Mở rộng bài toán hình học trong đề thi VMO 2015 - Trần Quang Hùng

Bài toán 3.. Bài toán mở rộng tiếp theo này xem ra còn đơn giản hơn cả trường hợp tiếp xúc. Thực ra điều chúng tôi muốn nói ở những bài toán sau này là khi tổng quát bài toán thì đó cũng[r]

VỀ BÀI HÌNH HỌC THI VMO 2015 Trần Quang Hùng (Trường THPT Chuyên KHTN, ĐHQG Hà Nội)

Tóm tắt

Bài viết xoay quanh khai thác hình học thi quốc gia Việt Nam ngày

Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia Việt Nam năm 2015 có tốn hình học sau:

Bài tốn 1. Cho đường trịn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O) với BC khơng đường kính Một điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn Gọi E, F lần lượt chân đường cao kẻ từB, Ccủa tam giácABC.(I)là đường tròn thay đổi qua các điểmE, Fvà có tâm là I

a) Giả sử(I)tiếp xúc BCtạiD Chứng minh rằngDCDB =

q

cotB cotC b) Giả sử (I)cắt cạnh BC tạiM, N Gọi H là trực tâm tam giác

ABC và P,Q là giao điểm của (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC Đường tròn (K) đi qua P, Q tiếp xúc (O) tại T với T,A cùng phía BC Chứng minh phân giác của góc ∠MT Nln qua điểm cố định.

Nhận xét. Đây toán vị trí số đánh giá khó Hai ý tốn khơng liên quan nhiều tới nhau, chúng tơi giải phân tích ý Với ý b) toán thực chất yếu tố trực tâm chân đường cao không cần thiết Chúng xin đưa toán tổng quát thực mặt cấu hình đơn giản đồng thời phát biểu lại cho thấy ý nghĩa thực

Lời giải. Theo tính chất tâm đẳng phương dễ thấy tiếp tuyến

chung A của(O)và (L),PQ vàBCđồng quy T

O

B

C

K

P Q

L

S A

T M N

Từ dễ có T A2 =T P.T Q=T M.T N Từ dễ suy đường tròn

ngoại tiếp tam giác AMN tiếp xúc (O) Từ đây, ta dễ dàng

suy ∠BAM=∠CAN(điều phải chứng minh)

Nhận xét. Bài toán áp dụng trực tiếp tính chất phương tích trục đẳng phương Bài tốn thay điều kiện tiếp xúc thành cắt sau

Bài toán 3. Cho XY là dây cung đường tròn (O) Đường tròn (K) bất kỳ qua X, Y Đường tròn (L)cắt (O)tại Z, T và cắt (K) tại P,Q Đường tròn(S)qua P, Q cắtBCtạiM, N Chứng minh

Lời giải. Ta dễ thấy XY, ZT, PQđồng quy R Suy

RM·RN=RP·RQ=RZ·RT

O

X Y

K

P Q

T

L

R

S Z

M N

Kết chứng tỏ tứ giác ZT MN nội tiếp Từ đó, ta có

∠XZM=∠RZM−∠RZZ=∠T NM−∠T YM=∠YT N

Ta có điều phải chứng minh

Bài toán 4. Cho đường tròn (K) và (L) cắt tại A, B Một đường tròn cắt (K) tại M, N cắt (L) tại P, Q và cắt AB tại S, T Một đường tròn quaM, Ncắt(L)tạiE, F Một đường tròn qua P, Qcắt(K) tạiG,H

a) Chứng minh rằngE, F, G, H cùng thuộc đường tròn. b) Chứng minh rằng∠SEA=∠T FBvà∠SGA=∠T HB

c) Giả sửG, E, M, P,S, Acùng phía với KL Chứng minh

∠HBF+∠GAE =∠HT F+∠GSE

S

K L

T M

N

E

F A

B P

Q G

H

Lời giải đơn giản áp dụng tập Chúng nhận thấy toán ý nghĩa nằm nhiều câu a) Tuy theo đánh giá ý a) ý dùng để gỡ điểm thực ẩn sau có nhiều yếu tố thú vị Chúng ta thấy việc phát biểu kết luận biểu thức lượng giác khơng đẹp Ta hồn tồn

thay biểu thức lượng giác cotBcotC = KBKC với AK đường cao từ

A, ta cần chứng minh DCDB22 =

KB

KC Đến ta đề

xuất tổng quát sau:

Bài toán 5. Cho tam giác ABC Một đường tròn (K) qua B, C cắt CA, ABtạiE, F.BEcắtCF tạiH AHcắtBCtại D Một đường tròn quaE, Ftiếp xúc đoạn BCtạiT Chứng minh rằng

T B2 T C2 =

Lời giải 1. Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt CA, AB

tại M, N khácE,F A

B C

F

E

N M

T H

D

Ta có ∠EMN =∠EFN=∠ECB,suy MNkBC Từ đó:

T B2

T C2 =

BF·BN CE·CM =

BF CE·

AN AM =

BF CE·

AE AF =

DB DC

Ta có điều phải chứng minh A

B C

K F

E

H

G T

Lời giải 2. GọiEF cắtBCtạiG GọiS đối xứngT quaG Từ tính

chất phương tích ta thấy GS2 =GT2 =GE·GF=GB·GC, suy ra

hàng (ST, BC) = −1cũng dễ có hàng (GD, BC) = −1 Từ ta có

CB·CG=CT·CS vàBC·BG=BT·BS, suy

DB DC = −

BG CG =

BG·BC CG·CB =

BT.BS CT.CS =

BT CT ·

BS CS = −

T B2

T C2 Từ dễ có điều phải chứng minh

Nhận xét. Lời giải thứ mang nhiều tính hình học sơ cấp Tuy tốn nhìn qua cách hàng điều hịa dễ hiểu, tất hồn tồn biến đổi tỷ số đường thẳng

