, a n biết chúng đôi một khác nhau Tìm độ dài cạnh nhỏ nhất có thể của một tam giác đều mà trong đó có thể đặt 3 cái đĩa đường kính 2, 3, 4 không chồng lên nhau.. b Chứng tỏ rằng có thể
Trang 1Dịch từ Mathematical Olympiads 1996-1997 bởi Nguyễn Việt Hằng
Ngày 16 tháng 9 năm 2004
Trang 21 Olympic toán các nước 2
1.1 Bulgaria 2
1.2 Canada 5
1.3 Trung Quốc 6
1.4 Cộng hòa Czech và Slovak 7
1.5 Pháp 9
1.6 Đức 10
1.7 Hy Lạp 11
1.8 Iran 12
1.9 Ireland 14
1.10 Italy 17
1.11 Nhật Bản 18
1.12 Ba Lan 19
1.13 Romania 21
1.14 Nga 24
1.15 Tây Ban Nha 29
1.16 Thổ Nhĩ Kì 31
1.17 Vương quốc Anh 33
1.18 Hoa Kì 35
1.19 Việt Nam 36
2 Olympic toán khu vực 37 2.1 Olympic Châu á - Thái Bình Dương 37
2.2 Aó - Ba Lan 39
2.3 Olympic vùng Ban Căng 41
2.4 Czech và Slovak 42
2.5 Olympic Châu Mĩ La tinh 44
1
Trang 3Olympic toán các nước
về một phía của đường thẳng l Chứng minh rằng AO1, BO1 và
Trang 4Bài 4
Các số thực a1, a2, , a n (n ≥ 3) tạo thành một cấp số cộng Tồn tại một hoán vị a i1, a i2, , a i n của a1, a2, , a n là một cấp
số nhận Tìm các số a1, a2, , a n biết chúng đôi một khác nhau
Tìm độ dài cạnh nhỏ nhất có thể của một tam giác đều mà
trong đó có thể đặt 3 cái đĩa đường kính 2, 3, 4 không chồng lên
nhau
Bài 8
Đa thức bậc hai hệ số thực f và g thỏa mãn tính chất: với
x > 0 nếu g(x) nguyên thì g(x) cũng nguyên Chứng minh rằng
tồn tại 2 số nguyên m, n sao cho f (x) = mg(x) + n với mọi x.
Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn Đường thẳng
AB và CD giao nhau tại E, đường chéo AC và BD giao nhau tại
F Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AF D và BF C giao nhau
tại điểm thứ hai H Chứng minh rằng ∠EHF = 90 ◦
Trang 5Bài 11
Cho một bàn cờ 7x7 đã bị bỏ đi 4 ô ở 4 góc.
(a) Số ít nhất các ô có thể tô màu đen sao cho không thể tìmthấy một hình chữ thập tạo bởi 5 ô không được tô màu là baonhiêu?
(b) Chứng tỏ rằng có thể viết vào mỗi ô vuông một số nguyênsao cho tổng của 5 số nguyên viết trong 5 ô của một hình chữthập bất kì tạo bởi 5 ô vuông là một số âm trong khi tổng tất
cả các số viết trên bàn cờ là một số dương
Trang 6r1, r2, , r m là các số hữu tỉ dương cho trước có tổng bằng
1 Hàm f xác định bởi f (n) = n −Pm k=1 [r k n] với mỗi số nguyên
dương n Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (n).
Trang 71.3 Trung Quốc
Bài 1
Cho H là trực tâm của tam giác nhọn ABC Tiếp tuyến kẻ
từ A của đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường tròn tại
P, Q Chứng minh rằng H, P, Q thẳng hàng.
Bài 2
Tìm số nguyên dương K nhỏ nhất có tính chất: mỗi tập con gồm K phần tử bất kì của tập 1; 1; ; 50 đều chứa 2 phần tử phân biệt a, b sao cho a + b chia hết ab
Bài 3
Cho f : R → R thỏa mãn: với mọi x, y ∈ R
f (x3+ y3) = (x + y)(f (x)2− f (x)f (y) + f (y)2).
Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, f (1996x) = 1996f (x).
Bài 4
Tám ca sĩ tham gia một hội diễn nghệ thuật Tại đó có m bài
hát được biểu diễn Mỗi bài hát được 4 ca sĩ trình bày và số bài
hát từng cặp ca sĩ trình bày chung là giống nhau Tìm số m nhỏ
nhất để điều này có thể xảy ra
Trong tam giác ABC: ∠C = 90 ◦ ,∠A = 30 ◦ và BC = 1 Tìm
độ dài nhỏ nhất của cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp tam giác
ABC (tam giác có các đỉnh khác nhau nằm trên các cạnh khác
nhau của tam giác ABC)
Trang 81.4 Cộng hòa Czech và Slovak
(a) G(k) ≥ G(k − 1) với mọi k nguyên dương
(b)Không tồn tại số nguyên dương k nào thỏa mãn G(k − 1) =
G(k) = G(k + 1).
Bài 2
Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao AP, BQ, CR Chứng minh rằng với mỗi điểm V thuộc miền trong tam giác
P QR luôn tồn tại một tứ diện ABCD sao cho V là điểm của
mặt ABC có khoảng cách đến D lớn nhất (khoảng cách được đo
dọc theo các mặt của tứ diện)
Bài 3
Cho sáu tập con mỗi tập gồm 3 phần tử của một tập hữu hạn
X Chứng minh rằng có thể tô màu các phần tử của X bởi 2 màu
sao cho không có tập hợp nào trong số các tập con đã cho trênchỉ có một màu
Bài 4
Cho một góc nhọn XCY và một các điểm A, B trên tia
CX, CY tương ứng sao cho |CX| < |CA| = |CB| < |CY | Hãy
chỉ ra cách dựng đường thẳng cắt tia CX, các đoạn AB, BC tại các điểm K, L, M tương ứng sao cho
KA.Y B = XA.MB = LA.LB 6= 0
Trang 9AKM, BLK, CML bằng nhau thì các đường tròn nội tiếp các
tam giác này cũng bằng nhau
Trang 10(a) Chứng tỏ rằng u n ≤ a với n nào đó thuộc R (b) Chứng minh
rằng dãy u n kể từ một số hạng nào đó trở đi sẽ tuần hoàn
Bài 4
(a) Tìm giá trị nhỏ nhất của x x với x là số thực dương.
(b) Nếu x và y là hai số thực dương, chứng minh rằng x y + y x > 1
Bài 4
Cho n là một số nguyên dương Ta nói một số nguyên dương
k thỏa mãn điều kiện C n nếu tồn tại 2k số nguyên dương phân biệt a1, b1, ,a k , b k sao cho các tổng a1+ b1, , a k + b k là các số
phân biệt và nhỏ hơn n
(a) Chứng minh rằng nếu k thỏa mãn điều kiện C n thì
k ≤ (2n − 3)/5.
(b) Chứng minh rằng 5 thỏa mãn điều kiện C14
(c) Giả sử (2n − 3)/5 là số nguyên Chứng minh rằng
(2n − 3)/5 thỏa mãn điều kiện C n
Trang 111.6 Đức
Bài 1
Một hòn đá di chuyển trên mặt phẳng tọa độ từ điểm (1,1)theo quy tắc sau:
(i) Từ điểm (a, b) hòn đá có thể di chuyển tới điểm
(2a, b) hoặc (a, 2b).
(ii) Từ điểm (a, b) hòn đá có thể di chuyển tới điểm
(a − b, b) nếu a > b hoặc tới điểm (a, b − a) nếu
a < b.
Với những x, y nguyên dương nào hòn đá có thể di chuyển đến điểm (x, y)?
