olympic toán các nước tập 2(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển

dôi m .ôt kh´ac nhau... Ðê` thi olympic to´an Poland.

Trang 1

Nguy ˜ên H˜u u Ðiê n

1998 – 1999

, AI (T âp 2)

NH ` A XU ´ ÂT B

,

AN GI ´ AO D UC

Trang 2

2

Trang 3

L `o i n ´ oi ¯ dâ`u

Ðê,thu,,gói l ênh phông ch˜u,tôi biên so an m ôt sô´ ¯dê` toán thi Olympic, màcác h oc trò cua tôi ¯, dã làm bài t âp khi h oc t.âp LATEX Ðê,ph u v u các b.an ham

h oc toán tôi thu th.âp và gom l.ai thành các sách ¯di.ên tu,,, các b an có thê,tham

khao M˜ôi t âp tôi s˜e gom kho, ang 50 bài vó, ,i lò,i giai.,

Râ´t nhiêù bài toán d.ich không ¯du,.o,c chuâ,n, nhiêù ¯diê,m không hoàn toànch´ınh xác v ây mong b.an ¯d oc t u,ng˜âm ngh˜ı và t`ım hiê,u lâý Nhu,ng ¯dây lànguô`n tài li êu tiêńg Vi.êt vê` chu ¯, dê` này, tôi ¯dã có xem qua và ngu,ò,i d.ich làchuyên vê` ngành Toán phô,thông B an có thê,tham khao l ai trong [1],[2].,Râ´t nhiêù ¯do an v`ı mó,i h oc TeX nên câú trúc và bô´ tr´ı còn xâú, tôi khôngcó thò,i gian su,,a l ai, mong các b.an thông cam Cuôń sách này có cách không,cho sao chép ch˜u,Vi êt, các b.an thu,,xem nhé

Hà N ôi, ngày 20 tháng 9 n˘am 2013

Nguy˜ên H˜u,u Ðiê,n

51

Trang 4

M uc l uc

Lò,i n ói ¯dâù 3

M uc l uc 4

Chu,o,ng 15.Ðê` thi olympic to ´an Ireland 6

15.1.Ðê` b`ai 6

15.2.L`o,i giai, 7

Chu,o,ng 16.Ðê` thi olympic to ´an Poland 12

16.1.Ðê` b`ai 12

16.2.L`o,i giai, 13

Chu,o,ng 17.Ðê` thi olympic to ´an Czech v `a Slovak 17

17.1.Ðê` b`ai 17

17.2.L`o,i giai, 18

Chu,o,ng 18.Ðê` thi olympic to ´an Nh ât Ban, 21

18.1.Ðê` b`ai 21

18.2.L`o,i giai, 22

Chu,o,ng 19.Ðê` thi olympic to ´an Korea 25

19.1.Ðê` b`ai 25

19.2.L`o,i giai, 26

Chu,o,ng 20.Ðê` thi Olympic To ´an Nga 28

20.1.Ðê` b`ai 28

20.2.L`o,i giai, 29

Chu,o,ng 21.Ðê` thi olympic to ´an Ð `ai Loan 34

21.1.Ðê` b`ai 34

4

Trang 5

21.2.L`o,i giai, 35

Chu,o,ng 22.Ðê` thi olympic to ´an Thô,Nh˜ı K`ı 38

22.1.Ðê` b`ai 38

22.2.L`o,i giai, 39

T `ai li êu tham khao, 41

Trang 6

b >1 Mà trong ¯dó có 1 d ang l˜uy thù,b âc 3 cua d ang xyxy.,

B ài 15.4. Chú,ng minh r`˘ang m ôt h`ınh tròn bán k´ınh b`˘ang 2 có thê,bao phu,

bo,,i 7 (có thê,chô`ng chéo nhau) h`ınh tròn bán kinh b`˘ang1

B ài 15.5. Nêú x là sô´ th u,c,x2

− x là sô´ nguyên và n ≥ 3, xn − x là sôńguyên.Chú,ng minh r`˘ang x là m ôt sô´ nguyên

