Đề cương ôn tập thi olympic giải tích cấp học viện

BÀI TẬP THAM KHẢO THI OLYMPIC toán VNUA GIẢI TÍCH Bộ môn Toán, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam Đề cương ôn tập thi Olympic Giải tích cấp Học viện Năm học 2019 2020 1) Dãy số, giới hạn của dãy số 2.

BÀI TẬP THAM KHẢO THI OLYMPIC VNUA GIẢI TÍCH Đề cương ơn tập thi Olympic Giải tích cấp Học viện Năm học 2019-2020 1) Dãy số, giới hạn dãy số 2) Giới hạn hàm số 3) Đạo hàm ứng dụng đạo hàm Tính đơn điệu; cực trị; giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số Ứng dụng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức Tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trình có nghiệm… 4) Ngun hàm tích phân (phương pháp đổi biến, tích phân phần) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tốn hoc cao cấp, Tập 1, NXB Giao duc, 2006 [2] Nguyễn Xn Liêm, Giải tích (Tập 1) – Giáo trình lý thuyết tập có hướng dẫn, NXB Giao duc, 1997 [3] J Dieudonné, Cơ sở giải tích đại (Phan Đức Chinh dịch, tập 1), NXB DH&THCN, 1978 [4] W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Education, 1976 [5] Nguyễn Xn Viên, Bài tập Giải tích Tốn học I, Học viện KTQS Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam BÀI TẬP THAM KHẢO THI OLYMPIC VNUA GIẢI TÍCH Phần 1: Dãy số Bài Tính giới hạn sin n n  n 3n lim  n  lim n 5n   n n lim n  lim n2  2n   n n  sin  n  n lim n  n lim n  3n   n  n lim n   n n  lim n  sin (n  1)  n  cos (n  1) n  Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  1, un 1  un  3, n  a) Đặt dãy số  un  6, n  Chứng minh dãy (vn ) cấp số nhân b) Từ tìm giới hạn dãy (un ) Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  3, un 1  un  4, n  a) Đặt dãy số  un   , n  Tìm  để dãy số (vn ) cấp số nhân b) Từ tìm giới hạn dãy (un ) Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  2, un 1   un , n  Bài a) Chứng minh dãy số bị chặn trên, tức có số M cho un  M với n b) Chứng minh dãy số đơn điệu tăng, tức un 1  un với n c) Từ suy (un ) có giới hạn tìm giới hạn Phần 2: Giới hạn hàm số Bài Tính giới hạn sau x2  x  x 4 x2  4x  2x 1 lim x 0 x x3  x 1  x  3x  lim x 0 x 2x  x 1 x 5  x4 lim lim lim lim  8x  x 0 4x 2 x x 7 3 lim 1  x 1 ,  x lim x 1   x x 0 x lim lim x 2 n lim x 0 lim x 2 x 2 x 0 2 x x 7 3 x2 1 x  3x  x    3x x2 Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam BÀI TẬP THAM KHẢO THI OLYMPIC VNUA GIẢI TÍCH lim (2 x  x  x ) x  lim ( x3  3x  x  x ) lim s in(x+1) x  x lim x sin x  x 0 x Bài Chứng minh không tồn giới hạn limsin x x  Phần 3: Đạo hàm ứng dụng đạo hàm Bài Tìm cực trị hàm số y x  x  3x  y  x 1  x  2 y  x  sin x  y  2cos x  cos x  Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số y  (m  2) x  x  mx  m có cực đại, cực tiểu Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số y  x  x  3(m  2) x  m  có cực đại, cực tiểu đồng thời hai giá trị trái dấu Bài 10 Tìm giá trị tham số m để hàm số y  x  mx  có cực tiểu mà khơng có cực đại Bài 11 Tìm giá trị tham số m để hàm số y   x3  3x  3(m  1) x  3m  có cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực trị cách gốc tọa độ Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số y  x  x Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số y  (2  t )2  t với t   1,3 Bài 14 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu có) hàm số y  t  6t t  2t  Bài 15 Chứng minh bất đẳng thức sau x arctan x  ln(1  x ) x  x  arctan x  x x  x 1 x  x  ln( x  1)  x với x  x2 ex   x  x  2    x ln x  x   x  x  x y x y với x  y   ln x  ln y    x ln x  x   x  x   sin x  tan x  x, x  [0, ) sin x  x  tan x, x  Từ chứng s inx 1 minh lim x 0 x Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam BÀI TẬP THAM KHẢO THI OLYMPIC VNUA GIẢI TÍCH Bài 16 Cho số nguyên dương n  Chứng minh bất đẳng thức sau với x  (0,1) : x n  x  2ne Các từ 17-20, đưa hàm số biến Bài 17 Cho  x  y  Chứng minh x ln y  y ln x  ln x  ln y Bài 18 Cho x  y  Chứng minh x 2018  y 2018  Bài 19 Cho x, y   3, 2 thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ P  x2  y Bài 20 Cho số thực không âm x, y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ S  (4 x  y )(4 y  x)  25 xy Phần 4: Nguyên hàm tích phân Bài 21 Tính tích phân bất định 2x   x  x  dx  xdx  x2 x2  x6  5x3  dx  ln dx  s inx  arcsin x dx x2  x6  1dx   xdx  e e x x  2 dx Bài 22 Tính tích phân sau  2x 1 dx x(1  x)  2x 1 1 x2  x  dx arctan x dx  x2 x5 0 e x dx 3x   x  1 e dx 1  e   x ln xdx 4  sin x dx cos x dx x(1  x) Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam ... CNTT, Học viện Nơng nghiệp Việt Nam BÀI TẬP THAM KHẢO THI OLYMPIC VNUA GIẢI TÍCH lim (2 x  x  x ) x  lim ( x3  3x  x  x ) lim s in(x+1) x  x lim x sin x  x 0 x Bài Chứng minh không... x  Từ chứng s inx 1 minh lim x 0 x Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT, Học viện Nông nghiệp Việt Nam BÀI TẬP THAM KHẢO THI OLYMPIC VNUA GIẢI TÍCH Bài 16 Cho số nguyên dương n  Chứng minh bất đẳng thức...BÀI TẬP THAM KHẢO THI OLYMPIC VNUA GIẢI TÍCH Phần 1: Dãy số Bài Tính giới hạn sin n n  n 3n lim  n  lim n 5n  