Phương pháp tiếp tuyến sáng tạo và tìm giới hạn hàm số

Bài viết Phương pháp tiếp tuyến sáng tạo và tìm giới hạn hàm số đưa ra hướng sáng tạo các bài tập tìm giới hạn của hàm số ứng dụng phương trình tiếp tuyến và có phương pháp giải cũng như một số nhận xét giúp định hướng cách giải cho học sinh, đưa ra một số ví dụ để học sinh luyện tập.

Vũ Thị Tường Minh, Phạm Quý Mười 68 PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN SÁNG TẠO VÀ TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ TANGENTIAL METHOD FOR CREATING AND FINDING LIMITS OF FUNCTIONS Vũ Thị Tường Minh, Phạm Quý Mười Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng; tuongminh10@gmail.com, pqmuoi@ued.edu.vn Tóm tắt - Trong chương trình tốn bậc phổ thơng, tốn tìm giới hạn hàm số dạng tốn tương đối khó phổ biến gặp kì thi trung học phổ thơng, tuyển sinh đại học Có nhiều phương pháp khác để giải tốn này, phương pháp sử dụng tiếp tuyến tỏ hiệu thường sử dụng nhiều trường hợp Trong báo này, đưa hướng sáng tạo tập tìm giới hạn hàm số ứng dụng phương trình tiếp tuyến có phương pháp giải số nhận xét giúp định hướng cách giải cho học sinh, đưa số ví dụ để học sinh luyện tập Từ học sinh nắm rõ chất số tốn tìm giới hạn hàm số phương pháp dùng tiếp tuyến Abstract - In the math program at high school, finding the limits of functions are difficult problems but rather common and are often seen in high school exams, university exams There are many different methods to solve such problems, in which the tangential method is effective and often used in many cases In this paper, we give some ways to create new problems about limits of functions by using the tangent equations and give a few comments to help students on finding solutions as well as give some examples to practice Based on the comments, students understand the nature of some problems of finding limits of functions using tangential methods Từ khóa - phương trình tiếp tuyến; giới hạn hàm số; phương pháp tiếp tuyến; sáng tạo tốn tìm giới hạn; giới hạn dạng vô định Key words - tangent equations; limits of functions; tangential methods; creating problems of finding limmit; limmits of unditermined form Đặt vấn đề Tìm giới hạn hàm số chuyên đề tương đối khó đa dạng chương trình tốn học phổ thơng Trong đó, tìm giới hạn hàm số có dạng vơ định phần mà nhiều học sinh lúng túng Trong thực tế, nhiều tốn tìm giới hạn dạng vô định cần áp dụng số phương pháp đơn giản giải Có nhiều phương pháp khác nghiên cứu giảng dạy cho học sinh phương pháp nhân lượng liên hợp, sử dụng quy tắc L’hopital, … [1-8] Với mong muốn góp phần cung cấp cho học sinh kiến thức kĩ tìm giới hạn hàm số hỗ trợ cho giáo viên việc sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số, báo nhóm tác giả nghiên cứu cách sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số dạng vô định đưa phương pháp giải dựa kiến thức phương trình tiếp tuyến Phương pháp sử dụng phương trình tiếp tuyến (ta gọi ngắn gọn phương pháp tiếp tuyến) phương pháp đơn giản dễ sử dụng Phương pháp cịn giúp giáo viên sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số