olympic toán các nước tập 1(1997-1998)- đề thi và lời giải-nguyễn hữu điển

Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1998 – 1999 57 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 1) NH ` A XU ´ ÂT B , AN GI ´ AO D . UC 2 L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ ¯ dê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi ¯ d ˜ a l ` am b ` ai t . âp khi h . oc t . âp L A T E X. Ðê , ph . u v . u c ´ ac b . an ham h . oc to ´ an tôi thu th . âp v ` a gom l . ai th ` anh c ´ ac s ´ ach ¯ di . ên t , u , , c ´ ac b . an c ´ o thê , tham kh , ao. M ˜ ôi t . âp tôi s ˜ e gom kho , ang 50 b ` ai v ´ o , i l ` o , i gi , ai. Râ ´ t nhiê ` u b ` ai to ´ an d . ich không ¯ du , . o , c chuâ , n, nhiê ` u ¯ diê , m không ho ` an to ` an ch ´ ınh x ´ ac v . ây mong b . an ¯ d . oc t . u , ng ˜ âm ngh ˜ ı v ` a t ` ım hiê , u lâ ´ y. Nhu , ng ¯ dây l ` a nguô ` n t ` ai li . êu tiê ´ ng Vi . êt vê ` ch , u ¯ dê ` n ` ay, tôi ¯ d ˜ a c ´ o xem qua v ` a ngu , ` o , i d . ich l ` a chuyên vê ` ng ` anh To ´ an phô , thông. B . an c ´ o thê , tham kh , ao l . ai trong [1],[2]. Râ ´ t nhiê ` u ¯ do . an v ` ı m ´ o , i h . oc TeX nên câ ´ u tr ´ uc v ` a bô ´ tr ´ ı c ` on xâ ´ u, tôi không c ´ o th ` o , i gian s , u , a l . ai, mong c ´ ac b . an thông c , am. Cuô ´ n s ´ ach n ` ay c ´ o c ´ ach không cho sao ch ´ ep ch ˜ u , Vi . êt, c ´ ac b . an th , u , xem nh ´ e. H ` a N . ôi, ng ` ay 20 th ´ ang 9 n ˘ am 2013 Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n 51 GD-05 89/176-05 M ˜ a sô ´ : 8I092M5 M . uc l . uc L ` o , i n ´ oi ¯ dâ ` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 M . uc l . uc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chu , o , ng 1. Olympic To ´ an Bulgari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chu , o , ng 2. Ðê ` thi Olympic To ´ an Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chu , o , ng 3. Ðê ` thi olympic to ´ an Trung Quô ´ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chu , o , ng 4. Ðê ` thi Olympic To ´ an Hungary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chu , o , ng 5. Ðê ` thi olympic to ´ an India. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Chu , o , ng 6. Ðê ` thi olympic to ´ an Iran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.1. Ðê ` b ` ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.2. L ` o , i gi , ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 T ` ai li . êu tham kh , ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 CHU , O , NG 1 Ð ` Ê THI OLYMPIC TO ´ AN BULGARI 1.1. Ðê ` b ` ai B ` ai 1.1. T ` ım sô ´ t . u , nhiên n nh , o nhâ ´ t (n ≥ 3), sao cho : ¯ dô ´ i v ´ o , i bâ ´ t k ` y m ` au trong 2 m ` au s ´ ˘ ac c , ua n ¯ diê , m th , ˘ ang riêng bi . êt A 1 , A 2 , , A n tô ` n t . ai ba ¯ diê , m A i , A j , A 2 j−i , v ´ o , i 1 ≤ i < 2 j − i ≤ n ¯ du , . o , c tô c ` ung m . ôt m ` au s ´ ˘ ac. B ` ai 1.2. Cho t ´ u , gi ´ ac lô ` i ABCD, c ´ o AD = CD v ` a  DAB =  ABC < 90 0 . Ðu , ` o , ng th , ˘ ang qua D v ` a trung ¯ diê , m c , ua BC c ´ ˘ at ¯ du , ` o , ng th , ˘ ang AB t . ai ¯ diê , m E. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang:  BEC =  DAC. B ` ai 1.3. Cho R + l ` a t . âp h . o , p c ´ ac sô ´ th . u , c du , o , ng. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang không tô ` n t . ai h ` am sô ´ f : R + →R + sao cho: ( f (x)) 2 ≥ f (x + y)( f (x) + y). V ´ o , i m . oi x, y ∈ R + . B ` ai 1.4. Cho h ` am sô ´ f (x) = x 3 −3x+1. T ´ ınh sô ´ nghi . êm th . u , c kh ´ ac nhau c , ua phu , o , ng tr ` ınh f ( f (x)) = 0. B ` ai 1.5. Cho ng ˜ u gi ´ ac lô ` i ABCDE n . ôi tiê ´ p ¯ du , ` o , ng tr ` on b ´ an k ´ ınh R. B ´ an k ´ ınh c , ua ¯ du , ` o , ng tr ` on n . ôi tiê ´ p ∆XYZ ¯ du , . o , c k ´ ı hi . êu l ` a r XYZ . Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang: 1. cos  CAB + cos  ABC + cos  BCA = 1 + r ABC R . 2. Nê ´ u r ABC = r AED v ` a r ABD = r AEC , th ` ı ∆ABC v ` a ∆AED l ` a ¯ dô ` ng d . ang. B ` ai 1.6. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang phu , o , ng tr ` ınh: x 2 y 2 = z 2 (z 2 − x 2 − y 2 ) không c ´ o nghi . êm nguyên du , o , ng. B ` ai 1.7. Cho n l ` a m . ôt sô ´ nguyên du , o , ng. T ` ım sô ´ nguyên du , o , ng k sao cho tô ` n t . ai k0 − 1 chu ˜ ôi c ´ o ¯ d . ô d ` ai 2n + 2, v ´ o , i bâ ´ t k ` y 0 − 1 chu ˜ ôi c ´ o ¯ d . ô d ` ai 2n + 2 m . ôt trong nh ˜ u , ng sô ´ ¯ du , . o , c ¯ du , a ra trong ´ ıt nhâ ´ t n + 2 v . i tr ´ ı. 6 Chu , o , ng 1. Olympic To ´ an Bulgari B ` ai 1.8. C ´ ac ¯ da th ´ u , c P n (x, y) (v ´ o , i n = 1, 2, ) ¯ du , . o , c x ´ ac ¯ d . inh b , o , i P 1 (x, y) = 1 v ` a P n+1 (x, y) = (x + y − 1)(y + 1)P n (x, y + 2) + (y − y 2 )P n (x, y). Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang: P n (x, y) = P n (y, x) v ´ o , i m . oi n v ` a v ´ o , i m . oi x,y. B ` ai 1.9. Trên hai bên c , ua m . ôt ∆ABC không t ` u ¯ du , . o , c xây d . u , ng bên ngo ` ai m . ôt h ` ınh vuông, c ´ o n ¯ diê , m v ` a m ¯ diê , m (m, n > 5) c ´ o c ´ ac c . anh t . ao th ` anh m . ôt tam gi ´ ac ¯ dê ` u. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang v ´ o , i m = n = 6, th ` ı c ´ o thê , t ` ım ¯ du , . o , c c ´ ac g ´ oc c , ua tam gi ´ ac ∆ABC. B ` ai 1.10. Cho c ´ ac sô ´ th . u , c a 1 , , a n kh ´ ac 0. Ch ´ u , ng minh r ` ˘ ang phu , o , ng tr ` ınh: √ 1 + a 1 x + + √ 1 + a n x=n. C ´ o nhiê ` u nhâ ´ t m . ôt nghi . êm th . u , c kh ´ ac không. 1.2. L ` o , i gi , ai L ` o , i gi , ai 1.1. Câu tr , a l ` o , i l ` a 9 Ta g . oi 3 ¯ diê , m nhu , trong câu h , oi th ` anh m . ôt b . ô ba. Biê , u th . i m ` au s ´ ˘ ac c , ua ¯ diê , m A i b ` ˘ ang c i , v ` a ¯ dê , cho c i = r nê ´ u A i l ` a m ` au ¯ d , o, c i = b nê ´ u A i l ` a m ` au xanh. Tru , ´ o , c hê ´ t ch ´ ung ta ch . on m . ôt m ` au c , ua 8 ¯ diê , m m ` a không ch ´ u , a b . ô ba trên (c 1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 , c 6 , c 7 , c 8 ) = (r, b, r, b, b, r, b, r). Ta nh . ân thâ ´ y r ` ˘ ang nê ´ u n ≥ 9. Khi ¯ d ´ o c ´ o ´ ıt nhâ ´ t m . ôt b . ô ba t ´ u , c l ` a tô ` n t . ai m . ôt chu ˜ ôi sô ´ h . oc i 1 , i 2 , i 3 sao cho c i 1 = c i 2 = c i 3 . Gi , a s , u , ngu , . o , c l . ai không c ´ o b . ô ba nhu , v . ây , khi ¯ d ´ o trong A 1 , A 2 , , A 9 c ´ o ´ ıt nhâ ´ t 5 trong sô ´ ch ´ ung c ` ung m ` au L ` o , i gi , ai 1.2. G . oi M l ` a trung ¯ diê , m c , ua BC, v ` a ¯ d . ˘ at:  DCA =  DAC = x v ` a  CAB = y. Ta c ´ o:  CBA = x + y,  ACB = 180 0 − x − 2y,  DCB = 180 0 − 2y. ´ Ap d . ung ¯ d . inh l ´ ı h ` am sin v ` ao hai tam gi ´ ac BEM v ` a ADE, ta c ´ o: MB ME = sin  MEB sin  EBM = sin  MEB sin  EAD = AD ED . Do MB=MC v ` a AD=CD, MC ME = CD ED . ´ Ap d . ung ¯ d . inh l ´ ı h ` am sin cho tam gi ´ ac CEM v ` a tam gi ´ ac CDE, ta c ´ o: Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 7 sin  CEM sin  BCE = MC ME = CD ED = sin  CED sin  DCE = sin  CEM sin(180 0 −  DCE) . Do ¯ d ´ o:  BCE = 180 0 −  DCE = 180 0 −  DCB −  BCE = 2y −  BCE, v ´ o , i ch ´ u ´ y r ` ˘ ang  BCE = y. Do ¯ d ´ o:  CEB =  CBA −  BCE = x =  DAC ( ¯ dpcm) L ` o , i gi , ai 1.3. Gi , a s , u , tô ` n t . ai h ` am f . Khi ¯ d ´ o, ta c ´ o: f (x + y) ≤ ( f (x)) 2 f (x) + y < f (x) Do ¯ d ´ o f l ` a m . ôt h ` am gi , am, f ph , ai c ´ o m . ôt v ` ai ¯ diê , m bâ ´ t ¯ d . ông. Gi , a s , u , r ` ˘ ang f (a) = a, bây gi ` o , ta thay x b , o , i a. Khi ¯ d ´ o ta c ´ o: f (x) ≤ a 2 a + y . Ðiê ` u n ` ay c ´ o ngh ˜ ıa l ` a tô ` n t . ai b, sao cho v ´ o , i m . oi x ≥ b th ` ı