SKKN GIẢI bài TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH và mở RỘNG bài TOÁN

SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN MỤC LỤC Danh mục chữ viết tắt Trang MỞ ĐẦU Trang 1.1 Lý chọn đề tài Trang 1.2 Mục đích nghiên cứu Trang 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trang 1.4 Kế hoạch nghiên cứu Trang 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trang NỘI DUNG Trang 2.1 Một số kết thường gặp tam giác Trang 2.2 Bài toán IMO 1961 Trang 2.3 Mở rộng toán măt phẳng Trang 15 2.4 Mở rộng tốn khơng gian Trang 20 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Trang 22 3.1 Kết từ thực tiễn Trang 22 3.2 Kết thực nghiệm Trang 23 KẾT LUẬN Trang 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 25 MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TỐN Góc tam giác ABC a, b, c Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C tương ứng p Nửa chu vi tam giác ABC R Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC r Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC S Diện tích tam giác ABC Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A V Thể tích khối tứ diện ABCD Diện tích mặt đối diện đỉnh A tứ diện ABCD MỞ ĐẦU VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN 1.1 Lý chọn đề tài Tốn học mơn học có vai trị quan trọng chương trình THPT Tốn học khơng giúp cho học sinh kỹ tính tốn mà phát triển tư cho học sinh, đặc biệt tư sáng tạo, khái quát… Trong toán học, việc phát triển tư cho học sinh việc quan trọng Đối với nhiều học sinh, em thường hài lòng với việc giải xong tốn mà khơng xem xét thêm cách giải khác phổ biến Trong q trình dạy học tơi thường khuyến khích học sinh giải tốn theo nhiều cách khác nhau, từ rèn luyện cho học sinh thói quen giải vấn đề theo nhiều cách khác nhau, tư có ích sống đại ngày Trong q trình dạy học tơi thấy toán IMO sau thú vị, tốn là: “ Cho tam giác có độ dài ba cạnh có diện tích Chứng minh rằng: ” Tơi thấy có nhiều cách để tính diện tích tam giác, từ ta chứng minh toán thú vị theo nhiều cách khác Mặt khác, mặt phẳng không gian có mối liên hệ với nhau, tính chất mặt phẳng mở rộng khơng gian, ta mở rộng tốn không gian cho tứ diện Với lý chọn đề tài “ Phát triển tư cho học sinh thơng qua giải tốn IMO theo nhiều cách mở rộng toán” Trong đề tài tơi trình bày 16 cách giải khác cho toán nêu, đồng thời mở rộng toán mặt phẳng khơng gian 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh biết cách vận dụng kiến thức để giải vấn đề nhiều cách khác - Rèn luyện kỹ mở rộng toán theo nhiều hướng 1.3 Đối tượng nghiên cứu VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Là học sinh khá, giỏi lớp 12I, 12K trường THPT Tây Hiếu 1.4 Kế hoạch nghiên cứu - Từ 20/09/2015 đến 15/10/2015: Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu - Từ 16/10/2015 đến 20/12/2015: Đọc tài liệu lý thuyết, viết sở lý luận - Từ 21/12/2015 đến 16/02/2016: Áp dụng đề tài vào thực tiễn - Từ 17/02/2016 đến 15/04/2016: Viết báo cáo, trình bày báo cáo trước tổ chun mơn xin ý kiến đóng góp - Từ 16/04/2016 đến 10/05/2016: Hoàn thiện báo cáo 1.5 Phương pháp nghiên cứu - Đọc tài liệu liên quan để viết sở lý thuyết - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG 2.1 Một số kết thường gặp tam giác KQ1 Cơng thức diện tích tam giác ( công thức Hê rông) = (1) Chứng minh công thức (1) ( cơng thức cịn lại có sách giáo khoa 10) Cách Theo công thức Hê rông ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Cách Áp dụng định lý hàm cosin ta có KQ2 Trong tam giác ABC ta có Chứng minh Xét tam giác ABC có đường trịn nột tiếp tâm I tiếp xúc cạnh BC, CA, AB M, N, P Khi ta có A N P I C B M Trong tam giác vuông API ta có Chứng minh tương tự ta có kết lại KQ3 Trong tam giác ABC ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN (2) (3) Chứng minh (2) Trong tam giác ABC ta có Chứng minh (3) Trong tam giác ABC ta có KQ4 Trong tam giác ABC ta có (4) (5) (6) (7) Chứng minh (4) VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Trước hết ta chứng minh với Đẳng thức xảy Ta có Đẳng thức xảy Áp dụng bất đẳng thức ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC Chứng minh (5) Ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC Chứng minh (6) Ta có Áp dụng bất đẳng thức ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC Chứng minh (7) Ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Áp dụng bất đẳng thức ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC 2.2 Bài toán [IMO 1961] Cho tam giác minh rằng: có độ dài ba cạnh có diện tích Chứng Cách Ta thấy vế trái mối liên hệ cạnh, ta sử dụng công thức Hê rông để giải tốn Ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách Sử dụng công thức Hê rông kết hợp bất đẳng thức Côsi Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức quen thuộc Ta có Áp dụng bất đẳng thức ta có Lấy bậc hai hai vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách Theo cơng thức diện tích Hê rơng ta có Với số thực ta có Áp dụng bất đẳng thức ta có: VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách Theo định lý cosin cơng thức diện tích , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Xét , ta xem tam thức bậc hai ẩn a với hệ số bậc hai 1, mà Do hiển nhiên Vậy bất đẳng thức cho Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách Biến đổi tương đương Ta có từ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách Theo định lý cosin tam giác ta có Suy Từ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Cách Ta có Mặt khác ta có Từ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách Ta có Áp dụng cơng thức diện tích tam giác ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách Trước hết ta chứng minh cơng thức Ta có Tương tự ta có Từ ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 10 Ta có Do ta có Mặt khác ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 11 Gọi G trọng tâm, O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ta có , Do nên Từ suy Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 12 Sử dụng tính chất tâm đường trịn nội tiếp tam giác A N P B I M C VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, lên BC, CA, AB Ta có Thật vậy, đặt Ta có hình chiếu I Suy vng góc Chứng minh tương tự ta có khơng phương ta có hay Bình phương hai vế đẳng thức ta có vng góc Mà Từ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 13 Ta sử dụng cơng diện tích A B H M C Xét tam giác ABC có M trung điểm BC H chân đường cao kẻ từ A Ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 14 Khơng tính tổng qt giả sử Khi ta có A B C D Dựng tam giác cho B, D phía AC Áp dụng định lý cosin cho ta giác ABD ta có Do nên ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 15 Khơng tính tổng qt giải sử Dựng tam giác vng M có điểm M, C nằm phía với đường thẳng bờ AB Dựng tam giác vng N có với đường thẳng bờ AC điểm N, B nằm phía với A 30° 30° B C M N VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TỐN Ta có Áp dụng định lý cosin cho tam giác MAN ta có Vì nên ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 16 Khơng tính tổng qt giải sử ABC tam giác ABM CAN Dựng phía ngồi tam giác N M A B C Áp dụng định lý cosin cho tam giác AMN ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Mà , suy Đẳng thức xảy tam giác ABC 2.3 Mở rộng toán mặt phẳng Bài toán phát biểu cho lũy thừa số mũ 2, ta mở rộng tốn lũy thừa với số mũ chẵn lớn Cho tam giác ABC có diện tích S độ dài cạnh a, b, c Với minh chứng Để chứng minh toán ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề Cho , chứng minh: Giải Ta có nên Đẳng thức xảy VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Bổ đề Cho chứng minh i) ii) Giải i) Cách Ta có bất đẳng thức cho tương đương bất đẳng thức Đặt (đk: ), ta có bất phương trình Ta có Khi Bảng biến thiên - + Dựa vào bảng biến thiên ta có Vậy bất đẳng thức cho Cách Theo bất đẳng thức Becnuli ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Đẳng thức xảy ii) Theo câu i) ta có Đẳng thức xảy Bổ đề Cho , chứng minh i) Giải i) Nếu Nếu ii) ta có: bất đẳng thức hiển nhiên , ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TỐN Từ ta có điều phải chứng minh ii) Theo bất đẳng thức i) ta có ( theo bổ đề 2i) Đẳng thức xảy Bổ đề Trong tam giác ABC ta có Hay Giải Cách Theo cách chứng 10 mục 2.1 ta có Mà từ ta có điều phải chứng minh Cách Ta có: (với ( ) ) VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TỐN Bất đẳng thức cuối ln đúng, từ ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC Quay lại chứng minh tốn Trong tam giác ABC ta có Do đó, theo bổ đề ta có ( bổ đề 3ii) VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN (theo bổ đề 2ii) ( theo bổ đề 4) Vậy Đẳng thức xảy tam giác ABC 2.4 Mở rộng tốn khơng gian Tam giác mặt phẳng tứ diện không gian có mối liên hệ biện chứng, nhiều tính chất tam giác mở rộng không gian tứ diện Do đó, tốn ta mở rộng khơng gian thành tốn sau: Cho tứ diện ABCD, đặt thể tích khối tứ diện ABCD Chứng minh , Giải Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề Với số thực ta có Chứng minh Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm Khi ta có , , VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TỐN Mặt khác, ta ln có , suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy , , hướng hay Bổ đề Trong tam giác ABC ta có Chứng minh Theo tốn 2.1 ta có (*) Mặt khác ta có (**) Từ (*) (**) ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC D K A E H C F B Quay trở lại tốn Gọi H hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (ABC) Gọi E, F, K hình chiếu vng góc H lên AB, BC, CA VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Đặt Áp dụng định lý Pitago ta có Do ( Theo bổ đề 5) = ( Theo bổ đề 6) Đẳng thức xảy tứ diện ABCD THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1 Kết từ thực tiễn Trước dạy thực nghiệm khảo sát lớp 12I 12K Qua kết khảo sát thấy phần lớn học sinh lịng với cách giải mà tìm khơng hứng thú để tìm cách giải khác Sau dạy thực nghiệm cho lớp 12I thấy em có hứng thú giải tốn, em ln có xu hướng tìm tịi cách giải khác Nhiều em tìm nhiều cách giải độc đáo VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN 3.2 Kết thực nghiệm Sáng kiến áp dụng năm học 2015 – 2016 Thực nghiệm tiến hành lớp 12I (36 học sinh) 12K (40 học sinh) trường THPT Tây Hiếu, thị xã Thái Hịa, Nghệ An Trong lớp 12I áp dụng sáng kiến, lớp 12K không áp dụng sáng kiến Sau dạy thực nghiệm, cho lớp làm kiểm tra sau TRƯỜNG THPT TÂY HIẾU ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM Thời gian: 45 phút Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức sau cách mở rộng toán Kết khảo sát Loại Lớp 12I 12K Giỏi Khá 13.9% 0% 25% 0% Trung bình 36.1% 27.5% Yếu Kém 13.9% 30% 11.1% 42.5% Nhận xét kết khảo sát: Lớp 12K không dạy thực nghiệm nên hầu hết em giải cách khơng mở rộng tốn Ngược lại, lớp 12I dạy thực nghiệm nên hầu hết em giải hai cách trở lên mở rộng toán Tổng hợp cách giải học sinh mở rộng Cách Áp dụng bất đẳng thức ta có Đẳng thức xảy Cách Ta có Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cho VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Đẳng thức xảy Cách Bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức (*) Xét tam thức bậc hai ẩn a Ta có Do hay bất đẳng thức (*) Vậy bất đẳng thức cho Đẳng thức xảy Cách Khơng tính tổng qt, giả sử Ta có Đẳng thức xảy Cách Khơng tính tổng qt, giả sử Ta có bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức (*) Do nên bất đẳng thức (*) Vậy bất đẳng thức cho Đẳng thức xảy Cách Ta có Đẳng thức xảy Mở rộng Mở rộng theo hướng tăng số mũ Cho số thực a, b, c ta có Mở rộng Mở rộng theo hướng tăng số hạng Cho số thực ta có KẾT LUẬN Việc bồi dưỡng tư cho học sinh việc làm cần thiết thường xuyên Đặc biệt giải toán theo nhiều cách khác nhau, qua học sinh rèn luyện cách tiếp cận toán theo nhiều hướng khác Điều tạo hứng thú cho học sinh học tập mà trau dồi khả xử lý tình VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN huống, kỹ quan trọng trọng sống Qua trình giảng dạy tơi thấy học sinh có hứng thú học mơn Tốn, đặc biệc em khơng lịng với cách giải mà ln cố gắng tìm tịi nhiều cách giải độc đáo Đề tài trình bày, trao đổi góp ý với tổ Tốn – Tin hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm trường THPT Tây Hiếu Các thành viên đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài Mặc dù cố gắng đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Mong ban giám khảo đồng nghiệp giúp đỡ để đề tài hồn thiện Thái Hịa, ngày 12 tháng 05 năm 2016 Tác giả Võ Nam Phong TÀI LIỆU THAM KHẢO VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com ... skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Mà , suy Đẳng thức xảy tam giác ABC 2.3 Mở rộng toán mặt phẳng Bài toán phát biểu cho lũy thừa số mũ 2, ta mở rộng tốn lũy... LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Áp dụng bất đẳng thức ta có Đẳng thức xảy tam giác ABC 2.2 Bài toán [IMO 1961] Cho tam giác... 10) Cách Theo công thức Hê rơng ta có VÕ NAM PHONG – THPT TÂY HIẾU – THÁI HOÀ NGHỆ AN TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com SKKN: GIẢI BÀI TOÁN IMO THEO NHIỀU CÁCH VÀ MỞ RỘNG BÀI TOÁN Cách