Đang tải... (xem toàn văn)
PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM ĐỒNG QUY Các bạn đã học qua lớp 7 chắc chắn đều biết về các đường đồng quy của tam giác : Định lí 1 : Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một[r]
(1)XOAY QUANH MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài toán : Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm D, E cho BD = CE Chứng minh Đ BAD = Đ CAE thì tam giác ABC là tam giác cân Cách : (Vũ Cao Ân) Từ D vẽ DF // AC, từ E vẽ EG // AB ta chứng minh DF/EG = AC/AB (1) ; ΔADF đồng dạng với ΔAEG (g g) => DF/EG = AD/AE (2) Từ (1) và (2) có AC/AB = AD/AE => ΔADC đồng dạng với ΔAEB (c g c) => Đ ABC = Đ ACB Cách : (Trương Sơn Ca) Giả sử Đ B > Đ C => AC > AB => AC/AB > Vẽ M thuộc AD cho Đ ABM = Đ ACE Có Đ M1 = góc E1 => Đ M2 = Đ E2 ; góc D1 > Đ E2 = Đ M2 => BM > BD => BD/BM < (1) ΔABM đồng dạng với ΔACE => AB/AC = BM/EC => EC/BM = BD/BM = AC/AB > (2) (1) và (2) mâu thuẫn Từ đó ta có đpcm Cách : (Nguyễn Quang Hùng) Lop7.net (2) Từ D và E vẽ DF vuông góc với AB ; EG vuông góc với AC BD = CE => SABD = SACE => AB.DF = AC.EG => DF/EG = AC/AB (1) ΔADF đồng dạng với ΔAEG => DF/EG = AD/AE (2) Từ (1) và (2) => AC/AB = AD/AE , cho ta ΔABE đồng dạng với ΔACD => Đ ABE = Đ ACD Cách : (Minh Quân) Vẽ hình bình hành ABEF => BE = AF Chứng minh tứ giác ADCF là hình bình hành => Đ EFC = Đ BAD = Đ EAC (gt) ΔAEG đồng dạng với ΔFCG (g g) => AG/FG = EG/CG (1) Do AG/GC = FG/GE (AF // EC) => AG/FG = EG/CG (2) Từ (1) và (2) có EG = GC cân G => ΔGEC cân G => Đ FEC = Đ ACE => Đ ABC = Đ ACB Cách : (Đỗ Đăng Trí) Lop7.net (3) Vẽ BH, CK là các đường cao các tam giác ABD, ACE BD = CE => SABD = SACE => BH/CK = AE/AD ΔABH đồng dạng với ΔACK => BH/CK = AB/AC ΔABE đồng dạng với ΔACD ( Đ BAE = Đ CAD , AB/AC = AE/AD) => Đ ABE = Đ ACD => Δ ABC cân A Cách : (Bảo Linh) Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD M, qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt AE N ΔABM đồng dạng với ΔACN (g g) => AB/AC = BM/CN (1) ΔADC có BM // AC => AC/BM = BE/BD ΔABE có CN // AB => AB/CN = BE/EC Do đó có AB/AC = CN/BM (2) Từ (1) và (2) có AB/AC.AB/AC = BM/CN.CN/BM => AB2/AC2 = => AB = AC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM ĐỒNG QUY Các bạn đã học qua lớp chắn biết các đường đồng quy tam giác : Định lí : Ba đường trung tuyến tam giác cùng qua điểm ; Định lí : Ba đường phân giác tam giác cùng qua điểm ; Định lí : Ba đường trung trực tam giác cùng qua điểm ; Định lí : Ba đường cao tam giác cùng qua điểm SGK Toán tập đã sử dụng cùng phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy để chứng minh định lí 2, định lí Phương pháp chứng minh này có thể mô tả khái quát sau : Ba đường thẳng a, b, c đồng quy : - Mọi điểm thuộc c có tính chất C và ngược lại - Chứng tỏ giao điểm a và b thỏa mãn tính chất C Các bạn cần lưu ý, quỹ tích các điểm thỏa mãn tính chất C chính là đường thẳng c Như mấu chốt phương pháp này chính là việc phát tính chất C Lop7.net (4) Nếu ta phát nhiều tính chất đường thẳng c thì có