f (x) < 1. Ta thâ ´ y r ` ˘ ang, nê ´ u ta thay y b , o , i f (x), th ` ı ta c ´ o f (x) ≥ 2 f (x + f (x)). Bây gi ` o , ta thay x b , o , i b, ta c ´ o: 1 > f (b) ≥ 2 f (b + f (b)) ≥ 2 f (b + 1). C ´ o ngh ˜ ıa l ` a: f (b + 1) < 1 2 . Thay b , o , i b + 1 ta c ´ o: 1 2 > f (b) ≥ 2 f (b + 1 + f (b + 1)) > 2 f (b + 1 + 1 2 ). C ´ o ngh ˜ ıa l ` a: f (b + 1 + 1 2 ) < 1 4 . C ´ u , tiê ´ p t . uc nhu , v . ây, ta c ´ o: f (b + Σ n−1 i=0 ( 1 2 i )) < 1 2 n . Nhu , v . ây, v ´ o , i m ˜ ôi  ∈ (0, 1), ta c ´ o thê , t ` ım thâ ´ y m . ôt δ ∈ (0, 2) th , oa m ˜ an f (b + x) <  v ´ o , i m . oi x < 2 − δ. Ðiê ` u n ` ay c ´ o ngh ˜ ıa l ` a h ` am f (x) không tô ` n t . ai v ´ o , i x ≥ b + 2. V . ây ta c ´ o ¯ diê ` u ph , ai ch ´ u , ng minh. L ` o , i gi , ai 1.4. Câu tr , a l ` o , i l ` a 7. Th . ât v . ây, ta c ´ o f (x) = x 3 −3x + 1 nên f  (x) = 3x 2 −3 8 Chu , o , ng 1. Olympic To ´ an Bulgari , f  (x) = 0 khi x = 1 ho . ˘ ac x = −1. Khi ¯ d ´ o f (1) = −1 v ` a f (−1) = 3. Nhu , ng f (−2) = −1, f (0) = 1, f (2) = 3. Do ¯ d ´ o, c ´ ac gi ´ a tr . i c , ua x ¯ dê , f (x) = 0 n ` ˘ am trong c ´ ac kho , ang (−2, 1), (0, 1), v ` a (1, 2). Nê ´ u ch ´ ung ta ¯ dê ´ m sô ´ lâ ` n f thông qua ho ` an to ` an m ˜ ôi kho , ang ta s ˜ e c ´ o câu tr , a l ` o , i. Th . ât v . ây, f ¯ di qua (−2, 1) m . ôt lâ ` n (Khi x < −2), n ´ o ¯ di qua (0, 1) ba lâ ` n ( khi −2 < x < −1, 0 < x < 1 v ` a 1 < x < 2), v ` a n ´ o ¯ di qua (1, 2) ¯ d ´ ung ba lâ ` n. Do ¯ d ´ o phu , o , ng tr ` ınh f ( f (x)) = 0 c ´ o ¯ d ´ ung 7 nghi . êm th . u , c phân bi . êt. L ` o , i gi , ai 1.5. 1. G . oi ¯ diê , m O v ` a I lâ ` n lu , . o , t l ` a tâm c , ua ¯ du , ` o , ng tr ` on ngo . ai tiê ´ p v ` a n . ôi tiê ´ p c , ua ∆ABC . Ð . ˘ at  CAB = α,  ABC = β,  BCA = γ. G . oi AI c ´ ˘ at ¯ du , ` o , ng tr ` on tâm O , o , F, g . oi O n ` ˘ am trong  AFC. Khi ¯ d ´ o: OF = R, FI = FC = 2R sin α 2 , v ` a  OFI = β + α 2 − 90 0 . ´ Ap d . ung ¯ d . inh l ´ ı h ` am cos cho ∆OFI ta c ´ o: OI 2 = R 2 + 4R 2 sin 2 α 2 − 4R 2 sin 2 α 2 sin(β + α 2 ). = R 2 (4 sin 2 α 2 + 1 − 4 sin α 2 sin(β + α 2 )). = R 2 (2 − 2 cos α + 1 + 2[cos(α + β) − cosβ]). = R 2 (3 − 2 cos α − 2 cos β − cosγ). Nhu , ng OI 2 = R 2 − 2Rr ABC (Theo công th ´ u , c Euler), do ¯ d ´ o cos α + cos β + cos γ = 1 + r ABC R . Hay ch ´ ung ta c ´ o: cos  CAB + cos  ABC + cos  BCA = 1 + r ABC R ( ¯ dpcm). 