2 Olympic toán khu vực
2.4Czech và Slovak
Bài 1
Kí hiệuZ∗ là tập các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng một số nguyên p >3 là số nguyên tố khi và chỉ khi với mỗi a, b∈Z∗
chỉ có duy nhất một trong các số sau thuộc Z∗:
N1 =a+b−6ab+ p−1
6 , N2 =a+b+ 6ab+
p+ 1 6 .
Bài 2
ChoM là một tập khác rỗng và * là một toán tử hai ngôi trên
M.Nghĩa là, với mỗi cặp (a, b) ∈ M ×M ta đặt cho tương ứng với một phần tử a∗b. Giả sử rằng với mỗia, b bất kì thuộc M,
(a∗b)∗b =a và a∗(a∗b) =b.
(a) Chứng minh rằng a∗b=b∗a với mọi a, b∈M. (b) Với tậpM hữu hạn nào thì tồn tại một toán tử hai
ngôi như vậy? Bài 3
Cho một hình chóppiđáy là một hình vuông cạnh 2amà các cạnh cạnh bên bằng nhau có chiều dài a√17. Gọi M là một điểm trong hình chóp, và với mỗi mặt của π xét hình chóp đồng dạng vớiπ có đỉnhM và đáy nằm trên mặt phẳng chứa mặt đó. Chứng minh rằng tổng diện tích các mặt của 5 hình chóp này lớn hơn hoặc bằng 1/5 diện tích bề mặt của π và xác định M để đẳng thức xảy ra.
Bài 4
Xác định khi nào tồn tại môt hàmf :Z→Zthỏa mãn với mỗi
k = 0,1, . . . ,1996 và với mỗi m∈Zphương trình f(x) +bx=m
Bài 5
Cho A, B là hai tập hợp của các khoảng (đoạn) trên đường thẳng. Tập A chứa2m−1khoảng (đoạn), hai khoảng(đoạn) bất kì có một điểm trong chung. Hơn nữa, mỗi khoảng (đoạn) của
A chứa ít nhất 2 khoảng (đoạn) không giao nhau của B. Chứng minh rằng tồn tại một khoảng (đoạn) của B thuộc ít nhất m
khoảng (đoạn) của A. Bài 6
Các điểmE và Dnằm trên các cạnhAC vàBC của tam giác
ABC (không trùng với các đầu mút). Gọi F là giao của đường thẳng AD và BE. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC và
ABF thỏa mãn: SABC SABF = |AC| |AE| + |BC| |BD| −1.