DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ƠN TẬP CHƯƠNG III I Tóm tắt lý thuyết II Bài tập 1A Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB M điẻm cung nhỏ AC (M khác A, C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB a) Chứng minh CBKH tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ·ACM = ·ACK c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C d) Gọi d tiếp tuyến (O) điểm A; cho P điểm nằm d ao cho hai điểm P, C nằm nưanr mặt phẳng bờ AB AP.MB = R Chứng minh đường thẳng PB qua MA trung điểm đoạn thẳng HK Hướng Dẫn: · · a) Chứng minh HCB = HKB = 900 · b) ·ACK = HBK (CBKH nội tiếp) · = sđ ¼ Lại có: ·ACM = HBK AM ⇒ ·ACM = ·ACK c) Chứng minh được: ∆MCA = ∆ECB (c.g.c) ⇒ MC = CE · · » = 450 = CAB = sđ CB Ta có: CMB ⇒ ∆MCE vng cân C d) Gọi PB ∩ HK = I PB Chứng minh ∆HKB đồng dạng với ∆AMB (g.g) HK MA AP AP.BK = = ⇒ HK = KB MB R R Mặt khác: ∆BIK : ∆BPA (g.g) (ĐPCM) ⇒ Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M, AM cắt (O) điểm thứ hai D Gọi E trung diểm củ đoạn AD, EC cắt (O) điẻm thứ hai F Chứng minh: a) Tứ giác OEBM tứ giác nội tiếp; b) MB2 = MA.MB; · · c) BFC = MOC ; d) BF song song AM Hướng Dẫn: · · a) OBM = OEM = 900 ⇒ Tứ giác OEBM nội tiếp b) Chứng minh được: ∆ABM : ∆BDM (g.g) ⇒ MB = MA.MD c) ∆OBC cân O có OM vừa trung trực vừa phân giác 1· » BOC = sđ BC 2 · » ⇒ MOC · · = sđ BC Mà BFC = BFC · · d) OEM = OCM = 900 ⇒ Tứ giác EOCM nội tiếp · ⇒ MOC = · · · mà góc vị trí đồng vị ⇒ FB / / AM ⇒ MEC = MOC = BFC 2A Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Đường thẳng MO cắt (O) E F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB tiếp tuyến MC (O) (C tiếp điểm, A nằm hai điểm M B, A C nằm khác phía đường thẳng MO) a) Chứng minh MA MB = ME.MF b) Gọi H hình chiêu vng góc điểm c lên đuờng thẳng MO Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp c) Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính MF; nửa đường tròn cắt tiếp tuyến E (O) K Gọi S giao điểm hai đường thẳng CO KF Chứng minh đường thẳng MS KC vng góc d) Gọi p Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFS ABS T trung điểm KS Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) HS tự chứng minh b) MH.MO = MA.MB (=MC2) ⇒ ∆MAH : ∆MOB (c.g.c) · · ⇒ MHA = MBO · · MBO + ·AHO = MHA + ·AHO = 1800 ⇒ AHOB nội tiếp c) MK2 = ME.MF = MC2 ⇒ MK = MC ∆MKS = ∆MCS (ch − cgv) ⇒ SK = SC ⇒ MS đường trung trực KC ⇒ MS ⊥ KC trung CK d) Gọi MS ∩ KC = I MI MS = ME.MF (= MC ) ⇒ EISF nội tiếp đường tròn tâm P ⇒ PI = PS (1) MI.MS = MA.MB(=MC2) ⇒ EISF nội tiếp đường tròn tâm P ⇒ PI = PS (1) MI.MS = MA.MB (=MC2) ⇒AISB nội tiếp đường tròn tâm Q ⇒ QI = QS (2) Mà IT = TS = TK (do ∆IKS vuông I) (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ P, T, Q thuộc đường trung trực IS ⇒ P, T, Q thẳng hàng 2B Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt H Gọi E' điểm đối xứng H qua AC, F' điểm đối xứng H qua AB Chứng minh: a) Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O); b) Năm