B ài 15.6. T`ım tâ´t ca sô´ nguyên n có 16 u, ,ó,c du,o,ng tách rò,i nhau

Trang 7

Nguy ˜ên H˜uu Ðiên, http://nhdien.wordpress.com 7( b) Chú,ng minh r`˘ang N có thê,viê´t du,ó,i d.ang t.âp h.o,p cua 4 rò, ,i r ac

∀m, nvó,i |m − n| = 2, 3, 5 n`˘am trong t.âp h o,p khác tù,dó suy ra không x¯ ay,

ra ¯diêù này vó,i 3 t âp h o,p

B ài 15.9. Cho dãy sô´ th u,c {xn} vó,i x0, x1 ∈ R và xn+2 = 1+xn+1

x n , n = 0, 1, 2, T`ım x1998

B ài 15.10. Cho tam giác ABC có Ab = 2Bb và Cb > 900 T`ım chiêù dài tôíthiê,u cua chu vi tam giác ABC.,

√ 3

Trang 8

8 Chu,o,ng 15 Ðê` thi olympic to´an Ireland

Do ¯dó ¯dê,xyxylà l˜uy thù,a b âc 3 ⇔ b2+1 chia hê´t cho m ôt b`ınh phu,o,ng.D˜êthâý b = 7 là sô´ nho nhâ´t th, oa mãn vôí b, 2+ 1 = 50 l˜uy thù,a b.âc 3 nho nhâ´t,chia hê´t cho 50 là 1000 và sô´ xyxy ch´ınh là sô´ 2626 trong h ê 7 phân

L ò , i gi ai 15.4 , Chúng ta cho 7 h`ınh l uc giác ¯dêù c.anh b`˘ang 1 vào trong m ôth`ınh l uc giác ¯dêù bên trong h`ınh d.ang tô,ong o,, gi˜u,a.Vó,i m˜ôi c anh cua nó,g´˘an liê`n vó,i c anh cua h`ınh l uc giác nh, o.,

Kê´t qua cho thâý r`˘ang m ôt h`ınh tròn bán k´ınh b`˘ang 2 có thê, ,bao phu b, o,,

7 h`ınh tr`on b´an k´ınh b`˘ang 1

L ò , i gi ai 15.5 , Ð ˘at z = x2− x;( z là sô´ nguyên ).Gai phu, ,o,ng tr`ınh x2− x − z =0.Ta có x = 1±

√ a

2 v´o,i a = 1+4z v`ı xn

−x = x(x−1)(xn−2+xn−3+xn−4+ +1).Tac´o:

(a) x = 1+

√ a

2 ⇒ m oi kha n˘ang c, ua x ch, ,ı có thê,là d ang α + β√avó, α, βlà sô´ h˜u,u t,ı du,o,ng

⇒Pn−2

i =0 xi = α/+β/√

a Tô,ng là 1 sô´ không phai là sô´ h˜u, ,u t,ı Trong ¯dó

α/, β/ l`a sô´ h˜u,u t,ı du,o,ng

(b) x = 1−

√ a

2 ⇒ m oi kha n˘ang c, ua x ch, ,ı có thê,là d ang α + β√avó, α làsô´ h˜u,u tı du, ,o,ng,β là sô´ h˜u,u t,ı âm

V`ı c˘an b âc hai ¯du,.o,c gi˜u, nguyên khi và ch,ı khi −√a t˘ang lên thànhkhông.kh˘a n˘ang gi˜u, ,nguyên sô´ < 0.Do ¯dó tô,ng làα/+β/√

a Trong ¯dóα/ làsô´ h˜u,u t,ı âm,β/ là sô´ h˜u,u t,ı du,o,ng.Và 1 lâ`n n˜u,a tô,ng không là 1 sô´ h˜u,u t,ı.⇒

ca hai tru, ,`o,ng h.o,p ¯dê`u mâu thu˜ân

⇒ x phai là sô´ h˜u, ,u tı.Ð ˘at x =, pq vó,i UCLN (p, q) = 1 do ¯dó

z = x2− x = p(p − q)

q2

Trang 9

Nguy ˜ên H˜uu Ðiên, http://nhdien.wordpress.com 9Tuy nhiên UCLN (p, q) = 1cho thâ´y