Có thể giải mà không dựng điểm Stuy việc dựng thêm hàng

điều hòa(BC, ST)để sử dụng hệ thức biết hàng điều

hòa làm ta giải tốn nhanh Bài tốn hồn tồn chưa dừng lại việc tổng quát Nếu ta để ý kỹ toán gốc,

khi dựng tiếp điểm tương tự trênCA, ABsẽ dẫn đến

bài toán đồng quy thú vị sau:

Bài toán 6. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF Đường tròn qua E, F tiếp xúc đoạn BC tại X Tương tự có Y,Z Chứng minh rằngAX, BY, CZ đồng quy.

Ý tưởng tương tự tiếp điểm ngồi cạnh:

Bài tốn 7. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF Đường tròn qua E, F tiếp xúc BC tại X ở ngồi đoạn BC Tương tự cóY, Z Chứng minh X,Y, Z thẳng hàng.

Kết hợp hai ý tốn ta có tốn thú vị sau (tham khảo [2]):

Bài toán 8. Cho tam giácABCnhọn, đường caoAD, BE, CFđồng quy tại H Hai đường tròn đường tròn qua E, F tiếp xúc BC tại X1, X2 sao choX1nằm giữaB, C Tương tự cóY1, Y2, Z1, Z2 Chứng minh rằng:

a) AX1, BY1, CZ1 đồng quy tạiP

Lời giải. Các ý a) b) có trên, ta tập trung chứng minh ý c) ý thú vị toán Theo tính chất tiếp

tuyến dễ thấyEFcắtBCtạiGlà trung điểmX1X2 GọiMlà trung

điểm BC ý E,F, D, M nằm đường tròn Euler

tam giác ABC nên ta có GX2

1 =GX22 =GE·GF =GD·GM Từ

hàng (X1X2,DM) = −1 Ta có hàng (BC, DG) = −1 Suy

DH·DA=DB·DC=DG·DM=DX1·DX2

A

B C

H

D F

E

Z 2

X2 X1

Z1 P

Q

M K

G

Từ H trực tâm tam giác AX1X2 nên X2H vng góc AX1

K Gọi Q hình chiếu củaX2 lênPH,từ kết trên, ta có

HP·HQ=HK·HX2 =HD·HA=HB·HE=HC·HF=k Từ đây, cách chứng minh tương tự, ta có hình chiếu

Ta hồn tồn có tốn đảo sau:

Bài tốn 9. Cho tam giác ABC với điểm D,E, F thuộc cạnh BC, CA, AB sao cho AD, BE, CF đồng quy Giả sử có đường trịn (K)quaE, Ftiếp xúc đoạnBCtạiT sao cho T BT C22 =

DB

DC Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, Fthuộc đường tròn.

Lời giải 1. Từ giả thiết AD, BE,CF đồng quy ý tứ giác

MENF nội tiếp, ta suy

T B2

T C2 =

DB DC = EA EC · FB FA =

EA·AM FA·AN ·

FB EC· AN AM = FB EC· AN

AM (1)

A B C F E N M T H D

Mặt khác, ta lại có

T B2

T C2 =

BF·BN

CE·CM (2)

Từ (1) (2) suy CMBN = AMAN Vậy MNkBC Từ đó:

∠ACB =∠AMN =∠EFA,

suy tứ giácBCEF nội tiếp Ta có điều phải chứng minh

Lời giải 2. Gọi (L) đường tròn qua B, C tiếp xúc đường

tròn ngoại tiếp tam giácT EFtạiS.Tiếp tuyến chung tạiScắtBC

tại G Ta dễ thấyST phân giác ∠BSC, suy

GB GC =

SB2

SC2 =

T B2

T C2 =

A

B C

K F

E

H

G D T

L S

Như thế, ta có (BC,DG) = −1mà AD, BE,CF đồng quy nên suy

ra EF qua G Từ GE·GF = GS2 = GB·GC suy E, F,B, C

thuộc đường trịn Ta có điều phải chứng minh

Từ tốn tổng qt trên, ta lại tổng quát toán đồng quy sau:

Bài toán 10. Cho tam giác ABC các điểm K,L, N lần lượt thuộc trung trực BC, CA, ABsao choAK, BL, CNđồng quy Đường tròn (K) qua B, Ccắt đoạn CA, AB tại Ab, Ac Đường tròn qua Ab, Ac tiếp xúc cạnh BC tại Aa Tương tự có Bb, Cc Chứng minh rằng AAa, BBb, CCc đồng quy.

Bài toán 12. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF đồng quy tạiH Các điểmX, Y, Zthuộc đoạnBC, CA, ABsao cho AX, BY, CZ đồng quy Đường tròn ngoại tiếp tam giác XEFcắtBC tạiU khácX Tương tự có điểmV, W Chứng minh rằng:

a) AU, BV, CW đồng quy tạiP

b) YZ, ZX, XY lần lượt cắt BC, CA, ABtheo ba điểm thuộc một đường thẳng vng góc với PH

Tài liệu tham khảo

[1] Đề thi VMO năm 2015

[2] Các viết Buratinogigle: