olympic toán các nước tập 3(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển

Trang 1

Nguy ˜ên H ˜u,u Ðiê,n

1998 – 1999

, AI (T âp 3)

NH `A XUÂT B´

,

AN GI ´AO D UC

Trang 3

L` o , i n ´ oi đâ`u

Ðê,thu, gói l ênh phông ch˜u, , tôi biên so.an m.ôt sô´ đê` toán thi Olympic, mà các

h oc trò cua tôi đã làm bài t âp khi h oc t âp L, ATEX Ðê,ph u v u các b an ham h oc toántôi thu th âp và gom l ai thành các sách đi ên tu,, các b an có thê, ,tham khao M ˜ôi t âp,tôi s˜e gom khoang 50 bài vó,i lò,i gi, ai.,

Râ´t nhiêù bài toán d.ich không đu,.o,c chuâ,n, nhiêù điê,m không hoàn toàn ch´ınhxác v ây mong b an đ oc t u, ng˜âm ngh˜ı và t`ım hiê,u lâý Nhu,ng đây là nguô`n tài li.êutiêńg Vi êt vê` chu đê` này, tôi đã có xem qua và ngu,ò,i d.ich là chuyên vê` ngành Toán,phô,thông B an có thê,tham khao l ai trong [1],[2].,

Râ´t nhiêù đo an v`ı mó,i h oc TeX nên câú trúc và bô´ tr´ı còn xâú, tôi không cóthò,i gian su,a l ai, mong các b an thông c, am Cuôń sách này có cách không cho sao,chép ch˜u, Vi êt, các b an thu, xem nhé.,

Hà N ôi, ngày 20 tháng 9 năm 2013

Nguy ˜ên H ˜u,u Ðiê,n

51

Trang 4

M uc l uc

Lò,i n ói đâù 3

M uc l uc 4

Chu,o,ng 23.Ðê` thi olympic to´an Vu,o,ng Quô´c Anh 5

23.1.Ðê` b`ai 5

23.2.L`o,i giai, 6

Chu,o,ng 24.B , AN D.ICH ÐÊ THI OLYMPIC NU` ,O´,C M ˜Y 10

24.1.Ðê` b`ai 10

24.2.L`o,i giai, 12

Chu,o,ng 25.Ðê` thi olympic toán châu Á Thái B`ınh Du,o,ng 16

25.1.Ðê` b`ai 16

25.2.L`o,i giai, 17

Chu,o,ng 26.Ðê` thi olympic toán và đáp án Áo-Balan 19

26.1.Ðê` b`ai 19

26.2.L`o,i giai, 21

Chu,o,ng 27.Ðê` thi olympic to´an c´ac nu,o´,c Balkan 27

27.1.Ðê` b`ai 27

27.2.L`o,i giai, 28

Chu,o,ng 28.Ðê` thi olympic to´an c´ac nu,o´,c Czech - Slovak 31

28.1.Ðê` b`ai 31

28.2.L`o,i giai, 32

Chu,o,ng 29.Ðê` thi olympic c´ac nu,o´,c Iberoamerican 36

29.1.Ðê` b`ai 36

4

Trang 5

M UC L UC 5

29.2.L`o,i giai, 37

Chu,o,ng 30.Ðê` thi olympic Th uy Ðiê,n 40

30.1.Ðê` b`ai 40

30.2.L`o,i giai, 41

T`ai li êu tham khao, 45

Trang 6

g oi là sô´ điê,m Ch ú,ng minh r`ăng sô´ điê,m không thê,b`ăng 20, và t`ım giá tr.i ló,nnhâ´t có thê,cua sô´ điê, ,m.

Bài 23.2 Cho a1 = 19, a2 = 98 Vó,i n ≥ 1, ta đ.inh ngh˜ıa an+2 là phâ`n du, cua,

an+ an+1khi n´o chia cho 100 T`ım phâ`n du, cua,

a21+ a22+ · · · + a21998khi n´o chia cho 8?