UCLN(p(p − q), q) = UCLN (p − q, q) = UCLN (p, q) = 1

V`ı thê´ z l`a m ôt sô´ nguyên ⇔ p = 1 ⇔ x = p l`a 1 sô´ nguyên

dôi m ôt kh´ac nhau

khi ¯dó n có (a1 + 1)(a2 + 1) (an + 1) u,ó,c.Tù, 18 = 2.32,có 6 u,ó,clà:1,2,3,6,9,18 d có 16 u,ó,c.Chúng ta biê´t r`˘ang:d = 2.33.p ho.˘ac d = 2.37.Nêú d = 2.37 th`ı d8 = 54, d9 = 81 và d9− d8 6 = 17.do ¯dó d = 2.33.p vó,isô´ nguyên tô´ p > 18.Nêú p < 27 th`ı:d7 = p, d8 = 27, d9 = 2p = 27 + 17 =

44 ⇒ p = 22.Do ¯d´o mâu thu˜ân

Trang 10

10 Chu,o,ng 15 Ðê` thi olympic toán IrelandTheo b´˘at ¯d˘ang thú, ,c Jensen’s ta có:

Thoa m˜an ¯, diê`u ki ên

(b) chu,ó,c hê´t chú ý r`˘ang t.âp h.o,p :

{4k + 1}k∈N, {4k + 2}k∈N, {3k + 3}k∈N, {4k}k∈N

Thoa m˜an ¯, diê`u ki ên

Ta chú,ng minh hai m ênh ¯dê` trên b`˘ang phan chú, ,ng.Gia s, u,, A,B,C thoa,mãn ¯diêù ki ên.Các sô´ 1,3,6 phai, o,, các t âp khác nhau,ta gia s, u,, r`˘ang 1 ∈

A; 3 ∈ B; 6 ∈ C ⇒ 4 ∈ B.Chu ý r`˘ang 2, , 5 /∈ B và 2, 5 o,, các t âp h o,pkhác nhau d˜ân tó,i hai tru,ò,ng h.o,p {1; 2} ⊂ A, {3; 4} ⊂ B, {5; 6} ⊂ C ho.˘ac{1; 5} ⊂ A, {3; 4} ⊂ B, {2; 6} ⊂ C

Ca hai tru, ,ò,ng h.o,p trên ¯dêù không thê,d ˘at 7 vào 1 trong 3 t.âp ¯du¯ ,.o,c

x x

Trang 11

Nguy ˜ên H˜uu Ðiên, http://nhdien.wordpress.com 11

L ò , i gi ai 15.10 , Ð ˘at BC = a, CA = b, AB = c.Ta có A = 2B và C = 1800−3B.Theo ¯d.inh l´ı hàm sô´ sin:

bsinB =

asinA =

csinC.có sinA = sin2B = 2sinBcosB và sinC = sin3B = 3sinB − 4sin3B,ta có

a = 2bcosB, c = b(3 − 4sin2B) = b(4cos2− 1)Và a2 = b(b + c).Do ta ¯dang t`ım m ôt h`ınh tam giác có chu vi nho nhâ´t.Gi, a,

su,, UCLN(a, b, c) = 1,có UCLN (b, c) = 1.V`ı v.ây tô`n t.ai sô´ m và m vó,iUCLN(m, m) = 1.Ta có b = m2, b + c = n2, a = mn, 2cosB = n

Trang 12

B `ai 16.2. D˜ay Fibonacci Fn du¯,.o,c cho bo,,

F0 = F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 = Fn (n = 0, 1 ) Xác ¯d.inh tâ´t ca các c ˘ap sô´ nguyên (k, m) vó, ,i m > k ≥ 0, mà dãy xn xác

