Dạy thêm toán 8 ôn tập hình chương 3

HÌNH HỌC – CHƯƠNG III ƠN TẬP HÌNH CHƯƠNG I.Lí Thuyết Dạng 1: Các trường hợp đồng dạng tam giác Đối với hai tam giác, có ba trường hợp đồng dạng: trường hợp cạnh-cạnh-cạnh, trường hợp cạnh-góc-cạnh, trường hợp góc-góc Đối với hai tam giác vng, ngồi trường hợp nói cịn có trường hợp đồng dạng cạnh huyền cạnh góc vng II Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC cân A , đường cao AD , K trung điểm AD Gọi I hình · chiếu điểm D CK Chứng minh AIB  90 Hướng Dẫn: · · µ1D µ (cùng phụ C µ ) nên KID : DIC (g.g) KID DIC có KID  DIC  90, K  KI KD  DI DC Ta lại có: KD  KA, DC  DB nên KI KA  DI DB · · Kết hợp với IKA suy IKA : IDB (c.g.c)  IDB · · · · · Cùng cộng với KIB được: AIB  AIK  BID  KID  90   Bài 2: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM  AM  BC  Lấy điểm I đoạn AM   · · · · cho MBI Chứng minh MCI  MAC  MAB Hướng Dẫn: µ góc chung, B µ1A µ nên MBI : MAB (g.g) MBI MAB có M  MB MI MC MI    MA MB MA MC µ góc chung suy MCI : MAC (c.g.c) Kết hợp với M · ·  MCI  MAC Bài 3: Cho tam giác ABC , đường phân giác AD, BE, CF Gọi M giao điểm BE DF , N giao điểm DE CF Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III a) Kẻ MI NK song song với AD  I  AB, K  AC  Chứng minh AIM : AKN · · b) Chứng minh FAM  EAN Hướng Dẫn: · · · · · · a) Ta có: BIM nên góc bù với chúng AIM  BAD  CAD  CKN  AKN Sẽ chứng minh AI AK  IM KN µ1B µ nên Đặt BC  a, AC  b, AB  c Do IM / /AD B AI MD BD   IF MF BF (1) IF AF  IM AD (2) Nhân (1) với (2) Tương tự AK CD c  KN AD a Từ (3) (4) suy Vậy AI BD AF BD AF BD b    IM BF AD AD BF AD a (3) (4) AI AK BD b AD a BD b :   1 IM KN AD a CD c CD c AI AK  Do AIM : AKN (c.g.c) IM KN b) Suy từ câu a) Lưu ý: Trong ví dụ trên, xét tỉ số AI , ta viết tỉ số dạng tích hai tỉ số trung IM  AI IF  gian  , có nhiều tỉ số tỉ số trung gian từ định lí Ta-lét tính chất  IF IM  đường phân giác tam giác Cách viết tỉ số dạng tích hai tỉ số trung gian, với cách kẻ thêm đường thẳng song song cách thường dung để tạo cặp đoạn thẳng tỉ lệ µ µ  90  B Tính độ dài BC Bài 4: Cho tam giác ABC có AB  cm, AC  cm, A Hướng Dẫn: Trên BC lấy điểm D cho BD  cm µ B · · Tam giác ABD cân B nên ADC  90   BAC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Ta có DAC : ACB (g.g)  CA DC   DC.CB  AC2 CB AC Đặt DC  x x  x  5  36  x  5x  36    x  9  x  4  Do x  nên x  Do đó, BC    (cm)  CA DC   DC.CB  AC2 CB AC Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA  cm, HB  cm, HC  17 cm Tính a)Đường cao AD ; b) Diện tích ABC Hướng Dẫn: · · · (cùng phụ ACB ) nên DBH : DAC (g.g) a) DBH DAC vng D có DBH  DAC  DB DH  DA DC Đặt DH  x  x2 x  x7 17  x 2 Rút gọn 14x  71x  85    x  1  14x  85x  85   Do x  nên x    x  Suy AD  cm b) BD     BD  (cm) DC  17   16  DC  (cm) SABC  1 BC.AD      24 (cm2) 2 Bài 6: Cho tam giác ABC  AB  AC  , đường trung tuyến AM Điểm D cạnh BC cho DB  AB  · ·  Chứng minh BAD  CAM  DC  AC  Hướng Dẫn: Do MB  MC