Bài 23.3 Cho ABP là m ôt tam giác cân vó,i AB = AP và ∠PAB là m.ôt góc

nh on G oi P C là đu,ò,ng thăng đi qua P và vuông góc vó,i BP , vó,i C là điê, ,m n`ămcùng ph´ıa vó,i A so vó,i BP (và không n`ăm trên AB) G oi D là đınh th ú, 4 c, ua h`ınh,b`ınh hành ABCD, và đ ăt P C giao vó,i DA t.ai M Chú,ng minh r`ăng M là điê,mgi˜u,a cua DA.,

Bài 23.4 Ch ú,ng minh r`ăng tô`n t ai duy nhâ´t m ôt dãy các sô´ nguyên du,o,ng {an}vó,i a1 = 1, a2 = 2, a4 = 12, và an+1an−1= a2

n = ±1 vó,i n = 2, 3, 4, Bài 23.5 Trong tam giác ABC, D là điê,m n`ăm gi˜u,a AB và E là điê,m cua phép,chia BC làm 3 phâ`n b`ăng nhau và E gâ`n C ho,n Cho ∠ADC = ∠BAE, t`ım

∠BAC

Trang 7

Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 7Bài 23.6 Văn phòng bán vé cua m ôt nhà ga bán vé đi đêń 200 đ.ia điê, ,m khácnhau Vào m ôt ngày, có 3800 hành khác mua vé Chú,ng minh r`ăng có ´ıt nhâ´t 6 đ.iađiê,m có cùng sô´ hành khác đi tó,i và không nhâ´t thiê´t 7 đ.ia điê,m có cùng sô´ hànhkhách.

Bài 23.7 Cho tam giác ABC có∠BAC > ∠BCA Ke đu,ò,ng th, ăng AP sao cho,

∠P AC = ∠BCA, trong đó P n`ăm bên trong tam giác G oi Q là điê,m n`ăm bênngoài tam giác sao cho P Q song song vó,i AB và BQ song song vó,i AC G oi R làđiê,m thu ôc BC (n`ăm vê` ph´ıa khác cua AP so vó,i Q) sao cho, ∠P RQ = ∠BCA

Ch ú,ng minh r`ăng đu,ò,ng tròn ngo ai tiê´p tam giác ABC tiê´p xúc đu,ò,ng tròn ngo.aitiê´p tam giác P QR

Bài 23.8 Cho x, y, z là các sô´ nguyên du,o,ng thoa mãn,

23.2 L` o , i gi ai ,

Lò,i giai 23.1, Coi lu,ó,i h`ınh vuông nhu, m ôt ma tr ân vó,i (1, 1) là phâ`n t ,u, góc tráitrên G oi ai,j là giá tr.i cua (i, j) Sô´ điê, ,m là tông a2,1+ a3,2+ a4,3+ a5,4 G oi D1 làđu,ò,ng chéo tù, điê,m (0, 0) tó,i (5, 5); g oi D2là m ôt đu,ò,ng chéo khác; g oi a, b là haigiá tr.i khác nhau thu ôc 1, 2, 3, 4, 5 Nêú a2,1 = a4,3 = a th`ı trên D1, a5,5 = a, vàtrên D2, a1,5 = a Do đó có hai sô´ a trên c ôt thú, 5, mâu thu˜ân Do đó a2,1 6= a4,3.Tu,o,ng t u,, a3,2 6= a5,4 V`ı v ây có ´ıt nhâ´t 2 giá tr.i khác nhau trong sô´ điê,m Ch úng

ta x´et 2 tru,`o,ng h o,p sau

Trang 8

1 (a2,1, a3,2, a4,3, a5,4) = (a, a, b, b) Trên D2, a1,5b`ăng ca a v`a b nên không thê, ,

xay ra tru,`o,ng h o, ,p n`ay

2 (a2,1, a3,2, a4,3, a5,4) = (a, b, a, b) Khi đó a3,3 = a và m ôt trong 2 sô´ a1,1 và

a5,5b`ăng b Không mâ´t t´ınh tô,ng qu´at, đ ăt a1,1 = b Trên D2, a2,4 = b.O,,c ôt

th ú, 5, a5,5 = b Khi đó có 2 sô´ b trên D1 Mâu thu˜ân

Tù, bi ên lu ân trên, ta thâý r`ăng có ´ıt nhâ´t 3 giá tr.i khác nhau trong m˜ôi sô´ điê,mvà giá tr.i c u,c đ.ai cua sô´ điê, ,m nho ho,n ho ăc b`ăng 5 + 5 + 4 + 3 = 17 V´ı d u du, ,ó,iđây ch,ı ra r`ăng sô´ điê,m b`ăng 17