B ài 16.3. Cho ng˜u giác lôì ABCDE là ¯dáy cua h`ınh chóp ABCDES.,

M ôt m.˘at ph,˘ang c´˘at các c anh bên SA, SB, SC, SD, SE tu,o,ng ú,ng t aicác ¯diê,m A0, B0, C0, D0, E0, không trùng vó,i các ¯d,ınh cua h`ınh chóp.,Chú,ng minh các ¯diê,m giao nhau cua các ¯, du,ò,ng chéo c,ua các tú, giácABB0A0, BCC0D0, CDD0C0, DEE0D0, EAA0E0n`˘am trên cùng m ôt m.˘at ph,˘ang

B ài 16.4. Chú,ng minh r`˘ang dãy an xác ¯d.inh bo,,i a1 = 1 và

an = an−1+ abn/2c n = 2, 3, 4, ch´u,a vô h an sô´ nguyên chia hê´t cho 7

Trang 13

B ài 16.5. Các ¯diê,m D, E n`˘am trên c.anh AB cua tam giác ABC và th, oa mãn,

Ch´u,ng minh r`˘ang [ACD = [BCE

B ài 16.6. Xét h`ınh vuông ¯do,n v.i trong m.˘at ph,˘ang có ¯d,ınh có t oa ¯d ô là cácsô´ nguyên Cho S là bàn cò,mà trong ¯dó tâ´t ca các h`ınh vuông ¯, do,n v.i n`˘amhoàn toàn bên trong ¯du,ò,ng tròn x2+ y2

≥ 19982 Trong m˜ôi ô vuông cua,

S ta viê´t +1 M ôt thay ¯dô,i bao gô`m ¯dao ngu, ,.o,c dâ´u cua m ôt h`ang, c ôt ho.˘ac,

Nê´u yz = 1, th`ı y = z = 1 Ta c´o

abc = x + y + z = x + 2 = xyz + 2 = a + b + c + 2 Nêú c ≥ 2, th`ı bc ≥ 4 và 4a ≥ abc = a+b+c+2 ≤ 4a; do ¯dó a = b = c = 2

Ta ¯du,.o,c các b ô sô´ thoa mãn (2, , 2, 2, 6, 1, 1)và (6, 1, 1, 2, 2, 2) Nêú c = 1,th`ı ab = a +b+3 Nêú b ≥ 3, th`ı 3a ≤ ab = a +b+3 ≥ 3a =⇒ a = b = 3 Ta

Trang 14

14 Chu,o,ng 16 Ðê` thi olympic toán Poland Nêú c ≥ 2, th`ı 8a ≤ 2abc ≤ 3a + 6 =⇒ 5a < 6, ¯diêù này mâu thu˜ânvó,i a ≥ c Do ¯dó c = 1, và 2ab = a + b + 7 Nêú b ≥ 3, 6a ≤ 2ab =

a+ b + 7 =⇒ a ≤ b/5 + 7/5, ¯diêù này mâu thu˜ân vó,i a ≥ b Nêú b = 2,th`ı 4a = 2ab = a + 9 và a = 3 Ta có b ô sô´ thoa mãn (3, 2, 1, 3, 2, 1) Nêú,

b = 1, ta c´o a = 8, l ˘ap l.ai kê´t qua (8, , 1, 1, 5, 2, 1)

L `o , i gi ai 16.2 , Ta cho r`˘ang (k, m) = (2l, 2l + 1) v´o,i m oi sô´ nguyên không âm

L ò , i gi ai 16.3 , G oi A1, B1, C1, D1, E1 là các ¯diê,m giao nhau cua các ¯, du,ò,ngchéo cua các tú, ,giác ABB0A0, BCC0D0, CDD0C0, DEE0D0, EAA0E0 G oi l làgiao tuyêń cua hai m ˘at ph, ˘ang, w1 và w2 k´ı hi êu tu,o,ng ú,ng hai m ˘at ph˘ang,BACDE và A0B0C0D0E0.G oi w là m.˘at ph˘ang chú, ,a ¯diê,m A1và ¯du,ò,ng th,˘ang l

