Ta có thể xây dựng phương trình là tổng của các hàm đơn điệu hoặc là một đa thức mà theo Đecac thì hệ số đổi dấu k lần thì sẽ không có quá 1 nghiệm dương.. Ta xét ví dụ sau..[r]
(1)Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số Mục lục Bài dãy số đề thi quốc gia năm 2013 1.1 Bài toán gốc 1.2 Mở rộng 2 Dãy số xây dựng từ phương trình Giới hạn tổng (2) Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số Bài dãy số đề thi quốc gia năm 2013 1.1 Bài toán gốc Đề bài Cho dãy số {un } xác định hệ thức truy hồi u1 = un+1 = − un + 2un Chứng minh dãy số đa cho có giới hạn và tìm giới hạn đó Chứng minh Ta tìm u2 = Ta chứng minh cho ≤ un ≤ 2, ∀n ≥ 2 Thật Với n − điều cần chứng minh là đúng Ta giả sử điều cần chứng minh đúng với ≤ k ≤ n, nghĩa là ≤ uk ≤ 2, ∀2 ≤ k ≤ n Ta chứng minh đúng với n = k + Vì Bernoulli ta có: ≤ uk ≤ nên theo bất đẳng thức uk + uk + ≥ − u k uk + 1 =2− ≥2− uk + 1+1 = uk+1 = − Mặt khác, vì ≤ uk ≤ nên ta có uk + uk + = − 2uk 2.2uk −1 uk + uk + ≤2− =3− 2(uk − + 1) 2uk 1 1 ≤3− − ≤ − − = 2 uk 2 uk+1 = − 3 ≤ uk+1 ≤ Theo nguyên lý quy nạp thì ≤ un ≤ 2, ∀ n ≥ 2 Bây ta chứng minh {un } là dãy đơn điệu Thật vậy, xét hàm số Vậy x+2 f (x) = − x − x , x ∈ ,2 2 Ta có f (x) = −1 + x ln + ln − 2x − ln − (x + 2) ln − = ≤ ≤ x x 2 2x (3) Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số x+2 ≥ x Từ đây suy 2x un+1 ≥ un Vậy {un } là dãy không giảm và bị chặn trên nên tồn lim un và ta tìm lim un = Suy f (x) là hàm nghịch biến và f (x) ≥ f (2) = ⇒ − 1.2 Mở rộng Ta có thể nhận thấy bài toán trên có thể xây dựng sau Xuất phát từ việc đánh giá bất đẳng thức Bernoulli với r ∈ [1, 2] 2r = (1 + 1)r ≥ + r 2r = 2.2r−1 ≤ 2.(1 + r − 1) = 2r Suy 1 ≤ r ≤ 2r r+1 Thay r un ta 1 ≤ un ≤ 2un un + y.un + z Ta xây dựng dãy số {un } có dạng un = x − Khi đó ta có đánh giá 2un x− y.un + z y.un + z y.un + z ≤x− ≤x− u n un + 2un Vấn đề đây ta cần chọn các hệ số x, y, z cho bài toán giải và có nghiệm chẵn Ta ngầm định dãy số {un } tăng đến thì cần phải có x− 2y + z = 22 (∗) Mặt khác, ta cần phải chọn a1 cho u1 + = 2u1 Ở đây ta dễ dàng chọn u1 = Tiếp theo, ta cần chọn x, y, z để bất đẳng thức sau đạt cận theo ý đồ tác giả Ở đây, ý đồ tác giả là ≤ un và dấu thỏa mãn u1 = Vậy x, y, z cần thỏa mãn x− y+z = 2 (∗∗) Một lưu ý rằng, cách đánh giá bất đẳng thức ta cần có y.an + z ≥ nên ta phải chọn y, z cho y.an + z ≥ (***) Từ (*), (**) và (***) ta chọn x = 3, y = 1, z = và dãy số ta thu là u1 = un+1 = − un + 2un (4) Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số có giới hạn Bằng cách trên, ta có thể xây dựng dãy số tương tự sau Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli với un ∈ [2, 3] ta các đánh giá 2u−n−1 ≥ + un − = un 2un −1 = 2.2un −2 ≤ 2(un − 1) = 2un − Suy 1 ≤ un −1 ≤ 2un − 2 un Ta xây dựng dãy số {un } có dạng un+1 = x − y.un + z 2un −1 Khi đó ta có đánh giá x− y.un + z y + y.un + z y.un + z ≤x− ≤x− i −1 n un 2un − Ở đây ta ngầm định dãy số có giới hạn và ta chọn u1 = Ta chọn x, y, z cho x − 3y + z = x − y + z = 2 Từ đây ta chọn x = 4, y = 1, z = và dãy số thu là u1 = un+1 = − un + (1) 2un −1 Một cách tương tự bài toán gốc, ta có thể tính lim un = n→∞ Tương tự, xuất phát từ đánh giá trên đoạn [4, 5] ta có 2un − ≤ 3un −3 ≤ 3.