olympic toán các nước tập 2(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển

Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1998 – 1999 56 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 2) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO D . UC 2 L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ ¯ dê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi ¯ d ˜ a l ` am b ` ai t . âp khi h . oc t . âp L A T E X. Ðê , ph . u v . u c ´ ac b . an ham h . oc to ´ an tôi thu th . âp v ` a gom l . ai th ` anh c ´ ac s ´ ach ¯ di . ên t , u , , c ´ ac b . an c ´ o thê , tham kh , ao. M ˜ ôi t . âp tôi s ˜ e gom kho , ang 50 b ` ai v ´ o , i l ` o , i gi , ai. Râ ´ t nhiê ` u b ` ai to ´ an d . ich không ¯ du , . o , c chuâ , n, nhiê ` u ¯ diê , m không ho ` an to ` an ch ´ ınh x ´ ac v . ây mong b . an ¯ d . oc t . u , ng ˜ âm ngh ˜ ı v ` a t ` ım hiê , u lâ ´ y. Nhu , ng ¯ dây l ` a nguô ` n t ` ai li . êu tiê ´ ng Vi . êt vê ` ch , u ¯ dê ` n ` ay, tôi ¯ d ˜ a c ´ o xem qua v ` a ngu , ` o , i d . ich l ` a chuyên vê ` ng ` anh To ´ an phô , thông. B . an c ´ o thê , tham kh , ao l . ai trong [1],[2]. Râ ´ t nhiê ` u ¯ do . an v ` ı m ´ o , i h . oc TeX nên câ ´ u tr ´ uc v ` a bô ´ tr ´ ı c ` on xâ ´ u, tôi không c ´ o th ` o , i gian s , u , a l . ai, mong c ´ ac b . an thông c , am. Cuô ´ n s ´ ach n ` ay c ´ o c ´ ach không cho sao ch ´ ep ch ˜ u , Vi . êt, c ´ ac b . an th , u , xem nh ´ e. H ` a N . ôi, ng ` ay 20 th ´ ang 9 n ˘ am 2013 Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n 51 GD-05 89/176-05 M ˜ a sô ´ : 8I092M5 M . uc l . uc L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M . uc l . uc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chu , o , ng 15. Ðê ` thi olympic to ´ an Ireland . . . . . . . . . . . . . . . 6 15.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 15.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Chu , o , ng 16. Ðê ` thi olympic to ´ an Poland . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 16.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 16.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chu , o , ng 17. Ðê ` thi olympic to ´ an Czech v ` a Slovak. . . . . . . . . . 17 17.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chu , o , ng 18. Ðê ` thi olympic to ´ an Nh . ât B , an . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 18.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 18.