Đề thi Olympic Toán các nước và khu vực 1996

Đề thi Olympic Toán các nước và khu vực 1996 Dịch từ Mathematical Olympiads 1996-1997 bởi Nguyễn Việt Hằng Ngày 16 tháng 9 năm 2004 Mục lục 1 Olympic toán các nước 2 1.1 Bulgaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Trung Quốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Cộng hòa Czech và Slovak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Đức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Hy Lạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Iran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.9 Ireland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.10 Italy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11 Nhật Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12 Ba Lan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.13 Romania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.14 Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.15 Tây Ban Nha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.16 Thổ Nhĩ Kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.17 Vương quốc Anh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.18 Hoa Kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.19 Việt Nam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Olympic toán khu vực 37 2.1 Olympic Châu á - Thái Bình Dương . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Aó - Ba Lan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Olympic vùng Ban Căng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Czech và Slovak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Olympic Châu Mĩ La tinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 Chương 1 Olympic toán các nước 1.1 Bulgaria Bài 1 Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n ≥ 3 tồn tại các số tự nhiên lẻ (x,y) sao cho x 2 + y 2 = 2 n Bài 2 Đường tròn k 1 , k 2 với tâm O 1 , O 2 tiếp xúc ngoài tại điểm C. Đường tròn k tâm O tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn trên. Gọi l là tiếp tuyến chung của O 1 , O 2 tại điểm C và AB là đường kính của k vuông góc với đường thẳng l. Giả sử O và A cùng nằm về một phía của đường thẳng l. Chứng minh rằng AO 1 , BO 1 và l đồng quy. Bài 3 Cho a, b, c là các số thực và M là giá trị lớn nhất của hàm y = |4x 3 + ax 2 + bx + c| (1.1) trên đoạn [−1, 1]. Chứng minh rằng M ≥ 1 và tìm tất cả các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra. 2 CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 3 Bài 4 Các số thực a 1 , a 2 , . . . , a n (n ≥ 3) tạo thành một cấp số cộng. Tồn tại một hoán vị a i 1 , a i 2 , . . . , a i n của a 1 , a 2 , . . . , a n là một cấp số nhận. Tìm các số a 1 , a 2 , . . . , a n biết chúng đôi một khác nhau và số lớn nhất là 1996 Bài 5 Cho tứ giác lồi ABCD có ∠ABC + ∠BCD < 180 ◦ . E là giao điểm của đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng ∠ABC = ∠ADC khi và chỉ khi AC 2 = CD.CE + AB.AE Bài 6 Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho pq chia hết (5 p − 2 q )(5 q − 2 p ) Bài 7 Tìm độ dài cạnh nhỏ nhất có thể của một tam giác đều mà trong đó có thể đặt 3 cái đĩa đường kính 2, 3, 4 không chồng lên nhau. Bài 8 Đa thức bậc hai hệ số thực f và g thỏa mãn tính chất: với x > 0 nếu g(x) nguyên thì g(x) cũng nguyên. Chứng minh rằng tồn tại 2 số nguyên m, n sao cho f(x) = mg(x) + n với mọi x. Bài 9 Dãy số {a n } ∞ n=1 xác định bởi a 1 = 1, a n+1 = a n n + n a n , n ≥ 1 Chứng minh rằng với n ≥ 4 thì [a 2 n ] = n Bài 10 Tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Đường thẳng AB và CD giao nhau tại E, đường chéo AC và BD giao nhau tại F . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác AF D và BF C giao nhau tại điểm thứ hai H. Chứng minh rằng ∠EHF = 90 ◦ . CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 4 Bài 11 Cho một bàn cờ 7x7 đã bị bỏ đi 4 ô ở 4 góc. (a) Số ít nhất các ô có thể tô màu đen sao cho không thể tìm thấy một hình chữ thập tạo bởi 5 ô không được tô màu là bao nhiêu? (b) Chứng tỏ rằng có thể viết vào mỗi ô vuông một số nguyên sao cho tổng của 5 số nguyên viết trong 5 ô của một hình chữ thập bất kì tạo bởi 5 ô vuông là một số âm trong khi tổng tất cả các số viết trên bàn cờ là một số dương. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 5 1.2 Canada Bài 1 Cho α, β, γ là các nghiệm của phương trình x 3 − x − 1 =0 . Tính 1−α 1+α + 1−β 1+β + 1−γ 1+γ Bài 2 Tìm tất cả các nghiệm của hệ sau      4x 2 1+4x 2 = y 4y 2 1+4y 2 = z 4z 2 1+4z 2 = x Bài 3 Gọi f(n) là số các hoán vị của a 1 , a 2 , . . . , a n thỏa mãn (i) a 1 =1; (ii)|a i − a i+1 | ≤ 2, i = 1, 2, . . . , n − 1 f(1996) có chia hết cho 3 hay không? Bài 4 Tam giác ABC cân tại A. Giả sử đường phân giác của góc B cắt AD tại D và BC = BD + AD Xác định góc A. Bài 5 r 1 , r 2 , . . . , r m là các số hữu tỉ dương cho trước có tổng bằng 1. Hàm f xác định bởi f(n) = n −  m k=1 [r k n] với mỗi số nguyên dương n. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f (n). CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 6 1.3 Trung Quốc Bài 1 Cho H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Tiếp tuyến kẻ từ A của đường tròn đường kính BC tiếp xúc với đường tròn tại P, Q. Chứng minh rằng H, P, Q thẳng hàng. Bài 2 Tìm số nguyên dương K nhỏ nhất có tính chất: mỗi tập con gồm K phần tử bất kì của tập 1; 1; . . . ; 50 đều chứa 2 phần tử phân biệt a, b sao cho a + b chia hết ab Bài 3 Cho f : R → R thỏa mãn: với mọi x, y ∈ R f(x 3 + y 3 ) = (x + y)(f(x) 2 − f(x)f(y) + f(y) 2 ). Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, f(1996x) = 1996f(x). Bài 4 Tám ca sĩ tham gia một hội diễn nghệ thuật. Tại đó có m bài hát được biểu diễn. Mỗi bài hát được 4 ca sĩ trình bày và số bài hát từng cặp ca sĩ trình bày chung là giống nhau. Tìm số m nhỏ nhất để điều này có thể xảy ra. Bài 5 Giả sử n là số tự nhiên, x 0 = 0, x i > 0 với mọi i = 1, 2, . . . , n và  n i=1 x i = 1. Chứng tỏ rằng 1 ≤ n  i=1 x i √ 1 + x 0 + ···+ x i−1 . √ x i + ···+ x n < π 2 Bài 6 Trong tam giác ABC: ∠C = 90 ◦ ,∠A = 30 ◦ và BC = 1. Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp tam giác ABC (tam giác có các đỉnh khác nhau nằm trên các cạnh khác nhau của tam giác ABC) CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 7 1.4 Cộng hòa Czech và Slovak Bài 1 Chứng minh rằng nếu dãy các số nguyên G(n) ∞ n=0 thỏa mãn G(0) = 0 G(n) = n − G(G(n)) (n = 1, 2, 3, . . .) thì (a) G(k) ≥ G(k −1) với mọi k nguyên dương (b)Không tồn tại số nguyên dương k nào thỏa mãn G(k − 1) = G(k) = G(k + 1). Bài 2 Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao AP, BQ, CR. Chứng minh rằng với mỗi điểm V thuộc miền trong tam giác P QR luôn tồn tại một tứ diện ABCD sao cho V là điểm của mặt ABC có khoảng cách đến D lớn nhất (khoảng cách được đo dọc theo các mặt của tứ diện) Bài 3 Cho sáu tập con mỗi tập gồm 3 phần tử của một tập hữu hạn X. Chứng minh rằng có thể tô màu các phần tử của X bởi 2 màu sao cho không có tập hợp nào trong số các tập con đã cho trên chỉ có một màu. Bài 4 Cho một góc nhọn XCY và một các điểm A, B trên tia CX, CY tương ứng sao cho |CX| < |CA| = |CB| < |CY |. Hãy chỉ ra cách dựng đường thẳng cắt tia CX, các đoạn AB, BC tại các điểm K, L, M tương ứng sao cho KA.Y B = XA.MB = LA.LB = 0 Bài 5 Với số k nào thì tồn tại hàm f : R → N thỏa mãn (a)f(1995) = 1996 và (b)f(xy) = f(x) + f (y) + kf(gcd(x, y)) với mọi x, y ∈ N? (ở đây gcd(x, y) là kí hiệu ước chung lớn nhất của x và y CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 8 Bài 5 Cho tam giác ABC và các điểm K, L, M tương ứng trên cách cạnh AB, BC, CA sao cho AK AB = BL BC = CM CA = 1 3 Chứng tỏ rằng nếu các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AKM, BLK, CML bằng nhau thì các đường tròn nội tiếp các tam giác này cũng bằng nhau. CHƯƠNG 1. OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 9 1.5 Pháp Bài 1 Cho tam giác ABC. Dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABED, BCGF , ACHI. Chứng minh rằng các điểm D, E, F, G, H, I cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi tam giác ABC đều hoặc vuông cân. Bài 2 Cho a, b là 2 số nguyên dương với a lẻ. Xác định dãy u n như sau: u 0 = b, và với n ∈ N u n+1  1 2 u n nếu u n chẵn u n + a nếu u n lẻ (a) Chứng tỏ rằng u n ≤ a với n nào đó thuộc R (b) Chứng minh rằng dãy u n kể từ một số hạng nào đó trở đi sẽ tuần hoàn. Bài 4 (a) Tìm giá trị nhỏ nhất của x x với x là số thực dương. (b) Nếu x và y là hai số thực dương, chứng minh rằng x y +y x > 1 Bài 4 Cho n là một số nguyên dương. Ta nói một số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện C n nếu tồn tại 2k số nguyên dương phân biệt a 1 , b 1 ,. . . ,a k , b k sao cho các tổng a 1 + b 1 ,. . . , a k + b k là các số phân biệt và nhỏ hơn n (a) Chứng minh rằng nếu k thỏa mãn điều kiện C n thì k ≤ (2n − 3)/5. (b) Chứng minh rằng 5 thỏa mãn điều kiện C 14 (c) Giả sử (2n − 3)/5 là số nguyên. Chứng minh rằng (2n − 3)/5 thỏa mãn điều kiện C n [...]... CHƯƠNG 1 OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC Bài 22 Tồn tại hay không tập hữu hạn M của các số thực khác 0 thỏa mãn: với mọi số tự nhiên n và một đa thức bậc không nhỏ hơn n với các hệ số trong M mọi nghiệm của đa thức nào đều thực và thuộc M Bài 23 Các số từ 1 đến 10 được viết thưo một thứ tự không cho trước Một người có thể hỏi về 50 số bất kì và tìm được thứ tự tương đối của chúng Số câu hỏi ít nhất cần thi t để... Chỉ ra và chứng minh cách cắt một hình vuông thành nhiều nhất 5 mảnh mà các mảnh đó có thể ghép lại để tạo thành 3 hình vuông không cùng diện tích CHƯƠNG 1 OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC Bài 6 Kí hiệu Fn là dãy Fibonaci: F0 = F1 = 1 và Fn+2 = Fn+1 + Fn với n ≥ 0 Chứng minh rằng: (i) Mệnh đề "Fn+k − Fn chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n "đúng với k = 60 và sai với mọi số tự nhiên k < 60; (ii) Mệnh đề "Fn+t... hạng đầu tiên là 1 và công sai 729 có vô số lũy thừa của 10 Bài 6 Trong tam giác cân ABC(AC = BC) điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp và I là tâm đường tròn nội tiếp và D nằm trên BC sao cho đường thẳng OD và BI vuông góc Chứng minh rằng ID và AC song song 24 CHƯƠNG 1 OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC Bài 7 Có hai đống tiền xu trên bàn Biết rằng tổng khối lượng các đồng xu ở 2 đống bằng nhau và với mọi số tự nhiên... CHƯƠNG 1 OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 1.7 Hy Lạp Bài 1 Cho tam giác ABC Các điểm D, E, Z, H, O lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD, BD, ED, EZ Gọi I là giao điểm của BE và AC, và K là giao điểm của HO và AC Chứng minh rằng: (a) AK = 3CK (b) HK = 3HO (c) BE = 3EI (d) Diện tích tam giác ABC bằng 32 lần diện tích tam giác EOH Bài 2 Cho ABD là một tam giác nhọn, AD, BE, CZ là các đường cao và H là... nhất có thể cho vào hộp thu được ở trên mà không bị tràn ra ngoài 30 CHƯƠNG 1 OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 1.16 31 Thổ Nhĩ Kì Bài 1 Cho 1996 n (1 + nx3 ) = 1 + a1 xk1 + · · · + am xkm , n=1 ở đó a1 , a2 , , am không âm và k1 < k2 < · · · < km Tìm a1996 Bài 2 Trong một hình bình hành ABCD với ∠A < 90 ◦ , đường tròn đường kính AC cắt đường thẳng CB và CD lần thứ hai tại E và F tương ứng, và tiếp tuyến với... (3600, 2500) Chú ý rằng M và N đều là các số chính phương với 2 chữ số bằng nhau ở 2 vị trí và các chữ số khác nhau ở hai vị trí còn lại Hơn nữa, khi các chữ số khác nhau thì chữ số của M lớn hơn chữ số ở vị trí tương ứng của N 1 đơn vị Tìm tất cả các cặp số tự nhiên có bốn chữ số thỏa mãn các tính chất trên Bài 2 Hàm f xác định trên tập tất cả các số nguyên dương thỏa mãn f (1) =1996 và f (1) + f (2) + ·... CHƯƠNG 1 OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC Bài 6 Tìm tất cả các nghiệm nguyên không âm (x, y, z)của phương trình: 2x + 3y = z 2 Bài 7 Các cạnh a, b, c và u, v, w của hai tam giác ABC và U V W liên hệ với nhau bởi hệ thức: u(v + w − u) = a2 , v(w + u − v) = b2 , w(u + v − w) = c2 Chứng minh tam giác ABC nhọn và biểu diễn các góc U, V, W theo A, B, C Bài 8 Hai đường tròn S1 , S2 tiếp xúc ngoài với nhau tại K, và cùng... CHƯƠNG 1 OLYMPIC TOÁN CÁC NƯỚC 1.12 19 Ba Lan Bài 1 Tìm tất cả các cặp số (n, r) với n là một số nguyên dương và r là một số thực để đa thức (x + 1)n − r chia hết cho đa thức 2x2 + 2x + 1 Bài 1 Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác sao cho ∠P BC= ∠P CA . . . 36 2 Olympic toán khu vực 37 2.1 Olympic Châu á - Thái Bình Dương . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Aó - Ba Lan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Olympic vùng. Đề thi Olympic Toán các nước và khu vực 1996 Dịch từ Mathematical Olympiads 1996-1997 bởi Nguyễn Việt Hằng Ngày 16 tháng 9 năm 2004 Mục lục 1 Olympic toán các nước 2 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5 Olympic Châu Mĩ La tinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1 Chương 1 Olympic toán các nước 1.1 Bulgaria Bài 1 Chứng minh rằng