nên DB DB MB  DC MC DC (1) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Theo bổ đề hai tam giác có góc (Ví dụ 14) ta có: DB SADB AB.AD   MC SAMC AM.AC (2) MB SAMB AB.AM   DC SADC AD.AC (3) DB AB.AD AB.AM  AB    Từ (1), (2) (3) suy ra:  DC AM.AC AD.AC  AC  µ1A µ nên đường thẳng AD đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường Lưu ý: Do A phân giác góc A Ta gọi AD đườngđối trung qua A Dạng 2: Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng tỉ số đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng, tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng Nếu ABC : ABC có S AH AB  k, ABC  k  k , AH AH đường cao AH SABC AB Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC , đường cao BD CE cắt H Gọi M N theo thứ tự hình chiếu E D BC a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM DN EM DN b) Gọi O giao điểm DM EN Chứng minh HO vng góc với BC Hướng Dẫn: µ N µ  90, KHD · · Kẻ HI  EM, HK  DN KHD NDC có K (cùng phụ  NDC · ) nên HDK a) KHD : NDC (g.g)  Tương tự: HK HD  DN DC HI HE  EM EB (1) (2) Ta lại có HBE : HCD (g.g)  HE HD  EB DC Từ (1), (2) (3) suy b) (3) HI HK HI EM    EM DN HK DN (4) Kẻ OP  EM, OQ  DN Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III OEM : OND (g.g) có OP OQ hai đường cao tương ứng nên OP EM  OQ DN (5) Từ (4) (5) suy HI OP  , chứng tỏ HO / /EM , mà EM  BC nên HO  BC HK OQ Bài 2: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BE CF cắt G Gọi D điểm cạnh BC Qua D kẻ đường thẳng song song với CF , cắt BE BA theo thứ tự I M Qua D kẻ đường thẳng song song với BE , cắt CF CA theo thứ tự K N Tìm vị trí điểm D để: a) Tứ giác GIDK có diện tích lớn nhất; b) Tam giác DMN có diện tích lớn Hướng Dẫn: a) nên Đặt SGBC  S, SGIDK  S, BD  x, DC  y Các tam giác IBD, GBC, KDC đồng dạng 2 S S  SIBD  SKDC x  y2  x   y    1        S S  BC   BC   x  y S lớn  x  y2  x  y nhỏ x  y2 Do  x  y    x  y  nên  x  y  S lớn  x  y  D trung điểm BC DN DM CF   , tương tự  DI CG DK b) Ta có DM / /CF nên Suy SDMN DM DN 3 9     SDMN  SDIK  S SDIK DI DK 2 4 SDMN lớn  S lớn  x  y (theo câu a)  D trung điểm BC III.Bài tập tự luyện µ  2C µ Tính AB Bài 1: Cho tam giác ABC có AC  12 cm, BC  cm, B Hướng Dẫn: Trên tia đối tia BA lấy D cho BD = BC Ta có ∆ABC : ∆ACD (g.g)  AB AC  AC AD Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Đặt AB = x x 12   x  x  144  12 x   ( x  9)( x  16)  Đáp số: AB = 9cm µ C µ   , I trung điểm BC , đặt IB  IC  a Các điểm M, N Bài 2: Cho tam giác ABC có B · theo thứ tự di chuyển cạnh AB, AC cho MIN  a) Tính BM.CN theo a b) Chứng minh NI tia phân giác góc MNC c) Chứng minh khoảng cách từ I n MN khn i Hng Dn: ả Ià (cựng cộng với   Iµ 1800 ) a) Ta có N ∆BIM : ∆CNI (g.g)  BM IB  CI NC  BM NC  IB.IC  a b) Hai tam giác đồng dạng suy IM IB IC   NI NC NC ¶ N ¶  ∆MIN : ∆ICN (c.g.c)  N c) Từ câu b) suy khoảng cách từ I đến MN khoảng cách từ I đến AC khơng đổi µ  20 , đường phân giác CD Trên cạnh