Lò,i giai 23.2, Ðáp sô´ là 0 Xét an( mod 4), nó không thay đô,i khi lâý phâ`n du,chia cho 100, ta có vòng l ăp tuâ`n hoàn 3, 2, 1, 3, 0, 3 đu,.o,c l.ăp 333 lâ`n V`ı v.ây

Lò,i giai 23.3, G oi E là điê,m thu ôc BC sao cho AEkCP Khi đó đu,ò,ng thăng,

AE là đu,ò,ng phân giác vuông góc vó,i BP và BE = EP Do đó, trong tam giácbên phai CP B, P E là đu,ò,ng trung tuyêń c, ua c anh huyê`n BC và BE = EC.,

Bo,i v`ı AECM là h`ınh b`ınh hành, EC = AM B, o,i v`ı ABCD là h`ınh b`ınh hành,,

AD = BC Do đó, AM = EC = BC/2 = AD/2 Ðiêù phai ch ú,ng minh.,

Lò,i giai 23.4, Ðâù tiên ta ch ú,ng minh bô,đê` dãy {an} là dãy tăng Ta chú,ng minh

bô,đê` b`ăng quy n ap Vó,i n = 1, ta có a1 < a2 < a3 = 5 < a4 Gia s, u, a, 1 < · · · < akvó,i k ≤ 4, th`ı ak+1ak−1 = a2k± 1 ≥ ak(ak− 1) ≥ akak−1và ak+1 > ak Do đó kê´t

th úc ch ú,ng minh quy n ap V`ı v ây {an} là dãy tăng Vó,i n > 3, an−1 ≥ 5 và nhiêùnhâ´t m ôt trong 2 sô´ a2n+ 1 ho ăc a2n− 1 chia hê´t cho an−1 Do đó, tô`n t ai nhiêùnhâ´t m ôt dãy nhu, yêu câù đê` bài

Ð ăt b1 = 1, b2 = 2, bn+2 = 2bn+1+ bnv´o,i n ≥ 1 Khi đ´o b3 = 5, b4 = 12 Ta

ch ú,ng minh r`ăng bn+1bn−1 = b2n+ (−1)nvó,i n = 2, 3, 4, · · · Ta ch ú,ng m`ınh b`ăng

Trang 9

Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 9quy n ap Vó,i n = 1, 2, 3, điêù này là hiê,n nhiên Gi,a s ,u, bk+1bk−1 = b2

Do đó ch ú,ng minh quy n ap kê´t thúc

Tù, l âp lu ân bên trên ta thâý r`ăng dãy a1 = 1, a2 = 2,

an+2= 2an+1+ an, n = 1, 2, · · · ,là dãy duy nhâ´t gô`m các sô´ nguyên du,o,ng mà thoa mãn điêù ki ên đê` bài.,

Lò,i giai 23.5, Ð ăt G là giao điê,m cua AE vó,i CD; đ ăt F là điê, ,m khác cua phép,chia đêù BC làm 3 phâ`n đêù nhau Khi đó, tam giác ADG là tam giác cân và

AG = GD V`ı DF là đu,ò,ng trung b`ınh cua tam giác ABE, DF kAE và DF kGE.,V`ı v ây GE là đu,ò,ng trung b`ınh c ,ua tam giác CDF và DG = GC Trong tam giácADC, trung tuyêń AG b`ăng m ôt nu,a c anh đôí di ên, do đó ∠BAC = 90, 0