2. G . oi 2a, 2b, 2c, 2d, 2e lâ ` n lu , . o , t l ` a sô ´ ¯ do c , ua c ´ ac cung AB, BC, CD, DE, EA. T ` u , câu (1) ta c ´ o: Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n, http://nhdien.wordpress.com 9 cos a − cos(a + b) + cos b = cos d + cos e − cos(d + e) cos a + cos(c + b) + cos(d + e) = cos e + cos(c + d) + cos(a + b). Tr ` u , hai vê ´ c , ua ¯ d , ˘ ang th ´ u , c, ta c ´ o: cos b + cos(c + d) = cos d + cos(b + c). ⇐⇒ 2 cos b + c + d 2 cos b − c − d 2 = 2 cos b + c + d 2 cos d − b − c 2 ⇐⇒ cos b − c − d 2 = cos d − b − c 2 ⇐⇒ b = d. Thay kê ´ t qu , a n ` ay v ` ao ¯ d , ˘ ang th ´ u , c ¯ dâ ` u, ta c ´ o: cos a − cos(a + b) + cos b = cos d + cos e − cos(d + e). ⇐⇒ cos a − cos(a + b) + cos b = cos b + cos e − cos(b + e). ⇐⇒ cos a + cos(b + e) = cos e + cos(a + b). ⇐⇒ 2 cos a + b + e 2 cos a − b − e 2 = 2 cos a + b + e 2 cos e − a − b 2 ⇐⇒ cos a − b − e 2 = cos e − a − b 2 ⇐⇒ a = e. Khi ¯ d ´ o a = e, b = d. Do v . ây ∆ABC v ` a ∆AED l ` a ¯ dô ` ng d . ang ( ¯ dpcm) L ` o , i gi , ai 1.6. Tru , ´ o , c hê ´ t ta ch ´ u , ng minh bô , ¯ dê ` sau: Bô , ¯ dê ` 1: Phu , o , ng tr ` ınh s 4 − t 4 = u 2 (1) Không c ´ o nghi . êm nguyên du , o , ng. Th . ât vây: Ch ´ ung ta ch ´ u , ng minh gi ´ an tiê ´ p. Gi , a s , u , tô ` n t . ai m . ôt t . âp S không r ˜ ông c ´ ac sô ´ nguyên , v ´ o , i a ∈ S , khi ¯ d ´ o tô ` n t . ai sô ´ t . u , nhiên b v ` a c nhu , v . ây sao cho a 4 − b 4 = c 2 , v ´ o , i a l ` a gi ´ a tr . i nh , o nhâ ´ t. V ` ı v . ây U , CLN (a, b, c) = U , CLN (a, b) = U , CLN (b, c) = U , CLN (c, a) = 1. Ch ´ ung ta x ´ et c ´ ac tru , ` o , ng h . o , p sau ¯ dây: V ´ o , i c t ` uy ´ y. Khi ¯ d ´ o v ´ o , i a v ` a b l ` a sô ´ l , e v ` a a 2 + b 2 ≡ 2(mod4), khi U , CLN(a, b)=1, 4 c 2 . V ` a: 10 Chu , o , ng 1. Olympic To ´ an Bulgari (a 2 + b 2 )(a 2 − b 2 ) = c 2 , UCLN(a 2 + b 2 , a 2 − b 2 ) = 2. Cho ta: x =  a 2 + b 2 2 v ` a y =  a 2 − b 2 2 . V ´ o , i x v ` a y l ` a c ´ ac sô ´ nguyên, ta c ´ ox 4 − y 4 = (ab) 2 . Khi a> b, x<a. Do ¯ d ´ o vi ph . am v ´ o , i gi , a thiê ´ t c , ua ch ´ ung ta a l ` a gi ´ a tr . i nh , o nhâ ´ t L ` o , i gi , ai 1.7. Câu tr , a l ` o , i l ` a k = 4. L ` o , i gi , ai 1.8. Ta x ´ et c ´ ac gi ´ a tr . i c , ua n, v ´ o , i n = 1 ta c ´ o: P 1 (x, y) = 1. V ´ o , i n = 2 ta c ´ o: P 2 (x, y) = xy + x + y − 1. V ` ı v . ây, ta x ´ et v ´ o , i n > 1. Gi , a s , u , kê ´ t qu , a luôn ¯ d ´ ung v ´ o , i P n−1 (x, y) v ` a P n (x, y). Ta c ´ o: P n+1 (x, y) = (x + y − 1)(y + 1)P n (x, y + 2) + (y − y 2 )P n (x, y). = (x + y − 1)(y + 1)P n (y + 2, x) + (y − y 2 )P n (y, x). Ch ´ u ´ y r ` ˘ ang: (x + y − 