Bài 2
Giả sử S là hợp của nhiều vô hạn các khoảng con của đoạn
[0,1] sao cho không có 2 điểm nào thuộc S có khoảng cách 1/10
Chứng minh rằng tổng độ dài các khoảng tạo thành S lớn nhất
là 1/2
Bài 3
Mỗi đường chéo của một ngũ giác lồi song song với một cạnhcủa ngũ giác Chứng minh rằng tỉ số giữa độ dài của một đườngchéo với độ dài cạnh tương ứng với nó như nhau với cả 5 đườngchéo và hãy tính tỉ số đó
Bài 1
Chứng minh rằng mỗi số nguyên k > 1 có một bội số nhỏ hơn
k4 mà dạng biểu diễn thập phân của nó có nhiều nhất 4 chữ sốphân biệt
Trang 121.7 Hy Lạp
Bài 1
Cho tam giác ABC Các điểm D, E, Z, H, O lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD, BD, ED, EZ Gọi I là giao điểm của BE và AC, và K là giao điểm của HO và AC Chứng
Chứng minh rằng
(a) MN vuông góc với EZ
(b) Nếu MN cắt đoạn AI, AO tại các điểm K, L thì
KL = AH
Bài 3
Cho 81 số tự nhiên mà các ước nguyên tố của chúng thuộctập hợp {2, 3, 5} Chứng minh rằng trong đó có 4 số mà tích củachúng là lũy thừa bậc 4 của một số nguyên
Bài 4
Tìm số các hàm f : {1, 2, , n} → {1995, 1996} thỏa mãn
f (1) + f (2) + · · · + f (1996) lẻ.
Trang 13Chứng minh rằng với mỗi cặp số tự nhiên m, k, m có duy nhất
(b) Nếu OH cắt AB và AC lần lượt tại E vàF thì chu
vi tam giác AEF bằng AB + AC.
(c) OH = |AB − AC|
Bài 4
Giả sử ABC là một tam giác không cân Các trung tuyến
kẻ từ A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm thứ 2
L, M, N Nếu LM = LN, chứng tỏ rằng 2BC2 = AB2+ AC2
Bài 5
Đề nghị tham khảo bản tiếng Anh
Trang 14tâm đường trong ngoại tiếp tam giác P DG và O2 là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác P F E Chứng minh rằng AP ⊥ O1O2
Bài 8
Cho P (x) là đa thức với các hệ số hữu tỉ thỏa mãn P −1 (Q) ⊆
Q Chứng minh rằng P là tuyến tính.
Trang 15(ii) f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [0, 1],
(iii) nếux, y và x + y đều nằm trong [0,1] thì f (x + y) ≥ f (x) + f (y) Chứng minh rằng f (x) ≤ 2x với mọi x ∈ [0, 1]
Bài 4
Gọi F là trung điểm cạnh BC của tam giác ABC Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE vuông cân tại D và E Chứng minh rằng DEF là một tam giác vuông cân.
