PH ƯƠ NG TRÌNH B C B N Ậ Ố
ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0 (a ≠ 0)
I Nh ng d ng đ c bi t ữ ạ ặ ệ
1/ Ph ươ ng trình trùng ph ươ ng ax 4 + bx 2 + c = 0
Đ t t = x ặ 2 (t ≥ 0), ph ươ ng trình tr v d ng b c hai ở ề ạ ậ
2/ (x + a) 4 + (x + b) 4 = c
Đ t t = x + ½(a + b), pt có d ng : (t + m) ặ ạ 4 + (t - m) 4 = c, khai tri n s đ ể ẽ ượ c pt trùng ph ươ ng
3/ (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (m ≠ 0) v i a + b = c + d ớ
pt ↔ [x 2 + (a + b)x + ab].[x 2 + (c + d)x + cd] = m
Đ t t = x ặ 2 + (a + b)x = x 2 + (c + d)x (n u mu n có th kèm theo ĐK c a t) ế ố ể ủ
Ph ươ ng trình tr v d ng b c hai ở ề ạ ậ
4/ ax 4 + bx 3 + cx 2 ± kbx + k 2 a = 0 (a ≠ 0)
- Xét x = 0 có ph i nghi m pt không ả ệ
- V i x ≠ 0 : Chia 2 v pt cho x ớ ế 2
pt ↔ a (x 2 + k 2 /x 2 ) + b(x ± k/x) + c = 0
Đ t t = x ± k/x (n u mu n có th kèm theo ĐK c a t) ặ ế ố ể ủ
5/ a[f 2 (x) + 1/f 2 (x)] + b[f(x) ± 1/f(x)] + c = 0
Đ t t = f(x) ± 1/f(x) (t ng quát h n so v i d ng ph ặ ổ ơ ớ ạ ươ ng trình 4)
6/ a.f 2 (x) + b.f(x).g(x) + c.g 2 (x) = 0 (a ≠ 0)
- V i g(x) = 0, pt ↔ f(x) = 0 ớ
- V i g(x) ≠ 0, chia 2 v ph ớ ế ươ ng trình cho g 2 (x)
- Đ t t = f(x)/g(x), pt tr v d ng b c hai theo t ặ ở ề ạ ậ
7/ x = f(f(x))
pt ↔ h đ i x ng lo i 2 : t = f(x) và x = f(t) ệ ố ứ ạ
* Chú ý : N u trong ph ế ươ ng trình có ch a tham s , trong vài tr ứ ố ườ ng h p ta có th đ i ợ ể ổ vai trò c a n và tham s (xét ph ủ ẩ ố ươ ng trình theo tham s a, tính a theo x r i suy ra x theo ố ồ a)
II Ph ươ ng trình b c b n t ng quát X ậ ố ổ 4 + AX 3 + BX 2 + CX + D = 0 (công th c Ferrari) ứ
- Đ t X = x - A/4, ph ặ ươ ng trình tr v d ng ở ề ạ khuy t b c ba ế ậ :
x 4 = ax 2 + bx + c
- C ng 2 v pt cho 2mx ộ ế 2 + m 2 (m thu c R), ta đ ộ ượ c : (x 2 + m 2 ) 2 = (2m + a)x 2 + bx + c + m 2
- Xét v ph i pt, ta s ch n m sao cho v ph i là bình ph ế ả ẽ ọ ế ả ươ ng m t nh th c b ng ộ ị ứ ằ cách :
Δ VP = b 2 - 4(2m + a)(c + m 2 ) : pt b c ba theo m → luôn có nghi m th c ậ ệ ự
- Khi đó pt có d ng : (x ạ 2 + m 2 ) 2 = f 2 (x)
Trang 2PH ƯƠ NG TRÌNH B C BA Ậ
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)
Chú ý :
- Ph ươ ng trình b c l luôn luôn có nghi m th c ậ ẻ ệ ự
- Đ nh lý Viete : N u ph ị ế ươ ng trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có 3 nghi m x ệ 1 , x 2 ,
x 3 thì :
x 1 + x 2 + x 3 = -b/2a
x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = c/a
x 1 x 2 x 3 = -d/a
I Nh ng d ng thông th ữ ạ ườ ng