Ðu,ò,ng th˘ang AC n`˘am trên m ˘at ph, ˘ang, w1và SAA0CC0 và ¯du,ò,ng th˘ang A, 0C0

n`˘am trên m ˘at ph˘ang, w2 và SA0ACC0 V`ı v ây, các ¯du,ò,ng th˘ang AC, , A0C0, l

¯

dô`ng ph,˘ang; g oi K là giao cua các ¯, du,ò,ng th,˘ang này.Chú ý r`˘ang A1 và B1

n`˘am trên các m ˘at ph,˘ang AB0C và A0BC0 V`ı v ây, các m.˘at ph˘ang này c´˘at,nhau theo giao tuyêń A1B1 Nhu,ng K n`˘am trên ca hai ¯, du,ò,ng th˘ang AC và,

A0C0, do ¯dó K n`˘am trên ca hai m ˘at ph, ˘ang AB, 0C và A0BC0 Rõ ràng m ˘at ph˘ang,

AB0C không song song vó,i m ˘at ph˘angA, 0BC0,và v`ı v ây chúng c´˘at nhau theo

Trang 15

m ôt ¯du,ò,ng th˘ang Do ¯, dó, A1, B1, K ¯dô`ng ph˘ang, tù, ,dó suy ra B¯ 1∈ w Tu,o,ng

t u,, ta có thê,ch,ı ra r`˘ang C1n`˘am trên m ˘at ph,˘ang chú,a B1 và l, trùng vó,i m ˘at

ph˘ang, w Do ¯d´o, A1, B1, C1, D1, E1c`ung n`˘am trên m ˘at ph,˘angw

L ò , i gi ai 16.4 , Ta chú,ng minh bài toán b`˘ang phu ¯, d.inh Gia s, u,, r`˘ang ch,ı cóh˜u,u h an sô´ nguyên trong dãy chia hê´t cho 7 và ak là sô´ h ang cuôí cùng cua,dãy.Khi ¯dó ta thâý

a2k−1 ≡ a2k ≡ a2k+1 ≡ a 6≡ 0 (mod 7)Khi ¯dó, bâ,y sô´ h ang ¯dâù tiên cùng vó,i a4k−3 s˜e có sô´ du,khác nhau khi chiacho 7 Th ât v.ây, vó,i n = 0, 1, , 6, a4k−3+n ≡ a4k−3+na(mod 7) Mâu thu˜ânvó,i ¯diêù gia s, u,, V ây có vô h.an sô´ nguyên chia hê´t cho 7

L ò , i gi ai 16.5 , Áp d ung ¯d.inh l´ı sin ta có

AD

DB.AE

EB = (

sinBsinA)

BEsinφ Chia theo vê´ c

CEsinA =

BDsin2BsinφAEsin2Asinθ

BDsinBsinφAEsinAsinθ

⇐⇒ CD.AEsinA

sinφsinθ

Do ¯d´o,

sinAsinBsin(θ + α)sinBsin(φ + α)sinA =

sinφsinθ

⇐⇒ sin(θ + α)sinθ = sinφsin(φ + α)

Trang 16

16 Chu,o,ng 16 Ðê` thi olympic to´an Poland

⇐⇒ cos(2θ + α) − cosα = cos(2φ + α) Tù,(2θ + α) + (2φ + α) = 2Cb < 3600, 2θ + α = 2φ + α và do ¯dó [ACD =θ =

φ = [BCE

L ò , i gi ai 16.6 , Câu tra lò, ,i là không Do t´ınh ¯dôí xú,ng, m˜ôi hàng cua S có m ôt,sô´ ch˜˘an h`ınh vuông.Tru,ó,c khi di chuyê,n m.ôt hàng c.u thê,, gia s, u,,r`˘ang tô,ngtâ´t ca các sô´ trên hàng là 2n − 2k, v´ı d u, có k h`ınh vuông có sô´ là −1 và,2n − k h`ınh vuông có sô´ 1 trên hàng ¯dó Sau khi di chuyê,n, hàng ¯dó có tô,nglà 2k − 2n và tô,ng tâ´t ca các sô´ thay ¯, dô,i b`˘ang m ôt b ôi cua 4 Tu, ,o,ng t u,nhu,

v ây vó,i các c ôt và các ¯du,ò,ng chéo Do ¯dó, tô,ng tâ´t ca các sô´ chia 4 có du, ,

