GIÁO TRÌNH ĐA THỨC VÀ NHÂN TỬ HÓA

Đại học Huế Trung tâm đào tạo từ xa GVC Lấ THANH H GIO TRèNH đa thức nhân tử hãa (Tái lần thứ nhất) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC HUẾ LỜI NĨI ĐẦU Trong giáo trình này, chúng tơi xem người học có sẵn kiến thức cần thiết cấu trúc vành kiểu vành miền nguyên, thể, trường… Trong chương I, vành đa thức định nghĩa xây dựng cách mở rộng vành Vành sở (vành hệ tử) đa thức không thiết vành giao hốn, cần có phân tử đơn vị… Bằng cách đó, người ta nói đến đa thức vành phép biến đổi không gian, vành ma trận vuông, thể thể quatecnion… Trường hợp vành sở vành giao hốn, dĩ nhiên người ta có “đại số đa thức” Vành đa thức theo biến siêu việt hay nhiều biến độc lập đại số thực kiểu vành “tự do” tập hợp phần tử sinh, với tính chất phổ dụng đồng cấu nhúng vành vào vành đa thức Đối với vành đa thức theo biến, phép cộng phép nhân vành, cịn có phép chia đa thức thực vài điều kiện Hàm đa thức nghiệm đa thức trọng đến Nhiều tính chất đa thức theo biến suy rộng cho đa thức theo nhiều biến Nhưng đa thức theo số hữu hạn biến, đa thức đối xứng phần chủ yếu lý thuyết ứng dụng Các công thức Newton đưa vào để tăng cường phương pháp biểu thị đa thức đối xứng theo đa thức đối xứng sơ cấp, qua trung gian lớp đa thức đối xứng đẳng cấp đặc biệt Chương II trước hết trình bày lý thuyết tổng quát nhân tử hóa miền nguyên Nhóm phần tử khả nghịch lớp iđêan miền nguyên sử dụng để định nghĩa quan hệ liên kết, phần tử bất khả quy khái niệm ước chung lớn Sau vào định nghĩa khảo sát miền nguyên Gauss (miền nguyêm với dạng nhân tử hóa nhất) dạng đặc biệt miền ngun chính, miền nguyên Euclid, khảo sát tính chất đặc trưng kiểu miền nguyên mối quan hệ chúng với Phần cuối chương II dành khảo sát miền nguyên đa thức có hệ tử miền nguyên hay trường số thông dụng Trong chương, sau xoắn §, có số đề tập áp dụng Cuối chương có số đề Bài tập tổng hợp, nhằm bổ sung vấn đề lí thuyết, chúng gợi ý cho đề tài để làm tập lớn Một số đề tài hướng dẫn, giải đáp; nhiên, phần nhiều tập việc giải triển khai chi tiết thường để dành cho độc giả L.T.H KÍ HIỆU THƠNG DỤNG Kí hiệu Nghĩa kí hiệu C N Q R Z Zn A[u] A[x] bậc Trường số phức Tập hợp số nguyên tự nhiên Trường số hữu tỉ Trường số thực Vành số nguyên Vành số nguyên mod.n Vành đa thức theo biến u Vành đa thức theo biến x siêu việt Bậc đa thức f I.3 I.1 I.1 I.1 I.1 I.1 I.1 I.1 I.1 Hàm đa thức tương ứng với đa thức f 1.2 A[u1,…,ur] A[x1,…,xr] s1,…,sr f(n) aD, (a) a|b a~b (a, b) [a, b] (D, δ) Z[i] Фp (x) Vành đa thức theo r biến Vành đa thức theo r biến độc lập đại số Các đa thức đối xứng sơ cấp Đạo hàm bậc n đa thức f Iđêan sinh a a ước b a liên kết với b Ước chung lớn a b Bội chung nhỏ a b Miền nguyên Euclid Vành số nguyên Gauss Đa thức chia đường 1.4 1.5 1.5 1.6 II.1 II.1 II.1 II.1 II.1 II.3 II.3 II.5 z Liên hiệp số phức z Trường quadratic Vành số nguyên quadratic II.5 II.6 II.6 f Q[√d] J(d) Chương