cách dễ dàng Việc sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số kĩ cần thiết quan trọng cho giáo viên tham gia đề thi kỳ thi trung học phổ thông quan trọng kỳ thi tốt nghiệp, kỳ thi học sinh giỏi cấp, … Định nghĩa 2.2 [9, Định nghĩa 1, trang 151] (Tiếp tuyến, phương trình tiếp tuyến) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C ) Giả sử (C ) đồ thị hàm Cơ sở lý thuyết Trong báo này, giả sử D tập khác rỗng Định nghĩa 2.1 [9, Định nghĩa 1, trang 32] (Hàm số biến) Một quy tắc tương ứng f từ tập D vào tập thỏa mãn: với giá trị x  D tương ứng với giá trị y  gọi hàm số thực biến số Khi đó, ta gọi f x biến số y = f ( x) giá trị hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số f số khả vi y = f ( x) M ( x0 ; f ( x0 ) )  ( C ) Kí hiệu M ( x; f ( x) ) điểm di chuyển (C ) a) Vị trí giới hạn đường thẳng M M M di chuyển đường cong (C ) dần điểm M gọi tiếp tuyến (C ) M Khi đó, M gọi tiếp điểm b) Phương trình tiếp tuyến đường cong (C ) điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) y = f ( x0 ).( x – x0 ) + f ( x0 ) Định nghĩa 2.3 (Lượng liên hợp) Với n  2, n  ( A − B = ( A − B) A n n n −1 n−2 +A n −3 B+ A B + + AB Khi đó, ta gọi lượng liên hợp An −1 + An − B + An −3 B + + AB n − + B n −1 n−2 ta có ) + B n−1 A− B Phương pháp tiếp tuyến để sáng tạo tìm giới hạn hàm số Cơ sở phương pháp sáng tạo tìm giới hạn hàm số dùng phương trình tiếp tuyến dựa kết sau: Định lí 3.1 Giả sử hàm số y = f ( x) có dạng:    m  2, m   f ( x ) =  ( x − x0 )m + (ax + b)n với   n  2, n   ax0 + b  Khi đó, đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = g ( x) = n f ( x) = n  ( x − x0 )m + (ax + b)n x0 Chứng minh: Vì ax0 + b  nên ta có ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 1, 2020 h ( x ) =  ( x − x0 )m + a p x p + a p −1 x p −1 g ( x0 ) = n f ( x0 ) = n  ( x0 − x0 )m + (ax0 + b)n = ax0 + b + g '( x0 ) = lim x → x0 x → x0 n  (x − = lim x → x0 n + lim x − x0    ( n f ( x) ) n −1 +  ( x − x0 ) ( n f ( x) ) n−2 p lim = lim m −1 (ax + b) + + (ax + b) n −1    x − x0 x → x0 = a Do đó, phương trình tiếp tuyến đồ thị y = g ( x ) x0 là: y = g ( x0 )( x − x0 ) + g ( x0 ) = a( x − x0 ) + ax0 + b = ax + b 3.1 Phương pháp tiếp tuyến sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số dạng Để sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số dùng phương trình tiếp tuyến ta thực theo bước sau: * Bước 1: Ta chọn phương trình y = ax + b, điểm x0 thỏa mãn điều kiện ax0 + b  số tự nhiên n (n  2) Sau đó, ta khai triển: ( ax + b ) n = an x + an −1 x n n −1 + + ak x + + a1 x + a0 = lim x → x0 ( x − x0 ) m g ( x) =  n ( ax0 + b ) n ( ax + b ) = a p x + a p −1x chọn hàm số p −1  h ( x ) − (ax + b) n lim x → x0 f ( x) − p h ( x) ( x − x0 )m Chúng ta minh họa bước thơng qua ví dụ sau: * Bước 1: Giả sử chọn phương trình y = 3x + 2, điểm (thỏa mãn 3.0 + =  0) n = Khi đó, ta có: ( 3x + )2 = x + 12 x + chọn f ( x ) = −9( x − 0)2 + x + 12 x + = 12 x + Ta Khi đó, ta có giới hạn hàm số dạng 12 x + − (3 x + 2) ( x − 0) : =− (3) h ( x ) = −2073( x − 0)2 + 27 x3 + 54 x + 36 x + = 27 x3 − 2019 x + 36 x + (1)  , n −1 f ( x ) − (ax + b) * Bước 2: Lặp lại Bước với số tự nhiên n thay số tự nhiên p  (p  2, p  n) Thực khai triển: p p p −1 * Bước 3: Và kết hợp (1) (2): thực phép trừ hai giới hạn ta đưa tốn tìm giới hạn dạng sau: Ta có giới hạn hàm số dạng với g ( x) lượng liên hợp p p ( ax0 + b ) m  ( x − x0 )m = Ta có: ( x + ) = 27 x3 + 54 x + 36 x + Khi đó, với f ( x ) − (ax + b) ( x − x0 ) x → x0 ( x − x0 ) m k ( x) (2)  * Bước 2: Thực tương tự Bước với n = + a1 x + a0 , Khi đó, ta có giới hạn hàm số dạng sau: n  ( x − x0 ) m Với k ( x ) lượng liên hợp lim với   0, m  (m  ) lim x → x0 x →0 f ( x ) =  ( x − x0 )m + an x n + an −1 x n −1 + ak x k + h ( x ) − (ax + b) k Tiếp theo, ta chọn hàm số + : ( x − x0 ) m x → x0 x − x0 a ( x − x0 ) + lim + a1 x + a0 , Khi đó, ta có giới hạn hàm số dạng ax + b − ( ax0 + b ) x → x0 + ak x k + với   f ( x0 ) x − x0 x0 ) + (ax + b) − (ax + b) m x → x0 = lim f ( x) −n ax + b − n f ( x0 ) f ( x) − (ax + b) + lim x → x0 x − x0 x − x0 n = lim g ( x) − g ( x0 ) = lim x → x0 x − x0 n 69 + + ak x + + a1x + a0 k lim : 27 x3 − 2019 x + 36 x + − (3x + 2) ( x − 0) x →0 =− 691 (4) * Bước 3: Kết hợp (3) (4): thực phép trừ hai giới hạn, ta đưa toán tìm giới hạn dạng sau: Tính giới hạn lim 12 x + − 27 x3 − 2019 x + 36 x + x2 Chú ý: Để tạo nhiều toán đa dạng phức tạp, có thể: x →0 Vũ Thị Tường Minh, Phạm Quý Mười 70 n a) Nghịch đảo giới hạn lim f ( x) − p h ( x) x → x0 ( x − x0 )m dạng lim f (x) − p h(x) x → x0 n ( x − x0 )m thành x + x + − x + + 17 − x − lim lim cos x + x − x x →0 + 3x + 3x Phương pháp sáng tạo: * Bước 1: Chọn phương trình y = x + điểm điểm (thỏa mãn 4.0 + =  0) n = Khi đó, ta có: ( x + 1)2 = 16 x + x + f ( x ) = −15( x − 0)2 + 16 x + x + = x + x + lim x →0 Do đó, ta chọn: f ( x ) = −9( x − 0)2 + x + x + = −8 x + x + Và sử dụng tính chất vơ bé tương đương: −8x2 ~ −2sin 2x ~ cos 4x −1, ta chọn lại: (5) Để tăng độ khó cho tốn, ta thêm vào h ( x ) biểu h(x) = = + x − − x Từ đó, ta chọn lại: 3x + 3x + ( x − 0) = 36 (8) * Bước 3: Thực tương tự bước với phương trình chọn y = −3x + 17, điểm (thỏa mãn −3.0 + 17 = 17  0) n = Khi đó, ta có: ( −3x + 17 )2 = x − 102 x + 289 Khi đó, ta có giới hạn hàm số dạng = + x + 3x Khi đó, ta có giới hạn hàm số dạng + 3x2 + 3x − ( x + 1) ( x − 0)2 x + − ( x + 18) x →0 = −289 x − 102 x + 289 x →0 = lim l ( x ) = −298( x − 0)2 + x − 102 x + 289 = + 3x − + 3x + ( x − 0) Do đó: − x3 + x3 + 3x + lim 36 x + 324 − ( x + 18) lim h ( x ) = −3( x − 0)2 + x3 + 3x + 3x + = x3 + 3x + 1 + 3x + (7) : Khi đó, ta có giới hạn hàm số dạng x →0 Khi đó, ta chọn 15 h ( x ) = −( x − 0)2 + x + 36 x + 324 = 36 x + 324 =− ( x + 1)3 = x3 + 3x + 3x + 3x =− * Bước 2: Thực tương tự với phương trình chọn y = x + 18, điểm (thỏa mãn + 18 = 18  0) n = Khi đó, ta có: * Bước 2: Thực tương tự Bước với p = 3, ta có: thức ( x − 0) Do đó: Khi đó, ta có giới hạn: ( x − 0) x + x + − (4 x + 1) ( x + 18)2 = x + 36 x + 324 f ( x ) = cos x − + x + = cos x + x lim : Khi đó, ta có giới hạn hàm số dạng ( x + 1)2 = x + x + x →0 x + + sin x 17 Ta chọn Phương pháp sáng tạo: * Bước 1: Chọn phương trình y = x + 1, điểm (thỏa mãn + =  0) n = Ta có: cos x + x − ( x + 1) x2 x →0 b) Kết hợp số vô bé, công thức lượng giác, lượng liên hợp, cộng trừ nhân chia biểu thức (không làm thay đổi dạng vô định toán) vào biểu thức dấu lim Ví dụ 3.1.1 Tìm giới hạn: phương trình tiếp tuyến tương ứng triệt tiêu Ví dụ 3.1.2 Tìm giới hạn: =− 0 lim −289 x − 102 x + 289 − (−3x + 17) ( x − 0) x →0 17 − x − (6) * Bước 3: Và kết hợp (5) (6), thực phép trừ hai giới hạn có toán cho c) Thêm nhiều bước tương tự Bước 1, Bước phương pháp với tiếp tuyến khác nhau, cộng trừ giới hạn bước biểu thức = lim x →0 : x + − (−3x + 17) 298 17 =− 34 ( x − 0) (9) Ở bước trên, ta chọn phương trình tiếp tuyến tương ứng cho giới hạn (7) trừ giới hạn (8) cộng giới hạn (9) triệt tiêu *Bước 4: Kết hợp (7), (8), (9) thực phép trừ ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 1, 2020 (7) (8) cộng (9) giới hạn để phức tạp ta thêm vào biểu thức vô bé tương đương với x sin x ta có tốn cho 3.2 Phương pháp tiếp tuyến tìm giới hạn hàm số Trong phần này, ta xem xét tốn tìm giới hạn có dạng sau: P = lim n f (x) − p h(x) ( x − x0 )m x → x0 Ngồi ra, ta kết hợp số vô bé, công thức lượng giác, lượng liên hợp, cộng trừ nhân chia biểu thức để giải toán cách đơn giản hiệu Xét ví dụ sau: Ví dụ 3.2.2 Tìm giới hạn: lim cos x + x − (m  2) Để giải dạng này, nhiều trường hợp, ta sử dụng phương pháp tiếp tuyến Để ứng dụng phương pháp tiếp tuyến, thực theo hướng sau: Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến hàm số chứa y = n f ( x ) ; y = p h ( x ) x = x0 Giả sử + 3x + 3x x2 x →0 , m  71 phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc hai Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Nhận xét: Giới hạn có dạng y = cos x + x ; y = + 3x + 3x chúng có chung phương trình tiếp tuyến y = ax + b x0 = y = x + Ta dùng phương pháp tiếp tuyến để giải Bước 2: Thêm bớt biểu thức tiếp tuyến ax + b vào biểu thức tính giới hạn sau: Giải Đặt u ( x) = cos x + x ; v( x) = Ta có: P = lim n f ( x ) − (ax + b) + (ax + b) − p h ( x ) ( x − x0 ) Bước 3: Nhân lượng liên hợp tương ứng khử nhân tử ( x − x0 )m phân thức để khử dạng vô định đưa kết Tương tự trên, ta dùng phương pháp ( x − x0 )m tiếp tuyến cho giới hạn dạng lim x → x0 n f ( x ) − p h ( x ) m x → x0 x3 Ví dụ 3.2.1 Tìm giới hạn lim x →0 + 3x − + 2x phân thức có chứa thức tử đa thức bậc ba Hơn nữa, phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = + 3x ; y = + x x0 = y = x + Do đó, ta dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm giới hạn Nhận xét: Trong này, giới hạn có dạng Giải Đặt u( x) = + 3x ; v( x) = + x lim x3 x →0 + x x3 x →0 + x − (x + 1) + (x + 1) − + x x3 = lim x →0 ((x + 1) − x3 − 3x 2 x →0 = + ( u( x) ) (x + 1) + ( u( x) ) ) + ) + x2 (x + 1) + v( x) x = lim ( (x + 1) −x − cos x + x − + ( u( x) ) (x + 1) + ( u( x) ) (x + 1) + v( x) + 3x + 3x + 3x + 3x x2 x →0 = lim cos x + x − (x + 1) + (x + 1) − + 3x2 + 3x x2 x →0   cos x + x − (x + 1) (x + 1) − + x + x  = lim  +  x →0  x2 x2   2  − x − 2sin x  +    x ( u ( x) + (x + 1) )   = lim  2 x →0  x + 3x + − + 3x  +   x (x + 1)2 + ( v( x) ) (x + 1) + ( v( x) )      