Ðe có ch´ınh xác m ôt h`ınh vuông chú, ,a −1 th`ı tâ´t ca các tô, ,ng thay ¯dô,i bo,,i 2mod 4; ¯diêù này vi ph am t´ınh bâ´t biêń cua chúng ta.,

Trang 17

c anh cua t´u, ,di ên ABCD.

B ài 17.4. Trong m ˘at ph˘ang cho m ôt ¯diê, ,m A n`˘am ngoài m ôt ¯du,ò,ng tròn k V˜ecác ¯du,ò,ng chéo c,ua m.ôt h`ınh thang bâ´t k`y n`˘am trong k, kéo dài c.anh bên

cua h`ınh thang g ˘ap nhau t.ai A,

B ài 17.5. Cho a, b, c là các sô´ th u,c du,o,ng Chú,ng minh r`˘ang tô`n t ai m ôt tamgiác vó,i các c anh a, b, c nêú và ch,ı nêú tô`n t ai các sô´ th u,c x, y, z thoa mãn,

Trang 18

18 Chu,o,ng 17 Ðê` thi olympic to´an Czech v`a Slovak

v`a | f (a)|> | f (b)|, bô,dê` ¯¯ du,.o,c ch´u,ng minh

Ta có f (x) = 0 vó,i |x| < 1, f (1) = f (−1) = 1 Gia s, u,,r`˘ang f (x) = 88 Vó,

|x|> 1, ta x´et hai tru,`o,ng h o,p sau

(a) x ≥ 1 D˜ê d`ang kiê,m tra ¯du,.o,c f (22

7 ) = 88 Theo bô

,

¯dê` trên, ta thâ´y

f(x) t˘ang vó,i x> 1 V`ı v.ây x = 227 là giá tr.i duy nhâ´t thoa mãn trên kho, ang,này

(b) x ≤ −1 Theo bô,dê` trên, f (x) gi¯ am vó, ,i x> 1 Tù, ¯dó

| f (−3)| = 81 < f (x) = 88 <

f(−112

37 )

= 112, −3 > x > −112

37 v`abxbxbxccc = −37 M ˘at kh´ac x = −88

37 > −3, ¯diêù này là vô l´ı.V.ây trênkhoang này không có giá tr.i nào th, oa mãn.,

3 ) v`ı v âybxbxcc = 9, v`a c´u,tiê´p t uc nhu,v ây

L `o , i gi ai 17.2 , X´et (14

7 )các t âp h o,p con gô`m 7 phâ`n tu,,lâý tù,14 sô´ ¯dã cho và

Trang 19

tô,ng cua các ngh.ich ¯d, ao c, ua các sô´ trong m˜ôi t âp con này.Tô, ,ng ló,n nhâ´t

L ò , i gi ai 17.3 , G oi V là thê,t´ıch cua tú, , di ên ABCD; g oi S1 = [BCD], S3 =[CDA], S3 = [DAC], S4 = [ABC]; g oi h1, h2, h3, h4là chiêù cao cua tú, ,di ên

ke tù, ,A,B,C,D; và g oi r là bán k´ınh m.˘at câù n ôi tiê´p tú,di ên Khi ¯dó

Khi ¯d´o tô,ng

cua bô´n chu vi l`a,

L ò , i gi ai 17.4 , G oi h`ınh thang ¯dó là STUV vó,i ST > UV, ST ||UV ; g oi B và