Lò,i giai 23.6, Ta s˜e ch ú,ng minh b`ăng phan ch ú,ng Gi, a s, u, ngu, o, ,c l.ai r`ăng có thê,cónhiêù nhâ´t 5 đ.ia điê,m có cùng sô´ vé Khi đó, có ´ıt nhâ´t 5(0+1+2+· · ·+39) = 3900vé, vô lý Vó,i k = 1, 2, , 33, k vé đu, o,c bán cho đúng 6 đ.ia điê,m V`ı v ây, m˜ôi đ.iađiê,m còn l ai s˜e có 217 vé đê,c ông l ai đu,.o,c 3800 vé Do đó 7 là không câ`n thiê´t

Lò,i giai 23.7, Ð ăt S là giao cua tia AP vó,i BQ Ð ăt w, 1 và w2 tu,o,ng ú,ng là haiđu,ò,ng tròn ngo ai tiê´p tam giác SP Q và SAB Bo,i v`ı tam giác SP Q và SAB đô`ng,

d ang, w1 và w2 tiê´p x úc nhauo, S V`ı các tia song song,,

∠P SQ = ∠P AC = ∠ACB = ∠P RQ,nên w1 và w2tu,o,ng ú,ng là h`ınh tròn ngo ai tiê´p P QRS và ABSC Do đó, đu,ò,ngtròn ngo ai tiê´p tam giác ABC tiê´p xúc đu,ò,ng tròn ngo.ai tiê´p tam giác PQR

Trang 10

Lò,i giai 23.8, Ð ăt x = ha, y = hb, z = hc Khi đó a, b, c là các sô´ nguyên du,o,ngsao cho gcd(a, b, c) = 1 Ð ăt gcd(a, b) = g Khi đó, a = ga0, b = gb0, a0 và b0 là cácsô´ nguyên du,o,ng thoa mãn,

gcd(a0, b0) = gcd(a0− b0, b0) = gcd(a0, a0− b0) = 1

Do đó, g|c và gcd(a, b, c) = 1 V ây th`ı gcd(a, b) = 1 và gcd(b − a, ab) = 1 Do đó

b − a = 1 v`a c = ab Bây gi`o,

hxyz = h4abc = (h2ab)2 và h(y − x) = h2là các sô´ ch´ınh phu,o,ng

L`o,i giai 23.9, Ð ăt √3

xyz = a > 0 Theo bâ´t đăng th ´u,c Côsi,,

12 = xy + yz + zx ≥ 3a2

a3 = 2 + x + y + z ≥ 2 + 3a

Do đ´o a2 ≤ 4 v`a a3− 3a − 2 = (a − 2)(a − 2)2

≤ 0 V`ı v ây tâ´t ca các phu,o,ng tr`ınh,đêù đ úng, a = 2 và x = y = z Do đó (x, y, z) = (2, 2, 2) là nghi êm duy nhâ´t

Trang 11

Bài 24.2 Cho hai đu,ò,ng tròn đô`ng tâm(C1), (C2) vó,i(C2) n`ăm trong (C1) Tù,

m ôt điê,m A ∈ (C1), v˜e tiê´p tuyêń AB vó,i (C2), B∈ (C2) G oi C là giao điê,m th ú,hai cua AB vó,i (C, 1), D là trung điê,m cua AB, m ôt đu, ,ò,ng thăng qua A, c´ăt(C, 2) t ai

E và F Các đu,ò,ng trung tr u,c c ,ua DE và CF c´ăt nhau t.ai m.ôt điê,m M trên AB T´ınh

Trang 12

12 Chuong 24 BAN D.ICH ÐÊ THI OLYMPIC NUOC M ˜YBài 24.4 M ôt màn h`ınh máy t´ınh cho bàn cò, 98x98 ô, tô màu theo cách thôngthu,ò,ng Ngu,ò,i ta nhâ´p chu ôt trên các h`ınh ch˜u, nh.ât d.oc theo bàn cò,, kê´t qua là,màu trên các h`ınh ch˜u, nh ât đu,.o,c ch on thay đô,i (đen thành tr´ăng, tr´ăng thànhđen) T`ım sô´ nhâ´p chu ôt nho nhâ´t câ`n thiê´t đê, ,ca bàn cò, biêń thành m ôt màu.,Bài 24.5 Ch ú,ng minh r`ăng vó,i n≥2 có m ôt t âp h o,p S các sô´ nguyên sao cho(a − b)2chia hê´t cho ab đôí vó,i m oi a, b phân bi êt thu ôc S.