sin x x +3+  −1 −  2 + + 3x x  = lim  +  x →0  ( u ( x ) + (x + 1) ) (x + 1) + ( v( x) ) (x + 1) + ( v( x) )       sin x  −1 − 2.4 x +3+  ( 2x)   + + 3x = lim  +  x →0 ( u ( x ) + (x + 1) ) (x + 1) + ( v( x) ) (x + 1) + ( v( x) )       3+ = − =− + Chú ý rằng, để áp dụng phương pháp tiếp tuyến trình bày hai hàm số y = n f ( x ) y = p h ( x ) ( ) ( ) ( − + 2x = lim lim ) phải có phương trình tiếp tuyến x = x0 Tuy nhiên, phương pháp tiếp tuyến sử dụng để tính giới hạn biểu thức mà tử (hoặc mẫu) gồm tổng nhiều hàm có phương trình tiếp tuyến khác Trong trường hợp này, thêm bớt biểu thức phương trình tiếp tuyến cách thích hợp Ví dụ sau Vũ Thị Tường Minh, Phạm Quý Mười 72 minh họa cho trường hợp Ví dụ 3.2.3 Tìm giới hạn: a) Bài tốn Ví dụ 4.1 Tìm giới hạn: x + x + − x + + 17 − x − lim x2 x →0 x + + sin x 17 Nhận xét: Trong này, giới hạn có dạng phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc hai Phương trình tiếp tuyến x0 = đồ thị hàm số y = x2 + 8x + y = x + 1; đồ thị hàm số y = x + y = x + 18; đồ thị hàm số y = 17 − x − x + y = −3x + 17 Vì thế, ta cần 17 thêm bớt biểu thức phương trình tiếp tuyến tách giới hạn thành tổng cách thích hợp tính Giải x + x + − x + + 17 − x − lim  x + x + − (4x + 1) + ( x + 18 ) − x +       +17 − x − x + + (3x − 17) + sin x  17  = lim  x →0 x2  x + x + − (4x + 1) ( x + 18 ) − x +    +   x2 x2  = lim  x →0   17 − x − x + + (3x − 17) sin x   17 + +  x2 x   2  −15 x −x +  2 x x + 18 ( )+6 x+9 x x + x + + (4x + 1)  = lim  −298 x sin x x →0 + +  2  x  x 17 − x − x + − (3 x − 17)  17        −15 −1 +   ( x + 18) + x +   x + x + + (4x + 1)    = lim  x →0   −298 sin x   + +    x  17 − x − x + − (3 x − 17)       17     15 298 9359 =− − − +1 = − 36 34 612 ) ( ( ) ( ( 12 x + − 27x − 2019 x + 36 x + x2 x →0 phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc hai Phương trình tiếp tuyến x0 = đồ thị hàm số y = 12 x + Nhận xét: Giới hạn có dạng y = 27 x3 − 2019 x2 + 36 x + y = 3x + Giải Đặt u( x) = 12 x + 4; v( x) = 27 x3 − 2019 x2 + 36 x + Ta có: 12 x + − 27 x3 − 2019 x + 36 x + lim x2 x →0  12 x + − (3 x + 2) + (3 x + 2)     − 27 x3 − 2019 x + 36 x +   = lim  x →0 x2  12 x + − (3 x + 2)    x  = lim   3 x →0   + (3 x + 2) − 27 x − 2019 x + 36 x +    x2   x + + sin x 17 x2 x →0 lim )          ) Một số ví dụ Trong phần này, nhóm tác giả trình bày số ví dụ để áp dụng phương pháp tiếp tuyến Ở đây, số ví dụ nhóm tác giả tự tạo theo phương pháp trình bày Mục 3.1 Một số ví dụ khác lấy từ đề thi tuyển sinh đại học  −9 x   x ( u ( x) + (3x + 2) ) = lim  x →0  −2073x +   x ( v( x) ) + ( v( x) ) (3x + 2) + (3 x + 2)  −9    u ( x) + (3x + 2)  ) (  = lim   −2073 x →0 +   ( v( x) ) + ( v( x) ) (3 x + 2) + (3 x + 2)    691 341 =− + = 4 Ví dụ 4.2 Tìm giới hạn: ( ( lim )         ) 8x + x + x + − 8x + 24 x + 32 x + 16 x4 x →0 Phương pháp sáng tạo: * Bước 1: Ta chọn phương trình y = x + 2, điểm (thỏa mãn + =  0) n = Ta có: ( x + )2 = x + x + Do đó, ta chọn f ( x ) = 8( x − 0)4 + x + x + = x + x + x + Khi đó, ta có giới hạn: lim x →0 8x + x + x + − (x + 2) ( x − 0)4 (10) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 