Bài 5
Chỉ ra và chứng minh cách cắt một hình vuông thành nhiềunhất 5 mảnh mà các mảnh đó có thể ghép lại để tạo thành 3 hìnhvuông không cùng diện tích
Trang 16Bài 6
Kí hiệu F n là dãy Fibonaci: F0 = F1 = 1 và F n+2 = F n+1 + F n
với n ≥ 0 Chứng minh rằng:
(i) Mệnh đề "F n+k − F n chia hết cho 10 với mọi số
nguyên dương n "đúng với k = 60 và sai với mọi số
tự nhiên k < 60;
(ii) Mệnh đề "F n+t − F n chia hết cho 100 với mọi số tự
nhiên n" đúng nếu t = 300 và sai với mọi 0 < t <
300Bài 7
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n,
Bài 9
Trong một bàn cờ hình chữ nhật 5 × 9 người ta chơi trò chơi
sau Ban đầu một số cái đĩa được đặt ngẫu nhiên trên một sốhình vuông, không có hình vuông nào có nhiều hơn 1 đĩa Mộtbước chuyển bao gồm việc di chuyển các đĩa tuân theo quy tắcsau:
Trang 17(i) Mỗi đĩa được dịch chuyển lên hình vuông ở trên,
dưới, bên phải hoặc bên trái(ii) Nếu một đĩa đươc di chuyển lên hoặc xuống trong
một bước thì nó phải đươc di chuyển sang phải hoặcsang trái trong bước kế tiếp và ngược lại
(iii) Sau khi kết thúc mỗi bước chuyển không hình
vuông nào có nhiều hơn 1 đĩaTrò chơi kết thúc khi không thể tiếp tục thực hiện phép dịchchuyển được nữa Chứng tỏ rằng nếu ban đầu có 33 cái đĩa trênbàn cờ thì trò chơi cuối cùng sẽ phải kết thúc, và có thể đặt 32đĩa sao cho trò chơi không bao giờ kết thúc
Trang 181.10 Italy
Bài 1
Trong các tam giác có một cạnh có độ dài l và diện tích S
cho trước tìm tất cả các tam giác có tích độ dài ba đường cao lớnnhất
Bài 2
Chứng minh rằng phương trình a2 + b2 = c2 + 3 có vô số
nghiệm nguyên {a, b, c}
Bài 3
Cho A và B là các đỉnh đối diện của một hình lập phương
cạnh 1 Tìm bán kính của hình cầu có tâm nằm trong hình lập
phương, tiếp xúc với 3 mặt giao nhau tại A và tiếp xúc với ba cạnh giao nhau tại B
Bài 6
Số nhỏ nhất các hình vuông một người cần vẽ trên một tờ giấy
trắng là bao nhiêu để có thể thu được một lưới ô vuông n × n
hoàn chỉnh?
Trang 191.11 Nhật Bản
Bài 1
Xét một phép tam giác đạc trên mặt phẳng, nói cách khác
là một phép phủ mặt phẳng bởi các tam giác sao cho không cóhai tam giác nào có phần trong chồng lên nhau và không có đỉnhnào thuộc phần trong hay trên cạnh của tam giác khác Giả sử
A, B, C là 3 đỉnh của phép tam giác đạc và θ là góc nhỏ nhất
trong tam giác ABC Giả sử rằng không có đỉnh nào của phép tam giác đạc nằm trong đường trong ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng có một tam giác σ của phép tam giác đạc sao cho σ ∩ 4ABC 6= ∅ và mọi góc của σ đều lớn hơn θ.
Bài 2
Cho m, n là các số nguyên dương với gcd(m, n) = 1 Tính
gcd(5 m+ 7m , 5 n + 7n ) gcd(m, n) là kí hiệu ước chung lớn nhất của m và n.)
Gọi θ là góc lớn nhất trong sáu góc tạo bởi các cạnh của hình
tứ diện đều với một mặt phẳng cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất
Trang 201.12 Ba Lan
Bài 1
Tìm tất cả các cặp số (n, r) với n là một số nguyên dương và
r là một số thực để đa thức (x + 1) n − r chia hết cho đa thức
2x2+ 2x + 1.
Bài 1
Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác sao cho ∠P BC= ∠P CA<∠P AB Đường thẳng P B cắt đường trọn ngoại tiếp tam giác ABC tại B và E, và đường thẳng CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AP E tại E và F Hãy chứng tỏ rằng tỉ số diện tích của tứ giác AP EF và tam giác AP B không phụ thuộc vào việc chọn điểm P
Trang 21Bài 6
Từ tập tất cả các hoán vị f của {1, 2, , n} thỏa mãn điều
kiện
f (i) ≥ i − 1 i = 1, 2, , n,
một phần tử được chọn ngẫu nhiên Gọi p n là xác suất để chọn
được hoán vị f thỏa mãn
f (i) ≤ i + 1 i = 1, 2, , n.
