BÀI TẬP THAM KHẢO TOÁN CAO CẤP HỌC KÌ I NĂM HỌC 2017 2018 HỌC PHẦN GIẢI TÍCH 1 BÀI TẬP THAM KHẢO BỘ MÔN TOÁN KHOA CNTT HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 1 Chương 1 Hàm số Giới hạn và tính liên tục của hàm.
HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO Chương 1: Hàm số - Giới hạn tính liên tục hàm số Các dạng cần nắm được: Tính giới hạn hàm số dạng xác định dạng vô định ; ; − ;0.;0 ;1 Xét tính liên tục hàm số điểm, miền Tìm điều kiện tham số để hàm số liên tục điểm, miền Bài Tìm miền xác định hàm số sau 1) y = x − 3x + + ; + 2x − x 3) y = ln[1 − ln ( x2 − 5x − 6) ] ] ; 2) y = sin x + 16 − x ; 4) y = arcsin ( x − ) Bài 2* Hàm số f ( x ) gọi hàm số lẻ f(-x) = - f(x); hàm số chẵn f(-x) = f(x) Cho ) ( hàm số f ( x ) = ln x + x + Chứng minh f ( x ) hàm số lẻ tìm hàm ngược (nếu có) Bài Cho hàm số f ( x ) g ( x ) có đồ thị hình vẽ (hình trịn rỗng thể hàm số khơng xác định điểm xét, hình trịn đặc thể giá trị hàm số điểm xét) Sử dụng đồ thị hàm số, xác định giới hạn sau 1) lim f ( x ) + g ( x ) x →2 f ( x) 4) lim+ x →3 g ( x) Bài Tìm giới hạn sau 1) lim x →2 2) lim f ( x ) − g ( x ) x →0 3) lim f ( x ) g ( x ) x →−1 5) lim x f ( x ) x →2 6) f ( −1) + lim g ( x ) x →−1 − x3 ; x →1 − x x−2 ; x2 − x2 + 5x + ; x →−2 x + x + x 2) lim 4) limsin x cot x ; x→0 1− x 2x + 7) lim x →+ x + 3) lim 2− x ; x →4 − x + cos x ; x → /4 sin x − cos x 5) lim x2 − x + 8) lim x →− x − x + 6) lim x2 9) lim x cos x x →0 + Bài Tìm giới hạn sau BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO 1) + x2 + ; x →− x 3x − ; x →+ x + x 3*) lim x → /4 2) lim lim ( 5) lim x − x + x 4*) lim x sin x; x →+ x →+ ) tan x cot − x 4 6) xlim − →1− − x 1− x 1 Bài 6* Tìm giới hạn sau cách sử dụng VCL, VCB tương đương 1) lim x →+ x+ x+ x 3x + 20 4) x →+ ( x − 3) ( x + ) lim 50 x →+ ( x + 1) 30 x − 3x + x →+ x −1 − x x + x + + 3x + 2 x +1 2) lim 5) lim x →0 + 2x −1 x 3) lim 6) lim x→0 x3 + e x −3 − lim 8) x →−1 arcsin( x + 1) x →+ x − Bài Xét tính liên tục hàm số sau miền xác định ln x − x →e x − e 9) lim 7) lim ( x − 2) x 2) f ( x ) = ( x − 2) A x = 1) f ( x ) =| x | + x − + 3x x x x sin 3) f ( x ) = x x = e x −1 − x x −1 5) f ( x ) = x =1 2 x + x e −1 x 4) f ( x ) = x − x =1 x −1 x + 3 x − x 1, x +1 6) f ( x ) = − x 1, − 2x − x x −3 Bài Tìm giá trị tham số để hàm số sau liên tục e x x 1) f ( x ) = a + x x x3 − 3x x 2) f ( x ) = x − 2a + x = sin ( x − 3) x 3) f ( x ) = x − 2 x + a − x BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến Các dạng cần nắm được: Tính đạo hàm theo định nghĩa điểm Tính đạo hàm theo tính chất quy tắc đạo hàm Tính vi phân cấp Tính gần áp dụng vi phân Tính đạo hàm cấp cao sử dụng cơng thức Leibnitz Tính giới hạn sử dụng cơng thức Lopital Tìm đa thức Taylor, Maclaurin Tìm cực trị hàm số biến (bài toán tối ưu) Bài Hãy áp dụng định nghĩa để tính đạo hàm hàm số sau: 1 1) f ( x ) = x − 2) y = sin ( 3x − ) 3) f ( t ) = 5t − 9t 4) y = | x | Bài Cho hàm số f ( x ) = x 1) Nếu a dùng bảng đạo hàm hàm sơ cấp (đạo hàm hàm lũy thừa) tính f ' ( a ) 2) Chứng minh f ' ( ) không tồn Bài Giả sử f ( ) = −3, g ( ) = 4, f ' ( ) = −2, g ' ( ) = Hãy tìm h ' ( ) khi: 1) h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) ; 3) h ( x ) = 2) h ( x ) = f ( x ) g ( x ) ; f ( x) ; g ( x) 4) h ( x ) = 13 ; 16 Bài Tính đạo hàm hàm số sau: ĐS: 1) −38 ; 2) −29 ; 3) y ' = + ; x− 2 x ; x3 Bài Tính đạo hàm hàm số sau: 1) F ( x ) = ( x − x ) 100 ; ln(2 x + 1) x = ; x x +1 5) y = arctan x 3) y = 7) y = ln ( arccos x ) 4) −1.5 x2 + 4x + 2) y = ; x 1) y = x ( x − 1) ; ĐS: 1) y ' = 3) g ( x) 1+ f ( x) x2 − x 3) y = ; x 4) v = x + x 3 x+ − ; x x3 − 4) v ' = + x5 3 x5 2) y ' = 2) g ( t ) = 4) y = e x ( t + 1) −2 x ; x = 1 6) y = x arcsin x 8) y = e x sin x BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO 1 , 10*) y = x x, x2 2 x + 3, 9*) y = sin ( x − ) , x x0 x0 ĐS: 1) F ' ( x ) = 100 ( − x ) ( x − x ) ; 2) g ' ( t ) = − − ln ; 4) y ' = −2 99 3) y '(1) = 12t (t + 1) ; Bài 6* Viết phương trình đường tiếp tuyến với đường cong y = x điểm (1;1) Vẽ hình minh họa kết ĐS: y = x+ 4 Bài Tính y (8) với: 1) y = x2 ; 1− x 2) y = ĐS: 1) y (8) = − 8! ( x − 1) ; x − 4x + ) y( n) = ; 3*) y = ( −1) n ( n!) − x 1+ x ; ( x − 1) ( x − 3) n +1 −n n +1 − −n n 3 n − x + + − 1 n − x + 3) y ( ) = ( −1) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3n 3n Bài Hãy tính đạo hàm cấp cao sau n +1 n +1 1) Tính y (10) với y = ( x3 − x ) ln ( 5x + 1) 2) Tính y ( 20) với y = x sin ( 3x − 1) 3) Tính y (8) với y = ( x2 − 1) e5−3 x Bài Tính vi phân hàm số sau: 5) y = − x arccos x x = ; ( 6r (1 + r ) 6) f ' ( t ) = 3 ) 5) y ' = dr ; (1 + tan t ) u −1 ; u +1 4) y = (1 + r ) ; −2 6) f ( t ) = + tan t t = ĐS: 1) dy = x sin x + x2 cos x dx ; 4) dy = − 3) y = 2) y = ln + t ; 1) y = x sin x ; 2) dy = − x.arccos x − x2 t dt ; 1+ t2 3) dy = ( u + 1) du ; 3 − dy − 1 dx ; = − 1 df ( ) = dt cos t Bài 10 Tính y dy giá trị x = x0 dx = x : 1) y = x − x2 , x0 = 2, x = −0.4 2) y = x ; x0 = 4; x = , x0 = 8, x = x 4) y = e x , x0 = 0, x = 0.5 3) y = BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO ĐS: 1) dy = 0.8; y = 0.64 2) dy = 0.250; y = 0.236 3) dy = −0.078; y = −0.069 4) dy = 0.5; y = 0.6487 Bài 11 Hãy sử dụng xấp xỉ tuyến tính (vi phân) để tính gần giá trị sau: 1) ( 2.001) 2) e−0.015 3) 4) tan 44 5) arctan ( 0, 02 ) 1.002 ĐS: 1) 32.08 2) 0.985 3) 0.998 4) 0.965 5) 0, 02 Bài 12 Tìm giới hạn sau + cos x 2) lim ; x →1 x − x + tan x − x 1) lim ; x → x − sin x a x − xa x →a x − a ( a 0) ; 4) lim 5) lim x →1 x3 3) lim ; x →0 x − sin x ln x ; x2 −1 6) lim x →0 x − sin x ; x3 x lim( x ln x) ; + xe 8) lim ; x →+ x + e x 10*) lim+ ( sin x ) ; 11) lim+ ( + x 7) x →0 x x→0 ĐS: 1) 2; 1 9) lim − x ; x →0 x e −1 ) x →0 2) 3) ln x ; 4) aa ln a − aa Bài 13 Tìm đa thức Taylor bậc hàm số sau: 1) f ( x) = e x x = 0, x = 2) f ( x) = sin x, g ( x) = cos3x x = 0, x = 3) f ( x) = x cos ( x − ) x = 4) f ( x) = ( x2 + 1) e1− x 12) lim x arccot x x →+ 5) x = Bài 14 Tìm đa thức Maclaurin bậc hàm số sau 1) f ( x) = 2) f ( x) = arctan x 4− x x2 − 3) f ( x) = ln (1 + x ) 4) f ( x ) = x +1 Bài 15 Một người nơng dân có khu đất rộng muốn rào mảnh đất có diện tích 150 m2 thành khu vườn hình chữ nhật, sau chia khu vườn đất thành phần diện tích hàng rào nằm song song với cạnh hình chữ nhật Người nơng dân phải làm để giảm tối đa giá thành hàng rào ĐS: Khu đất chia thành mảnh, kích thước mảnh đất 10m 7,5m, cạnh chung 10m BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 16 Một cốc uống nước hình nón làm từ miếng bìa hình trịn bán kính R cách cắt bỏ miếng hình quạt dán cạnh CA CB lại với (xem hình vẽ bên) Hãy tìm dung tích lớn cốc ĐS: Vmax = 2 R Bài 17* Một người phụ nữ đứng điểm A bờ hồ nước hình trịn bán kính 2km Người phụ nữ muốn tới điểm C nằm đối diện phía bên hồ thời gian ngắn Cơ ta với vận tốc 4km/h chèo thuyền với vận tốc 2km/h Hỏi cô ta phải chọn hành trình nào? ĐS: Thời gian y = 2cos + ; ( lớn nhất) Vậy cô ta không chèo thuyền mà nửa vịng hồ từ A đến C Nhìn đồ thị hàm số ta thấy y nhỏ = Bài 18* Hai cột thẳng đứng gia cố dây thừng PRS nối từ đỉnh cột thứ xuống điểm R mặt đất nối tới đỉnh cột thứ hai Hãy chứng tỏ dây thừng có độ dài ngắn 1 = ĐS: Đặt QR = x, PQ = h1 , ST = h2 , QT = a chiều dài sợi dây l Khi l = h12 + x + h22 + ( a − x ) , x a l đạt giá trị nhỏ x = lh1 1 = h1 + h2 BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân Các dạng cần nắm được: Tìm ngun hàm, tích phân bất định, tính tích phân xác định, tích phân suy rộng • Sử dụng bảng ngun hàm tính chất • Sử dụng cơng thức đổi biến • Sử dụng cơng thức tích phân phần Tìm ngun hàm, tích phân bất định, tính tích phân xác định, tích phân suy rộng số dạng hàm đặc biệt: • Hàm phân thức hữu tỷ • Hàm lượng giác • Hàm vơ tỷ đơn giản Sử dụng tích phân xác định để tính độ dài đường cong Xét hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng Bài Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: x 1) f ( x) = − + ; 2) g ( x ) = ; x 1+ 2x 5) k ( x) = ; 4) l ( x) = 3cos x ; 3 − x2 7) y = cos(5x + 2) ; 8) y = e − x 3) h( x) = −3e−4 x + x ; 6) y = x2 −1 9) y = 2− x ; + ; x −9 ĐS: với C số tùy ý, 1) F ( x) = x − x2 − +C ; x 3) H ( x) = e −4 x + x 3/2 + C ; 2) G ( x) = ln(1 + x) + C ; 4) L( x) = sin x + C ; 3 5) K ( x) = arcsin(2 x) + C ; 1 x −3 +C 6) M ( x) = ln 3x + x − + ln x+3 Bài Tính tích phân sau sử dụng phương pháp đổi biến sin x dx dx; ; 1) 2) 3) cot xdx; + cos x x ln x 5) − x dx ; ln 9) 6) x ( x + 5) e − dx ; dx 10) x ; e +1 x dx ; dx 7) ; x 1+ + 11) 2dx ; x ( x − 4) x − 1dx /4 4 x 4) sin 8) x dx ; + 12) e3 x dx 1 − e6 x Bài Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần 1) x arctan xdx ; 2) x ln xdx ; 1/2 5) arcsin xdx ; x −1 0 e x dx ; 6) 3*) arcsin x dx ; x +1 4) ( x + 1) sin xdx ; + e 7) ln xdx ; 8) ln x dx ; x3 BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO + xe 9) −2 x dx ; 10) ( x + 3) e 3x dx − Bài Tính tích phân dạng hàm đặc biệt sau Hàm phân thức hữu tỷ 1) x4 + x2 x + dx ; 2) 5) x+3 x2 + x + dx ; 6) + 4x 9) 2 xdx x + 3x + ; + + 7) ; 11) x 4) xdx ( x + 1) ( x − 2) + dx ; x2 + + dx 6+ x− x 10) x dx x2 + 4x + ; + 2dx ; 2 x + 3x + 1 dx ; − 3x − 3) 8) dx ( x + 2) ; ; dx + 4x + Hàm lượng giác 13) 12) sin x cos2 x dx ; dx ; sin x cos x 14) dx ; cos x 15) sin x sin 3xdx Hàm vô tỷ đơn giản 16) 18) x 1− x dx ; x+3 4x + 4x + 17) − 3x − x dx ; 19) − x dx dx ; Bài Tính tích phân sau: e2 1) ln x dx ; 2) + 5) xe−2 x dx ; 4+ x e + 6) ĐS: 1) e ; 5) 2) ; 4e x3 dx ; 6) + ; 7) ; 7) ; 3) 3) y = arcsin x + − x từ điểm x = đến x = ) ; 5) y = ln x + x − từ điểm x = đến x = ; ĐS: 1) 80 10 − 13 13 ; 27 2) ln − ; + − x2 + x + dx ; Bài Tính độ dài phần đường cong thuộc đồ thị hàm số: 1) y = x 3/ từ điểm (1;1) đến điểm (4;8) ; ( 4) e x dx ; + ln x dx ; x 16 − ; dx 3) ; 4x +1 − 8) x +2 dx ; x3 4) 2; 8) 2) y = ln(1 − x ) với x ; x ( x − 3) với x 6) y = ( e x + e − x ) với x 4) y = 3) ( ) 3− ; BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO 4) 10 ; 5) ; 6) 1 1 e − 2 e Bài Xét hội tụ phân kỳ tích phân suy rộng sau + 1) x3 dx ; x + 3x + + 2) + 4) + 2 1 1 − cos x dx ; + 7) e dx x ĐS: 1) Phân kỳ 5) Phân kỳ −1 5) ln ( + x ) dx ; x +1 1+ x 1 x3 dx ; + 3) e− x dx ; x2 + 6) x2 (1 − x ) dx ; + ; 8) 2) Phân kỳ 6) Hội tụ + sin x 1 x dx ; 3) Hội tụ 7) Hội tụ 4) Phân kỳ 8) Phân kỳ BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO Chương 4: Chuỗi Các dạng cần nắm được: Tính tổng chuỗi số Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số • Sử dụng điều kiện cần, chuỗi phân kỳ lim un x → • Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, tiêu chuẩn tương đương, tiêu chuẩn tích phân chuỗi số dương • Sử dụng tiêu chuẩn tỷ số D’alembert, tiêu chuẩn thức Cauchy để xét hội tụ tuyệt đối chuỗi có dấu • Sử dụng tiêu chuẩn Leibnitz chuỗi đan dấu Tìm bán kính hội tụ, miền hội tụ chuỗi lũy thừa • Sử dụng tiêu chuẩn tỷ số D’alembert, tiêu chuẩn thức Cauchy để tìm bán kính hội tụ • Xét tính chất hội tụ, phân kỳ chuỗi lũy thừa điểm x = R (nếu R ) suy miền hội tụ Tính tổng chuỗi lũy thừa miền hội tụ Bài Tính tổng chuỗi số sau 1* ; n =1 n( n + 1) ( n + ) ; n =1 (3n − 2)(3n + 1) n ; n =1 (2n − 1) (2n + 1) ĐS: 1 ln(1 − n=2 ); n2 3n + n ; 6n n=0 ( ( −1) n n =1 n + − n +1 + n) ; n =1 2( ) 6* n =1 n + 2n + ; n (n + 1)2 2n + n ( n + 1) –ln2 − 8 Bài Xét hội tụ, phân kỳ chuỗi số sau Sử dụng tiêu chuẩn so sánh/tương đương − 3n ; n =1 n + 3n + 2n − ; n =1 2n + 3n − n + 5n + ; n =1 n − 2sin n x 1 − cos ; n n =1 n =1 10 3n n + ; n =1 n + 13 e −e n =1 n −n sin 2n ; 1 n ln 1 + ; n n =1 