Bài 24.6 Cho n≥ 5 là m ôt sô´ nguyên T`ım sô´ nguyên k ló,n nhâ´t (ph u thu.ôc n,nhu, m ôt hàm sô´ cua n) mà tô`n t ai m ôt đa giác lôì n đ, ınh A, 1A2 Anđôí vó,i sô´ k

cua t ú, giác A, iAi+1Ai+2Ai+3có m ôt đu,ò,ng tròn n ôi tiê´p (o, đây A, n+j = Aj)

Trang 13

Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 13

24.2 L` o , i gi ai ,

Lò,i giai 24.1, G oi k là sô´ c ăp {ai; bi} vó,i |ai− bi| = 6

Khi đó tô,ng trong đê` bài là 6k + (999 − k).1 = 999 + 5k mà kê´t th úc bo,i 9 th`ı k,ch˜ăn

Do đó nó đu đê, ,ch,ı ra r`ăng k là sô´ ch˜ăn Ta viê´t k = k

ch˜ăn) l`a sô´ c ăp {ai; bi} sao cho ai, bi đê`u le( tu,o,ng t u, , ch˜ăn)

Tù, đó có nhiêù sô´ ch˜ăn c ˜ung nhu, sô´ le gi˜u,a 1 và 1998 và b, o,i v ây m˜ôi c ăp {a, i; bi}vó,i |ai− bi| = 1

ch ´u,a m ôt sô´ lu,.o,ng m˜ôi lo.ai, ta phai c´o k,

le, = kch˜ăn Do đ´o k = kle, + kch˜ăn ph

,ail`a sô´ ch˜ăn nhu, trên

Lò,i giai 24.2, Ta có phu,o,ng t´ıch cua A vó,i (C, 2) là: AE.AF = AB2

M ăt kh´ac: AD.AC = AC2 2AB = AB2

Do đ´o AE.AF = AD.AC

Ðiê`u n`ay suy ra ∆ADE∼∆AF C

Do đ´o \AED = [ACF , bo,i v ây DEFC n ôi tiê´p.,

V`ı M là giao điê,m cua các đu,ò,ng trung tr u, ,c c ,ua DE, CF nên nó ph,ai là tâm đu,ò,ngtròn ngo ai tiê´p cua DEFC Do đó M c ˜ung n`ăm trên đu,ò,ng trung tr u, ,c c ,ua CD Tù,đó M n`ăm trên AC, nó phai là trung điê, ,m cua AC Do đó, AMM C = 53

Trang 14

14 Chuong 24 BAN D.ICH ÐÊ THI OLYMPIC NUOC M ˜Y

Và do đó ta có

Bài toán đu, o,c chú,ng minh

Lò,i giai 24.4, M ôt cách tô,ng quát, ch úng ta ch,ı ra r`ăng sô´ lu, o,ng tôí thiê,u các l u,a

ch on câ`n thiê´t cho m ôt bàn cò, n×n là n-1 nêú n l,e và n nêú n ch˜ăn

Xét 4(n-1) h`ınh vuông d oc theo chu vi bàn cò,, và t.ai m˜ôi bu,ó,c ta đê´m sô´lu,.o,ng c.ăph`ınh vuông liê`n kê` khác màu Tô,ng sô´ này b´ăt đâù là 4(n-1) kê´t th úc t ai 0 và cóthê,giam b, o,i m ˜ôi lu, o, ,t không quá 4 (Nêú h`ınh ch˜u, nh.ât ch.am vào hai đu,ò,ng viê`n

cua b, ang, sau đó ch, ,ı 2 c ăp có thê,b.i anh hu,, o,ng Ngu, o, ,c l.ai, h`ınh ch˜u, nh.ât ho.ăckhông ch am vào ho ăc ch am vào hai h`ınh ch˜u, nh.ât đôí di.ên, trong tru,ò,ng h.o,p đó