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chu , o , ng 19. Ðê ` thi olympic to ´ an Korea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 19.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 19.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chu , o , ng 20. Ðê ` thi Olympic To ´ an Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 20.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 20.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chu , o , ng 21. Ðê ` thi olympic to ´ an Ð ` ai Loan . . . . . . . . . . . . . . . 34 21.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4 M . UC L . UC 5 21.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chu , o , ng 22. Ðê ` thi olympic to ´ an Thô , Nh ˜ ı K ` ı . . . . . . . . . . . . . 38 22.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 22.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 T ` ai li . êu tham kh , ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 CHU , O , NG 15 Ð ` Ê THI OLYMPIC TO ´ AN IRELAND 15.1. Ðê ` b ` ai B ` ai 15.1. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang nê ´ u x l ` a m . ôt sô ´ th . u , c kh ´ ac không th ` ı. x 8 − x 5 − 1 x + 1 x 4 ≥ 0. B ` ai 15.2. Ðiê , m P n ` ˘ am bên trong m . ôt tam gi ´ ac ¯ dê ` u v ` a kho , ang c ´ ach c , ua n ´ o t ´ o , i 3 ¯ d , ınh l ` a 3,4,5.T ` ım di . ên t ´ ıch tam gi ´ ac ¯ d ´ o. B ` ai 15.3. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang không c ´ o sô ´ nguyên n ` ao d . ang xyxy trong h . ê th . âp phân c ´ o thê , l ` a 1 l ˜ uy th ` u , a b . âc 3 c , ua m . ôt sô ´ nguyên.T ` u , ¯ d ´ o t ` ım h . ê b phân v ´ o , i b >1 . M ` a trong ¯ d ´ o c ´ o 1 d . ang l ˜ uy th ` u , b . âc 3 c , ua d . ang xyxy. B ` ai 15.4. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang m . ôt h ` ınh tr ` on b ´ an k ´ ınh b ` ˘ ang 2 c ´ o thê , bao ph , u b , o , i 7 (c ´ o thê , chô ` ng ch ´ eo nhau) h ` ınh tr ` on b ´ an kinh b ` ˘ ang1. B ` ai 15.5. Nê ´ u x l ` a sô ´ th . u , c,x 2 − x l ` a sô ´ nguyên v ` a n ≥ 3, x n − x l ` a sô ´ nguyên.Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang x l ` a m . ôt sô ´ nguyên. B ` ai 15.6. T ` ım tâ ´ t c , a sô ´ nguyên n c ´ o 16 u , ´ o , c du , o , ng t ´ ach r ` o , i nhau d 1 , d 2 , d 3 , , d 16 m ` a 1 = d 1 < d 2 < d 3 < < d 16 = n, d 6 = 18, d 9 − d 8 = 17. B ` ai 15.7. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang nê ´ u a, b, c l ` a c ´ ac sô ´ th . u , c du , o , ng th ` ı: 9 a + b + c ≤ 2( 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a ) (15.1) v ` a 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a ≤ 1 2 ( 1 a + 1 b + 1 c ) (15.2) B ` ai 15.8. ( a ) Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang N c ´ o thê , viê ´ t du , ´ o , i d . ang t . âp h . o , p c , ua 3 t . âp r ` o , i r . ac ∀m, nv ´ o , i |m − n| = 2, 5 n ` ˘ am trong t . âp h . o , p kh ´ ac . Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 7 ( b) Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang N c ´ o thê , viê ´ t du , ´ o , i d . ang t . âp h . o , p c , ua 4 r ` o , i r . ac ∀m, nv ´ o , i |m − n| = 2, 3, 5 n ` ˘ am trong t . âp h . o , p kh ´ ac. t ` u , ¯ d ´ o suy ra không x , ay ra ¯ diê ` u n ` ay v ´ o , i 3 t . âp h . o , p. B ` ai 15.9. Cho d ˜ ay sô ´ th . u , c { x n } v ´ o , i x 0 , x 1 ∈ R v ` a x n+2 = 1+x n+1 x n , n = 0, 1, 2, .T ` ım x 1998 . B ` ai 15.10. Cho tam gi ´ ac ABC c ´ o  A = 2  B v ` a  C > 90 0 . T ` ım chiê ` u d ` ai tô ´ i thiê , u c , ua chu vi tam gi ´ ac ABC. 15.2. L ` o , i gi , ai L ` o , i gi , ai 15.1. Ta c ´ o: x 8 − x 5 − 1 x + 1 x 4 = x 5 (x 3 − 1) − x 3 − 1 x 4 = (x 9 − 1)(x 3 − 1) x 4 v ` ı x 4 > 0; x 9 − 1 v ` a x 3 − 1 c ` ung dâ ´ u nên biê , u th ´ u , c luôn luôn l ´ o , n ho , n ho . ˘ ac b ` ˘ ang không. L ` o , i gi , ai 15.2. G . oi c ´ ac ¯ d , ınh c , ua tam gi ´ ac ¯ dê ` u l ` a A,B,C.Nhu , v . ây: PA = 3, PB = 4, PC = 5. Xoay ABC m . ôt g ´ oc 60 0 xung quanh ¯ diê , m A ¯ dê , c ´ ac c . anh AB v ` a AC tr ` ung nhau.G . oi X l ` a , anh c , ua ¯ diê , m P khi ¯ d ´ o: PX = 3, PX = 4, PX = 5. Do ¯ d ´ o PX⊥CX,APX tr , o , th ` anh tam gi ´ ac ¯ dê ` u. ´ Ap d . ung ¯ d . inh l ´ ı h ` am sô ´ côsin ta c ´ o: AC = √ 3 2 + 4 2 − 2.3.4. cos 150 0 =  25 + 12. √ 3. v ` a di . ên t ´ ıch tam gi ´ ac ABC l ` a 25. √ 3 4 + 9. L ` o , i gi , ai 15.3. Nê ´ u sô ´ c ´ o 4 ch ˜ u , sô ´ xyxy = 101.xy l ` a l ˜ uy th ` u , a b . âc 3 ⇒ 101|xy l ` a mâu thu ˜ ân.Biê ´ n ¯ dô , i xyxy = 101.xy t ` u , h . ê b phân sang h . ê th . âp phân ta t ` ım ¯ du , . o , c.xyxy = (b 2 + 1)(bx + y) v ´ o , i x, y < b v ` a b 2 + 1 > bx + y. 8 Chu , o , ng 15. Ðê ` thi olympic to ´ an Ireland Do ¯ d ´ o ¯ dê , xyxy l ` a l ˜ uy th ` u , a b . âc 3 ⇔ b 2 +1 chia hê ´ t cho m . ôt b ` ınh phu , o , ng.D ˜ ê thâ ´ y b = 7 l ` a sô ´ nh , o nhâ ´ t th , oa m ˜ an vô ´ i b 2 + 1 = 50. l ˜ uy th ` u , a b . âc 3 nh , o nhâ ´ t chia hê ´ t cho 50 l ` a 1000 .v ` a sô ´ xyxy ch ´ ınh l ` a sô ´ 2626 trong h . ê 7 phân. L ` o , i gi , ai 15.4. Ch ´ ung