đề thi và đáp án olympi toán giải tích cấp học viện năm 2015 2016

HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM KHOA CNTT – BỘ MÔN TOÁN Ngày thi 07122015 ĐỀ THI OLIMPIC toán GIẢI TÍCH HVNNVN 20152016, VÒNG. OLIMPIC toán GIẢI TÍCHOLIMPIC toán GIẢI TÍCHOLIMPIC toán GIẢI TÍCHOLIMPIC toán GIẢI TÍCH

http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/bo-mon/bm-toan/cac-mon-giang-day/#olimpic HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM KHOA CNTT – BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI OLIMPIC GIẢI TÍCH- HVNNVN 2015/2016, VÒNG Ngày thi: 07/12/2015 Thời gian làm bài: 150 phút Câu (5.0 điểm) Cho dãy số  un  xác định u1  0, un1   un , n  1) Chứng minh  un  với n  2) Chứng minh dãy  un  dãy tăng tức un 1  un với n  3) Tìm lim un ? n  Câu (6.0 điểm) Cho dãy số  un  xác định u1  2, un1  3un  n 1, n  1) Tìm dãy số  an  đa thức bậc n thỏa mãn an1  3an  n 1, n  2) Đặt  un  an , n  với  an  dãy số tìm câu 1) a) Lập công thức truy hồi cho dãy   tìm số hạng tổng qt Từ đó, b) Tìm cơng thức tổng qt dãy số  un  Câu (4.0 điểm) Tìm cơng thức tổng quát dãy số  un  biết u1  1, un1  2un  2015, n  Câu (7.0 điểm) Cho hàm số f xác định  thỏa mãn f (1)  a, với a số thực cho trước, f ( x  y )  f(x)  f(y) với x, y  1) Tìm f (0) 2) Chứng minh f hàm lẻ 3) Bằng quy nạp chứng minh f (mx)  m f(x) với x  m  Từ đó, m 4) Tìm f (m) , f ( ) f ( ) với m  n  * n n 5) Giả sử thêm f liên tục  , tìm hàm số f , tức xác định f(x) với x  Câu (4.0 điểm) Bằng phương pháp xét hàm số chứng minh bất đẳng thức sau ln(1   x )   ln x, x  x Câu (6.0 điểm) Tính tích phân sau 1) I1   sin3 x cos xdx 2) I  x 2015 1 x 2016  1dx http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/bo-mon/bm-toan/cac-mon-giang-day/#olimpic HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM KHOA CNTT – BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI OLIMPIC GIẢI TÍCH- HVNNVN 2015/2016, VÒNG Ngày thi: 28/01/2016 Thời gian làm bài: 120 phút Câu (12.0 điểm) Xác định số hạng tổng quát dãy số sau: 1) x1  1, xn1  xn2  , n  1 , n   2) x1  1, xn 1  (1  ) xn  n (n  1)! 3) x1  1  xn ; xn 1  n   2 Câu (5.0 điểm) Tìm điều kiện  để dãy số sau có giới hạn: a1   , an1  n 1 an  , n   n n    Câu (6.0 điểm) Chứng minh với x    ,  ta có bất đẳng thức:  4  x2 x2  3x  ln cos x   2 Câu (6.0 điểm) Cho hàm số f g xác định liên tục [0,1] vào [0,1] 1) Chứng minh tồn c  [0,1] cho f ( g (c))  c 2) Chứng minh tồn a, b  [0,1] cho f ( g (a))  g ( f (b))  Từ chứng minh tồn x0  [0,1] cho f ( g (x ))  g (f(x )) Câu (5.0 điểm) Chứng minh hàm số f :    thỏa mãn f ( x)  f ( y )  x  y ,  x, y , f có đạo hàm điểm từ hàm số  Câu (6.0 điểm) Cho hàm số f xác định  Chứng minh hai điều kiện sau tương đương: (1) f ( xy  x  y )  f (x y )  f (x)  f ( y),  x, y ; (2) f ( x  y )  f (x)  f ( y ),  x, y   ...http://www.vnua.edu.vn/khoa/fita/vi/bo-mon/bm-toan/cac-mon-giang-day/#olimpic HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM KHOA CNTT – BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI OLIMPIC GIẢI TÍCH- HVNNVN 2015/ 2016, VÒNG Ngày thi: 28/01 /2016 Thời gian làm bài: 120 phút Câu... thức:  4  x2 x2  3x  ln cos x   2 Câu (6.0 điểm) Cho hàm số f g xác định liên tục [0,1] vào [0,1] 1) Chứng minh tồn c  [0,1] cho f ( g (c))  c 2) Chứng minh tồn a, b  [0,1] cho f