0, 2 ho ăc 4 c ăp tu,o,ng ú,ng s˜e thay đô,i) Do đó ´ıt nhâ´t n-1 l u,a ch.on là luôn câ`n thiê´t.Nêú n là sô´ le th`ı ch, ,ı câ`n n-1 l u,a ch on là đu, b`ăng cách ch on m˜ôi sô´ thú, , 2, 4, 6 ,hàng và c ôt Tuy nhiên, nêú n ch˜ăn th`ı n-1 l u,a ch on không đu đê, ,đáp ú,ng đu, o,cyêu câù cua đê` bài.T ai m ôt vài điê, ,m vuông góc phai đu, o, ,c chú,a trong m ôt h`ınhch˜u, nh ât(v`ı các góc không phai tâ´t c, a b´ăt đâù cùng m ôt màu) và h`ınh ch˜u, , nh.âtnhu, v ây ch,ı giam t´ınh b`ăng 2 Do đó n l u, ,a ch on là câ`n thiê´t và m.ôt lâ`n n˜u,a b`ăngcách ch on m˜ôi hàng và c ôt khác ta thâý r`ăng n l u,a ch on c˜ung thoa mãn.,

L`o,i giai 24.5, Ta s˜e ch ´u,ng minh b`ăng qui n ap theo n

Ta có thê,t`ım thâý m ôt t âp h o,p Snnhu, v ây, tâ´t ca các phâ`n t, u, c, ua nó đêù không,âm

+ V´o,i n=2, ta c´o t âp h o,p S2 = {0; 1}

+ Bây giò, gia s, u, r`ăng đôí vó,i sô´ n≥2, t âp h o, ,p Sncác sô´ không âm tô`n t ai G oi L là

Trang 15

Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 15

b ôi sô´ chung nho nhâ´t c, ua nh˜u,ng sô´ (a − b), 2và ab là khác 0 vó,i (a; b) khác nhau

cua S, n Xác đ.inh Sn+1 = {L + a : a∈Sn}∪{0} Khi đó Sn+1ch ú,a n+1 sô´ nguyênkhông âm v`ı L > 0

Nêú α, β∈Sn+1và ca α, β đêù b`ăng 0 th`ı (α − β), 2 .αβ.

Nê´u L + a, L + b∈Sn+1 v´o,i a, b phân bi êt thu ôc Snth`ı

(L + a)(L + b)≡ab≡0(mod)(a − b)2

Bo,i v ây [(L + a) − (L + b)], 2chia hê´t (L + a)(L + b), hoàn thành ch ú,ng minh qui

n ap

Lò,i giai 24.6, Ta s˜e ch ú,ng minh sô´ nguyên k ló,n nhâ´t là [n2]

Tru,ó,c hê´t ta thiê´t l âp s u, ràng bu ôc b`ăng vi.êc chı ra r`ăng nêú A, B, C, D và E là,các đınh liên tiê´p c, ua n giác lôì mà các t ú, giác ABCD và BCDE có thê, ,không cóđu,ò,ng tròn n ôi tiê´p

Gia s, u, ngu, o, ,c l.ai, do các tiê´p tuyêń b`ăng nhau , ta có:

AB + CD = BC + AD

BC + DE = CD + BEv`a

AB + DE = AD + BE

M ăt khác, nêú O là giao cua AD và BE th`ı s, u, d ung bâ´t đ, ăng th ú,c tam giác ta có,