AC lấy điểm Bài 3: Cho tam giác ABC vng A có C · E cho ABE  30 Tia phân giác góc CBE cắt AC I Chứng minh DE song song với BI Hướng Dẫn: Kẻ IH BC Ta có ∆HIC : ∆ABC (g.g)  HC AC AD (1)   IC BC DB Để chứng minh ∆IBC cân nên HB = HC Ta có BI đường phân giác ∆EBC nên BE BC  EI IC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III  AE HC AE HC (2)    EI IC EI IC Từ (1) (2) suy AD AE   DE // BI (định lí Ta-lét đảo) DB EI Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H có HA  cm, HB  cm, HC  10 cm Tính diện tích tam giác ABC Hướng Dẫn: Giải tương tự Ví dụ 37 Gọi AD đường cao ∆ABC Đặt HD  x Đưa phương trình: x  23 x  100   ( x  2)( x  25 x  50)  HD = 2cm, BD = 1cm, DC = 6cm S ABC  10,5cm Bài 5: Tam giác ABC tam giác gì, có điểm D thuộc cạnh BC thỏa mãn AD chia tam giác ABC thnh hai tam giỏc ng dng Hng Dn: ả ¶ C µ A1 D ∆ABD đồng dạng với tam giác có ba đỉnh A, D, C (h.230a) mà D 1 ¶ D ¶ , suy AD  BC nên D Có hai trng hp: + Nu àA1 ảA2 thỡ ABC cõn A µ ∆ABC vng A + Nếu µA  B Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , điểm D đối xứng với A qua B Đường thẳng qua A vng góc với DH cắt BC I Chứng minh HI  IC Hướng Dn: (cựng ph à ả à Ta cú µA1  D ) DAI ), C  A2 (cùng phụ HAC nên ∆ICA : ∆HAD (g.g) Kẻ trung tuyến IK ∆ICA Do IK HB hai trung tuyến tương ứng hai tam giác đồng dạng Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III · nên CIK  ·AHB  900 ∆AHC có AK = KC KI // AH nên HI // IC Bài 7: Cho hình thoi ABCD , M trung điểm BC Trên đoạn AM lấy điểm E cho · · Chứng minh rằng: ABE  CAM a) DAE : AMB ; · · b) MED  BCD Hướng Dẫn: a) Sẽ chứng minh Ta có AD AE  MA MB AD AB  (1) MA MA Gọi O giao điểm AC BD ¶ (vì AB // OM) Do ¶A2  M AB AE AE µ µ   A1 nên ∆ABE : ∆MAO (g.g)  B (2) MA Từ (1) (2) suy MO MB AD AE ·  , lại có DAE  ·AMB MA MB nên ∆DAE : ∆AMB (c.g.c) · b) ∆DAE : ∆AMB  ·AED  MBA · · Suy hai góc bù với chúng MED  BCD Bài 8: Cho tam giác ABC, AB  AC , điểm D cạnh AC cho AD  AB , điểm E đoạn · µ Đường thẳng qua A song song với BD cắt BE K Gọi M giao AD cho ABE C điểm KD BC Chứng minh BM  MC Hướng Dẫn: EI // BC  BM KB  (1) EI KE MC DC  (do EI // BC) EI DE BC ả B ) (do B BE  AB (do ∆ABC : ∆AEB) AE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III  AD KB  (do AK // BD) (2) AE KE Từ (1) (2) suy BM MC   BM  MC EI EI Bài 9: Cho hình vng ABCD Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA E, F Gọi M giao điểm DE BC Gọi H, N theo thứ tự giao điểm BF với DE, DC Chứng minh rằng: a) MN song song với EF ; b) H trực tâm tam giác AMN Hướng Dẫn: BM BE  MC CD (1) BN EC BE   NF CF AB (2) a) Do AB = CD nên từ (1) (2) suy BM BN   MN // EF MC NF b) AD AB AE AE    DN DN CD AD µ  AN  ∆AND : ∆EAD (c.g.c)  µA1  E Tương tự AM DE BF Vậy H trực tâm ∆AMN Bài 10: Cho tam giác ABC , trọng tâm G Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD  AG Gọi giao điểm DG với AC, BC theo thứ tự E, K Chứng minh DE  EK Hướng dẫn: Kẻ DI / /AC  I  BC  Hãy chứng