b ` ăng 20, v ` a t ` ım gi ´ a tr . i l ´ o , n nhâ ´ t c ´ o thê , c , ua sô ´ điê , m. B ` ai 23.2. Cho a 1 = 19, a 2 = 98. V ´ o , i n ≥ 1, ta đ . inh ngh ˜ ıa a n+2 l ` a phâ ` n du , c , ua a n + a n+1 khi n ´ o chia cho 100. T ` ım phâ ` n du , c , ua a 2 1 + a 2 2 + ··· + a 2 1998 khi n ´ o chia cho 8? B ` ai 23.3. Cho ABP l ` a m . ôt tam gi ´ ac cân v ´ o , i AB = AP v ` a ∠P AB l ` a m . ôt g ´ oc nh . on. G . oi P C l ` a đu , ` o , ng th , ăng đi qua P v ` a vuông g ´ oc v ´ o , i BP, v ´ o , i C l ` a điê , m n ` ăm c ` ung ph ´ ıa v ´ o , i A so v ´ o , i BP (v ` a không n ` ăm trên AB). G . oi D l ` a đ , ınh th ´ u , 4 c , ua h ` ınh b ` ınh h ` anh ABCD, v ` a đ . ăt P C giao v ´ o , i DA t . ai M. Ch ´ u , ng minh r ` ăng M l ` a điê , m gi ˜ u , a c , ua DA. B ` ai 23.4. Ch ´ u , ng minh r ` ăng tô ` n t . ai duy nhâ ´ t m . ôt d ˜ ay c ´ ac sô ´ nguyên du , o , ng {a n } v ´ o , i a 1 = 1, a 2 = 2, a 4 = 12, v ` a a n+1 a n−1 = a 2 n = ±1 v ´ o , i n = 2, 3, 4, . . . B ` ai 23.5. Trong tam gi ´ ac ABC, D l ` a điê , m n ` ăm gi ˜ u , a AB v ` a E l ` a điê , m c , ua ph ´ ep chia BC l ` am 3 phâ ` n b ` ăng nhau v ` a E gâ ` n C ho , n. Cho ∠ADC = ∠BAE, t ` ım ∠BAC. Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 7 B ` ai 23.6. Văn ph ` ong b ´ an v ´ e c , ua m . ôt nh ` a ga b ´ an v ´ e đi đê ´ n 200 đ . ia điê , m kh ´ ac nhau. V ` ao m . ôt ng ` ay, c ´ o 3800 h ` anh kh ´ ac mua v ´ e. Ch ´ u , ng minh r ` ăng c ´ o ´ ıt nhâ ´ t 6 đ . ia điê , m c ´ o c ` ung sô ´ h ` anh kh ´ ac đi t ´ o , i v ` a không nhâ ´ t thiê ´ t 7 đ . ia điê , m c ´ o c ` ung sô ´ h ` anh kh ´ ach. B ` ai 23.7. Cho tam gi ´ ac ABC c ´ o ∠BAC > ∠BCA. K , e đu , ` o , ng th , ăng AP sao cho ∠P AC = ∠BCA, trong đ ´ o P n ` ăm bên trong tam gi ´ ac. G . oi Q l ` a điê , m n ` ăm bên ngo ` ai tam gi ´ ac sao cho P Q song song v ´ o , i AB v ` a BQ song song v ´ o , i AC. G . oi R l ` a điê , m thu . ôc BC (n ` ăm vê ` ph ´ ıa kh ´ ac c , ua AP so v ´ o , i Q) sao cho ∠P RQ = ∠BCA. Ch ´ u , ng minh r ` ăng đu , ` o , ng tr ` on ngo . ai tiê ´ p tam gi ´ ac ABC tiê ´ p x ´ uc đu , ` o , ng tr ` on ngo . ai tiê ´ p tam gi ´ ac P QR. B ` ai 