1 N u x = x ế 0 là m t nghi m, ta có th phân tích thành d ng : ộ ệ ể ạ
(x - x 0 )(ax 2 + bx + c) = 0
Đ c bi t :ặ ệ
- N u a ± b + c ± d = 0 → x = ±1 là nghi mế ệ
- N u (d/a) = (c/b)ế 3 → x = -c/b là nghi mệ
2 Ph ươ ng trình d ng A ạ 3 + B 3 = (A + B) 3
pt ↔ A3 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) ↔ AB(A + B) = 0
II Nh ng d ng t ng quát ữ ạ ổ
1 Ph ươ ng trình 4x 3 - 3x = q
* V i │q│ ≤ 1 ớ
- Đ t x = cost , pt tr thành : cos3t = qặ ở
- G i α là góc th a cosα = q, nh v y : cos3t = cosαọ ỏ ư ậ
- Ta ch n tọ 1 = α/3 ; t2,3 = (α ± 2π)/3
- K t lu n phế ậ ương trình có 3 nghi m xệ 1,2,3 = cos t1,2,3
Chú ý r ng bằ ước đ t x = cost là m t cách đ t "ép" n ph , ta không c n ch ngặ ộ ặ ẩ ụ ầ ứ minh r ng pt trên luôn có nghi m nh h n 1, khi tìm đằ ệ ỏ ơ ượ đủ 3 nghi m thì ta cóc ệ
th k t lu n ngayể ế ậ
* V i │q│ > 1 ớ :
- Ta d dàng CM đễ ược pt không có nghi m thu c [-1;1] và n u phệ ộ ế ương trình có nghi m xệ 0 không thu c [-1;1] thì xộ 0 là nghi m duy nh tệ ấ
- Ta ch n a thu c R đ pt có d ng 4xọ ộ ể ạ 3 - 3x = ½ (a3 + 1/a3) b ng cách :ằ
q = ½ (a3 + 1/a3) ↔ a6 - 2qa3 + 1 = 0 (→ tìm được a)
- CM x0 = ½ (a + 1/a) là nghi m (duy nh t) c a phệ ấ ủ ương trình
2 Ph ươ ng trình 4x 3 + 3x = q
- Gi s phả ử ương trình có nghi m xệ 0, dùng đ o hàm ta CM đạ ược x0 là nghi m duyệ
nh tấ
- Ta ch n a thu c R đ pt có d ng 4xọ ộ ể ạ 3 + 3x = ½ (a3 - 1/a3) r i CM xồ 0 = ½ (a - 1/a) là
Trang 3nghi m (duy nh t) c a phệ ấ ủ ương trình (phương pháp tương t nh trên)ự ư
3 Ph ươ ng trình x 3 + px + q = 0 (Công th c Cardan - Tartaglia) ứ
- Đ t x = u - v sao cho uv = p/3ặ
- T pt, ta có : (u - v)ừ 3 + 3uv(u - v) = u3 - v3 = q
- H phệ ương trình uv = p/3 và u3 - v3 = q cho ta m t phộ ương trình trùng phươ ng theo u (ho c v), t đó suy ra u,v và tìm đặ ừ ượ m tc ộ nghi m x = u + vệ
Chú ý r ng trong lúc gi i phằ ả ương trình trùng phương có th ta g p nghi m ph c (uể ặ ệ ứ
ho c v) nên t đó phặ ừ ương trình b c ba còn cho thêm 2 nghi m ph c n a (đó m i làậ ệ ứ ữ ớ
d ng đ y đ c a công th c trên)ạ ầ ủ ủ ứ Ngoài ra, các phương trình 4x3 ± 3x = q nh trên cũng có th gi i đư ể ả ược b ng PPằ này
4 Ph ươ ng trình b c ba t ng quát X ậ ổ 3 + AX 2 + BX + C = 0
Đ t X = x - A/3, pt tr thành xặ ở 3 + px + q = 0 (#)
Cách 1 : Gi i tr c ti p theo công th c Cardan - Tartagliaả ự ế ứ
Cách 2 :
- Đ t x = kt (k > 0) , (#) tr thành : kặ ở 3t3 + pkx + q = 0 (ch n k sao cho kọ 3/4 = pk/3 n u p > 0 ho c kế ặ 3/4 = -pk/3 n u p < 0)ế
- Phương trình được đ a v d ng 4tư ề ạ 3 ± 3t = Q