minh IC  CK Hướng Dẫn: Kẻ DI // AC ( I  BC ) , ta có ∆BDI  BD = BI  AD = CI (1) Kẻ AH ¶  750 DG µA1  150 , D D ả B 750 600  150 K I đối xứng với D qua BG Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang HÌNH HỌC – CHƯƠNG III ¶  750  Iµ1  D KI IG DG     KI  AD (2) ∆KIG : ∆ADH (g.g)  AD DH DH Từ (1) (2) suy KI = 2CI  IC = CK ∆DIK có IC = CK DI // EC nên DE = EK Bài 11: Cho tam giác ABC cân A , đường cao AH , điểm D cạnh AB Gọi I hình chiếu D BC , lấy điểm K đoạn HC cho HK  BI Đường vng góc với DK K cắt · AH G Chứng minh ACG  90 Hướng Dẫn: µ  I$ 900 , ∆HKG ∆IDK có H · ¶ (cùng phụ · HKG D IKD ) nên ∆HKG : ∆IDK (g.g)  HG HK  IK ID Do BI = HK, IK = BH = CH nên HG BI BH CH    CH ID AH AH · Kết hợp với CHG  ·ACH  900 suy ∆CHG : ∆AHC (c.g.c) µ µ ¶ ·ACG  µA  C ¶ C A1 Cùng cộng với C 2 Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Lấy điểm O nằm tam giác HBC cho · · Gọi D E theo thứ tự hình chiếu O AB AC Chứng minh OH OBH  OCH qua trung điểm DE Hướng Dẫn: Gọi I giao điểm OD HB, K giao điểm OE HC, Ta có OIHK hình bình hành nên OH qua trung điểm IK Hãy chứng minh IK //DE cách chứng minh DI EK  DO EO Xét tam giác đồng dạng BDI CEK, BOD COE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH Ở phía ngồi tam giác ABC , vẽ tam giác · · ABE vng B , ACF vng C có BAE Chứng minh đường thẳng  CAF AH, BF, CE đồng quy Hướng Dẫn: µ1  K µ 1, F µ1 C µ1 Qua C kẻ đường thẳng vng góc với BF, cắt HA K Do B nên  BCF ∽ KAC (g.g)  ACF ∽ ABE (g.g)  Từ (1) (2) suy CF BC   1 AC KA CF BE  AC AB  2 BC BE · ·  , lại có CBE nên CBE ∽ KAB (c.g.c)  KAB KA AB µ2 K µ C µ  CBK · µ  CBK · C K  90  CE  BK KH, BF, CE ba đường cao KBC nên chúng đồng quy Bài 14: Cho tam giác nhọn ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC, AC, AB cho · · , BDF  CDE · · · · Chứng minh rằng: CDE  AEF, AEF  BFD a) AEF : ABC ; b) AD, BE, CF đường cao ABC Hướng Dẫn: a)Đặt góc m, n, p hình vẽ Ta có 2m  2n  p  360 (bằng 540 trừ tổng ba góc DEF ) µ  n, C µ  p  m  n  p  180  µA  m, B Do AEF ∽ ABC (g.g) b) (h.239b) AEF ∽ ABC  AE AF   ABE ∽ ACF (c.g.c) AB AC µ 2, B µ  µA2 µ1 C µ Tương tự µA1  C B µ  µA1  B µ2 C µ1 C µ  µA2 , AD  BC Suy B Tương tự BE  AC , CF  AB Bài 15: Cho tam giác ABC vuông A , đường phân giác AD Hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB , N thuộc cạnh AC , P Q thuộc cạnh BC Gọi E giao điểm BN MQ a) Chứng minh DE song song với AC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III b) Gọi F giao điểm CM NP Chứng minh DE  DF c) Chứng minh AE  AF Hướng Dẫn: a)Theo định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác tam giác đồng dạng, ta có BE BQ BQ AB BD     EN QP MQ AC DC  DE / / NC , tức DE / / AC b) Do DE / / AC nên  DE  DE BD  CN BC BD CN BC Tương tự, DF   1 CD BM BC Từ (1) (2) suy Ta lại có Nên  2 DE BD CN  DF CD BM BD AB CN AC   (do AD đường phân giác), (do MN / / BC ) CD AC BM AB DE  , tức DE  DF DF µ  DAC · · µ2 c) Ta có D  DAB D  ADE  