I VÀNH ĐA THỨC Trên sở cấu trúc vành, đa thức theo số hữu hạn biến khảo sát; nói rõ hơn, ta đề cập đến vành đa thức theo biến vành đa thức theo nhiều biến Cấu trúc vành đa thức theo biến 1.1 Vành đa thức theo biến vành Cho vành B, vành A B phần tử u  B, ta xem xét vành B sinh phận A  {u} Để toán đơn giản, ta giả thiết vành B, vành A phần tử u thỏa mãn điều kiện sau đây: i) Vành B có phần tử đơn vị 1B ii) 1B  A iii) au = ua với a  A Vành B sinh A  {u} kí hiệu A[u] Dạng phần tử thuộc vành biểu thị theo phần tử phận sinh, cho thấy cần phải xét phần tử B có dạng a0 + a1u + … + anun = n  aiui, A (1) i0 Định nghĩa 1: Một phần tử vành B có dạng (1) gọi đa thức theo biến u có hệ tử thuộc vành A Mệnh đề : Vành A[u] vành B tập hợp tất đa thức theo biến u có hệ tử thuộc vành A Chứng minh : Đặt P(A, u) tập hợp phần tử B có dạng đa thức (1) Ta cần chứng minh P(a,u) = A[u] Hiển nhiên P(A,u)  A[u] Để có đẳng thức ta cần chứng tỏ P(A, u) vành B chứa A u Dễ nhận thấy A  P(A, u) u  P(A, u) Lấy hai phần tử P(A, u) n f =  aiui, n g= i0  i0 a’iui Không tính tổng qt lập luận, ta giả thiết m ≤ n (xem a’m+1 = = a’n = 0B), tổng chúng viết : n f + g = (ai + ai’) ui  (2) i0 f + g  P(A, u) Cịn tích chúng viết nm f.g =  p i ui i0 đó, với i,  pi = a0ai’ + a1ai-1’ + … + ai-1a1’ + aia0’ = ajak’  A, (3) j  k i fg  P(A, u) Ngoài ra, với phần tử f = u), có phần tử - f =  n i0 n  i0 aiui  P(A, (-ai)ui cho f + (-f) = 0B’ Vậy P(A, u) vành B chứa A  {u}, chứa vành A{u} Tóm lại, P(A, u) = A[u] mệnh đề chứng minh Nếu xảy B = A[u] với vành A B phần tử u  B, ta nói B vành đa thức theo biến u có hệ tử thuộc vành A n Nếu đa thức i0 aiui  A[u] có tất hệ tử = 0B đa thức 0B Ngược lại, xét đa thức A[u] 0B, ta có hai trường hợp tương ứng với định nghĩa sau biến u: Định nghĩa 2: Trong vành đa thức A[u] 1) u gọi đại số vành A A[u] có đa thức  n i0 aiui = 0B với hệ tử không 0B tất 2) u gọi siêu việt vành A, u đại số A, tức với đa thức  n i0 aiui  A[u], n  i0 ui = 0B kéo theo = 0B với i Mệnh đề 2: Nếu biến u siêu việt với vành A, dãy hệ tử a0, a1,…,an đa thức  n i0 aiui  A[u] có tính Chứng minh: Thật vậy, giả sử f  A[u] viết f =  n i0 ui =  n i0 ai’ui ta suy :  n i0 (ai – ai’) ui = u siêu việt A, ta có a i – a i’ = tức = a i ’ với i = 0,…,n Điều chứng tỏ dãy hệ tử a0, a1, …, an f có tính BÀI TẬP: (1) Chứng minh vành Z[ ] (các đa thức theo biến u = có hệ số nguyên) trường R phận số thực có dạng m + n với m, n  Z (2) Chứng minh vành Z[ ] R chưa hẳn phận số thực có dạng m + n với m, n  Z (3) Chứng minh số thực u = - đại số vành Z số nguyên 1.2 Nhúng vành vào đa thức theo biến siêu việt Cho vành A với phần tử đơn vị 1A Ta tìm cách nhúng A vào vành A[x] đa thức có hệ tử thuộc A theo biến x siêu việt A Theo 1.1 Mệnh đề 2, đa thức vành A[x] xác định dãy hệ tử nó, tức dãy vô hạn (a0, a1, …, an, 0A, …) phần tử A, hầu hết 0A ngoại trừ số hữu hạn Vì để xây dựng A[x], ta xét tập hợp B = A(N) ánh xạ f : N  A từ tập hợp số tự nhiên 0, 1, 2, … vào vành A có giá trị f (i) = hầu hết 0A ngoại trừ số hữu hạn i  N Trên tập hợp B = A(N) ta định nghĩa phép toán cộng nhân sau, với f, g  B ta có phần tử f + g  B định (f + g)(i) = f(i) + g(i) với i  N (1) Có thể kiểm chứng B phép cộng (f, g)  f = g nhóm aben Phần tử 0B nhóm cộng ánh xạ ε0A : N  A định ε 0A (i) = 0A với i  N Cịn f  B có phần tử đối ánh xạ (-f): N  A cho (-f)(i) = - f (i) với i  N Với f, g  B, ta lại có phần tử fg  B cho (f g)(i) =  f(j)g(k), với i  N (2) j  k i tổng vế sau lấy với cặp j, k  N cho j + k = i Phép nhân (f, g)  f g B có tính kết hợp; Thật vậy, với f, g, h  B với i  N, mặt ta có [f(gh)](i) =  f(j)  g(k)h(l) =  f(j)g(k)h(l), mặt khác [f(gh)](i) = j  ( k  l ) i k l  m j  m i   f(j)g(k) h(l) = j k m m  l i  f(j)g(k)h(l) ( j  k )  l i [f(gh)](i) = [(fg)h](i) Vậy f(gh) = (fg)h Từ công thức định nghĩa, kiểm chứng phép nhân B phân phối phép cộng B Vậy B phép cộng (f, g)  f + g phép nhân (f, g)  f g định nghĩa vành Vành B có phần tử đơn vị, ánh xạ 1B = ε1A : N  A định (3) 1 (0) = 1A 1 (i) = 0A với i ≠ A A Một cách tổng quát, với phần tử a  A ta có phần tử εa  B ánh xạ εa : N  A định εa (0) = a εa (i) = 0A với i ≠ (4) Vì a, a’  A, ta có a = a’ εa = εa’ tương ứng a  εa đơn ánh xạ jA: A  B Hơn theo phép cộng phép nhân B, với a, a’  A jA(a + a’) = εa+a’ = εa + εa’ = jA(a) + jA(a’) jA(aa’) = εaa’ = εaεa’ = jA(a) jA(a’) jA(1A) = ε1a = 1B, nên a  εa cấu vành jA: A  B chuyển đơn vị thành đơn vị Vậy A đẳng cấu với vành ImjA = {εa  B|a  A} B Đồng A với cành ImjA A, tức đồng a  A với εa  B (khi 0A đồng với 0B = εOA 1A đồng với 1B = ε1A) cho nhúng A vào vành B Nói cách khác vành B chứa A vành đơn vị A đơn vị B Bây ta để ý đến phần tử x  B ánh xạ x : N  A định nghĩa x (1) = 1A x(i) = 0A với i ≠ (5) Vì a đồng với εa theo phép nhân B, ta có (ax)(1) = (εax)(1) = a (ax)(i) = (εax)(i) = 0A với i ≠ (xa)(1) = (xεa)(1) = a (xa)(i) = (xεa)(i) = 0A với i ≠ ax = xa với a  A Do đó, theo 1.1 ta có vành A[x] B, gồm đa thức theo biến x có hệ tử thuộc vành A B Ngoài ra, để ý với số nguyên q ≥0, lũy thừa bậc q x q  B ánh xạ x : N  A định xq(q) = 1A xq(i) = 0A với i ≠ q với a  A, ta có phần tử axq = xqa  B, ánh xạ N  A định (axq)(q) = a (axq)(i) = 0A với i ≠ q Do đó, với phần tử f  B, f(0) = a0, …, f(n) = an f(i) = 0A với i > n theo phép tốn B, ta viết f = a0 + a1x +…+anxn,  A (hai vế ánh xạ N  A có giá trị i  N nhau); điều chứng tỏ B = A[x] Hơn nữa, biến x siêu việt A, với đa thức f = a0 + a1x +…+anxn  B = A[x] f(i) = với i = 0, 1,…,n f = a0 + a1x +…+ anxn = 0B kéo theo a0 = a1 = … = an = 0A Vậy ta có Định lý 3: Mọi vành A có phần tử đơn vị nhúng vào vành A[x] đa thức có hệ tử thuộc A theo biến x siêu việt A Sau này, đơn cấu vành jA: A  A[x] định jA (a) = a với a  A gọi đồng cấu bao hàm BÀI TẬP: (1) Trên B = A(N) kiểm chứng phép nhân (2) phân phối phép cộng (1) (2) Trình bày lại chứng minh định lý 