AO + OB > AB v`a OD + OE > DE, bo,i v ây,

AD + BE = AO + OB + OD + OE > AB + DE

, mâu thu˜ân Bây giò, ta đu,a ra cách đê,chı ra r`ăng [, n2] là hoàn toàn có thê, Tru,ó,chê´t gia s, u, r`ăng n là sô´ ch˜ăn V˜e h`ınh thang cân vó,i góc, o, đáy là, 2πn và có m ôtđu,ò,ng tròn n ôi tiê´p.G oi x là chiêù dài c anh đáy nho và y là đ ô dài c anh đáy ló, ,ntrong h`ınh thang Sau đó m ôt đăng giác n đ, ,ınh vó,i đ ô dài c anh x, y, x, y, rõràng có n2 t ú, giác ngo ai tiê´p

Bây giò, gia s, u, n là sô´ l, e D u, ,ng n + 1 giác A1 An+1, n+12 t ú, giác ngo ai tiê´p đu,.o,c

Trang 16

16 Chuong 24 BAN D.ICH ÐÊ THI OLYMPIC NUOC M ˜Y

mô ta trong bu,ó,c tru,ó,c Bây giò, xóa đi A, n+1và di chuyê,n Antó,i v.i tr´ı mó,i đê, mà

t ú, giác An−2An−1AnA1 có m ôt đu,ò,ng tròn n ôi tiê´p, điêù này cho ta n−1

2 t ú, giácngo ai tiê´p nhu, yêu câù đê` bài

Trang 17

1 + bc

1 + ca

Trang 18

21997n cua 2, 1998nn− t âp trong F.

(A 1 , ,A n )∈F

|Sn i=1Ai| = P

x∈{1,2, ,1998}

21998n− 21997n = 1998(21998n− 21997n)

Lò,i giai 25.2, Viê´t a = 2cp, b = 2dq vó,i p, q le G, a s, u, không mâ´t t´ınh tô, ,ng quát

ta gia thiê´t c ≥ d.,

T`u, đ´o 36a + b = 36.2cp + 2dq = 2d(36.2c−dp + q), bo,i v ây,

(36a + b)(36b + a) = 2d(36.2c−dp + q)(36b + a) c´o th`u,a sô´ le (36.2, c−dp + q) không

đô,i, và v`ı v ây nó không thê,là l ˜uy thù,a cua 2.,

L`o,i giai 25.3, Ta c´o

1 + ab

1 + bc

1 + ca

+ b

c+

b

a +

bb

+c

a +

c

b +

cc

− 1

≥ 3

a

3

√abc +

b

3

√abc +

c

3

√abc

+ a + b + c

3

√abc

+ 3 − 1

b`ăng hai lâ`n áp d ung bâ´t đăng th ú,c trung b`ınh c ông và trung b`ınh nhân,

Trang 19

Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 19Lò,i giai 25.4, Do các góc [AEB = \ADB = \ADC = [AF C = π2 nên các t ú,giác ABDE và ACDF là n ôi tiê´p Do đó [EAB = \EAD = \F DC = [F AC Tu,o,ng

t u, [AEB = π2 = [AF C, bo,i v ây ∆ABE ∼ ∆ACF B, o,i v ây tô`n t ai phép đô`ng d ang,biêń điê,m B thành E, điê,m C thành F V`ı phép đô`ng d ang bao toàn trung điê, ,m nênphép đô`ng d ang này biêń M thành N, bo,i v ây tam giác ABE va AMN đô`ng d ang.,

Do đó \AN M = [AEB = π2 và AN vuông góc vó,i NM

Trang 20

(x1y1+ x2y2− 1)2 ≥ x2

1+ x22− 1

y12+ y22− 1 (1)Bài 26.2 Cho n điê,m P1, P2, , Pntheo th ú, t u, n`ăm trên m ôt đu,ò,ng thăng Ch úng,

ta tô m ˜ôi điê,m bo,i m ôt trong các màu tr´ăng, đ, o, xanh lá cây, xanh da trò,i ho ăc,violet M ôt màu đu,.o,c tô nêú m˜ôi hai điê,m liên tiê´p Pi, Pi+1(i = 1, 2, , n − 1)

ho ăc ca hai cùng màu, ho ăc ´ıt nhâ´t m ôt trong chúng là màu tr´ăng V ây ta có thê, ,

tô đu, o,c bao nhiêu m`au?