ADF (c.g.c)  AE  AF Bài 16: Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM , điểm D thuộc cạnh BC cho · · Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC E Đường thẳng qua D BAD  CAM song song với AC cắt AB F Chứng minh rằng: a) AEF : ABC ; · · b) EFD  EDC Hướng dẫn: Sử dụng Ví dụ 38 Hướng Dẫn: a) Ta có AE BD  AC BC  1 AB BC  AF CD  2 Nhân (1) với (2) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III AE AB BD  AF AC CD  3 Ta chứng minh Nên từ (3) suy BD AB  CD AC AE AB AB AE AB    AF AC AC AF AC  AEF ∽ ABC (c.g.c) µ Ta lại có ·AEF  EFD µ  EDC · · · · b) AEF ∽ ABC  ·AEF  B B nên EFD  EDC · · Bài 17: Cho hình chữ nhật ABCD Điểm I nằm hình chữ nhật cho IAD Chứng  ICD minh rằng: · · a) IDC ;  IBC b) SABCD  IA.IC  IB.ID Hướng Dẫn: a) Qua I kẻ MN  AD , kẻ IH  CD IMA ∽ IHC (g.g)  IM AM DH BN    IH HC IH IN  IDH ∽ IBN (c.g.c) µ1 B µ , tức IDC · · D  IBC b)Kẻ đường vng góc với DI D, kẻ đường vng góc với CI C, chúng cắt K µ nên µA2  C µ , B µ1  D µ nên B µ2 D µ , AIB  CKD (g.c.g)  S AIB  SCKD Do µA1  C S ABCD   S AIB  SCID    SCKD  SCID    S IDK  S ICK   ID.DK  IC.CK  ID.IB  IC IA Bài 18: Cho hình vng ABCD Hãy dựng đường thẳng d qua B , cắt tia đối tia AD CD E F cho tích BE.BF có giá trị nhỏ Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Hướng Dẫn: Đặt AB  BC  a , AE  x , CF  y EAB ∽ BCF  x a   xy  a a y 2 2 2 Ta có BE BF   x  a   y  a  Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III  x y  a  x  y   a  2a  a  x  y  Ta lại có x  y  xy  2a nên BE BF  4a  BE.BF   2a  x  y  d vng góc với BD B Bài 19: Một hình thang có đáy nhỏ 17 cm, đáy lớn 31 cm chia thành hai phần đoạn thẳng song song với hai đáy dài 25 cm có hai đầu mút nằm hai cạnh bên Chứng minh hai phần có diện tích Hướng Dẫn: Kí hiệu hình vẽ Kẻ BG, FI song song với AD BGF ∽ FIC nên tỉ số hai đường cao tỉ số đồng dạng : BH GF 25  17 4     BH  FK FK IC 31  25 3 S ABFE  17  25 KF  28FK S EFCD  25  31 FK  28FK Suy điều phải chứng minh Bài 20: Cho tam giác nhọn ABC , có đường cao AD, BE, CF cắt H Biết diện tích tứ giác BDHF CDHE Chứng minh AB  AC Hướng Dẫn: Giả sử AB  AC DB  DC HB  HC DB  DC  S1  S2  1 FHB ∽ EHC (g.g) mà HB  HC nên S3  S  2 Từ (1) (2) suy S1  S3  S  S4 , tức S BDHF  SCDHE , trái với giả thiết Giả sử AB  AC , tương tự S BDHF  SCDHE , trái với giả thiết Vậy AB  AC Bài 21: Cho tam giác ABC vng A Tìm vị trí điểm D, E, F theo thứ tự nằm cạnh BC, AC, AB cho tam giác DEF vuông D đồng dạng với tam giác cho có diện tích nhỏ Hướng Dẫn: DEF có góc khơng đổi nên có diện tích EF nhỏ Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Kẻ AH  BC , HM  AC , HN  AB Gọi I trung điểm EF, ta có EF  EI  IF  AI  ID  AD  AH minEF  AH  D trùng H, E trùng M, F trùng N Khi DEF HMN Bài 22: Cho tam giác ABC có diện tích S , điểm O nằm tam giác Kẻ OD song song với AB  D  BC  , kẻ OE song song với BC  E  OA  , kẻ OF song song với CA  F  AB  a)Kẻ EH song song với AB  H  BC  , kẻ FI