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho p n>1/3
Trang 221.13 Romania
Bài 1
Cho n > 2 là một số nguyên và hàm f : R → R2 thỏa mãn
với mọi đa giác đều n cạnh A1A2 A n,
với dãy bất kì ²1, ²2, , ² n của các phần tử thuộc tập {-1,0,1},
tất cả không cùng bằng không, n = 3 không chia hết ²1x1+²2x2+
ABD (tổng cộng 16 điểm) Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp
các đường thẳng song song K và L, mỗi tập gồm 4 đường thẳng sao cho mỗi đường thẳng thuộc tập K ∪ L chứa đúng 4 điểm của
M.
Bài 5
Cho a ∈ R và các hàm f1, f2, , f n : R → R cộng tính thỏa mãn: f1(x)f2(x) · · · f n (x) = ax n với mọi x ∈ R Chứng minh rằng tồn tại b ∈ R và i ∈ {1, 2, , n} sao cho f i (x) = bx với mọi
x ∈ R
Trang 23Bài 6
Dãy {a n } n≥2 được xác định như sau: nếu p1, p2, , p k là các
ước nguyên tố phân biệt của n thì a n = p −1
Trang 24Bài 10
Cho số tự nhiên n ≥ 3 và số nguyên tố p ≥ 2n − 3 Giả sử
M là một tập gồm n điểm trên mặt phẳng, không có 3 điểm nào
thẳng hàng, và hàm f : M → {0, 1, , p − 1} thỏa mãn
(i) Chỉ có một điểm của M có ảnh là 0, và
(ii) Nếu A, B, C là các điểm phân biệt của M và k là
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì :
Trang 251.14 Nga
Bài 1
Số nào có nhiều hơn trong các số tự nhiên trong khoảng 1 đến
1000000 : các số có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một bìnhphương và một lập phương hay các số không biểu diễn được nhưvậy?
Bài 2
Tâm O1, O2, O3 của ba đường tròn cùng bán kính không giao
nhau tạo thành 3 đỉnh của một tam giác Từ mỗi điểm O1, O2, O3
kẻ các tiếp tuyến đến hai đường tròn còn lại Biết rằng giao điểmcủa các đường thẳng này tạo thành một lục giác lồi Các cạnhcủa lục giác được tô luân phiên các bởi màu đỏ và xanh Chứngminh rằng tổng độ dài của các cạnh màu xanh bằng tổng độ dàicủa các cạnh màu đỏ
Chứng minh rằng một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là 1
và công sai 729 có vô số lũy thừa của 10
Trang 26Bài 7
Có hai đống tiền xu trên bàn Biết rằng tổng khối lượng các
đồng xu ở 2 đống bằng nhau và với mọi số tự nhiên k không vượt quá số đồng xu của mỗi đống, tổng khối lượng của k đồng nặng nhất của đống thứ nhất không lớn hơn tổng khối lượng k đồng
xu nặng nhất của đống thứ hai Chứng minh rằng với mọi số tự
nhiên x, nếu mỗi đồng tiền khối lương không vượt quá x ở mỗi đống được thay bởi một đồng tiền khối lượng x thì đống thứ nhất
sẽ không nhẹ hơn đống thứ hai
Bài 8
Một bàn cờ 5 × 7 có thể được phủ bởi các hình chữ L (tạo bởi
hình vuông 2x2 bỏ đi một góc 1x1), không vượt ra ngoài bàn cờ,tạo thành nhiều lớp mà mỗi hình vuông của bàn cờ được phủ bởicùng một số lượng chữ L?
Bài 9
Cho điểm E, F trên cạnh BC của tứ giác lồi ABCD (E gần B hơn F) Biết rằng ∠BAE = ∠CDF và ∠EAF = ∠F DE Chứng minh ∠F AC = ∠EDB.