nghĩa là có nhiều cách chứng minh a, b, c đồng quy Ta áp dụng phương pháp này để chứng minh các định lí trên * Chứng minh định lí : Cách : - Bổ đề : Trong tam giác, quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai cạnh khác nhau, song song với cạnh thứ ba là trung tuyến thuộc cạnh thứ ba đó - Gọi AM, BN, CK là các trung tuyến ∆ABC ; G = BN ∩ CK Qua G dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 1) Theo bổ đề ta có GF = GR ; GP = GQ Từ đó dễ thấy ∆DQG = ∆FGP ; ∆FGP = ∆GRE (g.c.g) => ∆DQG = ∆GRE => DG = GE=> G Є AM (theo bổ đề 1) Vậy AM, BN, CK đồng quy G Định lí chứng minh Cách : (hướng dẫn) - Bổ đề : Quỹ tích các điểm nằm tam giác với các cạnh a, b, c, có tỉ số khoảng cách tới hai cạnh b, c là c/b là trung tuyến thuộc cạnh a - Gọi AM, BN, CK là các trung tuyến ∆ABC ; G = BN ∩ CK Dựng GD AB, GE AC, GF BC Theo bổ đề suy : GD/GF = BC/AB ; GF/GE = AC/BC ; => GD/GE = GD/GF GF/GE = BC/AC AC/BC = AC/BC ; * Chứng minh định lí : (sử dụng kết khác với SGK) - Bổ đề : Trong ∆ABC, DE // BC (D Є AB, E Є AC), quỹ tích điểm I thuộc DE cho ID/IE = AB/AC là đường phân giác AA1 - Gọi AA1, BB1, CC1 là các phân giác ∆ABC ; I = BB1 ∩CC1 Qua I dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC (hình 2) Từ bổ đề suy : IF/IR = BC/AC ; IQ/IP = AB/BC ; Lop7.net (5) Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác IFP, RIE, QDI đôi đồng dạng => ID/IE = ID/FP FP/IE = IQ/IP IF/IR = AB/BC BC/AC = AB/AC => ID/IE = AB/AC => I Є AA1 (theo bổ đề 3) Vậy AA1, BB1, CC1 đồng quy I Định lí chứng minh * Chứng minh định lí : - Bổ đề : Cho ∆ABC, N thuộc đường cao BB’ và K thuộc đường cao CC’ cho DE // BC (D Є AB, E Є AC) Quỹ tích điểm H thuộc DE cho HD/DE = BK2/CN2 là đường cao AA’ Hướng dẫn : (hình 3) Hai tam giác vuông ANC và AKB có NB’ ∩ AC ; KC’ ∩ AB => AN2 = AB’.AC ; AK2 = AC’.AB (1) Hai tam giác vuông AB’B và AC’C đồng dạng vì có chung BAC => AB’.AC = AC’.AB (2) Từ (1) và (2) => AN = AK Gọi M Є AA’ cho BMC = 90o tương tự ta có : AN = AK ; BM = BK ; CM = CN (3) Xét tam giác vuông BMC, MA’ BC => BM2 = BA’.BC và CM2 = CA’.BC => BA'/CA' = BM2/CM2 = BK2/CN2 = HD/HE (theo bổ đề 3) => H’ = DE ∩ AA’ thì H'D/H'E = BA'/CA' = HD/HE => H’ ≡ H Trở lại định lí (hình 4) Lop7.net (6) - Gọi M, N, K nằm trên các đường cao AA’, BB’, CC’ ∆ABC cho BMC = ANC = AKB = 90o, H = BB’ ∩ CC’ Qua H dựng DE // BC, FR // AB, PQ // AC Từ bổ đề suy : HQ/HP = AK2/CM2 ; HF/HR = BN2/AN2 Mặt khác, ta nhận thấy các tam giác HFP, RHE, QDH đôi đồng dạng nên : HD/HE = HD/FP FP/HE = HQ/HF HF/HR = AK2/CM2 BM2/AN2 => HD/HE = BM2/CM2 (Do AK = AN) => H Є AA’ (theo bổ đề 4) Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy H Định lí chứng minh * Đề nghị bạn đọc chứng minh các bổ đề ; ; và làm bài tập sau Bài tập : Trong tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác cùng xuất phát từ đỉnh gọi là đường đối trung đỉnh đó Chứng minh tam giác, ba đường đối trung đồng quy Như thông qua hai chứng minh định lí SGK, ta đã rút phương pháp chứng minh ba đường thẳng đồng quy hiệu Tôi hi vọng