3, cách kí hiệu f  B = A(N) dãy f = (a0, a1,…,) phần tử A 1.3 Tính chất phổ dụng vành đa thức A[x] Cho A vành với đơn vị 1A, vành đa thức A[x] theo biến x siêu việt A đồng cấu bao hàm jA : A  A[x] có tính chất sau Định lý 4: Với vành B có đơn vị 1B đồng cấu vành h: A  B cho h(1A) = 1B phần tử u  B khả hoán với phần tử ảnh Imh, tồn đồng cấu vành h : A[x]  B cho h o jA = h h (x) = u Chứng minh: x siêu việt A, phần tử A[x] có  dạng f = n i 0 aixi, a i  A Mặt khác, với đồng cấu vành h : A  B ảnh A’ = Imh = {a’=h(a)|a  A} vành B: 1B = h(1A)  A ua’ = a’u với a’ = h(a)  A’ ta có vành A’[u] đa thức theo biến u có hệ tử thuộc A’ B Hiển nhiên quy tắc tương ứng n f=  aixi  h (f) = i 0 n  h(ai)ui i 0 ánh xạ h : A[x]  B Hơn nữa, phép cộng phép nhân đa thức cho kiểm chứng : h (f + g) = h (f) + h (g) h (fg) = h (f) h (g) với f, g  A[x] Cho nên h đồng cấu vành có ảnh Im h =A’[u] Ngồi ra, với a  A, h (a) = h(a), nên ta có ho jA = h, h(x) = h (1Ax) = 1Bu = u Bây giả sử đồng cấu vành h’: A[x]  B cho h’o jA = h h’(x) = u; với f =  n i0 h’(ai)h’(x)i =  n i0  n i0 aixi  A[x] h’(f) = h(ai)ui = h(f) h’ = h Điều chứng minh đồng cấu h 10 Hệ 1: Nếu A[x] vành đa thức theo biến x siêu việt vành A A’[u] vành đa thức theo biến u (bất kỳ vành A’), tồn cấu vành h: A  A’ mở rộng thành toàn cầu vành h : A[x]  A’[u] cho h (x) = u Để có hệ quả, ta áp dụng Định lý lấy vành B = A’[u] đa thức theo biến u có hệ tử thuộc vành A’ Hệ 2: Nếu A[x] vành đa thức theo biến x siêu việt A’[u] vành đa thức theo biến u bất kì, đẳng cấu vành A  A’ kéo theo đẳng cấu vành A[x] / I  A’[u] Trong I iđêan A[x] cho A ∩ I = {0A} Thật theo Hệ 1, đẳng cấu vành h : A  A’ mở rộng thành toàn cấu vành h : A[x]  A’[u], theo định lý đồng cấu ta có đẳng cấu A[x] / Kerh  A’[u], I = Ker h iđêan A[x] cho I ∩ A = Kerh = {0A} Hệ 3: Nếu A[x] vành đa thức theo biến x siêu việt A A’[y] vành đa thức theo biến y siêu việt A’, đẳng cấu vành A  A’ mở rộng thành đẳng cấu vành A[x]  A’[y] đổi x thành y Thật vậy, theo hệ 1, đẳng cấu vành h : A  A’ mở rộng đựơc thành toàn cấu vành h : A[x]  A’[y] cho h (x) = y; với đa thức f = n  i 0  n i0 aixi  A[x], ta có h (f) = h(ai)yi = 0A, kéo theo h(ai) = 0A tức = 0A với i = 1, …, n h đẳng cấu y siêu việt A’ Do Ker h = {0} h đẳng cấu Đặc biệt, với A = A’ h tự đẳng cấu đồng vành A đẳng cấu vành hệ hệ trở thành: A[x] / I  A[u] biến x siêu việt, biến u A, I iđêan A[x] cho I ∩ A = {0A}; A[x]  A[y] biến x biến y siêu việt A 11 BÀI TẬP: Chứng minh vành Z[ ] trường R đẳng cấu với vành thương [x] / (x2 – 2), (x2 – 2) iđêan vành đa thức Z[x] sinh đa thức x2 –  Z |x| (1) Cho K vành giao hốn có phần tử đơn vị i) Chứng minh có đa thức g  K[x], tồn tự đồng cấu Eg vành K[x] cho Eg (a) = a với a  K Eg(x) = g Với đa thức f  K[x] cho sẵn, nói rõ cách thành lập đa thức Eg(f) ii) Chứng minh với a  K, Ea+x tự đẳng cấu vành K[x] 1.4 Bậc đa thức Cho A[x] vành đa thức theo biến x siêu việt vành A Mỗi