song song với BC  I  CA  , kẻ DK song song với CA  K  AB  Chứng minh diện tích tam giác DEF nửa diện tích lục giác FIEHDK S b)Chứng minh SDEF  Hướng Dẫn: a) Bạn đọc tự giải b) Đặt S AFI  S1 , S KBD  S2 , S EHC  S3 Ta chứng minh S1  S  S3  FI  OE  DH  x , BD  y , HC  z , BC  a Các tam giác AFI, KBD, EHC đồng dạng với ABC nên 2 S Đặt S1 S2 S3   S S S 1 x y z   x  y  z               3 a a a  a a a  S FIEHDK  S DEF  S S  S DEF  3 S  x  y  z  O trọng tâm ABC Bài 23:Cho tam giác ABC vng A, có AB=3cm, AC=4cm,vẽ đường cao AH a) Vẽ đường thẳng vng góc với AC C cắt AH kéo dài D Chứng minh BAC : ACD , suy AC2 = AB CD b) Chứng minh tứ giác ABDC hình thang vng Tính diện tích ABDC c) Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt AC E cắt BD F So sánh HE HF? Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III · · · · · a)Ta có: ABC (cùng phụ với góc ABH ), BAC  CAD  ACD  900 Do đó: BAC : ACD Từ suy AC BA   AC2  AB.CD CD AC b)Vì AB CD vng góc với AC nên AB // CD µ  900 nên ABDC hình thang vng Tứ giác ABDC có AB // CD A Theo AC2  AB.CD  CD  SABDC  AC2 16  (cm) AB 1 16 86  AB  DC  AC    4  (cm2 ) 2  c) Dễ thấy: ABH : DCH  BH AH BH AH    (1) CH DH BC AD Mặt khác, EF // DC nên theo định lí Talet ta có: (1) (2)  HE AH HF BH   (2) CD BC DC AD HF HE   HE  HF CD DC Bài 24: Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao (H thuộc BC) a) Trên tia đối tia AC lấy điểm D, vẽ AE vuông góc với BD E Chứng minh tam giác AEB đồng dạng tam giác DAB b) Chứng minh BE.BD= BH.BC · · c) Chứng minh BHE  BDC Giải: · · · · a) Ta có: DBA AEB  DAB  900 AEB : DAB  ABE b) AEB : DAB  BE BA   BE.BD  BA (1) BA BD Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Xét hai tam giác BAH BCA có: · · · · BHA ABH  CBA  BAC  900 Nên BAH : BCA , Suy BH BA   BH.BC  BA (2) BA BC (1) (2) suy BE.BD = BH.BC c) Theo BE.BD  BH.BC  BE BH  BC BD µ chung Xét hai tam giác BEH BCD có góc B BE BH  BC BD · · Nên BEH : BCD Từ ta có BHE  BDC Bài 25: Cho tam giác ABC vng A có AB = 8cm, AC = 6cm, đường cao AH Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt AH D a) Chứng minh AHB : DHC b) Chứng minh AC2 = AB.DC c) Tứ giác ABDC hình gì? Vì sao? Tính diện tích tứ giác ABDC Hướng Dẫn: · · · · a) Ta có ABH (so le trong) AHB  DHC  900 nên AHB : DHC  DCH · · · b) ABC (cùng phụ với góc BAH )  CAD · · DC // AB nên DC  AC  BAC  ACD  900 Do ABC : CAD , từ suy ra: AB AC   AB.CD  AC2 CA CD · c) AB // CD BAC  900 nên ABDC hình thang vng AC2 36 AB.CD  AC  CD    (cm) AB 2 SABDC  1 75  AB  CD  AC    6  (cm ) 2 2 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III · Bài 26: Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Kẻ BD tia phân giác ABC cắt AH I Chứng minh AD2 = IH DC Hướng Dẫn: Ta chứng minh AD IH  DC AD Theo tính chất chân đường phân giác thì: AD BA  (1) CD BC Dễ thấy hai tam giác BAC BHA đồng dạng nên: BA BH  (2) BC BA · · · Xét hai tam giác BHI BAD có: HBI ( BD tia phân giác ABC );  ABD