các bạn thành công nhiều trường hợp khác TẬP "LỘI NGƯỢC" KHI GIẢI TOÁN “Lội ngược dòng” là cụm từ quen thuộc thể thao, dùng để cố gắng đảo ngược kết trận đấu Còn “lội ngược dòng” giải toán là quá trình phân tích lên từ kết để tìm lời giải Với hướng “lội ngược dòng” ta có thể tìm cách giải Ta xét bài toán sau : Bài toán : (định lí Py-ta-go) Cho ∆ABC vuông A, BC = a, AC = b, AB = c Chứng ming : a2 = b2 + c2 (*) Hướng : Từ a2, b2, c2 ta liên hệ đến diện tích các hình vuông có cạnh là a, b, c Nếu dựng phía ngoài ∆ABC các hình vuông có cạnh là BC, CA, AB thì (*) Lop7.net (7) tương đương với diện tích hình vuông cạnh BC tổng diện tích hai hình vuông có cạnh CA, AB Ta tiếp tục đặt vấn đề : liệu có thể chia hình vuông cạnh BC thành hai hình chữ nhật có diện tích diện tích hai hình vuông còn lại không Từ đó ta phát đường HH’, đó H là chân đường vuông góc hạ từ A ⇼ABC Cách : Dựng phía ngoài ∆ABC các hình vuông AEFB, BMNC, CPQA (hình 1) Đường cao AH BC cắt MN H’ (H Є BC) Đặt BH = c’ và CH = b’ Ta cần chứng minh : SCNH’H = SCPQA ; SBMH’H = SAEFB hay a.b’ = b2 ; a.c’ = c2 (**) Thật vậy, vì hai tam giác vuông ABC và HBA có chung nên ∆ABC đồng dạng với ∆HBA suy : AB/HB = BC/AB => AB2 = HB.BC => c2 = a.c' Tương tự ta có b2 = ab’ Định lí chứng minh và biết trước (**) thì ta không cần vẽ thêm các hình vuông phụ Hướng : Ta có : a2 = b2 + c2 = (b + c)2 - 2bc <=> a2 + 1/2 bc = (b + c)2 : (1) Liên hệ với các công thức tính diện tích, ta nhận thấy a2 và (b + c)2 là diện tích các hình vuông có cạnh a và b + c ; 1/2 bc là diện tích tam giác có hai cạnh bên là b và c Từ đây ta thử tìm cách dựng hình phụ và chứng minh Cách : Dựng hình vuông ADEF có độ dài cạnh là b + c ; B Є AD ; C Є AF (hình 2) Lấy I Є EF ; K Є DE cho IF = KE = b Ta nhận thấy ∆ABC = ∆DKB = ∆EIK = ∆FCI ; Lop7.net (8) BCIK là hình vuông => SBCIK + SABC + SDKB + SEIK + SFCI = SADEF <=> SBCIK + 4.SABC = SADEF <=> a2 + 1/2 bc = (b + c)2 <=> a2 = b2 + c2 Hướng : Thay đổi cách nhìn chút so với cách 2, ta thấy : (*) <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 1/2bc , đó vế trái là diện tích hình thang có hai đáy là b, c và có đường cao là b + c Cách : Trên tia đối tia CA, lấy điểm F cho CF = c ; Dựng điểm D thuộc nửa mặt phẳng có bờ AE, chứa điểm B, DE AE, DE = b (hình 3) Ta nhận thấy ABDE là hình thang vuông có hai đáy AB = c, DE = b, đường cao AE = b + c ; ∆ABC = ∆ECD ; ∆BCD vuông cân C có cạnh là a => SABDE = SBCD + SABC + SECD <=> SABDE = SBCD + 2.SABC <=> 1/2(b + c)(b + c) = 1/2a2 + 1/2bc <=> a2 = b2 + c2 Hướng : Tiếp tục biến đổi (*) theo hướng khác, a2 = b2 + c2 = (b - c)2 + 2bc <=> a2 = (b - c)2 + 1/2bc Cách : Không tính tổng quát, giả sử b > c Dựng hình chữ nhật ABA’C ; hình vuông BCED (chứa A’) ; trên BA’ lấy điểm B’ cho BB’ = c ; trên DB’ lấy điểm C’ cho DC’ = c ; CA’ ∩ EC’ = D’ (hình 4) Lop7.net (9) Ta chứng minh kết sau : ∆ABC = ∆A’CB = ∆B’BD = ∆C’DE = ∆D’EC và A’B’C’D’ là hình vuông có cạnh là b c => SBCED = SA’B’C’D’ + SA’BC + SB’BD + SC’DE + SD’EC <=> SBCED = SA’B’C’D’ + 4.SABC <=> SBCDE = SA'B'C'D' + 4.SABC <=> a2 = (b - c)2 + 1/2bc <=> a2 = b2 + c2 Việc tập “lội ngược dòng” giúp các bạn tập giải các bài toán Các bạn thử tìm lời giải các bài tập : Bài tập : Cho tứ giác ABCD Chứng minh : SSABCD ≤ 1/2.AC.BD Bài tập : Cho a, b, c là ba cạnh tam giác và p là nửa chu vi tam giác đó Chứng minh : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trong chương trình môn Toán THCS, các bạn đã học và làm quen với phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Bài viết giúp các bạn có số phương pháp để xét phương trình loại này Phương pháp :1 Phương pháp chia khoảng trên trục số Ta xét dấu các biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để khử dấu giá trị tuyệt đối Thí dụ : Giải phương trình : |2x - 1| + |2x - 5| = (1) Lời giải : Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối : Lop7.net (10) Từ đó ta xét trường hợp sau : - Xét x< 1/2 : (1) trở thành - 4x + = <=> x < 1/2 không phụ thuộc khoảng xét - Xét : (1) trở thành = đúng với x thuộc khoảng xét, tức là - Xét (1) trở thành 4x - = <=> x = 5/2 thuộc khoảng xét Kết luận : Nghiệm phương trình (1) là Phương pháp : Phương pháp biến đổi tương đương Ta áp dụng hai phép biến đổi sau : Thí dụ : Giải phương trình : |x - 1| = |3x - 5| (2) Lời giải : áp dụng phép biến đổi thứ hai ta có : Kết luận : Phương trình (2) có hai nghiệm : x1 = ; x2 = 3/2 Nhận xét : Ta có thể sử dụng phương pháp để giải phương trình (2) Phương pháp : Phương pháp đặt ẩn số phụ Thí dụ : Giải phương trình : |x2 - 5x + 5| = -2x2 + 10x - 11 (3) Lời giải : (3) tương đương với : |x2 - 5x + 5| = -2(x2 - 5x + 5) - Đặt x2 - 5x + = t thì phương trình trở thành |t| = -2t - Lop7.net (11) Phương pháp : Sử dụng đồ thị Nguyên tắc : Nghiệm phương trình f(x) = g(x) chính là hoành độ điểm chung hai đồ thị y = f(x) và y = g(x) Thí dụ : Biện luận số nghiệm phương trình : |x - 1| + |x + 1| + |x| = m Lời giải : Trước hết vẽ đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x + 1| + |x| + Lập bảng khử dấu trị tuyệt đối : + Vẽ đồ thị trên khoảng, chú ý các điểm đặc biệt A (-1 ; 3) ; B (0 ; 2) ; C (1 ; 3) Số nghiệm phương trình đúng số điểm chung đường thẳng y = m với đồ thị vừa vẽ Từ đồ thị ta có : Nếu m < thì phương trình vô nghiệm Nếu m = thì phương trình có nghiệm Lop7.net (12) Nếu m > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương pháp : Sử dụng bất đẳng thức Nguyên tắc : Sử dụng bất đẳng thức để so sánh f(x) và g(x) Từ đó tìm nghiệm phương trình f(x) = g(x) Thí dụ : Giải phương trình : |x - 2003|5 + |x - 2004|,sup>7 = Lời giải : Kiểm tra x = 2003 và x = 2004 là các nghiệm phương trình Nếu x > 2004 thì x - 2003 > nên |x - 2003| > => |x - 2003|5 > => |x - 2003|5 + |x 2004|7 > Chứng tỏ phương trình không có nghiệm thỏa mãn x > 2004 Nếu x < 2003 thì x - 2004 < - nên |x - 2004| > => |x - 2004|7 > => |x - 2003|5 + |x - 2004|7 > Chứng tỏ x < 2003 không là nghiệm Nếu 2003 < x < 2004 thì : x - 2003 < và - < x < 2004 nên : | x - 2003|5 < |x - 2003| = x - 2003 và | x - 2004|7 < |x - 2004| = 2004 - x