C lâ`n lu,.o,t là trung ¯diê,m các c anh ST và UV ; các ¯du,ò,ng chéo TV và SU

g ˘ap nhau o,,P; và g oi O là tâm ¯du,ò,ng tròn k Ð.˘at AV = v, AS = s, AO = o,

Trang 20

và r là bán k´ınh ¯du,ò,ng tròn k; ¯d.˘at VCSB = x; SACd = α Tù, các ¯du,ò,ng songsong,v = xs, VS = (1 − x)s,

AP = AB − BP = scosα − (1 − x)scosα

2x

1 + xscosα T`u,phu,o,ng t´ıch cua m ôt ¯diê, ,m, sv = o2

2

− r2)

o , không ph u thu ôc vào cách ch on tú,giác STUV

L ò , i gi ai 17.5 , Viê´t l ai các ¯d˘ang thú, ,c trên du,ó,i d.ang

Ngu,.o,c l ai, nêú tô`n t.ai m ôt tam giác vó,i ¯d ô dài ba c.anh là a, b, c, th`ı ¯d.˘at

u = b + c − a, v = c + a − b, w = a + b − c; theo bâ´t ¯d˘ang thú, ,c trong tamgiác, các giá tr.i này ¯dêù du,o,ng Nêú có các giá tr.i thoa mãn x, y, z, th`ı theo,trên u = 2yz

Trang 21

CHU O NG 18

, AN

18.1 Ðê` b `ai

B ài 18.1. cho p ≥ 3là m ôt sô´ nguyên tô´, và cho p ¯diê,m A0, , Ap−1n`˘am trên

m ôt ¯du,ò,ng tròn cho tru,ó,c Hay chúng ta viê´t ¯diê,m A1+ +k−1vó,i k = 1, , p(vó,i 1 ¯du,.o,c viê´t tù,A0) Hoi có bao nhiêu ¯, diê,m mà ´ıt nhâ´t m ôt trong chúng

¯

du,.o,c viê´t t`u,ch´ung

B ài 18.2. m ôt ¯dâ´t nu,ó,c có 1998 sân bay ¯du,.o,c kê´t nôí bo,,i nh˜u,ng chuyêń bay

th˘ang V´o, ,i ba sân bâ´t k`ı th`ı tô`n t ai hai sân bay không c´o tr u,c tiê´p Hoi sô´,

¯

du,ò,ng bay tr.u,c tiê´p ló,n nhâ´t có thê,có nôí các chuyêń bay ¯dó ?

B ài 18.3. Cho P1, , Pn là m ôt dãy ¯d,ınh cua m ôt ¯da giác ¯dóng Góc ngoài,

cua ¯, d,ınh Pi có sô´ ¯do b`˘ang 180otrù,di góc vòng quanh P¯ i gi˜u,a tia PiPi−1 vàtia PiPi+1 , trong khoang (0, , 360o) (O,,dây P¯ 0 = Pn và P1 = Pn+1 Nêú tô,ngcác góc bên ngoài là b ôi cua 720, o, chúng minh r`˘ang sô´ giao ¯diê,m cua chúng,là le.,

B ài 18.4. Cho cm,n là sô´ các hoán v.i cua {}1, , ncó thê, ,viê´t nhu,là m cáchtheo h`ınh thú,c (i, i + 1) vó,i i = 1, , n − 1 nhu,ng không viê´t ¯du,.o,c m-1 cáchtrên Ch,ı ra r`˘ang vó,i m oi n ∈ N,

B ài 18.5. Vó,i m˜ôi ¯diê,m trong 12 ¯diê,m trên m ôt ¯du,ò,ng tròn cho tru,ó,c chúng

ta ¯d ˘at m ôt cái ¯d˜ıa màu ¯den ho.˘ac m ôt cái ¯d˜ıa màu tr´˘ang xen k˜e l˜ân nhau Tacó thê,t ao ra m ôt chuyê,n ¯d ông nhu,sau: ch on m ôt cái ¯d˜ıa màu ¯den và hoán

và r là bán k´ınh ¯du,ò,ng tròn k; ¯d.˘at VCSB

Định dạng
Số trang	41
Dung lượng	322,5 KB