đề thi và đáp án OLYMPIC TOÁN học TOÀN học VIỆN nông nghiệp 2019 2020

MergedFile KHOA CNTT HỘI SINH VIÊN OLYMPIC đại số TOÁN HỌC TOÀN HỌC VIỆN NĂM HỌC 2019 2020 Môn Thi ĐẠI SỐ Thời gian 100 phút Ngày thi 30112019 Bài 1 (8,0 điểm) Cho ma trận 3 1 2 2 0 1 0 0 0 0 1 0 3 1 2 .

KHOA CNTT- HỘI SINH VIÊN OLYMPIC TỐN HỌC TỒN HỌC VIỆN NĂM HỌC 2019-2020 Môn Thi: ĐẠI SỐ Thời gian: 100 phút Ngày thi: 30/11/2019   Bài (8,0 điểm) Cho ma trận A      m 1) (4,0 điểm) Tìm điều kiện m 2 0 2  0  2 để A có ma trận nghịch đảo A 1 Khi đó, tìm ma trận nghịch đảo ma trận A1 theo m 2) (4,0 điểm) Gọi B ma trận nhận từ A sau xóa hàng cột a) Tìm ma trận B  B  I , với I ma trận đơn vị cấp b) Tìm tất ma trận C thỏa mãn BC  CB 1 a a    Bài (7,0 điểm) Cho ma trận A  1 b b  đa thức f  t   t  3t   m2  4 t  m2 1 c c    1) (3,0 điểm) Tính định thức ma trận A theo a, b, c 2) (2,0 điểm) Tìm m để phương trình f  t   có nghiệm phân biệt t1 , t2 , t3 thỏa mãn t12  t22  t32  13 3) (2,0 điểm) Giả sử a, b, c nghiệm phương trình f  t   Tìm m để hệ phương trình tuyến tính AX   có nghiệm nhất,  ma trận không cấp  Bài (3,0 điểm) Giải hệ phương trình: 2 x1  x2  x3  x4  x5  x  2x  x  x  x     x1  x2  3x3  x4  x5   x  x  x  x  x  2    x1  x2  x3  x4  x5  Bài (2,0 điểm) Cho n  * A, B hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn AB  BA  B Chứng minh AB3  B3  A  3I  , I ma trận đơn vị cấp n - Hết Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………………… SBD: …………………… KHOA CNTT- HỘI SINH VIÊN OLYMPIC TỐN HỌC TỒN HỌC VIỆN NĂM HỌC 2019-2020 Mơn Thi: GIẢI TÍCH Thời gian: 100 phút Ngày thi: 30/11/2019 Bài (5.0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định công thức n un     với n  2! 3!  n  1! 1) Chứng minh  un  dãy tăng, tức un 1  un với n  2) Tìm lim un (gợi ý: chứng minh n k 1   sử dụng đẳng thức để rút gọn  k  1! k !  k  1! công thức u n ) n 3) Đặt  n u1n  u2n   u2019 Chứng minh tồn số A không phụ thuộc vào n cho A   n 2019 A với n  Từ tìm giới hạn lim n  Bài (10.0 điểm) Cho hàm số g  x   x   x 1) Tìm giới hạn sau x a) lim ; b) lim g  x  ; x0  g  x  x  2) Chứng minh g  x  hàm đơn điệu giảm c) lim g  x  x  phương trình g  x   m có nghiệm với m  0, m  3) Cho hàm số u  x  hàm số chẵn ( hàm số thỏa mãn u   x   u  x  ), liên tục đoạn  a, a hàm số v  x  hàm số liên tục thỏa mãn v  x   v   x   với v  x x   a, a  , a  Chứng minh a u  x dx    v  x  0 u  x  dx a a  4) Tính tích phân x sin x   x   x2  dx (chú ý: chưa chứng minh ý 3) áp dụng kết quả) Bài (5.0 điểm) Một công ty vận tải Washington, D.C cung cấp dịch vụ tham quan cho khách hàng Một tour tham quan có giá vé (/người) trước la lượng khách hàng ước tính 1000 khách/tuần Sau cơng ty giảm giá vé xuống cịn la lượng khách hàng tăng lên 1200 khách/tuần Giả sử phương trình biểu diễn số lượng khách hàng/tuần N theo giá vé x phương trình đường thẳng (hàm cầu tuyến tính) 1) Tìm phương trình hàm cầu N  x  theo giá vé x 2) Tìm giá vé thích hợp x cho cơng ty vận tải đạt doanh thu/tuần cao nhất, biết hàm doanh thu/tuần hàm R  x   x.N  x  - Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIẢI TÍCH VỊNG Ngày 30/11/2019 Bài (5.0 điểm) n 1  nên  un  dãy tăng  n  ! 