1)(y + 1)P n (y + 2, x) = S n−1 (x, y) + (x + y − 1)(y + 1)(x − x 2 )P n (y + 2, x) . Do ¯ d ´ o: S n−1 (x, y) = [(x + y) 2 − 1](y + 1)(x + 1)P n−1 (y + 2, x + 2) Khi ¯ d ´ o: P n−1 (x, y) = P n−1 (y, x), S n−1 (x, y) = S n−1 (y, x). Ta luôn ch ´ u ´ y r ` ˘ ang: (y − y 2 )P n (y, x) = (y − y 2 )[(x + y − 1)(x + 1)P n−1 (y + 2, x) + (x − x 2 )P n−1 (y, x)] = (y − y 2 )(x + y − 1)(x + 1)P n−1 (y, x + 2) + T n−1 (x, y) Khi ¯ d ´ o: T n−1 (x, y) = (y − y 2 )(x − x 2 )P n−1 (y, x). Khi :P n−1 (x, y) = P n−1 (y, x), T n−1 (y, x) = T n−1 (y, x). Cho ta: U n−1 (x, y) = (x + y −1)[(y + 1)(x − x 2 )P n−1 (y + 2, x) + (x + 1)(y − y 2 )P n−1 (y, x + 2)] [...]... (an+1 , an+2 ) 16 ` Chu,o,ng 2 Ðê thi Olympic To´ n Canada a , , ´ Nhung sau d´ , c + a < a + a ≤ b + a, nhu mong muôn ¯o , , ´ ` ˘ T`, nh˜,ng diêu trên, ch´ ng ta thây rang gia dinh cua ch´ ng tôi l` sai Do d´ môi cap u u ¯ ` u u a ¯ ¯o ˜ ˘ , , ,, ` d´ p ung c´ c phuong tr`nh ban dâu phai c´ c´ c h`nh th´,c mô ta a ´, a ı o a ı u ¯ ¯ , , CHUONG 3 ` ´ ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN TRUNG QUÔC ` ` 3.1 Ðê bai... a Phuong tr`nh cuôi c` ng c´ thê duoc giai quyêt môt c´ ch dê d` ng ı o ¯ ` Chu,o,ng 2 Ðê thi Olympic To´ n Canada a 14 , , ` ` ˘ Loi giai 2.3 Ch´ ng tôi ch´,ng minh rang u u n(1 + 1 1 1 1 1 +···+ ) > (n + 1)(1 + + · · · + ) 3 2n − 1 2 4 2n 8 9 , ,, , ` ´ o ´ ˘ bang quy nap Ðôi v´,i n = 2, > Gia su gia thi t quy nap l` d´ ng dôi v´,i k ≥ 2, a ¯u ¯ ´ o 3 4 1 1 1 1 1 ) > (k + 1)(1 + + · · · + )... cong v´,i dao h` m bang 0 (mâu thuân) Vây gia su cua ch´ ng o ¯ a u ¯ ,`, , ,c kh´ c 0 cua phuong tr`nh f (x)=n ,, ` ´ ta l` sai, do d´ c´ nhiêu nhât môt nghiêm thu a a ı ¯o o , , CHUONG 2 ` ´ ÐÊ THI OLYMPIC TOAN CANADA ` ` 2.1 Ðê bai , ,, ` Bai 2.1 X´ c dinh c´ c sô thuc l` nghiêm cua phuong tr`nh: a ¯ a ´ , a ı , a a a + + = a 2 3 5 , ´ ` Bai 2.2 T`m tât ca c´ c sô thuc x thoa m˜ n ı a ´ , a 1... , , ,, , ,ong v` , ´ ´ ` goi l` không - nguyên thuy nêu tât ca c´ c phân tu cua n´ l` sô nguyên du a o a ´ a a , ,, ,i moi u ∈ U H˜ y dê, thi t lâp ` ´ c´ môt phân tu u ∈ U thoa m˜ n UCLN(u, u ) > 1 v´ o a o a ¯ , ,, ` ˘ S = 1, 2, , 98 X´ c dinh gi´ tri tôi thi u l` sô nguyên duong n rang, dôi v´,i bât k` a ¯ a ´ a ´ ¯´ o ´ y ,p con T ⊂ S v´,i |T | = n n´ luôn luôn c´ thê, t`m thây môt tâp hop... Bai 3.5 Cho D l` môt diêm bên trong tam gi´ c ABC thoa m˜ n a ¯ a a DA · DB · AB + DB · DC · BC + DC · DA · CA = AB · BC · CA , , X´ c dinh vi tr´ h`nh hoc cua diêm D a ¯ ¯ ı ı ` ´ Chu,o,ng 3 Ðê thi olympic to´ n Trung Quôc a 18 ` Bai ,, duong 3.6 Cho ≥ n, n x1 , x2 , , xn Goi 2 l` a l` a ´ sô c´ c a môt , thuc ´ sô , thoa nguyên m˜ n a n−1 n xi2 + xi xi+1 = 1 i=1 i=1 , ´ V´,i môt sô nguyên... , , , (a) OI⊥AB Th` , OI l` du ` ı a¯ ¯o √ 2 v` sinα = a 2 , ,, ´ (b) OI AB Gia su E l` chân vuông g´ c t`, O xuông BC V` vây AOE = C = γ a o u ı RcosAOE = Rcosγ = OE = IIc = r ` ´ Chu,o,ng 3 Ðê thi olympic to´ n Trung Quôc a 20 Khi α β γ r = 4Rsin sin sin , 2 2 2 Ch´ ng tôi c´ u o α β γ β α γ cosγ = 4sin sin sin = 2sin (sin sin ) 2 2 2 2 2 2 β α+γ α+γ = 2sin (−cos + cos ) 2 2 2 β β α−γ = 2sin (−sin... ¯ , ,, , ´ ´ ` thâm ch´ ca yêu tô trong T v` O(T ) l` sô c´ c phân tu le trong T Ch´ ng tôi c´ ı a a ´ a u o , ,, ,i môt sô le x ∈ S cho f (x) biê,u thi sô luong y c´ c ´ o ´ E(T ) + O(T ) = |T | = 50 Ðôi v´ a ´ , vây m` UCLN(x, y) > 1 Ch´ ng tôi thi t lâp c´ c su kiên sau , ´ ˜ ´ a ˘ sô chan trong S nhu a u , v` bô dê a ¯` , ´ ´ ¯` (1) 1 ∈ S v` v` i sô nguyên tô dâu tiên le trong S a a l`... S a a l` 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59 a , , ´ ´ ´ (2) C´ 16 sô le, 3, 9, 15, , 93, trong S v´,i c´ c uoc sô nguyên tô nho nhât 3 o o a , ´, ´ 22 (3) ` ´ Chu,o,ng 3 Ðê thi olympic to´ n Trung Quôc a , , ´ ´ ´ C´ 7 sô le, 5, 25, 35, 55, 65, 85, 95, trong S v´,i c´ c uoc sô nguyên tô nho nhât o o a , ´, ´ 5 (4) , , ´ ´ ´ C´ 4 sô le, 7, 49, 77, 91, trong S v´,i c´ c uoc sô... t9 v` do d´ T l` tôt o a ¯o u ¯o a ´ , , , ´ ´ V` vây, tât ca T v´,i |T | = 50 l` tôt Tuy nhiên, tâp hop con cua 49 con sô thâm ı o a ´ ´ ch´ l` không tôt Do d´ n = 50 ı a ¯o ` ´ Chu,o,ng 3 Ðê thi olympic to´ n Trung Quôc a , , , 1 2 3 ´ ` Loi giai 3.4 C´ c nghiêm n = 3, 7, 23 Kê t`, 2 l` sô nguyên tô 1 + Cn + Cn + Cn = a u a ´ ,, 1 2 3 2k dôi v´,i môt sô nguyên duong k ≤ 2000 Ch´ ng tôi c´... tâm cua tam gi´ c ABC Khi tam gi´ c nhon, D l` diê,m ˘ Gia su rang D l` tru a a a a ¯ , ,ong r , r , r thoa m˜ n , bên trong tam gi´ c V` vây c´ môt sô sô du a ı o ´ ´ a 1 2 3 ` ´ Chu,o,ng 3 Ðê thi olympic to´ n Trung Quôc a 26 u v w = −r1 i = −r2 i = −r3 i v − ,w u−v ,c w ,−ng ,u Do d´ z1 , z2 , z3 l` tât ca c´ c sô thu duo a ´ a ´ ¯o , , , ´ ` ˘ T`, trên, ch´ ng ta biêt rang dang th´,c xay ra . Nguy ˜ ên H ˜ u , u Ðiê , n OLYMPIC TO ´ AN C ´ AC NU , ´ O , C 1998 – 1999 57 Ð ` Ê THI V ` A L ` O , I GI , AI (T . âp 1) NH ` A XU ´ ÂT. n ´ oi ¯ dâ ` u Ðê , th , u , g ´ oi l . ênh phông ch ˜ u , tôi biên so . an m . ôt sô ´ ¯ dê ` to ´ an thi Olympic, m ` a c ´ ac h . oc tr ` o c , ua tôi ¯ d ˜ a l ` am b ` ai t . âp