IH BH · ·  (3) BHI  BAD  900 Do BHI : BAD , suy ra: DA Từ (1), (2), (3) suy ra: BA AD IH   AD  IH.CD CD DA Bài 27 Cho đoạn thẳng AB Trong mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, vẽ hai tia Ax va By vng góc với AB A B Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác A, B) Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), tia vng góc MC M cắt By D a) Chứng minh AMC : BDM b) Đường thẳng CD cắt AB E Chứng minh EC.BD= ED.AC c) Vẽ MH vuông góc với CD H Chứng minh HM2 = HC.HD d) Gọi I giao điểm BC AD Chứng minh DE.IA = ID.EC Hướng Dẫn: a) Ta có: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III · · · · · · AMC  BMD  900 , BDM  BMD  900 , suy AMC  BDM · · Lại có MAC  DBM  900 , AMC : BDM b) Vì BD // AC, theo định lí Talet ta có: ED BD   EC.BD  ED.AC EC AC · · · · · c) MCH (cùng phụ với góc CMH ); MHC  DMH  DHM  900 , nên ta có: MCH : DMH  d) Ta có: MH CH   MH  CH.DH DH MH ID BD ED BD   Mặt khác: BD // AC, ta suy IDB : IAC nên EC AC IA AC Từ ta có: ED ID   DE.IA  ID.EC EC IA Bài 28: Cho tam giác ABC vng A có AB = 15cm, AC = 20 cm đường cao AH Vẽ HD vng góc AB D HE vng góc AC E a) Vẽ tia Ax vng góc DE cắt BC M Chứng minh M trung điểm BC b) Tính diện tích tam giác ADE Hướng Dẫn: µ D µ E µ  900 nên ADHE hình chữ nhật a) Tứ giác ADHE có A · · · (cùng phụ với góc EDA ) MAB  EDH · · (ADHE hình chữ nhật) EDH  AHD · · · (cùng phụ với góc BHD ) ABM  AHD · · Do đó: MAB Từ suy hai tam giác AMB AMC cân M Vậy M  ABM trung điểm BC b) BC  AB2  AC  225  400  625  BC  25(cm) Dễ thấy HBA : ABC   AH= HA BA   AH.BC  AB.AC AC BC AB.AC 15.20   12(cm)  ED  AH  12(cm) BC 25 · · · · Từ suy ABC : AED ABC  HAD  900  ABC  AED Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III AE AD ED 12 12 36 12 48     AE  15  (cm), AD  20  (cm) AB AC BC 25 25 25 Vậy S ADE  1 36 48 864 AE AD   (cm ) 2 5 25 Bài 29: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD BH cắt I a) Chứng minh HI.CB = CH.IA b) Tia CI cắt AB, DH K, M Chứng minh: IK.MC= KC.IM Hướng Dẫn: a) Xét hai tam giác IHA CHB có: · · · (cùng phụ với góc CAD ) AIH  BCH · · IHA  CHB  900 Do IHA : CHB Suy IH IA   HI.CB  CH.IA CH CB b) Dễ thấy hai tam giác CDA CHB đồng dạng, đó: CD CA  CH CB µ chung CD  CA nên CDH : CAB Hai tam giác CDH CAB có góc C CH CB Chứng minh tương tự, ta có AHK : ABC , từ ta có CDH : KAH · · · · Suy CHD , hay I chân đường phân giác kẻ từ H tam  KHA  KHI  MHI giác HKM Vì HC  HI nên C chân đường phân giác kẻ từ H tam giác HKM Theo tính chất chân đường phân giác ngồi thì: KI KA KC    KI.MC  KC.MI MI MA MC Bài 30: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H (D thuộc AC, E thuộc AB) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III a) Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng tam giác ABC b) Gọi K, F giao điểm AH với DE, BC Chứng minh KH.AF= AK.HF Hướng Dẫn: a)Dễ thấy ADB : AEC  AD AB  AE AC µ chung Xét hai tam giác ADE ABC có góc A AD AB  nên