1) (1.0 đ) Dễ thấy un 1  un  2) (2.0 đ) Ta có un   k k 11 1    Do  k  1!  k  1! k !  k  1! 1 1 1       1 2! 2! 3! n !  n  1!  n  1! Vậy số hạng tổng quát dãy un    lim u   n  1! n n 3) (2.0 đ) Do  un  dãy tăng nên  uk  u2019 với k  1, 2, , 2018 Khi u2019    2019  n u2019 với n  Cho n   , áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim  u2019   n  2019! Bài (10.0 điểm) 1) (4.0 đ)   x  x  x2  x x lim  lim  lim 2 x 0  g  x  x 0  x  x  x 0 1  x    x  1  lim  x  x  x2  x 0   lim 1  x  x 0 2x x2    (2.0đ) x2   x2 lim g  x   lim  x   x   lim  (1.0đ) x  x    x x   x lim g  x   lim  x   x    (1.0đ) x  x    x 2) (1.5 đ) g '  x   x2  1  x  x2  x2   với x  nên g  x  hàm đơn điệu giảm Bảng biến thiên g  x  : x g ' x  g  x   - Do g  x  hàm liên tục, đơn điệu giảm nhận giá trị  0;   nên phương trình g  x   m có nghiệm với m  u  x  a  v  x  dx Đặt t   x  dt  dx , đổi cận x  a  t  a; x  a  t  a a 3) (2.0 đ) Xét I  a a a u  t  u t  u t  v t  u  x v  x I dt   dt   dt   dx 1  v  t   v t  1 v  x a a  a a v t  (do u  x  hàm chẵn v   x   ) v  x a a a a u  x v  x u  x Do I   dx   dx   u  x  dx  2 u  x  dx (do tính chất tích phân hàm 1 v  x 1 v  x a a a chẵn) a a  I   u  x  dx 4) (2.5 đ) Nhận xét u  x   x sin x hàm số chẵn, g  x   g   x   x2   x   g  x x 1  x Áp dụng kết ý 3) với u  x   x sin x v  x   g  x  ta có  J  x sin x   x   x2  dx   x sin xdx u  x du  dx Đặt   dv  sin xdx v   cos x    /2  /2 J   x sin xdx   x cos x   cos xdx  sin x  0 Bài 1000  7a  b a  200 1) Gọi N  x   ax  b ,   1200  6a  b b  2400 Vậy hàm cầu N  x   200 x  2400 2) Khi doanh thu cơng ty vận tải R  x    200 x  2400  x  200 x  2400 x (2.0 đ) (1.0đ) Từ đó, R '  x   400 x  2400 Hàm R  x  đạt giá trị lớn R '  x    x  Vậy giá vé đô la/người giá vé để công ty vận tải thu doanh thu cao (2.0 đ)  ...KHOA CNTT- HỘI SINH VIÊN OLYMPIC TỐN HỌC TỒN HỌC VIỆN NĂM HỌC 2019- 2020 Mơn Thi: GIẢI TÍCH Thời gian: 100 phút Ngày thi: 30/11 /2019 Bài (5.0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định... Do  un  dãy tăng nên  uk  u2019 với k  1, 2, , 2018 Khi u2019    2019  n u2019 với n  Cho n   , áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim  u2019   n  2019! Bài (10.0 điểm) 1) (4.0 đ)... hàm R  x   x.N  x  - Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIẢI TÍCH VỊNG Ngày 30/11 /2019 Bài (5.0 điểm) n 1  nên  un  dãy tăng  n  ! 1) (1.0 đ) Dễ thấy un