Do đó |x - 2003|5 + |x - 2004|7 < (x - 2003) + (2004 - x) = Chứng tỏ 2003 < x < 2004 không thỏa mãn phương trình Tóm lại phương trình có hai nghiệm đã kiểm tra Chú ý : Thí dụ có thể giải sau : |2x - 1| + |2x - 5| = |2x - 1| + |5 - 2x| |2x - + - 2x| = Đẳng thức xảy tương đương với (2x - 1)(5 - 2x) tương đương với 1/2 < x< 5/2 Dưới đây xin gửi tới các bạn số bài tập : Bài : Giải các phương trình : 1) 3|x - 1| - 2|x - 2| - |x| + |x + 1| = |x + 2| 2) |x + 1| = |x2 + x| 3) |x - 2| / (|x - 1| - 1) = Bài : Tìm m để phương trình : x2 - 2x - m|x - 1| + m2 = có nghiệm Bài : Với giá trị nào tham số m, phương trình sau có nghiệm : |x + 3| - |2x - m| = CHỦ ĐỘNG SÁNG TẠO KHI GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Một vấn đề đặt là nên cấu tạo đề bài tập toán nào (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra lực toán học v.v ) để phù hợp phương pháp dạy học đổi theo định hướng tích cực, độc lập, sáng tạo Câu trả lời đã trở nên rõ ràng chú ý nhận xét tính đa dạng và phong phú hệ thống bài tập sách giáo khoa Trong khuôn khổ bài báo, không thể phân tích hết ưu nhược điểm thể loại bài tập toán nhằm giúp học sinh học tập chủ động, sáng tạo, tác giả xin trao đổi với các bạn đồng nghiệp vấn đề này thông qua số ví dụ bài tập hình học Thí dụ : Bài tập kích thích mạnh mẽ tư học sinh là loại bài tập tình Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7) Lop7.net (13) Cho điểm M trên trang giấy và hai đường thẳng d, d’ cắt nhau ngoài trang giấy Hãy vẽ đường thẳng d’’ qua điểm M và giao điểm d, d’ Nói cách vẽ và giải thích vì vẽ Tình bài tập này là : Học sinh phải vẽ đường thẳng qua hai điểm, đó điểm đã cho trước, còn điểm thứ hai thì chưa xác định Hướng giải bài toán không phải là vẽ giao điểm hai đường thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ đường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ qua điểm M) với đường thẳng khác có thể vẽ trên trang giấy Quá trình mò mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy tam giác, từ đó => cách vẽ Lời giải (tóm tắt) mong đợi là sau : Cách vẽ : Vẽ đường thẳng a qua M và vuông góc với d’, a cắt d A Vẽ đường thẳng b qua M và vuông góc với d, b cắt d’ B Vẽ đường thẳng d’’ qua M và vuông góc với AB, d’’ là đường thẳng phải vẽ, nó qua giao điểm d và d’ (giao điểm này nằm ngoài trang giấy) vì ba đường cao d, d’, d’’ tam giác MAB đồng quy Cũng có thể giải thích sau : Giả sử giao điểm d và d’ là C (nằm ngoài trang giấy) Trong tam giác ABC, hai đường cao a và b cắt M Thế thì đường thẳng d’’ qua M (trực tâm tam giác ABC) và vuông góc với AB phải là đường cao thứ ba, d’’ qua C Thí dụ : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 8) Cho hình vuông ABCD, I là trung điểm AB, J là trung điểm BC và K là trung điểm IB Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống IC Chứng minh hai đường thẳng HJ và HK vuông góc với Tình đặt học sinh bài tập này là : Với kiến thức đã học, nên chọn phương pháp nào để chứng minh hai đường thẳng HJ và HK vuông góc với Học sinh có thể