Bài 10
Trên mặt phẳng tọa độ đặt 4 cái máy đếm, mỗi cái có tâm ởcác tọa độ nguyên Người ta có thể di chuyển một cái máy đếmtheo vector nối tâm của 2 máy đếm khác Chứng minh rằng haimáy đếm bất kì cho trước đều có thể đưa về trùng vị trí sau một
số hữu hạn bước dịch chuyển
Bài 11
Tìm tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn: tồn tại hai số nguyên
tố cùng nhau x và y và một số nguyên k > 1 thỏa mãn phương
trình 3n = x k + y k
Trang 27Bài 12
Chứng minh rằng nếu a1, a2, , a m khác 0 và với mọi k =1,2, .,m (n < m − 1),
a1+ a22k + a33k + · · · + a m m k = 0, thì dãy a1, a2, , a m chứa ít nhất n + 1 cặp số hạng liên tiếp
ngược dấu nhau
Bài 13
Tại các đỉnh của một hình lập phương viết 8 số tự nhiên phânbiệt và trên mỗi cạnh viết ước chung lớn nhất của các số ở haiđầu của nó Có thể xảy ra tổng các số trên các cạnh bằng tổngcác số viết trên các đỉnh?
Bài 14
Có 3 tham mưu và một số binh sĩ trong một tiểu đội Cáctham mưu phải lên kế hoạch công việc Chỉ thị của chỉ huy nhưsau:
(a) Mỗi ngày ít nhất phải có một nhiệm vụ cho một
binh sĩ(b) Không binh sĩ nào có nhiều hơn hai nhiệm vụ hoặc
nhận nhiều hơn một nhiệm vụ một ngày(c) Danh sách các binh sĩ đã nhận nhiệm vụ trong hai
ngày khác nhau không được giống nhau(d) Tham mưu đầu tiên vi phạm chỉ thị trên sẽ bị bỏ
tù
Liệu có thể có ít nhất một vị tham mưu, không thảo luận trướcvới những người còn lại, có thể đưa ra nhiệm vụ cho các binh sĩtheo đúng chỉ thị và không bị bỏ tù?
Bài 15
Cho một đa giác lồi, không có hai cạnh nào song song Vớimỗi cạnh ta xét góc được nhìn từ đỉnh xa cạnh đó nhất Chứngminh rằng tổng các góc này bằng 180◦
Trang 28Bài 16
Goodnik viết 10 số lên bảng và Nogoodnik viết thêm 10 sốnữa, tổng cộng là 20 số dương phân biệt Liệu Goodnik có thể chọn
10 số của mình sao mà dù cho Nogoodnik viết số gì đi nữa anh
ta cũng có thể chọn được 10 tam thức bậc hai dạng x2+ px + q, các hệ số p, q lấy từ các số được viết sao cho các nghiệm thực của
các tam thức này gồm đúng 11 giá trị?
Bài 17
Liệu một số nhận được bằng cách viết các số từ 1 đến n
(n>1)theo thứ tự có thể giống nhau khi đọc từ phải qua trái hay
từ trái qua phải
Bài 18
Một số người leo núi đi với vận tốc không đổi trên một conđường thẳng Biết rằng trong một khoảng thời gian nào đó, tổngcác khoảng cách tương đối của họ với nhau đơn điệu giảm Chứngminh rằng có một người leo núi mà khoảng cách của anh ta đếncác người leo núi khác đơn điệu giảm trong khoảng thời gian đó.Bài 19
Chứng minh rằng với n ≥ 5, một thiết diện của một hình chóp đáy là một đa giác đều n cạnh không thể là một đa giác đều
Trong một tam giác ABC(AB = CD) vẽ đường phân giác
CD Dường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và vuông góc với CD cắt BC tại E đường thẳng qua E song song với CD cắt AB tại F Chứng minh rằng BE = F D.