11 ln 1 + ; n n =1 2n ; n n =1 n + n =1 4n tan n =1 n ( 14* n3e − n ; n =1 ) n2 + n + − n2 − n + ; 12* n =1 ; ; n −1 ln ; n n +1 15* ln n ; n =1 n BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 10 HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO Sử dụng tiêu chuẩn D’alembert/ Cauchy/Tích phân 2n ( 2n + 1) ; 5n n =1 3n n ! ; n n =1 n n ; n n =1 17 16 ; n −1 n =1 ( 2n − 1) 19 n =1 n 2n + 2n + 22 ; n =1 5n − 2n + 2 20 18 n2 ; n +n n! ; n n =1 n 21 n2 n −1 24 n =1 n + 23 n 1 + ; n +1 n =1 n( n −1) ; n 1 25 arctan n n =1 Sử dụng tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối/Tiêu chuẩn Leibnitz 26 ( −1) ; n n n =1 27 ( −1) n =1 ( −1) ; 29 ( −1) ; 30 n n = n + ( −1) n n =1 n ; n + 100 n −1 n ln n ĐS: Hội tụ Phân kì 11 Hội tụ 16.Hội tụ 21.Hội tụ 26- 31.Hội tụ Hội tụ Phân kì 12 Hội tụ 17.Phân kì 22.Hội tụ ( −1) n ; 28 n n =1 ( 2n + 1) n −1 31 ( −1) n −1 n =1 Hội tụ 8.Hội tụ 13.Phân kì 18.Hội tụ 23 Phân kì 3n + n ( n + 1) Phân kì 9.Phân kì 14.Hội tụ 19.Hội tụ 24.Hội tụ Phân kì 10 Phân kì 15.Hội tụ 20.Hội tụ 25.Hội tụ Bài Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau ( x − 4) n ; n n =1 n =1 x n +1 5* ; n =1 n + n =1 ( −2 ) n n +1 x ; ( x − 5) n5 n 2n ( 5x ) n! n =1 n n ( 2n + ) x n ; ; n n +1 ( x − 4) ; n =1 3n + n ; n =1 ( −1) n −1 n =1 xn n! ĐS: 2 − ; 2 [0;10) [-3;5) (-1 1) (1;7) (-1;1) Bài Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi lũy thừa sau miền hội tụ x −1 n =1 x − n =1 ( x − 1) 2n n n n x +1 ( n + 1) x−2 n =1 n =1 n n =1 ( x − 2) n n +1 3n+1 ( x + 1) n BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM 11 HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO ( x − )( x + 1) 1 D = ; ; S ( x ) = 2 x −1 2 ĐS: D = ( −;0 ) ; + ; S ( x ) = x 3 ln | x − | D = (1;3) ; S ( x ) = −1 − x−2 D = ( −2;1) ; S ( x ) = 3− x D = [ − 1;3); S ( x ) = − ln 2x − Bài 5* Tính tổng chuỗi 2n (sử dụng khai triển Maclaurin hàm f ( x ) = e x , ĐS: e ) n ! n =1 ( −1) 1 (sử dụng khai triển Maclaurin hàm f ( x ) = sin x , ĐS: sin ) n +3 ( 2n + 1)! n =1 n n (xét chuỗi n =1 n thay x = nx n , sử dụng tích phân thành phần chuỗi để tính S ( x ) , sau n =1 , ĐS: ln ) 2n (xét chuỗi n n =1 n ( n + 1) n ( n + 1) x n =1 n , tính S ( x ) , sau thay x = 2 − ln , ĐS: ) - HẾT - BỘ MÔN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM 12 ... + 10 0 n ? ?1 n ln n ĐS: Hội tụ Phân kì 11 Hội tụ 16 .Hội tụ 21. Hội tụ 26- 31. Hội tụ Hội tụ Phân kì 12 Hội tụ 17 .Phân kì 22.Hội tụ ( ? ?1) n ; 28 n n =1 ( 2n + 1) n ? ?1 31 ( ? ?1) n ? ?1 n =1. .. + 1) x−2 n =1 n =1 n n =1 ( x − 2) n n +1 3n +1 ( x + 1) n BỘ MƠN TỐN - KHOA CNTT - HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM 11 HỌC PHẦN GIẢI TÍCH - BÀI TẬP THAM KHẢO ( x − )( x + 1) 1? ??... n ? ?1 n =1 ( 2n − 1) 19 n =1 n 2n + 2n + 22 ; n =1 5n − 2n + 2 20 18 n2 ; n +n n! ; n n =1 n 21 n2 n ? ?1 24 n =1 n + 23 n ? ?1 + ; n +1 n =1