23.8. Cho x, y, z l ` a c ´ ac sô ´ nguyên du , o , ng th , oa m ˜ an 1 x − 1 y = 1 z . G . oi h l ` a u , ´ o , c sô ´ chung l ´ o , n nhâ ´ t c , ua x, y, z. Ch ´ u , ng minh r ` ăng hxyz v ` a h(y −x) l ` a c ´ ac sô ´ ch ´ ınh phu , o , ng. B ` ai 23.9. T ` ım tâ ´ t c , a c ´ ac nghi . êm c , ua h . ê phu , o , ng tr ` ınh xy + yz + zx = 12 xyz = 2 + x + y + z v ´ o , i x, y, z l ` a c ´ ac sô ´ th . u , c du , o , ng. 23.2. L ` o , i gi , ai L ` o , i gi , ai 23.1. Coi lu , ´ o , i h ` ınh vuông nhu , m . ôt ma tr . ân v ´ o , i (1, 1) l ` a phâ ` n t , u , g ´ oc tr ´ ai trên. G . oi a i,j l ` a gi ´ a tr . i c , ua (i, j). Sô ´ điê , m l ` a tông a 2,1 + a 3,2 + a 4,3 + a 5,4 . G . oi D 1 l ` a đu , ` o , ng ch ´ eo t ` u , điê , m (0, 0) t ´ o , i (5, 5); g . oi D 2 l ` a m . ôt đu , ` o , ng ch ´ eo kh ´ ac; g . oi a, b l ` a hai gi ´ a tr . i kh ´ ac nhau thu . ôc 1, 2, 3, 4, 5. Nê ´ u a 2,1 = a 4,3 = a th ` ı trên D 1 , a 5,5 = a, v ` a trên D 2 , a 1,5 = a. Do đ ´ o c ´ o hai sô ´ a trên c . ôt th ´ u , 5, mâu thu ˜ ân. Do đ ´ o a 2,1 = a 4,3 . Tu , o , ng t . u , , a 3,2 = a 5,4 . V ` ı v . ây c ´ o ´ ıt nhâ ´ t 2 gi ´ a tr . i kh ´ ac nhau trong sô ´ điê , m. Ch ´ ung ta x ´ et 2 tru , ` o , ng h . o , p sau. 8 Chu , o , ng 23. Ðê ` thi olympic to ´ an Vu , o , ng Quô ´ c Anh 1. (a 2,1 , a 3,2 , a 4,3 , a 5,4 ) = (a, a, b, b). Trên D 2 , a 1,5 b ` ăng c , a a v ` a b nên không thê , x , ay ra tru , ` o , ng h . o , p n ` ay. 2. (a 2,1 , a 3,2 , a 4,3 , a 5,4 ) = (a, b, a, b). Khi đ ´ o a 3,3 = a v ` a m . ôt trong 2 sô ´ a 1,1 v ` a a 5,5 b ` ăng b. Không mâ ´ t t ´ ınh tô , ng qu ´ at, đ . ăt a 1,1 = b. Trên D 2 , a 2,4 = b. , O , c . ôt th ´ u , 5, a 5,5 = b. Khi đ ´ o c ´ o 2 sô ´ b trên D 1 . Mâu thu ˜ ân. T ` u , bi . ên lu . ân trên, ta thâ ´ y r ` ăng c ´ o ´ ıt nhâ ´ t 3 gi ´ a tr . i kh ´ ac nhau trong m ˜ ôi sô ´ điê , m v ` a gi ´ a tr . i c . u , c đ . ai c , ua sô ´ điê , m nh , o ho , n ho . ăc b ` ăng 5 + 5 + 4 + 3 = 17. V ´ ı d . u du , ´ o , i đây ch , ı ra r ` ăng sô ´ điê , m b ` ăng 17.       