Toán học Đề cương ôn tập lý thuyết giải tích hàm40800

Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự ĐỀ CƯƠNG ƠN T P LÝ THUY T GI I TÍCH HÀM ( Giảng viên hướng dẫn : TS Nguy n H u Khánh) ∞ 1) Neáu X không gian Banach ∑ xn chuỗi hội tụ tuyệt đối X chuỗi n =1 ∞ ∑ xn ∞ ∑ xn hội tụ có : n =1 ∞ ∑ ≤ n =1 xn n =1 ∗ Chứng minh : • Vì chuỗi số ∞ ∑ n =1 xn hội tụ nên ∀ε > 0, ∃N > cho ∀n > N , ∀p ta coù : xn +1 + xn + + + xn + p ≤ xn +1 + xn + + + xn + p < ε • X không gian Banach Khi chuỗi ∞ ∑ xn hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃N > cho ∀n > N , ∀p ta coù : n =1 xn +1 + xn + + + xn + p ≤ ε o Thật vậy, ∞ n ⎫ ⎧ x s hộ i tuï ⇔ = ⎨ n ∑ xk ⎬ − hội tụ ⇔ {sn } − dãy Cauchy ( X Banach) ∑ n n =1 k =1 ⎭ ⎩ ⇔ ∀ε > 0, ∃N > cho ∀n > N , ∀p ta coù : s n + p − sn = xn +1 + xn + + + xn + p ≤ ε • Ta suy chuỗi ∞ ∑ xn hội tụ Mặt khác, ∀ n ta có : n =1 x1 + x2 + + xn ≤ x1 + x2 + + xn ≤ • Cho n → ∞ ta : ∞ ∑ xn ≤ n =1 ∞ ∑ n =1 xn ∞ ∑ n =1 xn 2) Không gian định chuẩn X không gian Banach ⇔ Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối X hội tụ ∗ Chứng minh : • Theo định lý trên, ta cần CM chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ X đầy đủ • Giả sử {xn }n dãy CauChy X Khi : ∀k ∈ N , ∃ nk ∈ N (nk > nk −1 ), ta coù : xm − xn < Đặc biệt : xn k +1 − xn k < ( • Xét chuỗi : xn1 + xn2 Vì chuỗi : ∞ ∑ k =1 2k 2k − xn1 + xn3 − xn2 + ) ( ) (∗) xnk +1 − xnk − hội tụ nên chuỗi (∗) hội tụ Khi : [ ( ) ( ) ( )] x = lim sk = lim xn1 + xn2 − xn1 + xn3 − xn2 + + xnk − xnk −1 = lim xn k ∈ X k →∞ k →∞ k →∞ • Ta có : xn − x ≤ xn − xnk + xnk − x • Cho n → ∞ n k → ∞ Do : lim xn = x ∈ X Vaäy X không gian Banach n →∞ Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ DeThiMau.vn -1- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 3) Định Lý Riesz : " Nếu Y không gian đóng không gian định chuẩn X ∀z ∉ Y , ∀ε > 0, ∃x0 thuộc không gian tuyến tính gây nên Y vaø z cho : x0 = vaø x0 − y > − ε , ∀y ∈ Y " ∗ Chứng minh : • Vì z ∉ Y, Y đóng nên : d = d ( z , Y ) = inf z − y > y∈Y • ∀ε > đủ bé ( chọn < ε < 1), với δ = • Đặt : x0 = ε d > 0, theo định nghóa inf : ∃y0 ∈ Y : d ≤ z − y0 < d + δ 1− ε z − y0 → x thuộc KG tuyến tính gây nên Y z x0 = z − y0 • Khi ∀y ∈ Y , ta coù : x0 − y = z − y0 z − ( y0 + z − y0 y ) −y = z − y0 z − y0 • Vì Y KG y0 , y ∈ Y neân : y0 + z − y0 y ∈ Y Do : z − ( y0 + z − y0 y ) > d • Mặt khác : z − y0 < d + δ ⇒ 1 > z − y0 d +δ d δ d = =1− = − ε , ∀y ∈ Y d +δ d +δ d +δ 4) Nếu X KG Banach Y KG đóng X X/Y KG Banach ∗ Chứng minh : • Do : x0 − y > • Ta CM chuỗi hội tụ tuyệt đối X/Y hội tụ • Giả sử chuỗi ∞ ∑ ~xn hội tụ tuyệt đối X/Y, nghóa chuỗi n =1 ∞ ∑ n =1 ~ xn − hội tụ xn cho : • Theo định nghóa chuẩn KG thương, với n ∈ N , ∃u n ∈ ~ ∞ ∞ un < ~ xn + n ⇒ ∑ u n < ∑ ~ xn + n =1 n =1 ∞ • Do : ∑ xn − hội tụ Gọi x = n =1 • Vậy ∞ ∑ un Ta có ~xn ∈ X/Y Vì n =1 x − (u1 + u + + u n ) ∈ ~ x − (~ x1 + ~ x2 + + ~ xn ) neân : ~ x − (~ x1 + ~ x2 + + ~ xn ) ≤ x − (u1 + u + + u n ) → ∞ ∑ ~xn − hội tụ n =1 5) Nếu Y KG Banach L(X, Y ) KG Banach ∗ Chứng minh : • Giả sử {An }n dãy Cauchy L(X, Y) Khi : ∀ε > 0, ∃N > : ∀n, m > N , ta coù : A n − Am < ε • Do : ∀x ∈ X : An x − Am x ≤ An − Am x < ε x (1) ⇒ ∀x ∈ X ⇒ ( An x ) dãy Cauchy Y Do Y - Banach nên dãy {An x}n − hội tụ • Đặt : A : X → Y , Ax = lim An x, x ∈ X n →∞ • Dễ thấy A toán tử tuyến tính Ta caàn CM : ∀α1 , α ∈ K , ∀x1 , x2 ∈ X Ta coù : A(α1 x1 + α x2 ) = α1 Ax1 + α Ax2 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ DeThiMau.vn -2- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự • Từ (1) cho m → ∞ : An x − Ax ≤ ε x (2) • ∀x ∈ X , ∀n > N → An − A ∈ L( X , Y ) → A = An − ( An − A) ∈ L( X , Y ) • (2) ⇒ An − A < ε , ∀n > N Cho thấy A n hội tụ A L(X, Y) Vậy L(X, Y) KG Banach 6) Định lý Pythagore : " Giả sử S hệ trực giao gồm véc tơ khác Khi S hệ độc lập tuyến tính Hơn nữa, với n véc tơ : x1 , x2 , , xn ∈ S ta coù : n ∑ xi i =1 n = ∑ xi i =1 ∗ Chứng minh : n • Lấy n véc tơ : x1 , x2 , , xn ∈ S Giả sử : ∑ α i xi = Khi ∀ j = 1, n ta có : i =1 n n ∑ α i xi , x j = 0, x j = = ∑ α i xi , x j = α j x j , x j i =1 i =1 > Do : α j = 0, ∀ j = 1, n ⇒ {x1 , x2 , , xn } hệ độc lập tuyến tính • Vì x j ≠ nên x j , x j = x j ⇒ S hệ độc lập tuyến tính • Ta có : n ∑ xi = i =1 n n i =1 j =1 ∑ xi , ∑ x j n n n n i =1 i =1 = ∑ ∑ x j , x j = ∑ xi , xi = ∑ xi i =1 j =1 7) Giả sử {xn }n hệ trực giao không gian Hilbert X Khi chuỗi ∞ ∑ xn hội tụ ⇔ chuỗi n =1 ∞ ∑ n =1 xn hội tụ ∗ Chứng minh : n n i =1 i =1 • Gọi sn = ∑ xi , σ n = ∑ xi Theo định lý Pythagore, ∀n > m ta coù : sn − sm = xm +1 + xm + + + xn = xm +1 + xm + 2 + + xn • Do : sn − sm → (n, m → ∞ ) ⇔ σ n − σ m → ∞ (n, m → ∞ ) = σ n − σ m • Do X không gian đầy nên {sn }n hội tụ ⇔ {σ n }n hội tụ 8) Giả sử M không gian đóng không gian Hilbert X Khi x ∈ X biễu diễn dạng x = y + z, với y ∈ M, z ∈ M ⊥ , y phần tử M gần x ⎛⎜ x − y = inf x − u ⎞⎟ u∈M ⎠ ⎝ ∗ Chứng minh : • Khi x ∈ M ta viết : x = x + 0, với x ∈ M, ∈ M ⊥ • Khi x ∉ M : Vì M đóng neân : d = d ( x, M ) = inf x − u > u ∈M • Do định nghóa inf ⇒ ∀n ∈ N , ∃u n ∈ M cho : d ≤ x − u n < d + n • Cho n → ∞ ta {u n }n ⊂ M & lim x − u n = d n→∞ • Ta CM {u n }n dãy Cauchy ( hay dãy bản) Thật vậy, áp dụng đẳng thức hình bình hành cho x − u n & x − u m ta coù : x − (u n + u m ) + u n − u m 2 = x − un + x − um Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ (1) DeThiMau.vn -3- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự • Vì un + um u + um u + um ∈ M neân x − n ≥ d Khi : x − (u n + u m ) = x − n 2 ( • (1) ⇒ x − u n + x − um ) ≥ 4d 2 + un − um (2) ≥0 • Cho qua giới hạn (2) n, m → ∞ ta : 4d + lim u n − u m n, m → ∞ ( ≥ 4d ) ≤ d + d ⇔ lim u n − u m = n, m → ∞ • Do {u n }n dãy Cauchy ( hay dãy ) M • Vì M đóng X đầy nên M đầy Do dãy {u n }n hội tụ phần tử y thuộc M Khi : x − y = lim x − u n = d n →∞ • Đặt : z = x − y ⇔ x = y + z vaø z = d Ta CM : z ⊥ M ⇔ z ∈ M ⊥ • Lấy ∀ u ∈ M, ∀ α ∈ R ta coù : z − αu , z − αu = z , z − z , u α + u , u α = z • Mặt khác : z − αu , z − αu = z − αu 2 2 − z, u α + u α = d − z, u α + u α = x − ( y + αu ) ≥ d ( y + αu ∈ M ) ⇒ d − z , u α + u α ≥ d ⇒ f (α ) = u α − z , u α ≥ 0, ∀α ∈ R 2 • Từ ñoù Δ ' = z , u ≤ Điều xảy ⇔ z , u = ⇔ z ⊥ M ⇔ z ∈ M ⊥ • Tóm lại, ta có x = y + z với y ∈ M, z ∈ M ⊥ ( • Sự biễu diễn Thật vậy, giả sử x = y + z = y'+ z' y, y' ∈ M, z' , z ∈ M ⊥ ) Khi : y − y ' = z '− z Vì M M ⊥ không gian neân y - y' ∈ M, z' - z ∈ M ⊥ Khi : = y − y ' , z '− z = y − y ' , y − y ' ⇒ y − y ' = ⇒ y = y ' & z = z ' 9) Bất đẳng thức Bessel : " Giả sử {ei }i hệ trực chuẩn không gian Hilbert X Khi ∀ x ∈ X ta coù : ∞ ∑ ξi ≤ i =1 x , với ξ i = x, ei , ∀i." ∗ Chứng minh : n n • ∀ x ∈ X, đặt yn = x − ∑ ξ i ei (n = 1,2, ) ⇒ x = yn + ∑ ξ i ei i =1 i =1 n n i =1 i =1 • ∀j = 1, n, ta coù : yn , e j = x − ∑ ξ i ei , e j = x, ei − ∑ ξ i ei , e j = x, e j − ξ j = ⇒ y n ⊥ ξ i ei , ∀i = 1, n ⇒ yn ⊥ ξ j e j , ∀j = 1, n ⇒ {yn , ξ1.e1 , , ξ n en } hệ trực giao • Theo định lý Pythagore ta coù : x 2 n = yn + ∑ ξ i ei i =1 • Cho n → ∞ ∞ ∑ ξi ≤ i =1 = yn n + ∑ ξ i ei i =1 = yn n n i =1 i =1 + ∑ ξi ≥ ∑ ξi x , với ξ i = x, ei , ∀i Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ DeThiMau.vn -4- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 10) Giả sử {ei }i hệ trực chuẩn không gian Hilbert X Khi ∀ x ∈ X chuỗi ∞ ∑ ξi ei hội tụ i =1 ∞ ⎛ ⎞ ⎜⎜ x − ∑ ξ i ei ⎟⎟ ⊥ e j , ∀j i =1 ⎝ ⎠ ∗ Chứng minh : • Vì ∞ ∑ ξi ei i =1 ∞ = ∑ ξi ≤ x < ∞ nên theo câu (7) ta suy chuỗi i =1 ∞ ∑ ξi ei hội tụ i =1 ∞ ⎛ ⎞ • Mặt khác : ∀j & n > j ta coù : x − ∑ ξ i ei , e j = lim x − ∑ ξ i ei , e j = ⇒ ⎜⎜ x − ∑ ξ i ei ⎟⎟ ⊥ e j , ∀j n →∞ i =1 i =1 i =1 ⎝ ⎠ 11) Giả sử {ei }i hệ trực chuẩn không gian Hilbert X ξ i = x, ei (i = 1,2, ) hệ số Fourier ∞ n x e i Khi mệnh đề sau tương đương : (i) {ei }i hệ trực chuẩn đầy đủ ∞ (ii) ∀x ∈ X ⇒ x = ∑ ξ i ei i =1 (iii) ∀x ∈ X ⇒ x ∞ = ∑ ξi (đẳng thức Passerval ) i =1 ∞ (iv) ∀x ∈ X , y ∈ X ⇒ x, y = ∑ ξ iηi với i =1 ( ξ{i = x, ei , η{i = y, ei Cờ si i ê ta i ) (v) Hệ {ei }i tuyến tính trù mật X nghóa L({ei }) = X ∗ Chứng minh : ∞ ⎛ ⎞ • (i ) ⇒ (ii ) : Theo caâu (10) ta coù ⎜⎜ x − ∑ ξ i ei ⎟⎟ ⊥ e j , ∀j Vì {ei }i hệ trực chuẩn đầy đủ nên : i =1 ⎝ ⎠ ∞ ∞ i =1 i =1 x − ∑ ξ i ei = ⇔ x = ∑ ξ i ei • (ii ) ⇒ (iv ) : Với ξ{i = x, ei , η j = y, e j (i, j = 1,2, ) ta coù : { Cờ si i ∞ i =1 n ∑ ξ iηi n →∞ = lim ∞ ∑ ξi ei , ∑η j e j x, y = i =1 eâ ta j n n i =1 j =1 ∑ ξi ei , nlim ∑η j e j →∞ n →∞ = = lim lim j =1 n ∞ i =1 i =1 n n ∑ ξ i ei , ∑η j e j n → ∞ i =1 j =1 ∑ ξiηi = ∑ ξiηi n →∞ ei , ei = lim • (iv ) ⇒ (iii ) : Từ (iv) cho y = x ta : x ∞ = x, x = ∑ ξ i i =1 • (iii ) ⇒ (i ) : Giả sử có (iii) x ⊥ ei , ∀i Từ : ξ i = x, ei = 0, ∀i ⇒ x { Cờ si i ∞ • (ii ) ⇒ (v ) : Giả sử có (ii) Khi ñoù ∀x ∈ X , ta coù : x = ∑ ξ i ei = lim i =1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ DeThiMau.vn ∞ = ∑ ξ i = ⇒ x = i =1 n ∑ ξ i ei n →∞ i =1 -5- Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự Ta thấy x giới hạn dãy tổ hợp tuyến tính phần tử e i nên x ∈ L({ei }) • (v ) ⇒ (i ) : Giả sử có (v) x ⊥ ei , ∀i ⇒ x ⊥ L({ei }) ⇒ x ⊥ L({ei }) ⇒ x = ⇒ {ei }i hệ trực chuẩn đầy đủ Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ DeThiMau.vn -6- ... : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 3) Định Lý Riesz : " Nếu Y không gian đóng không gian định chuẩn X ∀z ∉ Y , ∀ε > 0, ∃x0 thuộc không gian tuyến tính gây nên Y vaø z cho : x0 = vaø x0... x, x ∈ X n →∞ • Dễ thấy A toán tử tuyến tính Ta caàn CM : ∀α1 , α ∈ K , ∀x1 , x2 ∈ X Ta coù : A(α1 x1 + α x2 ) = α1 Ax1 + α Ax2 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ DeThiMau.vn -2-... m → ∞ ) ⇔ σ n − σ m → ∞ (n, m → ∞ ) = σ n − σ m • Do X không gian đầy nên {sn }n hội tụ ⇔ {σ n }n hội tụ 8) Giả sử M không gian đóng không gian Hilbert X Khi x ∈ X biễu diễn dạng x = y + z, với