1, 2020 f ( x ) = cos2x -1- tan x − x + = cos2x- tan x − x *Bước 2: Thực tương tự với p = Ta có khai triển: ( x + ) = x + 8x + 24 x + 32 x + 16 Chọn: h ( x ) = −( x − 0) + x + 8x + 24 x + 32 x + 16 4 lim u( x) = 8x + x2 + x + 4; v( x) = 8x3 + 24 x2 + 32 x + 16 lim  8x + x + x + − (x + 2) +     +(x + 2) − 8x + 24 x + 32 x + 16   = lim  x →0 x4  8x + x + x + − (x + 2)      x = lim   x →0  + (x + 2) − 8x + 24 x + 32 x + 16    x4   = lim x →0 8x x →0 lim + x + x + x3 + x − x − (1 − x) ( x − 0)2 (13) x0 = đồ thị hàm số y = cos x − tan x − x ) 65 = 32 32 Ví dụ 4.3 Tìm giới hạn: + x + x + x3 + x − x + x + x + x3 + x − x u ( x) = cos x − tan x − x ; lim x →0 x2 Phương pháp sáng tạo: * Bước 1: Chọn phương trình y = − x điểm (thỏa mãn − =  0) n = Ta có: (1 − x ) = − x + x Do đó, ta chọn: f ( x ) = −4( x − 0)2 + − x + x = −3x − x + Và ta có −2 x ~ −2sin x ~ cos x -1 x ~ tan x Sử dụng tính chất vơ bé tương đương, ta chọn lại: y = − x Giải Đặt v( x) = Ta có: thức mẫu đa thức bậc hai Phương trình tiếp tuyến + ( v( x) ) (x + 2) + ( v( x) ) (x + 2) + ( v( x) ) cos x − tan x − x − + x + x + x3 + − x − x3 + x Nhận xét: Giới hạn dạng phân thức có chứa y= 2 * Bước 3: Và kết hợp (12) (13), thực phép trừ hai giới hạn có tốn cho x →0 + + 2x x →0 = 2+ lim x2 = + x − x + x3 Từ Khi đó, ta có giới hạn hàm số dạng x  (x + 2)3 + ( v( x) ) (x + 2)   x4   + ( v( x) )2 (x + 2) + ( v( x) )3    ( (x + 2) x2 = + x − + x + x3 + x − x x →0 ( u ( x ) + (x + 2) ) x →0 Để tăng độ khó cho toán, ta thêm vào h ( x ) = + x − + x + x + x3 + − x − x3 + x = lim + lim = x + − x − x3 + x h(x) = x ( u ( x) + (x + 2) ) + lim h ( x ) = −3( x − 0)2 + − x + x − x3 + x 1+ + 2x ta chọn lại: x4 x →0 (12) Do đó: biểu thức 8x + x + x + − 8x + 24 x + 32 x + 16 hạn: (1 − x )4 = − x + x − x3 + x (11) * Bước 3: Và kết hợp (10) (11), thực phép trừ hai giới hạn ta đưa toán cho Giải Đặt giới * Bước 2:Thực tương tự với p = 4, ta có: ( x − 0) có ( x − 0)2 x →0 8x + 24 x + 32 x + 16 − (x + 2) ta cos2x − tan x − x − (1 − x) lim x →0 đó, 2 Khi đó, ta có giới hạn hàm số: Khi = 8x + 24 x + 32 x + 16 73 + x + x + x3 + x − x cos x − tan x − x − + x + x + x3 + x − x x2  cos x − tan x − x − (1 − x)      4 +(1 − x) − + x + x + x + x − x   = lim x →0 x2  cos x − tan x − x − (1 − x)      x2 = lim   x →0 4  (1 − x) − + x + x + x + x − x  +  x2   Vũ Thị Tường Minh, Phạm Quý Mười 74  + x − ( x + 1) ( x + 1) − + x  = lim  +  x →0 x2 x2   cos x − − tan x − x = lim x ( u ( x) + (1 − x) ) x →0 + lim −4 x − x3 + x + − + x ( x (1 − x)3 + ( v( x) ) (1 − x)2 + ( v( x) ) (1 − x) + ( v( x) ) x →0 2 = lim x →0 ( −4 x − x + − 2 x →0 ) sin x tan x − −1 x2 x2 ( u ( x) + (1 − x) ) −2 + lim ( (1 − x) + + x2 + ( v( x) ) (1 − x) + ( v( x) ) (1 − x) + ( v( x) ) ) −4 − = + = −1 b) Một số toán đề thi + x − cos x Ví dụ 4.4 Tìm giới hạn lim x2 x →0 Nhận xét: Trong này, giới hạn có dạng phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc hai Phương trình tiếp tuyến x0 = đồ thị hàm số y = + x2 y = Giải Ta có: + x − cos x + x − + − cos x = lim x →0 x2 x2  + x − 1 − cos x  = lim  +  x →0 x2 x2   x →0  x  2sin   = + =1 = lim  +  x →0  2 x  + x +    2   Ví dụ 4.5 Tìm giới hạn lim + x − 1+3x x2 (Trích đề thi Đại học Thủy Lợi Hà Nội 2001) x →0 Nhận xét: Trong này, giới hạn có dạng phân thức có chứa thức mẫu đa thức bậc hai Phương trình tiếp tuyến x0 = đồ thị hàm số y = + x y = + 3x y = x + Giải Đặt u( x) = + x ; v( x) = + 3x Ta có: lim + x − + 3x x →0 = lim x →0 x2 + x − ( x + 1) + ( x + 1) − + x −1   u ( x) + (3x + 2) ) ( = lim  x+3 x →0 +  ( v( x) ) + ( v( x) ) (x + 1) + (x + 1)  ( ) )                3 =− + = 4 (Trích đề thi Đại học Thương mại 1999) lim  − x2   x ( u ( x) + (x + 1) ) = lim  x →0  x3 + x +   x ( v( x) ) + ( v( x) ) (x + 1) + (x + 1)  Kết luận Kết chủ yếu báo trình bày phương pháp sáng tạo phương pháp giải tốn tính giới hạn phương pháp tiếp tuyến Áp dụng phương pháp này, nhóm tác giả đưa số toán giải số toán xuất đề thi tuyển sinh đại học Thơng qua ví dụ này, thấy phương pháp tiếp tuyến dễ sử dụng để tạo toán giải tốn tính giới hạn dạng vơ định Vì vậy, phương pháp hữu ích để giáo viên em học sinh tìm hiểu, nghiên cứu áp dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên Đại số giải tích 11 Nhà xuất Giáo dục, Đà Nẵng, 2010 [2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất Giải tích 12 Nhà xuất Giáo dục, Đà Nẵng, 2010 [3] Phan Huy Khải Toán Đại số nâng cao cho học sinh THPT Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2002 [4] Y.Y Liasko, A C Boiatruc, IA G Gai, G.P Golobac, Lê Đình Thịnh, Hoàng Đức Nguyên, Đặng Huy Ruận, Lê Trọng Vĩnh Giải tích tốn học-Các ví dụ tốn Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1987 [5] Trần Đình Cư Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay Casio 570VNPLUS Nhà xuất Giáo dục, 2015 [6] Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn Giải tốn Đại số giải tích lớp 11 Nhà xuất Hà Nội, 2007 [7] Phan Huy Khải Giải tích lồi toán sơ cấp Nhà xuất Giáo dục, 2007 [8] Lê Hồnh Phị 10 trọng điểm bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 11 Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2014 [9] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài Đại số 10 Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2008 [10] PGS.TS Nguyễn Văn Lộc, TS Nguyễn Viết Đơng, ThS Hồng Ngọc Cảnh, Trần Quang Tài, Hàn Minh Toàn, ThS Hồ Điện Biên Chuyên đề tốn giải tích-Bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học Nhà xuất Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh, 2009 x2 (BBT nhận bài: 30/8/2019, hồn tất thủ tục phản biện: 01/11/2019) ... luận Kết chủ yếu báo trình bày phương pháp sáng tạo phương pháp giải tốn tính giới hạn phương pháp tiếp tuyến Áp dụng phương pháp này, nhóm tác giả đưa số toán giải số toán xuất đề thi tuyển sinh... cộng (9) giới hạn để phức tạp ta thêm vào biểu thức vô bé tương đương với x sin x ta có tốn cho 3.2 Phương pháp tiếp tuyến tìm giới hạn hàm số Trong phần này, ta xem xét tốn tìm giới hạn có dạng... đó, phương trình tiếp tuyến đồ thị y = g ( x ) x0 là: y = g ( x0 )( x − x0 ) + g ( x0 ) = a( x − x0 ) + ax0 + b = ax + b 3.1 Phương pháp tiếp tuyến sáng tạo tốn tìm giới hạn hàm số dạng Để sáng