1 5 4 3 2 5 3 2 4 1 2 4 5 1 3 4 1 3 2 5 3 2 1 5 4       . L ` o , i gi , ai 23.2. Ð ´ ap sô ´ l ` a 0. X ´ et a n ( mod 4), n ´ o không thay đô , i khi lâ ´ y phâ ` n du , chia cho 100, ta c ´ o v ` ong l . ăp tuâ ` n ho ` an 3, 2, 1, 3, 0, 3 đu , . o , c l . ăp 333 lâ ` n. V ` ı v . ây a 2 1 + a 2 2 + ··· + a 2 1998 ≡ 333(1 + 4 + 1 + 1 + 0 + 1) ≡= 0( mod 8). Ðiê ` u ph , ai ch ´ u , ng minh. L ` o , i gi , ai 23.3. G . oi E l ` a điê , m thu . ôc BC sao cho AECP . Khi đ ´ o đu , ` o , ng th , ăng AE l ` a đu , ` o , ng phân gi ´ ac vuông g ´ oc v ´ o , i BP v ` a BE = EP . Do đ ´ o, trong tam gi ´ ac bên ph , ai CP B, PE l ` a đu , ` o , ng trung tuyê ´ n c , ua c . anh huyê ` n BC v ` a BE = EC. B , o , i v ` ı AECM l ` a h ` ınh b ` ınh h ` anh, EC = AM. B , o , i v ` ı ABCD l ` a h ` ınh b ` ınh h ` anh, AD = BC. Do đ ´ o, AM = EC = BC/2 = AD/2. Ðiê ` u ph , ai ch ´ u , ng minh. L ` o , i gi , ai 23.4. Ðâ ` u tiên ta ch ´ u , ng minh bô , đê ` d ˜ ay {a n }l ` a d ˜ ay tăng. Ta ch ´ u , ng minh bô , đê ` b ` ăng quy n . ap. V ´ o , i n = 1, ta c ´ o a 1 < a 2 < a 3 = 5 < a 4 . Gi , a s , u , a 1 < ··· < a k v ´ o , i k ≤ 4, th ` ı a k+1 a k−1 = a 2 k ± 1 ≥ a k (a k − 1) ≥ a k a k−1 v ` a a k+1 > a k . Do đ ´ o kê ´ t th ´ uc ch ´ u , ng minh quy n . ap. V ` ı v . ây {a n } l ` a d ˜ ay tăng. V ´ o , i n > 3, a n−1 ≥ 5 v ` a nhiê ` u nhâ ´ t m . ôt trong 2 sô ´ a 2 n + 1 ho . ăc a 2 n − 1 chia hê ´ t cho a n−1 . Do đ ´ o, tô ` n t . ai nhiê ` u nhâ ´ t m . ôt d ˜ ay nhu , yêu câ ` u đê ` b ` ai. Ð . ăt b 1 = 1, b 2 = 2, b n+2 = 2b n+1 + b n v ´ o , i n ≥ 1. Khi đ ´ o b 3 = 5, b 4 = 12. Ta ch ´ u , ng minh r ` ăng b n+1 b n−1 = b 2 n + (−1) n v ´ o , i n = 2, 3, 4, ··· Ta ch ´ u , ng m ` ınh b ` ăng Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 9 quy n . ap. V ´ o , i n = 1, 2, 3, điê ` u n ` ay l ` a hiê , n nhiên. Gi , a s , u , b k+1 b k−1 = b 2 k + (−1) k v ´ o , i k ≥ 3. Ta c ´ o b k+2 b k = b 2 k+1 + (−1) k+1 ⇔ b k+2 b k + b k+1 b k−1 = b 2 k+1 + b 2 k ⇔ (b k+2 − b k )b k = (b k+1 − b k−1 )b k+1 ⇔ 2b k+1 b k = 2b k b k+1 . Do đ ´ o ch ´ u , ng minh quy n . ap kê ´ t th ´ uc. T ` u , l . âp lu . ân bên trên ta thâ ´ y r ` ăng d ˜ ay a 1 = 1, a 2 = 2, a n+2 = 2a n+1 + a n , n = 1, 2, ··· , l ` a d ˜ ay duy nhâ ´ t gô ` m c ´ ac sô ´ nguyên du , o , ng m ` a th , oa m ˜ an điê ` u ki . ên đê ` b ` ai. L ` o , i gi , ai 23.5. Ð . ăt G l ` a giao điê , m c , ua AE v ´ o , i CD; đ . ăt F l ` a điê , m kh ´ ac c , ua ph ´ ep chia đê ` u BC l ` am 3 phâ ` n đê ` u nhau. Khi đ ´ o, tam gi ´ ac ADG l ` a tam gi ´ ac cân v ` a AG = GD. V ` ı DF l ` a đu , ` o , ng trung b ` ınh c , ua tam gi ´ ac ABE, DF AE v ` a DF GE. V ` ı v . ây GE l ` a đu , ` o , ng trung b ` ınh c , ua tam gi ´ ac CDF v ` a DG = GC. Trong tam gi ´ ac ADC, trung tuyê ´ n AG b ` ăng m . ôt n , u , a c . anh đô ´ i di . ên, do đ ´ o ∠BAC = 90 0 . L ` o , i gi , ai 23.6. Ta s ˜ e ch ´ u , ng minh b ` ăng ph , an ch ´ u , ng. Gi , a s , u , ngu , . o , c l . ai r ` ăng c ´ o thê , c ´ o nhiê ` u nhâ ´ t 5 đ . ia điê , m c ´ o c ` ung sô ´ v ´ e. Khi đ ´ o, c ´ o ´ ıt nhâ ´ t 5(0+1+2+···+39) = 3900 v ´ e, vô l ´ y. V ´ o , i k = 1, 2, . . . , 33, k v ´ e đu , . o , c b ´ an cho đ ´ ung 6 đ . ia điê , m. V ` ı v . ây, m ˜ ôi đ . ia điê , m c ` on l . ai s ˜ e c ´ o 217 v ´ e đê , c . ông l . ai đu , . o , c 3800 v ´ e. Do đ ´ o 7 l ` a không câ ` n thiê ´ t. L ` o , i gi , ai 23.7. Ð . ăt S l ` a giao c , ua tia AP v ´ o , i BQ. Ð . ăt w 1 v ` a w 2 tu , o , ng ´ u , ng l ` a hai đu , ` o , ng tr ` on ngo . ai tiê ´ p tam gi ´ ac SPQ v ` a SAB. B , o , i v ` ı tam gi ´ ac SPQ v ` a SAB đô ` ng d . ang, w 1 v ` a w 2 tiê ´ p x ´ uc nhau , o , S. V ` ı c ´ ac tia song song, ∠P SQ = ∠P AC = ∠ACB = ∠P RQ, nên w 1 v ` a w 2 tu , o , ng ´ u , ng l ` a h ` ınh tr ` on ngo . ai tiê ´ p P QRS v ` a ABSC. Do đ ´ o, đu , ` o , ng tr ` on ngo . ai tiê ´ p tam gi ´ ac ABC tiê ´ p x ´ uc đu , ` o , ng tr ` on ngo . ai tiê ´ p tam gi ´ ac P QR. 10 Chu , o , ng 23. Ðê ` thi olympic to ´ an Vu , o , ng Quô ´ c Anh L ` o , i gi , ai 23.8. Ð . ăt x = ha, y = hb, z = hc. Khi đ ´ o a, b, c l ` a c ´ ac sô ´ nguyên du , o , ng sao cho gcd(a, b, c) = 1. Ð . ăt gcd(a, b) = g. Khi đ ´ o, a = ga  , b = gb  , a  v ` a b  l ` a c ´ ac sô ´ nguyên du , o , ng th , oa m ˜ an gcd(a  , b  ) = gcd(a  − b  , b  ) = gcd(a  , a  − b  ) = 1. Ta c ´ o 1 a − 1 b = 1 c ⇔ c(b − a) = ab ⇔ c(b  − a  ) = a  b  g. Do đ ´ o, g|c v ` a gcd(a, b, c) = 1. V . ây th ` ı gcd(a, b) = 1 v ` a gcd(b − a, ab) = 1. Do đ ´ o b − a = 1 v ` a c = ab. Bây gi ` o , hxyz = h 4 abc = (h 2 ab) 2 v ` a h(y − x) = h 2 l ` a c ´ ac sô ´ ch ´ ınh phu , o , ng. L ` o , i gi , ai 23.9. Ð . ăt 3 √ xyz = a > 0. Theo bâ ´ t đ , ăng th ´ u , c Côsi, 12 = xy + yz + zx ≥ 3a 2 a 3 = 2 + x + y + z ≥ 2 + 3a. Do đ ´ o a 2 ≤ 4 v ` a a 3 −3a−2 = (a −2)(a −2) 2 ≤ 0. V ` ı v . ây tâ ´ t c , a c ´ ac phu , o , ng tr ` ınh đê ` u đ ´ ung, a = 2 v ` a x = y = z. Do đ ´ o (x, y, z) = (2, 2, 2) l ` a nghi . êm duy nhâ ´ t. [...]... ´ 2 , , ´, ,, ` ˜ Chuong 24 BAN DICH ÐÊ THI OLYMPIC NUOC MY , , , ,´ , ´, mô ta trong buo,c truoc Bây gi`, x´ a đi An+1 v` di chuyên An t´,i vi tr´ m´,i đê m` o o a o ı o a ,`, ´ ` a t´, gi´ c An−2 An−1 An A1 c´ môt đuong tr` n nôi tiêp, điêu n` y cho ta n−1 t´, gi´ c u a o o u a 2 , yêu câu đê b` i ` ` a ngoai tiêp nhu ´ 16 , , CHUONG 25 ` ´ ´ ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN CHÂU A THAI , , ` BINH DUONG... ), k=0,1, ,n 4 , , gia thi t, v´,i môi k sao cho −1 < b < 1 v` ´ o ˜ T` u a k 1 + bk ≥ (1 − bi )(1) 0≤i=k≤n , ´ ´ Ap dung bât đăng th´,c gi˜,a trung b`nh công v` trung b`nh nhân cho c´ c sô duo,ng u u ı a ı a ´ , 1 − bi , i = 0; 1; ; k − 1; k + 1; n, ta c´ o (1 − bi )≥ n( 0≤i=k≤n T`, (1)v` (2) ta c´ u a o 1 (1 − bi )n ) n (2) 0≤i=k≤n , , ´, ,, ` ˜ Chuong 24 BAN DICH ÐÊ THI OLYMPIC NUOC MY 14 n n... DICH ÐÊ THI OLYMPIC NUOC MY B` i 24.4 Môt m` n h`nh m´ y t´nh cho b` n c`, 98x98 ô, tô m` u theo c´ ch thông a a ı a ı a o a a , ,` ,`, ´ thuo,ng Nguoi ta nhâp chuôt trên c´ c h`nh ch˜, nhât doc theo b` n c`,, kêt qua l` a ı u a o ´ a , nhât đuo,c chon thay đô,i (đen th` nh trăng, trăng th` nh , ´ ´ m` u trên c´ c h`nh ch˜ a a ı u a a , , , ´ ´ ´ ` ´ đen) T`m sô nhâp chuôt nho nhât cân thi t... sin 2 2 2 , r ` Vây: cos A + cos B + cos C = 1 + R Suy ra điêu phai ch´,ng minh u = 4 sin 27 , , CHUONG 27 , ´, ` ´ ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN CAC NUOC BALKAN ` a 27.1 Ðê b` i , ´ B` i 27.1 Hoi c´ bao nhiêu sô đôi môt kh´ c nhau c´ dang a o a o , , ` k = 1, 2, , 1997 v` x l` biêu thi cho phân nguyên cua x a a k2 , trong đ´ o 1998 ´ B` i 27.2 Nêu n ≥ 2 l` môt sô nguyên v` 0 < a1 < a2 < · · · < a2n+1..., , CHUONG 24 , , ´, ` ˜ BAN DICH ÐÊ THI OLYMPIC NUOC MY ` a 24.1 Ðê b` i , ,, , , B` i 24.1 Gia su tâp hop 1; 2; .; 1998 đuo,c phân chia th` nh c´ c căp {ai ; bi } a a a ,i moi i, |a − b | băng 1 hoăc băng 6 ` ` (1 i 999) sao cho v´ o... Goi M v` N lân luot l` c´ c trung ` AF vuông g´ c v´ o o a a a a a , , ,ng minh răng AN vuông g´ c v´,i NM ` điêm cua BC v` EF Ch´ a u o o 1+ 1+ b c 1+ H`nh 25.1: hinhbai10 ı , ,, ´ ` Chuo,ng 25 Ðê thi olympic to´ n châu A Th´ i B`nh Duong a a ı 18 , `, 25.2 Loi giai , , , ,, , ´ ´ ` `, Loi giai 25.1 Tông n` y đêm tông sô phân tu trong tâp hop a , , , n ´ ` ` , a ` i=1 Ai , (A1 , , An ) ∈ F , m`... điêm nên a a ı e ` a ,, ` ´ ` ph´ p đông dang n` y biên M th` nh N, boi vây tam gi´ c ABE va AMN đông dang e a a a ,i NM π Do đ´ AN M = AEB = 2 v` AN vuông g´ c v´ o a o o , , CHUONG 26 ` ´ ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN AO-BALAN ` a 26.1 Ðê b` i , B` i 26.1 Cho x1 , x2 , x3 , x4 l` c´ c sô thuc thoa m˜ n: x2 + x2 ≤ 1 Ch´,ng minh a a a ´ , a u 1 2 , ,c sau: ´ bât đăng th´ u (x1 y1 + x2 y2 − 1)2 ≥ x2 + x2... Goi R l` b´ n k´nh đuong tr` n ngoai tiêp, r l` b´ n k´nh đuong t` n ,`, o o a a ı không ch´ u a a ı ´ ,ng minh răng: ` nôi tiêp tam gi´ c ABC Ch´ a u ´ r + KX + LY + M Z = 2R ,, ` Chuong 26 Ðê thi olympic to´ n v` đ´ p an Ao-Balan a a a ´ ´ 22 , `, 26.2 Loi giai , , , 2 ´ ´ 2 `, ı ´ a Loi giai 26.1 Nêu y1 + y2 ≥ 1, th` vê tr´ i(1) ≥ 0 ≥ vê phai (1), suy ra đpcm Gia ,, 2 2 2 2 su y1 + y2 < 1 Ðăt... sô hang o vê tr´ i l´,n o o ˜ ´ , , ,, ,n hoăc băng môi sô hang o vê phai Suy ra điêu phai ch´,ng minh ˜ ´ ´ ` ho u ` , , , `, Loi giai 26.5 L`,i giai cua b` i to´ n l` : o a a a ,, ` Chuong 26 Ðê thi olympic to´ n v` đ´ p an Ao-Balan a a a ´ ´ 24 (a, b) = (80, 8) or (80, 10) or (90, 12) or (88, 12) Ðăt f (x) = x3 − 17x2 + ax − b2 , ,, , v` gia su r, s, t l` c´ c nghiêm cua ch´ ng Khi đ´ f (x) . Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1998 – 1999 46 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 3) NH ` A XU ´ ÂT. đâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ đê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi đ ˜ a l ` am b ` ai t . âp