điểm A, F', B, C, E' thuộc đường tròn; c) AO EF vng góc nhau; d) Khi A chạy (O) bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · ' H = CHE · a) ∆CHE' cân C ⇒ CE ' · ' H = BHF · ∆BHF' cân B ⇒ BF ' · · Mà ⇒ CHE ' = BHF ' (đối đỉnh) · ' H = BF · 'H ⇒ CE ⇒ Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn tâm (O) · · ' C = CHE · · b) Có BFC ' = BE ' = CAB Vậy A, F', E' chắn BC góc ⇒ điểm B, F', A, E', C thuộc đường tròn tâm (O) c) AF' = AE' (=AH) ⇒ AO trung trực EF ⇒ AO ⊥ E'F' ∆HE'F' có EF đường trung bình ⇒ EF//E'F' ⇒ AO ⊥ FE d) ·AFH = ·AEH = 900 ⇒ AFHE nội tieps đường trịn đường kính AH Trong (O): Kẻ đường kính AD, lấy I trung điểm BC ⇒ OI = AH , BC cố định ⇒ OI không đổi ⇒ Độ dài AH không đổi ⇒ Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆AEF khơng đổi III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A tia đối tia CB Kẻ tiếp tuyến AF nửa đường trịn (O) (vói F tiếp điểm), tia AF cắt tiếp tuyến Bx nửa đường tròn D 4R Cho biết AF = 4R a) Chứng minh tứ giác OBDF nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác · b) Tính cơsin góc DAB c) Kẻ OM ⊥ BC (M ∈ AD) Chứng minh BD DM − = DM AM d) Tính diện tích phần hình tứ giác OBDM bên ngồi nửa đường trịn (O) theo R Hướng Dẫn: a) Chứng minh DBOF nội tiếp đường tròn tâm I trung điểm DO 5R AF · ⇒ cos DAB = = AO DM OB = c) ∆AMO : ∆ADB ( g.g ) ⇒ AM OA · · · mà MOD = ODB = ODM ⇒ DM = OM 2 b) OA = OF + AF = BD DM AD − DM DB DB AD = = − = =1 Xét vế trái DM OM AM DM AM AM 8R 5R · · = = R ⇒ OM = AO.tan DAB = d) DB = AB.tan DAB 4 ⇒ Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ⇒ SOMDB = SOMDB ngoai 13R R2 = SOMDB − S(O , R ) = (13 − 2π ) Cho tam giác ABC nhọn, có H trực tâm, nội tiếp đường trịn tâm o đường kính AM = 2R a) Chứng minh tứ giác BHCM hình bình hành b) Gọi N điểm đối xứng M qua AB Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp đường tròn c) Gọi E điểm đối xứng M qua AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng d) Giả sử AB = R Tính diện tích phần chung đường tròn (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN Hướng Dẫn: a) BH ⊥ AC CM ⊥ AC ⇒ BH//CM Tương tự ⇒ CH//BM ⇒ BHCM hình bình hành b) Chứng minh BNHC hình bình hành ⇒ NH//BC ⇒ AH ⊥ NH ⇒AHM = 900 Mà ·ABN = 90 ⇒ Tứ giác AHBN nội tiếp c) Tương tự ý b, ta có: BHEC hình bình hành Vậy NH HE//BC ⇒ N, H, E thẳng hàng d) ·ABN = 900 ⇒ AN đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN AN = AM = R ⇒ S ¼AnB , AB = R ⇒ ¼ AmB = 1200 S AOB = R2 S ABM = S ¼AmB = SatatAOB − S AOB ⇒ Scan tim = S ¼AmB = R2 = (4π − 3) 12 R2 (4π − 3) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · Cho tam giác ABC có BAC = 45°, góc B C nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB AC tai D E Gọi H giao điểm CD BE a) Chứng minh AE = BE b) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác c) Chứng minh OE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE » đường tròn (O) theo a d) Cho BC = 2a Tính diện tích viên phân cung