nghĩ tới các hướng chứng minh sau : Đ HKJ = 90o (?) HK và HJ là hai tia phân giác hai góc kề bù (không thể !) Lop7.net (14) Δ KHJ = Δ KBJ (?) Định lí Py-ta-go thuận và đảo (?) v.v Học sinh loại dần hướng chứng minh sai, và thử các hướng chứng minh có triển vọng Lời giải (tóm tắt) mong đợi là sau : Tính HJ2 : Trong tam giác vuông BHC, HJ là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Gọi cạnh hình vuông là a, ta có : HJ = BC/2 = a / 2, từ đó HJ2 = a2 / HK = IB/2 = a / , từ đó HK2 = a2 / 16 Tính HK : Trong tam giác vuông BHI : Tính JK2 : Trong tam giác vuông BJK : JK2 = BJ2 + BK<SUP.2< sup> , từ đó JK2 = a2/4 + a2 Từ các kết trên => JK2 = HJ2 + HK2 và theo định lí Py-ta-go đảo thì tam giácJHK vuông góc H, tức là HJ vuông góc với HK Cũng có thể chứng minh theo hướng : Δ KHJ = Δ KBJ (vì HK = HB, HJ = BJ, KJ chung) => Đ H = Đ B 90o, tức là HJ vuông góc với HK Chú ý rằng, theo chương trình mới, học sinh lớp chưa học định lí : Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Thí dụ : Ta hãy xét bài tập sau (lớp 7) Trên hình vẽ, người ta đã cho biết : AE = CE, BE // CD, Đ ABC = 88o, Đ BCE = 31o a) Tính Đ ECD b) Tính Đ EDC c) Trong tam giác CDE thì cạnh nào lớn ? Đây là bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiều cách giải khác Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hình học lớp theo kiểu này thì chắn học sinh bộc lộ rõ ràng mức độ nắm vững kiến thức bản, kĩ mình và học sinh trung bình, yếu hi vọng giải hầu hết các câu hỏi bài toán Lời giải (tóm tắt) : a) Đ BCD = Đ ABE = 88o (hai góc đồng vị) Đ ECD = Đ BCD - Đ BCE = 88o - 31o = 57o b) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o Trong tam giác ABE : Đ AEB = 180o - 88o + 31o = 61o Đ EDC = Đ AEB - 61o (hai góc đồng vị) c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62 Vậy cạnh CD lớn Cách giải khác : a) Vì tam giác EAC cân nên Đ EAB = Đ ECB = 31o Trong tam giác AEB : Đ ABE = 61o Với tam giác BEC : góc ABE = 88o là góc ngoài đỉnh B nên góc BEC = 88o - 31o = 57o Vì BE // CD nên Đ ECD = Đ BEC = 57o (hai góc so le trong) b) Vì BE // CD nên Đ EDC = Đ AEB = 61o (hai góc đồng vị) Lop7.net (15) c) Trong tam giác CDE : Đ DEC = 180o - (57o + 61o) = 62o Vậy cạnh CD lớn BÀI TOÁN CON CÁ Theo các tác giả SGK, nội dung SGK quan tâm tới yếu tố vui học, gắn bài học với thực tế, đưa vào các mẩu chuyện lịch sử Toán học nhằm tạo gần gũi, thân thiết, gây hứng thú học tập, từ đó giúp học sinh đạt kết học tập cao Việc tạo niềm say mê, hứng thú học tập, cách này hay cách khác chắn đem lại kết học tập tốt nhiều cho bạn Các bạn có thể tự tạo hứng thú từ nhận xét, phát “nho nhỏ” quá trình học toán Bài toán “con cá” là ví dụ Trong sách Bài tập toán (tập 1, trang 99) có bài tập số 13, nội dung sau : “Trên hình vẽ có Ax song song với By, CAx = 50o, CBy = 40o Tính ACB cách xem nó là góc ngoài tam giác.” (xem hình 1) Lời giải bài toán này xin nhường cho bạn đọc đây tôi muốn trao đổi với các bạn bài toán tổng quát mà tôi thường gọi là bài toán “đầu cá” Bài toán (bài toán “đầu