(2an − 7) Suy 1 3(2un − 7) 3un −3 2un − y.u + z Ta tìm dãy số {un } có dạng un+1 = x − unn −3 Ta có đánh giá x− ≤ ≤ y.un + z y.un + z y.un + z ≤ x − un −3 ≤ x − 2un − 3(2un − 7) (5) Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số Ta chọn u1 cho 2u1 − = 3u1 −3 và ta chọn u1 = Ta ngầm định dãy số có giới hạn và đánh giá ≤ un ≤ Ta cần chọn x, y, z thỏa mãn x − 5y + z = x − (3x + y) = Ta chọn x = 21 1 , y = , z = − đó dãy số xây dựng là 4 u1 = 4un+1 = 21 − 2un − (2) 3un −3 Ta chứng minh dãy số có giới hạn Thật vậy, theo bất đẳng thức Bernoulli ta có 21 2un − − 4[2un − 5] 21 ≥ − 1+ 4 2un − ≥5− 2un − =4 ≥5− 2.3 − un+1 ≥ Ta có un+1 = ≤ = = ≤ 21 21 21 21 21 2un − 12.2un −4 2un − − 12(2un − 7) 1+ − 12 2un − 1 − − 12 2(2un − 7) 1 − + 12 − =5 Vậy {un } là dãy bị chặn Bây ta chứng minh dãy đơn điệu Xét hàm số f (x) = 21 2x − 21 27 2x − −x− = − x − x 4.3x−3 4 (6) Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số Ta có 27 (2x − 1) ln − 3x 27(2x − 1) ln − 54 − 4.3x = 3x 243 ln − 54 − 4.34 ≤ 3x ≤0 f (x) = −1 − 21 2x − − ≥ x Từ đây suy un+1 ≥ un 4.3x−3 Vậy {un } là dãy số không giảm và bị chặn trên và ta tính lim un = Vây f (x) ≤ nên f (x) ≥ f (5) = hay Dãy số xây dựng từ phương trình Ta có thể xây dựng dãy số {xn } hội tụ đến kết theo ý muốn với xn là nghiệm phương trình fn (x) = trên miền D Ta có thể xây dựng phương trình là tổng các hàm đơn điệu là đa thức mà theo Đecac thì hệ số đổi dấu k lần thì không có quá nghiệm dương Ta xét ví dụ sau Đề bài Từ các hàm đơn điệu ta xét họ phương trình fn (x) = √ n x− 17 + x3 − = x (3) Ta chứng minh với n thì phương trình đã cho nghiệm dương xn và lim xn = Chứng minh Đối với ý đầu tiên, phương pháp chung là chứng minh hàm đơn điệu và sử dụng tính chất hàm liên tục để fn (x) = có nghiệm 1 Thật vậy, f (x) = √ + + 3x2 > 0, ∀x > 0, n ∈ N∗ nên hàm số đồng biến n n xn−1 x trên (0; +∞) Mặt khác ta có: fn (1) = −1 < 0, ∀n ∈ N∗ √ n fn (2) = + − > 0, ∀n ∈ N∗ Suy phương trình fn (x) = có nghiệm dương xn ∈ [1, 2] Đối với ý thứ hai, phương pháp chung là ta chứng minh cho dãy nghiệm là đơn điệu (7) Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số Ta có √ 17 x − + x3 − x 1 = fn (x) + x n + 1 − x n(n + 1) fn+1 (x) = n+1 Vì xn là nghiệm phương trình fn (x) = nên ta có 1 n(n + 1) n + 1 − xn fn+1 (xn ) = fn (x) + xn ≤0 Vì fn+1 (x) đơn điêu tăng nên fn+1 (x) = có nghiệm xn+1 ≥ xn Vậy dãy số {xn } không giảm Vậy tồn lim xn và ta tính lim xn = Sở dĩ ta có thể xây dựng họ các phương trình fn (x) mà để dãy nghiệm √ chúng hội tụ đến giá trị đinh trước là vì x > thì lim n x = nên n→∞ ta thu phương trình x3 15 − − = có nghiệm x = Vấn đề x đây là ta đã xây dựng các hàm đơn điệu thì việc chọn hệ số tự cho dãy nghiệm hội tụ đến kết định trước Ta có thể xây dựng dãy số phi tuyến từ nghiệm phương trình bậc hai mà việc xác định số hạng tổng quát nó là làm Ta xét phương trình bậc hai sau đây x2 − m2 x − = có hai nghiệm thực α, β phân biệt Xét dãy số có dạng n xn = a α + β n Áp dụng định lý Vi–et ta có x2n =a α 2n+1 +β 2n+1 2n + 2.(3) n = a2 (xn+1 + 2.(3)2 ) Vậy ta xây dựng dãy số x0 = a.m2 xn+1 = xn − 2.