DE Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) ∆AEH vng nên ta có: KE = KA = AH ⇒ ∆AKE cân K · · ⇒ KAE = KEA · · ∆EOC cân O ⇒ OCE = OEC H trực tâm ⇒AH ⊥ BC · · Có ·AEK + OEC = HAC + ·ACO = 900 (K tâm ngoại tiếp) ⇒ OE ⊥ KE d) HS tự làm Cho đường tròn (O) dây BC cố định không qua O Trên tia đối tia BC lấy điểm A Vẽ tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N tiếp điểm) MN cắt đưòng AO BC H K Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: AH.AO = AB.AC = AM2 b) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp c) Vẽ dây MP song song với BC Chứng minh N, I, P thẳng hàng d) Khi A di động tia đôi tia BC, chứng minh trọng tâm tam giác MBC chạy đường tròn cố định Hướng Dẫn: a, b, c HS tự làm d) Gợi ý: G' ∈ OI mà IG ' 1 = ⇒ G ' thuộc ( G '; R ) IO 3 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đển (O) (A, B tiếp điểm) Qua M kẻ cát tuyên MNP (MN < MP) đến (O) Gọi K trung điểm NP a) Chứng minh điểm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOA qua K b) Chứng minh tia KM phân giác góc ·AKB c) Gọi Q giao điểm thứ hai BK với (O) Chứng minh AQ song song NP d) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh: MA2 = MH.MO = MN.MP e) Chứng minh bốn điểm N, H, O, P thuộc đường tròn g) Gọi E giao điểm AB KO Chứng minh: AB2 = 4.HE.HF (F giao điểm AB NP) h) Chứng minh KEMH tứ giác nội tiếp Từ chứng tỏ OK.OE khơng đổi i) Gọi I giao điểm đoạn thẳng MO với (O) Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB k) Chứng minh KE KE phân giác phân giác ngồi góc ·AKB Từ suy AE.BE = AE.BE l) Chứng minh cát tuyến MNP quay quanh M trọng tâm G tam giác NAP chạy đường tròn cố định m) Giả sử MO = R Tính diện tích hình quạt giới hạn hai bán kính OA, OB cung nhỏ AB Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) HS tự chứng minh e) HS tự chứng minh g) ∆OHE : ∆FHM ⇒ OH HE = HF HM ⇒ OH.HM = HE.HF ∆MAO vuông A, AH ⊥ MO ⇒ OH HM = AH = AB ⇒ AB = HE.HF · · h) MHE = MKE = 900 ⇒ Tứ giác KEMK nội tiếp ⇒ OK.OE=OH.OM = OB2 = R2 º = IA º ⇒ MBI · i) Do IB = ·ABI ⇒ BI phân giác ·ABM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Mà IM phân giác ·AMB ⇒ I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABM k) Xét đường tròn qua điểm M, B, O, K, A có MA = MA » = MA » ⇒ MKB · · ⇒ MB = MKA · ⇒ KM phân giác góc BKA , mà KE ⊥ KM ⇒ KE phân giác ⇒ KA AE AE AF = ⇒ = KB BE BE BF ⇒ AE.BF = AF.BE 1) HS tham khảo 4B, Tứ giác nội tiếp Kết luận: G thuộc đường tròn J' bán kính AJ ' = JO với trung điểm OM J' thỏa mãn AJ m) Học sinh tự giải Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang ... em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan 999 9@gmail.com ⇒ SOMDB = SOMDB ngoai 13R R2 = SOMDB − S(O , R ) = ( 13 − 2π ) Cho tam giác ABC nhọn, có... S AOB ⇒ Scan tim = S ¼AmB = R2 = (4π − 3) 12 R2 (4π − 3) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan 999 9@gmail.com · Cho tam giác ABC có BAC =... kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan 999 9@gmail.com · ' H = CHE · a) ∆CHE' cân