Bài 26.3 T`ım tâ´t ca các c ăp sô´ th u, ,c (x, y) th ,oa mãn các phu,o,ng tr`ınh sau:

Bài 26.6 Cho các điê,m A, B, C, D, E, F khác nhau theo th ú, t u, n`ăm trên m ôtđu,ò,ng tròn Tiê´p tuyêń vó,i đu,ò,ng tròn t ai A and D, và các đu,ò,ng thăng BF and,

CE, đô`ng quy t ai m ôt điê,m Ch ú,ng minh r`ăng các đu,ò,ng thăng AD, BC, EF,song song ho ăc đô`ng quy

Trang 21

Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 21Bài 26.7 Xét tâ´t ca các c ăp sô´ t u, , nhiên (a, b) sao cho t´ıch aabb, viê´t o, h ê th âp,phân, t ân cùng ch´ınh xác tó,i 98 sô´ không T`ım tâ´t c,a các c.ăp sô´(a, b) sao cho t´ıch

ab l`a nho nhâ´t.,

Bài 26.8 Cho sô´ t u, nhiên n > 2 Trong lu,ó,i vô h.an cua m ˜ôi h`ınh vuông đo,n v.i ta,viê´t các sô´ t u, nhiên M ôt đa giác đu,.o,c xác đ.inh nêú di.ên t´ıch cua nó b`ăng n và có,các c anh n`ăm trên các đu,ò,ng c ,ua lu,ó,i Tô,ng các sô´t u, nhiên viê´t trong h`ınh vuôngvà n`ăm n`ăm trong đa giác xác đ.inh g oi là giá tr.i cua đa giác đó Ch ú,ng minh r`ăng,giá tr.i cua bâ´t k`y hai đa giác đô`ng d ang xác đ.inh là b`ăng nhau,tù, , đó suy ra tâ´t c,acác sô´ t u, nhiên viê´t trong lu,ó,i h`ınh vuông b`ăng nhau

Bài 26.9 Cho K, L, M theo th ú, t u, là trung điê,m các c.anh BC, CA, AB cua tam,giác ABC Các điê,m A, B, C chia đu,ò,ng tròn ngo ai tiê´p tam giác ABC thành bacung AB, BC, CA G oi X là điê,m ch´ınh gi˜u,a cung BC không ch ú,a A, g oi Y làđiê,m ch´ınh gi˜u,a cung CA không ch ú,a B, và g oi Z là điê,m ch´ınh gi˜u,a cung ABkhông ch ú,a C G oi R là bán k´ınh đu,ò,ng tròn ngo.ai tiê´p, r là bán k´ınh đu,ò,ng tòn

n ôi tiê´p tam gi´ac ABC Ch´u,ng minh r`ăng:

r + KX + LY + M Z = 2R

Trang 23

Nguy ˜ên H˜u,u Ðiê,n, http://nhdien.wordpress.com 23L`o,i giai 26.3, Nê´u x = y, th`ı x3 + x − 2 = (x − 1) (x2+ x + 2) = 0, suy ra

x = y = 1 Ta gia s, u, r`ăng x 6= y Khi đó không t`ım đu, o, ,c c.ăp sô´ (x, y) nào thoa,mãn Ta s˜e ch ú,ng minh điêù này d u,a vào các mâu thu˜ân Gi,a s ,u, có m ôt c.ăp (x, y)

thoa mãn Không mâ´t tô, ,ng quát, gia s, u, x > y Khi đó:,

(b) −1 < y < 0 Khi đ´o x = 2 − y3 > 2 v`a x3

> 8 Nhu,ng ta l ai c´o

y = 2 − x3 < −6, điêù này vô lý

Do đó điêù gia s, u, c, ua ta là sai và bài toán vô nghi êm khi x 6= y V ây bài toán,có nghi êm duy nhâ´t x = y = 1

Lò,i giai 26.4, Tru,ó,c tiên ta lu,u ý r`ăng , vó,i m oi k > m,

j

k2√

kmk = 1 Ðiêù nàylà do

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	808,96 KB