đa thức f  A[x] viết f = a0 + a1x + … + anxn với dãy hệ tử ao, a1, …, an  A có tính Hệ tử an với lũy thừa lớn x, gọi hệ tử dẫn đầu đa thức f Hiển nhiên đa thức f ≠ 0A hệ tử dẫn đầu an ≠ 0A; trường hợp số nguyên n ≥ gọi bậc đa thức f , ta thường viết n = bậc f Theo định nghĩa bậc, phần tử vành A gọi đa thức – khác 0A , đa thức có bậc Cũng để ý, ta khơng định nghĩa bậc đa thức f = 0A Bây giờ, lấy đa thức vành A[x] f = a0 + a1x + … + anxn g = b0 + b1x + … + bmxm Trước hết xét tổng chúng Nếu f ≠ g ≠ đồng bậc n = m tổng là: f + g = a0 + b0 + (a1 + b1)x +…+ (an + bn)xn a n + bn = f + g ≠ bậc f + g < bậc f = bậc g Còn f ≠ 0, g ≠ bậc f ≠ bậc g hiể nhiên f + g ≠ ta có bậc (f + g) = max (bậc f, bậc g) 12 Mặt khác, xét tích hai đa thức, ta có f g = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x +…+ anbmxn+m g f = b0a0 + (b0a1 + b1a0)x +…+ bmanxn+m Vậy, f ≠ g ≠ (tức an ≠ bm ≠ 0) f g ≠ bậc (f g) ≤ n + m = bậc (f) + bậc (g) Còn f ≠ g ≠ với hệ tử dẫn đầu an , b n cho a n b m ≠ b ma n ≠ fg ≠ 0, gf ≠ bậc (fg) = bậc (gf) = bậc f + bậc g Tóm lại ta có: Mệnh đề 5: Cho f g hai đa thức khác vành A[x] i) Nếu f + g ≠ bậc (f + g) ≠ max (bậc f, bậc g) đẳng thức xảy bậc f ≠ bậc g ii) Nếu tích hệ tử dẫn đầu f g khác fg ≠ 0, gf ≠ bậc (fg) = bậc (gf) = bậc f + bậc g Từ mệnh đề (ii), suy ra: Hệ quả: Nếu A vành khơng có ước (đặc biệt, A miền nguyên) vành đa thức A[x] vậy, tích hai đa thức khác đa thức khác có bậc tổng bậc chúng Bây giờ, xét phần tử khả nghịch vành A[x] ta có Mệnh đề 6: Nếu vành A khơng có ước phần tử khả nghịch vành đa thức A[x] phần tử khả nghịch vành A Chứng minh: Nếu giả sử f  A[x] khả nghịch, f ≠ có g  A[x], g ≠ cho fg = 1D Do đó, theo Hệ ta có bậc (fg) = bậc f + bậc g = suy bậc f = bậc g = tức f (và g) phần tử khả nghịch vành A Thí dụ: Các phần tử khả nghịch vành Z[x] đa thức ± Với F trường, phần tử khả nghịch vành đa thức F[x] phần tử khác trường F BÀI TẬP: (1) Trong vành Z6[x], tính tổng tích đa thức: f = + x + x2 + x3 + x7 g = + x + x2 + x3 + x7 13 (2) Trong vành Z12[x], tính tổng tích đa thức f = + x + x2 + x3 + x5 + x7 g = + x + x2 + x3 + x4 + x7 (3) Trong vành Z8[x], tìm tất đa thức bậc khả nghịch có phần tử nghịch đa thức (4) Giả sử A vành giao hóan có đơn vị a phần tử lũy linh A (tức an = 0A với số nguyên n > 0); chứng minh đa thức + ax phần tử khả nghịch vành đa thức A[x] Phép chia đa thức 2.1 Định lý Định nghĩa Cho vành đa thức A[x] A khơng thiết vành giao hốn Định lý 1: Với hai đa thức f, g  A[x], f bất kỳ, cịn g ≠ có hệ tử dẫn đầu phần tử khả nghịch vành A; tồn cặp hai đa thức q, r  A[x] cho f = qg + r với r = r ≠ bậc r < bậc g (1) Chứng minh: Giả sử đa thức f, g  A[x] f = ao + a1x + … + anxn g = ao + a1x + … + amxm bm  A khả nghịch, phần tử nghịch ký hiệu bm-1 Trước hết tồn đa thức q, r  A[x] thỏa mãn điều kiện (1) định lý Có hai trường hợp: Trường hợp 1: f = f ≠ với bậc f < bậc g; hiển nhiên đa thức q = r = f thỏa mãn (1) Trường