2 Olympic toán khu vực
2.5 Olympic Châu Mĩ La tinh
Bài 1
Cho số tự nhiên n. Một hình lập phương cạnh n có thể chia thành 1996 hình lập phương mà độ dài các cạnh đều là số tự nhiên. Xác định giá trị nhỏ nhất có thể của n.
Bài 2
Gọi M là trung điểm của trung tuyếnADcủa tam giácABC. Đường thẳng BM cắt cạnhAC tại điểmN. Chứng minh rằnAB
tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam NBC khi và chỉ khi
BM MN = BC2 BN2 2 Bài 3 Chúng ta có một bảng hình vuông gồm k2 −k + 1 hàng và
k2−k+ 1cột, với k=p+ 1,pnguyên tố. Với mỗi số nguyên tốp
hãy chỉ ra một phương pháp phân bố các số 0 và 1, mỗi số trong một hình vuông của bảng sao cho trong mỗi hàng và mỗi cột có đúng k số 0 và không hình chữ nhật nào với các cạnh song song với các cạnh của bảng lại có các số 0 ở bốn góc.
Bài 4
Cho một số tự nhiên n ≥ 2, xét tất cả các phân số dạng 1
ab
với a, b là các số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn a < b < n và
a+b < n. Chứng minh rằng tổng của các phân số này bằng 1/2. Bài 5
Ba cái máy đếmA, B, C được đặt ở các góc của của một tam giác đều cạnh n. Tam giác được chia thành các tam giác cạnh 1. Ban đầu tất cả các đường thẳng trong hình đều được tô màu xanh. Những cái máy đếm này di chuyển dọc theo các đường thẳng, vẽ đường đi của chúng bằng màu đỏ theo các quy tắc sau:
2đề bài bằng tiếng Anh viết thiếu chính xác, so sánh với lời giải tôi sửa lại như trên. Tham khảo thêm bản tiếng Anh để biết thêm chi tiết
(i) Đầu tiên A di chuyển rồi đến B, C và lại A, cứ thế tiếp tục. Trong mỗi lần di chuyển, mỗi cái máy này đi hết một cạnh của một tam giác nhỏ.
(ii) Không có cái máy nào đi lại đường đã được tô màu đỏ, nhưng nó có thể dừng lại trên một đỉnh mà đỏ, ngay cả khi cái máy khác đang ở đó.
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 0 có thể tô màu tất cả các đoạn thành đỏ theo cách này.
Bài 6
Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A1, A2, . . . , An, mỗi điểm Ai được gán cho một số thực khác không λi thỏa mãn:
(AiAj)2 =λi+λj với mọi i6=j. Chứng minh rằng (a) n ≤4; (b) Nếu n= 4 thì 1 λ1 + 1 λ2 + 1 λ3 + 1 λ4 = 0.