ta cho 7 h ` ınh l . uc gi ´ ac ¯ dê ` u c . anh b ` ˘ ang 1 v ` ao trong m . ôt h ` ınh l . uc gi ´ ac ¯ dê ` u bên trong h ` ınh d . ang tô , ong , o , gi ˜ u , a.V ´ o , i m ˜ ôi c . anh c , ua n ´ o g ´ ˘ an liê ` n v ´ o , i c . anh c , ua h ` ınh l . uc gi ´ ac nh , o. Kê ´ t qu , a cho thâ ´ y r ` ˘ ang m . ôt h ` ınh tr ` on b ´ an k ´ ınh b ` ˘ ang 2 c ´ o thê , bao ph , u b , o , i 7 h ` ınh tr ` on b ´ an k ´ ınh b ` ˘ ang 1. L ` o , i gi , ai 15.5. Ð . ˘ at z = x 2 − x;( z l ` a sô ´ nguyên ).G , ai phu , o , ng tr ` ınh x 2 − x − z = 0.Ta c ´ o x = 1± √ a 2 v ´ o , i a = 1+4z. v ` ı x n −x = x(x−1)(x n−2 +x n−3 +x n−4 + +1).Ta c ´ o: x n−2 + x n−3 + x n−4 + + 1 = n−2  i =0 x i = x n − x x 2 − x . l ` a m . ôt sô ´ h ˜ u , u t , ı.Ta câ ` n c ´ o x l ` a m . ôt sô ´ h ˜ u , u t , ı.Ch ´ u , ng minh ¯ diê ` u câ ` n c ´ o b ` ˘ ang phu , o , ng ph ´ ap ph , an ch ´ u , ng.Gi , a s , u , x không ph , ai l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı suy ra c ´ o hai tru , ` o , ng h . o , p. (a) x = 1+ √ a 2 ⇒ m . oi kh , a n ˘ ang c , ua x ch , ı c ´ o thê , l ` a d . ang α + β √ a v ´ o , i α, β l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı du , o , ng. ⇒  n−2 i =0 x i = α / + β / √ a. Tô , ng l ` a 1 sô ´ không ph , ai l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı .Trong ¯ d ´ o α / , β / l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı du , o , ng. (b) x = 1− √ a 2 ⇒ m . oi kh , a n ˘ ang c , ua x ch , ı c ´ o thê , l ` a d . ang α + β √ a v ´ o , i α l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı du , o , ng,β l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı âm. V ` ı c ˘ an b . âc hai ¯ du , . o , c gi ˜ u , nguyên khi v ` a ch , ı khi − √ a t ˘ ang lên th ` anh không.kh , ˘ a n ˘ ang gi ˜ u , nguyên sô ´ < 0.Do ¯ d ´ o tô , ng l ` a α / + β / √ a Trong ¯ d ´ o α / l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı âm,β / l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı du , o , ng.V ` a 1 lâ ` n n ˜ u , a tô , ng không l ` a 1 sô ´ h ˜ u , u t , ı.⇒ c , a hai tru , ` o , ng h . o , p ¯ dê ` u mâu thu ˜ ân. ⇒ x ph , ai l ` a sô ´ h ˜ u , u t , ı.Ð . ˘ at x = p q v ´ o , i UCLN (p, q) = 1 do ¯ d ´ o. z = x 2 − x = p(p − q) q 2 . Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 9 Tuy nhiên UCLN (p, q) = 1cho thâ ´ y . UCLN (p(p − q), q) = UCLN (p − q, q) = UCLN (p, q) = 1. V ` ı thê ´ z l ` a m . ôt sô ´ nguyên ⇔ p = 1 ⇔ x = p l ` a 1 sô ´ nguyên. L ` o , i gi , ai 15.6. Ta c ´ o:n = p a 1 1 p a 2 2 p a m m .V ´ o , i p 1 , p 2 , , p m l ` a c ´ ac sô ´ nguyên tô ´ ¯ dôi m . ôt kh ´ ac nhau. khi ¯ d ´ o n c ´ o (a 1 + 1)(a 2 + 1) (a n + 1) u , ´ o , c.T ` u , 18 = 2.3 2 ,c ´ o 6 u , ´ o , c l ` a:1,2,3,6,9,18. d c ´ o 16 u , ´ o , c.Ch ´ ung ta biê ´ t r ` ˘ ang:d = 2.3 3 .p ho . ˘ ac d = 2.3 7 . Nê ´ u d = 2.3 7 th ` ı d 8 = 54, d 9 = 81 v ` a d 9 − d 8  = 17.do ¯ d ´ o d = 2.3 3 .p v ´ o , i sô ´ nguyên tô ´ p > 18.Nê ´ u p < 27 th ` ı:d 7 = p, d 8 = 27, d 9 = 2p = 27 + 17 = 44 ⇒ p = 22.Do ¯ d ´ o mâu thu ˜ ân. V ` ı v . ây p > 27. Nê ´ u p < 54 th ` ı d 7 = 27, d 8 = p, d 9 = 54 = d 8 + 17 ⇒ p = 37.Nê ´ u p > 54 th ` ı d 7 = 27, d 8 = 54, d 9 = d 8 + 17 = 71. khi ¯ d ´ o ta c ´ o hai sô ´ câ ` n t ` ım l ` a. 2.3 3 .37 = 1998, 2.3 3 .71 = 3834. L ` o , i gi , ai 15.7. Bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c (1) c ´ o ¯ du , . o , c tr . u , c tiê ´ p t ` u , bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c AM-HM ho . ˘ ac Cauchy-schwarz. 9 (a + b) + (b + c) + (c + a) ≤ 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a . ⇔ 9 a + b + c ≤ 2( 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a ). Ch ´ ung ta c ´ o thê , s , u , d . ung bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c Jensen’s.V ´ o , i f (x) = 1 x l ` a h ` am lô ` i.Theo b ´ ˘ at ¯ d , ˘ ang th ´ u , c Jensen’s ta c ´ o: f (a + b) + f (b + c) + f (c + a) 3 ≥ f ( (a + b) + (b + c) + (c + a) 3 ). ⇒ 1 a+b + 1 b+c + 1 c+a 3 ≥ 3 (a + b) + (b + c) + (c + a) . ⇔ 9 a + b + c ≤ 2( 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a ). 10 Chu , o , ng 15. Ðê ` thi olympic to ´ an Ireland Theo b ´ ˘ at ¯ d , ˘ ang th ´ u , c Jensen’s ta c ´ o: f (a) + f (b) 2 ≥ f ( a + b 2 ) ⇒ 1 a + 1 b 2 ≥ 2 a + b . f (b) + f (c) 2 ≥ f ( b + c 2 ) ⇒ 1 b + 1 c 2 ≥ 2 b + c . f (c) + f (a) 2 ≥ f ( c + a 2 ) ⇒ 1 c + 1 a 2 ≥ 2 c + a . C . ông vê ´ v ´ o , i vê ´ 3 bâ ´ t ¯ d , ˘ ang th ´ u , c trên ta ¯ du , . o , c: 1 a + b + 1 b + c + 1 c + a ≤ 1 2 ( 1 a + 1 b + 1 c ). L ` o , i gi , ai 15.8. (a) D ˜ ê d ` ang kiê , m tra t . âp h . o , p: {3k + 1} k∈N , {3k + 2} k∈N , {3k} k∈N Th , oa m ˜ an ¯ diê ` u ki . ên. (b) chu , ´ o , c hê ´ t ch ´ u ´ y r ` ˘ ang t . âp h . o , p : {4k + 1} k∈N , {4k + 2} k∈N , {3k + 3} k∈N , {4k} k∈N Th , oa m ˜ an ¯ diê ` u ki . ên. Ta ch ´ u , ng minh hai m . ênh ¯ dê ` trên b ` ˘ ang ph , an ch ´ u , ng.Gi , a s , u , A,B,C th , oa m ˜ an ¯ diê ` u ki . ên.C ´ ac sô ´ 1,3,6 ph , ai , o , c ´ ac t . âp kh ´ ac nhau,ta gi , a s , u , r ` ˘ ang 1 ∈ A; 3 ∈ B; 6 ∈ C ⇒ 4 ∈ B.Ch , u ´ y r ` ˘ ang 2, 5 /∈ B v ` a 2, 5 , o , c ´ ac t . âp h . o , p kh ´ ac nhau d ˜ ân t ´ o , i hai tru , ` o , ng h . o , p. {1; 2} ⊂ A, {3; 4} ⊂ B, {5; 6} ⊂ C. ho . ˘ ac {1; 5} ⊂ A, {3; 4} ⊂ B, {2; 6} ⊂ C. C , a hai tru , ` o , ng h . o , p trên ¯ dê ` u không thê , ¯ d . ˘ at 7 v ` ao 1 trong 3 t . âp ¯ du , . o , c ⇒ ¯ dpcm. L ` o , i gi , ai 15.9. Ta c ´ o: x 2 = 1 + x 1 x 0 , x 3 = x 0 + x 1 + 1 x 0 x 1 , x 4 = 1 + x 0 x 1 . V ` a x 5 = x 0 , x 6 = x 1 .Do ¯ d ´ o x k l . ˘ ap l . ai sau 5 sô ´ v ` a x 1998 = x 3 = x 0 +x 1 +1 x 0 x 1 . [...]... ,· · · , d2 th` khi d´ vi tr´ d2 ,· · · , d2i l` ı a ¯o ¯ ¯ ¯o ı , ` Chu,o,ng 18 Ðê thi olympic to´ n Nhât Ban a , , ´ ˘ m` u den v` nhung vi tr´ c` n lai m` u trang Ch´ ng ta c´ thê d´ nh lai sô cua a ¯ a ˜, u o ¯a ı o a ´ , ´ ˘ c´ i d˜a d2 l` vi tr´ c´ i d˜a dâu tiên v` c´ thê lap lai quy tr`nh d´ nêu cân thi t, a ¯ı a ı a ¯ı ¯ ` a o ı ¯o ´ ` ´ u ´, ı o a a ¯ı kêt th´ c voi vi tr´ n´ l`... 1, ta c´ a a ´ a a o , a = a + 4, không c´ gi´ tri n` o thoa m˜ n o a a a ´ Nêu yz = 2, th` y = 2, z = 1 Ta c´ ı o 2abc = 2(x + y + z) = 2x + 6 = xyz + 6 = a + b + c + 6 ≤ 3a + 6 ` Chu,o,ng 16 Ðê thi olympic to´ n Poland a 14 ˜ ´ Nêu c ≥ 2, th` 8a ≤ 2abc ≤ 3a + 6 =⇒ 5a < 6, diêu n` y mâu thuân ı ¯ ` a ,i a ≥ c Do d´ c = 1, v` 2ab = a + b + 7 Nêu b ≥ 3, 6a ≤ 2ab = ´ ´ vo a ¯o ˜ ´ ´, a + b + 7 =⇒... AEsin2 Asinθ CD BDsinBsinφ ⇐⇒ = CE AEsinAsinθ CD.AEsinA sinφ ⇐⇒ = CE.DBsinB sinθ ⇐⇒ Do d´ , ¯o sinAsinBsin(θ + α) sinφ = sinBsin(φ + α)sinA sinθ ⇐⇒ sin(θ + α)sinθ = sinφsin(φ + α) 16 ` Chu,o,ng 16 Ðê thi olympic to´ n Poland a ⇐⇒ cos(2θ + α) − cosα = cos(2φ + α) `, Tu (2θ + α) + (2φ + α) = 2C < 3600 , 2θ + α = 2φ + α v` do d´ ACD = θ = a ¯o φ = BCE , , , , , ˜ a ` ` a Loi giai 16.6 Câu tra loi l` không... , , , ,, ´, Ðe c´ ch´nh x´ c môt h`nh vuông chua −1 th` tât ca c´ c tông thay dôi boi 2 o ı a ı ´ a ¯ ı , ´ ´ mod 4; diêu n` y vi pham t´nh bât biên cua ch´ ng ta u ¯ ` a ı , , CHUONG 17 ` ´ ` ÐÊ THI OLYMPIC TOAN CZECH VA SLOVAK ` ` 17.1 Ðê bai , , , ´ ` Bai 17.1 T`m tât ca c´ c sô thuc x thoa m˜ n: ı a ´ a x x x x = 88 , , ´ ` Bai 17.2 Cho 14 sô tu nhiên kh´ c nhau, c´ tôn tai k ∈ {1, , 7}... tam a a ´ , , , , , , ,i c´ c canh a, b, c nêu v` chı nêu tôn tai c´ c sô thuc x, y, z thoa m˜ n ´ a ´ ` a ´ gi´ c vo a a ´ a y z a + = , z y x z x b + = , x z y x y c + = y x z ` Chu,o,ng 17 Ðê thi olympic to´ n Czech v` Slovak a a 18 , , ` i giai 17.2 Lo , , ` Loi giai 17.1 Cho f (x) = x x x x , ´ ´ a Bô dê 17.1 Cho a v` b l` c´ c sô thu,c Nêu a v` b c´ c` ng dâu v` |a| > a a a ´ a o u ¯` |b|≥... luot l` trung diêm c´ c canh ST v` UV ; c´ c duong ch´ o TV v` SU a a a ¯ ,`, e a ¯ ,, ,ong tr` n k Ðat AV = v, AS = s, AO = o, , ˘ ˘ gap nhau o P; v` goi O l` tâm du ` a a o ¯ ` Chu,o,ng 17 Ðê thi olympic to´ n Czech v` Slovak a a 20 VC ,, `, a ¯ ,`, v` r l` b´ n k´nh duong tr` n k; dat a a a ı o ¯ ` ¯˘ SB = x; SAC = α Tu c´ c duong song song, v = xs, VS = (1 − x)s, BP = BC VScosα (1 − x)scosα... a a √ ı , 2yz 2zx 2xy vw ,, trên u = ,v = ,w = Giai c´ c phuong tr`nh cho x = a ı ,y = x y z 2 √ √ , wu uv ,, ,z = , l` c´ c gi´ tri thoa m˜ n c´ c phuong tr`nh a a a a a ı 2 2 , , CHUONG 18 , ` THI OLYMPIC TOAN NHÂT BAN ´ ÐÊ ` ` 18.1 Ðê bai , ` ´ a ˘ ` Bai 18.1 cho p ≥ 3l` môt sô nguyên tô, v` cho p diêm A0 , , Ap−1 nam trên a ´ ¯ , ,, , ´, ´ ¯ ´, môt duong tr` n cho truoc Hay ch´ ng ta viêt... vây dê, tât ca nhung c´ i d˜a dat trên c´ c diê,m dêu m` u , ˜ dông dâu tiên nhu ¯ ´ a ¯ı ¯ ˘ a ¯ a ¯ ¯` ¯` , ˘ den, chı c´ môt c´ i m` u trang o a a ´ ¯ 22 , , ` i giai 18.2 Lo , ` Chu,o,ng 18 Ðê thi olympic to´ n Nhât Ban a , , , , ´ ` Loi giai 18.1 Cho ch´ ng tât ca dông du theo modun p k-th tam gi´ c sô l` u a ´ a ¯` ¯ , ,, ´ a tk = k(k+1) Cho 0 sk p − 1 v` sk ≡ tk Do d´ c´ k + 1 diêm duoc... (m, n) = (4, 7) l` cap nho nhât tao ra môt tam a ˘ ¯ ˘ , ,ng duoc c´ c diêu kiên cua b` i ,, a ` gi´ c c´ c´ c canh (a, b, c) = (28, 16, 33) d´ p u ¯ a o a a ¯a ´ ¯ to´ n a , , CHUONG 16 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN POLAND ` ` 16.1 Ðê bai , , ´ ` Bai 16.1 T`m tât ca c´ c sô nguyên(a, b, c, x, y, z) thoa m˜ n ı a ´ a a + b + c = xyz x + y + z = abc v` a ≥ b ≥ c ≥ 1, x ≥ y ≥ z ≥ 1 a ,, ,, ` Bai 16.2 D˜... i d˜a m` u den chı môt c´ i m` u trang voi o ¯a a ¯ı a ¯ ¯˘ ´ ı ¯ ` a a ´ , ˜, diêu kiên ban dâu nhung c´ i d˜a m` u den duoc dat l` sô le a ¯ı a ¯ ¯ , , ¯ ˘ a ´ ¯ ` ¯` 24 , , CHUONG 19 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN KOREA ` ` 19.1 Ðê bai , ,, , , ´ ´ ´ ´ ` Bai 19.1 T`m tât ca c´ c cap sô nguyên tô tuong ung trong d˜ y sô tu nhiên l, ı a ˘ a ´ , m, n, thoa m˜ n: a l` môt sô tu nhiên a ´ , 1 1 1 (l . Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1998 – 1999 56 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 2) NH ` A XU ´ ÂT. n ´ oi ¯ dâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ ¯ dê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi ¯ d ˜ a l ` am b ` ai t . âp