cá”) : Hình cho biết CAB > CAx, Ax // By Chứng minh : ACB = CAx + CBy Lời giải : Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa tia CB, vẽ tia Cm // Ax Vì Ax // By => Cm // By => CAx = C1 ; CBy = C2 (so le trong) Vậy : CAx + CBy = C1 + C2 (1) Theo giả thiết, ACB > CAx => ACB > C1 hay tia Cm nằm hai tia CA và CB, đó : ACB = C1 + C2 (2) Từ (1) và (2) suy ACB = ACx + CBy Lời bình : + Bài toán cho biết mối quan hệ hai góc CAx, CBy với ACB, không phụ thuộc vào số đo các góc bài toán đặt vấn đề + Mấu chốt lời giải là việc kẻ thêm đường phụ Cm song song với Ax + Đối với học sinh lớp tập dượt chứng minh hình học, là với kiến thức chương I - Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song, thì đây là bài toán khá hay Khai thác bài toán, ta có nhiều bài toán tương tự khá thú vị Bài toán (bài 57 trang 104 SGK Toán 7, tập 1) : Cho hình vẽ (a // b), hãy tính số đo x góc O (xem hình 3) Lop7.net (16) Gợi ý : Sử dụng kết bài toán “đầu cá”, ta cần tính OBb Từ đó dễ dàng giải bài toán sau : Bài toán (bài 3, trang 91, SGK Toán 7, tập 2) : Xem hình 4, cho a // b, C = 44o, D = 132o Tính số đo góc COD Chú ý : Tương tự các bạn có thể giải bài bài toán 5, trang 92, SGK Toán 7, tập Bài toán (bài toán “thân cá”) : Cho hình 5, biết Ax // By và CAx + ACB > 180o Chứng minh : CAx + ACB + CBy = 360o Gợi ý : + Kẻ tia đối Ax’ tia Ax và tia đối By’ tia By Sử dụng kết bài toán “đầu cá” + Cách khác : Kẻ Cm // Ax và chứng minh tương tự bài toán “đầu cá” Bài toán : Cho hình 6, biết Ax // By và CBy > ACB Chứng minh : CBy = xAC + ACB Lop7.net (17) Gợi ý : Kẻ tia Cm // Ax và chứng minh tương tự bài toán “đầu cá” Bài toán : Cho hình 7, biết Ax // By và CBy > ACB Chứng minh : CAx + CBy - CAB = 180o Gợi ý : Kẻ Cm // Ax * Từ bài toán đến bài toán có các bài toán đảo thú vị chờ các bạn tiếp tục khám phá Sau học bài “Tổng ba góc tam giác” chương II, thay đổi giả thiết bài toán “đầu cá” : Ax không song song với By thì ta có bài toán sau Bài toán (bài toán “đuôi cá”) : Cho hình Chứng minh : ACB = MAC + MBC + AMB Gợi ý : Nối MC kéo dài phía C, sử dụng tính chất góc ngoài tam giác Kết hợp các bài toán trên, ta bài toán “con cá” hoàn chỉnh Bài toán (bài toán “con cá”) : Cho hình Tính các góc x, y, z Lời giải bài toán dành cho bạn đọc Lop7.net (18) Con đường đến bài toán “con cá” thật đơn giản lí thú phải không các bạn ? LTS : Xuất phát từ bài 57 trang 104 SGK Toán 7, tập 1), thầy giáo Nguyễn Đức Tấn (TP HCM) đã tổng quát mối liên hệ ba góc OAa, AOB, OBb (xem hình 3) Từ đó hình thành loạt bài toán tính số đo góc biết số đo hai góc còn lại và các bài toán đảo MỘT PHƯƠNG PHÁP THÚ VỊ GIẢI BÀI TOÁN TÍNH GÓC Các bài toán tính số đo góc đa dạng, xuất nhiều các kì thi Để giải tốt dạng toán này có phải vẽ hình phụ Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu với các em phương pháp vẽ thêm hình phụ là tam giác bài toán tính số đo góc Bài toán : Cho tam giác ABC cân A, A = 200 Trên AB lấy điểm D cho AD = BC Tính BDC Lời giải : Cách : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác BCE (hình 1) Vì tam giác ABC cân A, A = 200 nên ABC = ACB = 800 Vậy E thuộc miền tam giác ABC, suy ACE = 200 (1) Dễ thấy ∆ABE = ∆ACE (c.c.c) nên BAE = CAE = A / = 100 (2) Từ (1) suy A = ACE = 200 suy ∆DAC = ∆ECA (c.g.c), kết hợp với (2) suy ta ACD = CAE = 1010 Ta có BDC là góc ngoài ∆DAC nên BDC = DAC + DCA = 200 + 100 = 300 Cách : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, chứa điểm C, dựng tam giác ABI (hình 2) Lop7.net (19) Vì ∆ABC cân A, A = 200 nên AI = AB = AC ; CAI = 400 ; IBC = 200 suy ACI = 700(∆ACI cân A) suy BCI = 1500 Lại có ∆ADC = ∆BCI (c.g.c) Suy ADC = BCI = 1500 suy BDC = 300 Bài toán (đề thi vô định toán Nam Tư năm 1983) : Cho tam giác ABC cân A, A = 800 Ở miền tam giác lấy điểm I cho IBC = 100 ; ICB = 300 Tính AIB Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng BC, chứa điểm A, dựng tam giác BCE (hình 3) Vì ∆ABC cân A, nên A = 800 nên ABC = ACB = 500 suy ABE = ACE = 100 ; điểm A thuộc miền tam giác BCE Dễ dàng chứng minh ∆AEB = ∆ICB (g.c.g) suy BA = BI suy ∆ ABI cân B, có ABI = 500 - 100 = 400 suy AIB = 700 Bài toán : Cho tam giác ABC cân A, A = 1000 Trên cạnh AB kéo dài phía B, lấy điểm E cho AE = BC Tính AEC Lời giải : Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AE, chứa điểm C, dựng tam giác AEF (hình 4) Vì ∆ABC cân A, A = 1000 nên ABC = 400 ; tia AF nằm hai tia AE, AC Suy CAF = 400 suy ∆ABC = ∆CAF (c.g.c) Suy AC = FC suy ∆AEC = ∆FEC (c.c.c) Suy AEC = FEC = / AEF = 600 / = 300 Qua số bài toán nêu trên có thể thấy, việc vẽ thêm hình phụ là tam giác tỏ hiệu bài toán tính số đo góc vì nó đã tạo các góc 60o ; tạo nhiều mối quan hệ các cạnh, các góc, các tam giác, Lop7.net (20) Các bạn hãy làm thêm bài toán sau : Bài toán : Cho tam giác ABC cân A, A = 800 Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm F cho ABE = CAF = 300 Tính BEF ĐỊNH LÍ PY - TA - GO MANG ĐẾN NHIỀU BÀI TOÁN THÚ VỊ Khi hỏi bạn học sinh lớp năm học 2003-2004 : “Nếu tam giác vuông cân có cạnh góc vuông thì cạnh huyền bao nhiêu ?”, bạn đó lúng túng Điều đó dễ hiểu vì chương trình môn toán thì năm học 2003-2004 trở trước, học sinh lớp chưa học bậc hai Nhưng đặt câu hỏi đó cho học sinh lớp vào cuối học kì I năm học 20032004 thì bạn đó trả lời : - Quá dễ ! 12 + 12 = 2, đáp số là gì ! Định lí Py-ta-go và bậc hai sách giáo khoa Toán giúp ta có thêm nhiều khả tiếp cận bài toán thú vị Bài toán tính độ dài đoạn thẳng Ví dụ : Tính các độ dài x, y trên hình Lời giải : áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông AHC, AHB ta có : x2 = 162 + AH2 ; y2 = 92 + AH2 Do đó : x2 - y2 = (162+ AH2) - (92 + AH2) = 175 (1) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BAC : x2 + y2 = (9 + 16)2 = 625 (2) Từ (1) và (2) suy x2 = 400 ; y2 = 225 Do đó : x = 20 ; y = 15 Ví dụ : Một tam giác có độ dài hai cạnh và 8, góc xen 60o Tính độ dài cạnh còn lại Lời giải : (hình 2) Xét tam giác ABC có AB = ; AC = Kẻ đường cao AH Tam giác vuông AHB có ĐA = 60o nên AH = AB : = : = Do AC = nên C nằm A và H và CH = AH - AC = - = Lop7.net (21)