(3)2n (4) a Đặc biêt hóa, ta thu các hệ thức truy hồi Đối với bài toán này, ta hướng n n dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát có dạng xn = α(a2 + b2 ) Sử dụng phép (8) Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số đồng ta tìm a và b n Với ý tưởng trên, ta xét tiếp xn = a α3 + β n Áp dụng định lý Vi–et ta có n x3n = a3 (xn+1 + 3xn (−3)3 ) Từ đây ta xây dựng dãy số x0 = a.m2 xn+1 = xn + 3xn 33n (5) a Từ dãy số xây dựng trên, ta có thể hướng dẫn học sinh tìm số hạng tổng quát dãy số sau Đối với bài toán này, ta hướng dẫn học n n sinh tìm số hạng tổng quát có dạng xn = α(a3 + b3 ) Sử dụng phép đồng ta tìm α, a và b Giới hạn tổng Phương pháp chung để tính giới hạn dãy tổng Sn ta sử dụng tổng trừ biểu diễn Sn là biểu thức un Thông qua giá trị giới hạn dãy un mà ta có thể tính lim Sn n→∞ Ví dụ, ta có thể chọn biểu thức Fn (un+1 , un ) thỏa mãn Fn = F (un+1 , un ) = 1 − un un+1 Ta cần chọn giá trị ban đầu u1 dãy số un thỏa mãn số điều kiện nào đó ta định trước Khi đó ta có thể tính lim(F1 + F2 + + Fn ) Ta xét ví dụ sau: Ta chọn F (un+1 , un ) = Ta có Sn = u2013 1 n = − un+1 un un+1 u2013 u2013 u2013 1 + + + n = − u2 u3 un+1 u1 un+1 Từ đây ta có thể tạo bài toán sau: Cho dãy số {un } xác định sau u1 = 1, un+1 = un + u2014 n (6) (9) Trần Văn Minh Chiến Tính lim n→+∞ Xây dựng vài dãy số u2013 u2013 + + n u2 un+1 Bài toán trên là giải Thật vậy, theo cách xây dựng ta tính u2013 u2013 u2013 1 + + + n = − u2 u3 un+1 u1 un+1 Mặt khác, ta chứng minh dãy un là dãy tăng tới vô hạn và đó giới han tìm là Hơn nữa, ta có thể xây dựng thêm nhiều đề cách thay đổi vế phải (*) Ta có thể xét ví dụ dụ sau: Ta xét Fn = F( un+1 , un ) = Giả sử ta cho k = và chọn Fn = 1 − un + k un+1 + k ta có thể đưa bài toán sau: un + 2013 Cho dãy số xác định u1 = 1, un+1 = Tính lim n→∞ (u2n + 2015un + 4) 2011 (7) 1 + + u1 + 2013 un + 2013 Giới hạn này là tính Không xây dựng cho bài toàn tính giới hạn tổng mà ta còn có thể xây dựng bài toán dạng tích Thật vậy, ta xét dãy số thỏa mãn: F (xn+1 ) = g(xn )F (xn ) Theo truy hồi ta có F (xn+1 ) = g(xn ) g(x1 )F (x1 ) Khi đó ta có thể xây dựng các bài toán mà có chứa g(xn ) g(x1 ) Ta có thể xét ví dụ sau: Chọn F (xn ) = xn − 2014 và g(xn ) = x2013 n Xét dãy số cho x1 = 2015, xn+1 = x2014 − 2014x2013 + 2014 n n xn+1 2013 n→∞ x x2013 1 Tính lim Giới hạn trên là tính Thật Theo trên ta tính xn+1 − 2014 = 2015.x2013 x2013 n (8) (10) Trần Văn Minh Chiến Xây dựng vài dãy số Từ đây ta suy xn+1 2013 x1 x2013 n = 2015 + 2014 x2013 x2013 n Xét hàm số f (x) = x2014 − 2014x2013 − x − 2014 Ta tính f ”(x) = 2014.2013.x2011 (x − 2012) > nên f (x) > suy f (x) là hàm tăng Từ đây suy {xn } là dãy tăng và không bị chặn Và ta tính giới hạn là 2015 Một cách tương tự, ta có thể tạo bài toán sau: Cho dãy số {xn } xác định x1 = 1, x2 = 3, xn+1 = x2n + 2014xn xn−1 + 2013x2n−1 − 2013xn Tính lim n→∞ (9) xn+1 (x1 + x2 ) (xn + xn+1 ) Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh ∀n ≥ 3, 2013 < x3 < < xn < Theo xn+1 2013 trên ta tính = x2 + 2013x1 − (x1 + x2 ) (xn + xn+1 ) và đo đó giới hạn tính 2014 10 (x1 + x2 ) (xn + xn+1 ) (11)