ADE : ABC AE AC b) Chứng minh tương tự câu 1b H A chân đường phân giác kẻ từ D tam giác KDF, suy ra: KH KA KD    KH.FA  KA.FH FH FA FD Bài 31: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Kẻ đường cao BE CF cắt H a) Gọi K giao điểm AH BC Chứng minh tam giác BKF đồng dạng tam giác BAC b)Tia EF cắt AK BC N, D Chứng minh DE.FN = DF.NE c) Gọi O, I trung điểm BC AH Chứng minh ON vuông góc DI Hướng Dẫn: a) Dễ thấy BAK : BCF , đó: BA BK  BC BF µ chung Hai tam giác BKF BAC có góc B BK BA  nên BKF : BAC BF BC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III b)Ta chứng minh KN đường phân giác KD đường phân giác kẻ từ K tam giác FKE Theo tính chất chân đường phân giác phân giác ngồi, ta có: EN ED EK    ED.FN  EN.FD FN FD FK c)Gọi J điểm đối xứng H qua O, ta có BHCJ hình bình hành, từ suy BJ  AB, CJ  AC Dễ thấy : BFH : CFA  BF BH CJ   CF CA CA Từ ta có BFC : JCA · ·  ABC  AJC · · Mặt khác, tương tự câu a, ta chứng minh AEF : ABC suy ABC  AEF · · · · · · Từ ta có AEF Mà AJC  AJC  JAC  900 , hay AJ  EF  JAC  900 nên AEF Ta có IO đường trung bình tam giác AHJ nên IO // AJ  EF  IO Xét tam giác IDO có IN  DO, DN  IO nên N trực tâm  IDO Vậy ON  DI µ  90 , AB < AC) Qua trung điểm I AC vẽ đường thẳng Bài 32: Cho tam giác ABC (góc A vng góc với BC qua C vẽ đường thẳng vng góc với AC, chúng cắt E Chứng minh AE vng góc BI Hướng Dẫn: · ) · · Ta có: ACB (cùng phụ với CIE  CEI Do đó: ACB : CEI AB CI AI AB CA      AC CE CE AI CE · · Vì BAI  ECA  900 nên ABI : CAE · · Do ta có ABI  CAE · · · · Mặt khác ABI  AIB  900  AIB  900  CAE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Vậy EA  BI Bài 33: Cho hình thang ABCD (CD > AB; AB//CD) có AB vng góc BD Hai đường chéo AC BD cắt G Trên đường thẳng vng góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB Chứng minh GF vng góc EF Hướng Dẫn: Dựng đường thẳng qua E, vng góc với CD, cắt đường thẳng CD H · · · · · · Ta có ECH  DCG  900 , DCG  DGC  900 , DGC  AGB · · Từ suy ECH  AGB Như ta có AGB  ECH (g-c-g)  EH  AB, CH  BG  DF Ta có ABG : CDG  AB BG DF   CD DG DG Mà EH  AB, HF  HC  CF  DF  CF  CD nên suy DF HE  (1) DG HF · · Lại có FDG  EHF  900 (2) · · (1), (2) suy FDG : EHF  DGF  HFE · · · · · Mặt khác DGF  900  DFG  900 nên HFE  DFG  900 Vậy GFE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23 ... chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III AE AD ED 12 12 36 12 48     AE  15  (cm), AD  20  (cm) AB AC BC 25 25 25 Vậy S ADE  1 36 48 864 AE AD   (cm ) 2 5 25 Bài... ngoan – học giỏi !! Trang 22 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III Vậy EA  BI Bài 33 : Cho hình thang ABCD (CD > AB; AB//CD) có AB vng góc BD Hai đường chéo AC BD cắt G Trên đường thẳng vuông góc với AC C lấy điểm... dụng Ví dụ 38 Hướng Dẫn: a) Ta có AE BD  AC BC  1 AB BC  AF CD  2 Nhân (1) với (2) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 HÌNH HỌC – CHƯƠNG III AE AB BD  AF AC CD  3? ?? Ta chứng