hợp 2: f ≠ với bậc f ≥ bậc g: ta chứng minh tồn q, r quy nạp n = bậc f Nếu n = bậc f = tức f = a0  A*, bậc g ≤ bậc f = nên g = b0  A* khả nghịch theo giả thiết, ta có đa thức q = a0b0-1 r = thỏa mãn (1) 14 Với n = bậc f > 0, giả sử tồn đa thức q, r thỏa mãn (1) đa thức f1 ≠ có bậc ≤ n – Vì n = bậc f ≥ bậc g = m, ta xét đa thức f1 = f – anbm-1xn-mg; đa thức anbm-1xn-mg có hạng tử dẫn đầu hạng tử dẫn đầu anxn f nên f1 = f1 ≠ với bậc f1 < bậc f = n Như thế, theo trường hợp1 (f1 = f1 ≠ bậc f1 < bậc g) hay theo giả thiết quy nạp (f1 ≠ với bậc g ≤ bậc f1 ≤ n – 1), tồn đa thức q*, r  A[x] thỏa mãn (1) f1, tức f1 = q* g + r với r = r ≠ với bậc r < bậc g Từ đó, ta có: f = (q* + anbm-1xn-m)g + r, thế, ta có đa thức q = q* + anbm-1xn-mg r thỏa điều kiện (1) đa thức f ≠ có bậc n > Vậy tồn tạ đa thức q r chứng minh xong Bây ta chứng minh tính chúng Giả sử có đa thức q1r1  A[x] thỏa mãn (1) đa thức f: f = q1g + r1 với r1 = r1 ≠ bậc r1 < bậc g Từ f = q1g + r1 = qg + r có đẳng thức (q – q1)g = r1 – r (2) Đẳng thức (2) trước hết cho thấy khơng thể có: q1 = q r1 ≠ r Hơn nữa, xảy q1 ≠ q, thế, gọi cp hệ tử dẫn đầu đa thức q – q1 ≠ 0, ta có vế đầu (q – q1)g (2) có hệ tử dẫn đầu cpbm ≠ 0, (q – q1)g ≠ bậc (q – q1)g = bậc (q – q1) + bậc g = p + m ≥ m; vế sau (2) r1 – r, hoặc khác với bậc (r1 – r) < bậc g = m ≤ bậc vế đầu (q – q1)g; nên có mâu thuẫn Tóm lại, đẳng thức (2) kéo theo q = q1 r = r1; cặp đa thức q, r có tính Định lý chứng minh xong Bây với hai đa thức f, g  A[x] thỏa mãn giả thiết Định lý 1, lập luận tương tự với thay đổi thích hợp, ta 15 chứng minh tồn cặp hai đa thức q, r  A[x] cho f = gq + r với r = r ≠ bậc r < bậc g Việc tìm đa thức q, r thỏa mãn (1) (1’)), gọi phép chia đa thức f cho đa thức g; đa thức q gọi thương, đa thức r gọi dư phép chia Chính xác hơn, tùy theo (1) (1’) ta nói phép chia bên trái để đựơc thương dư bên trái phép chia bên phải để thương dư bên phải Trường hợp vành đa thức A[x] với A thể, đa thức ≠ g  A[x] có hệ tử dẫn đầu khả nghịch, theo Định lý 1, ta chia đa thức f  A[x] cho đa thức g ≠ Đối với vành đa thức A[x] A vành giao hốn, hiển nhiên ta có khái niệm phép chia, thương dư phép chia vành giao hốn A[x] khơng phân biệt bên trái bên phải, điều kiện (1) (1’) khơng phân biêt Nói riêng, vành đa thức F[x] với F trường, ta chia đa thức f cho đa thức g ≠ 0F Trong phép chia đa thức f cho đa thức g, dư r = 0, người ta nói f chia hết cho g, hay g chia hết cho f, thương q gọi thương 2.2 Thực phép chia Giả sử A vành giao hoán cho đa thức sau vành A[x] f = a0 + a1x + … + anxn g = b0 + b1x + … + bmxm với bm phần tử khả nghịch vành A Ta định thương q dư r phép chia f cho g Nếu f = f ≠ với bậc f < m, ta lấy q = r = f Nếu f ≠ bậc f = n ≥ m, ta đặt q0  anbm1 x n m , thương hạng tử dẫn đầu anxn f chia cho hạng tử dẫn đầu bmxm g, tính f1 = f - q0g (1) 16 Nếu f1 = f1 ≠ với bậc f1 < m, ta có thương dư q = q0 r = f1 Còn f1 ≠ bậc f1 ≥ m, ta lại đặt q1 thương hạng tử dẫn đầu f1 với hạng tử dẫn đầu bmxm g tính f2 = f1 - q1g (2) Cứ tiếp tục thế, ta dãy đẳng thức fh = fh-1 - qh-1g (h) với đa thức f, f1, f2, , fh, khác có bậc giảm dần bậc f > bậc f1 > bậc f2 > Do phải có số k cho fk = fk-1 - qk-1g (k) với fk = fk ≠ bậc fk < m Cộng đẳng thức (1), (2), (k); vế, ta suy đẳng thức f = (q0 + q1 + + qk-1)g + fk, có thương dư q = q0 + q1 + + qk-1, r = fk Để lập dãy đa thức f1, f2, , fk, người ta thường viết đa thức bị chia f đa thức chia g với hạng tử theo thứ tự luỹ thừa giảm x đặt phép chia thí dụ sau Thí dụ 1: Chia vành đa thức Q[x] f = 3x5 + 2x4 - x3 + 5x2 + 5x - | 2x3 + x - = g 13 x + x2 + 5x - 2 11 - x3 + x2 + 6x - 2 11 29 x + x- =r 4 f1 = 2x4 f2 = f3 = x +x- =q q0 q1 q2 Thí dụ 2: Chia vành đa thức Z5[x] f  4x5  4x  3x3  2x  3x  f1  2x  x3  2x  3x  f2  x  3x  f3  0r 17 | 2x  x   g | x3  x   q q0 q1 q2 2.3 Iđêan vành đa thức F[x] với F trường Áp dụng phép chia đa thức, ta chứng minh tính chất đặc trưng iđêan vành F[x] đa thức có hệ tử thuộc trường Mệnh đề 2: Mọi iđêan vành đa thức F[x] iđêan chính, tức iđêan sinh phần tử Chứng minh: Giả sử I iđêan vành F[x] Nếu I = {0F}, hiển nhiên I iđêan Nếu I = {0F}, gọi g  I, g ≠ 0F có bậc nhỏ Với f  I, chia f cho g, ta có đa thức q, r  F[x] cho f = gq + r với r = r ≠ với bậc r < bậc g Nhưng giả thiết I iđêan r = f - gq  I, g  I có bậc nhỏ nhất, ta phải có r = 0, suy f = gq Điều có nghĩa iđêan I ≠ {0F} F[x] sinh đa thức g Qua chứng minh ta nhận xét iđêan I ≠ vành F[x] sinh đa thức khác có bậc nhỏ iđêan Với đa thức f vành F[x], iđêan sinh f thường ký hiệu (f) Mệnh đề 3: Với hai đa thức f, g  F[x] khác 0F, có đẳng thức iđêan (f) = (g) f = a0g với a0  F* = F \ {0F} Chứng minh: Giả sử (f) = (g) Vì f  (g), nên f = gq với q  F[x], q ≠ 0F Tương tự, g  (f) nên g = fq1 với q1  F[x], q1 ≠ 0F Từ đẳng thức trên, ta có g = gqq1, g ≠ 0F suy qq1 = 1F, nghĩa q q1 phần tử khả nghịch F[x]; q = a0  F* q1  a01 (§ 1.4 Mệnh đề 6) Vậy f = a0g với 0F ≠ a0  F Đảo lại, f = a0g với 0F ≠ a0  F mặt ta có (f)  (g) mặt khác, g  a01 f , nên (g)  (f) Do (f) = (g) Hệ quả: Với a0  F* iđêan (a0) = F[x] Thật vậy, a0 a01  1F (1F) = F[x] BÀI TẬP: (1) Cho đa thức g  Z10[x], g ≠ 0; hệ tử dẫn đầu g phải phần tử Z10 để chia đa thức f  Z10[x] cho g? 18 Trong vành Z10[x], chia đa thức f   7x  4x3  3x5  x cho đa thức g   5x  3x (2) Đa thức  x  x  x chia hết cho đa thức  3x  x xem chúng đa thức vành vành Z3[x], Z5[x], Z7[x]? (3) Định tất số nguyên n > để vành Zn[x], đa thức 12  10x  x chia hết cho đa thức  x (4) Cho vành đa thức F[x] với F trường a) Chứng minh đa thức có hệ tử a0 = 0F tạo thành iđêan sinh x b) Kí hiệu (x) iđêan sinh x, chứng minh vành thương F[x] / (x) trường, đẳng cấu với trường F (5) Cho vành đa thức Z[x]; chứng minh: a) Các đa thức có hạng tử số chẵn tạo thành iđêan (2, x) sinh x b) Iđêan (2, x) không sinh phần tử Hàm đa thức biến Nghiệm đa thức 3.1 Vành hàm lấy giá trị vành Cho vành A tập hợp S ≠  Kí hiệu AS tập hợp hàm (ánh xạ) từ S vào A Với f, g  A S , mặt ta có phần tử f + g  AS định (f + g)(s) = f(s) + g(s) với s  S; mặt khác, ta có phần tử f g  AS định f g(s) = f (s)g(s) với s  S Do A vành, ta kiểm chứng tập hợp AS phép cộng (f, g) → f + g phép nhân (f,g) → fg xác định vành Phần tử vành AS hàm k0 A : S → A định k0 A (s) = 0A với s  S 19 Mỗi f  AS có phần tử đối hàm - f : S → A định (f)(s) = - f(s) với s  S Bây giờ, với a  A, ta có hàm khơng đổi có giá trị a ka : S → A định ka(s) = a với s  S Dễ thấy ka = ka’ a = a’ với a, a’  A; theo định nghĩa phép cộng phép nhân vành AS, ka+b = ka + kb kab = kakb với a, b  A Vì a → ka đơn cấu vành k : A → AS Đơn cấu cho ta nhúng vành A thành vành hàm không đổi vành AS hàm từ S vào A Vậy ta có Mệnh đề 1: Tập hợp AS hàm tử tập S ≠  vào vành A phép cộng f + g phép nhân fg định (f + g)(s) = f(s) + g(s), (fg)(s) = f(s)g(s) với s  S, vành Vành A nhúng thành vành hàm không đổi vành AS Để ý A vành có phần tử đơn vị 1A vành AS có phần tử đơn vị k1A (đồng với 1A) A vành giao hốn vành AS 3.2 Vành hàm đa thức Cho A vành giao hoán có phần tử đơn vị Theo §3.1 ta có vành B = AA hàm từ A vào A vành giao hoán, chứa A vành con, đơn vị A đơn vị B Ngoài ra, đặt u = idA (hàm đồng A), u  B theo §1.1, ta có vành A[u] gồm đa thức theo biến u với hệ tử vành A B Mỗi phần tử A[u] có dạng n f = a0 + a1u + + anu ,  A hàm f : A → A có giá trị s  A n f (s) = a0 + a1s + + ans ,  A Vì f gọi hàm đa thức A[u] vành hàm đa thức vành B = AA hàm từ A vào A Mặt khác, vành A nhúng vào vành A[x] đa thức theo biến x siêu việt (§1.2 Định lý 3) theo tính chất phổ dụng vành đa thức A[x],, đồng cấu nhúng vành A vào vành B = AA mở 20 rộng thành đồng cấu từ A[x] vào B = AA chuyển x thành u; đồng cấu ánh xạ f = a0 + a1x + + anxn → f = a0 + a1u + + anun, với đa thức f  A[x] cho tương ứng hàm đa thức f  B = AA Ảnh đồng cấu f → f vành A[u] hàm đa thức vành B = AA Vậy ta có Mệnh đề 2: Nếu A vành giao hốn có phần tử đơn vị u ánh xạ đồng A, vành AA hàm từ A vào A chứa vành A[u] hàm đa thức f, ảnh vành đa thức A[x] qua đồng cấu vành f = a0 + a1x + + anxn → f = a0 + a1u + + anun Chú ý: 1) Với đa thức f   x  A[x] , hàm đa thức tương ứng i ~ f : A → A, với s  A, cho phần tử f ( s )   s i , có cách đa thức f thay biến x phần tử s  A 2) Đồng cấu f → f từ vành A[x] vào vành B = AA nói chung khơng phải đơn cấu; trường hợp vành đa thức A[x] khơng đẳng cấu với vành hàm đa thức A[u] hàm đồng u = idA đại số vành A (tức vành hàm không đổi vành B = AA) Thí dụ lấy A = Z2, đa thức f = x + x2  Z2[x] hiển nhiên khác 0, hàm đa thức tương ứng f = u + u2 =  Z Z2 3.3 Nghiệm đa thức Như §3.2, giả sử A vành giao hốn có phần tử đơn vị Với đa thức f  A[x], ta kí hiệu f hàm đa thức tương ứng với f Định nghĩa: Nghiệm đa thức f  A[x] phần tử c  A cho f (c) = 0A Mệnh đề 3: Dư phép chia đa thức f = A[x] cho đa thức x - a  A[x] f (a) 21