Sáng kiến kinh nghiệm thpt phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình toán lớp 11 thpt

1 Tên sáng kiến Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPT 2 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử tháng 2/2021 3 Các thông tin cần được bảo[.]

1 Tên sáng kiến: Phân loại cách giải tốn tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: tháng 2/2021 Các thông tin cần bảo mật: Không Mô tả giải pháp cũ thường làm: Trường THPT Yên Thế, trường thuộc huyện miền núi tỉnh Bắc Giang, với nhiều học sinh em dân tộc thiểu số như: Tày, Nùng, Cao lan, Dao, Sán trí, Sán dìu, Sán chay , cịn nhiều hạn chế việc tiếp thu kiến thức, đặc biệt kiến thức mơn địi hỏi tư trừu tượng mơn Tốn Phần đơng học sinh có học lực mơn Tốn mức trung bình, yếu Với đặc điểm trên, để cải thiện chất lượng mơn Tốn cho đối tượng học sinh bản, thường mong muốn tập trung vào giúp em nắm vững giải thành thạo tốn có mức độ khó vừa phải (mức 1, 2, 3) bám sát đề kiểm tra học kỳ, cuối học kỳ toán làm sở để phát triển cho chủ đề khác, toán giới hạn hàm số số kiến thức cần thiết Lượng kiến thức giới hạn hàm số trình bày chương trình sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 tương đối ít, nghèo nàn; tập chưa phong phú chưa nhiều; chưa có phân dạng đưa cách giải cụ thể Điều thực khó khăn học sinh có học lực trung bình, yếu Thực tế sách giáo khoa trang bị kiến thức đưa số tập đại diện Qua thực tế giảng dạy trực tiếp lớp 11a6 (một lớp mơn Tốn), tơi thấy tập dạng học sinh thường lúng túng, không hiểu đầu bài, không định hướng cách giải, trình biến đổi áp dụng tính chất Cụ thể, năm học 2018-2019 chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi tổng hợp kết điểm phần giới hạn hàm số qua kiểm tra cuối học kỳ kết sau: Lớp Số Điểm tối đa Đạt 75% Đạt 50% Dưới 50% 11a1 HS SL % SL % SL % SL % 45 2.22 13.33 11 24.44 27 60.01 Xuất phát từ thực tế đó, năm học 2020-2021 tơi tiến hành đổi cách dạy nội dung lớp 11a6 (có chất lượng tương đương với lớp 11a1 năm học trước), cách vận dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước thực giải pháp, phương pháp chủ yếu áp dụng dạy học giới hạn hàm số là: dạy học giải vấn đề, kết hợp phương pháp dạy học nhóm phương pháp truyền thống bám sát theo nội dung, chương trình sách giáo khoa hành, trang bị kiến thức cho học sinh sau vận dụng vào giải tập sách giáo khoa Tuy nhiên, đáp ứng mục tiêu giáo dục với yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, phương pháp số hạn chế như: vận động học sinh chưa toàn diện, trải nghiệm đồng thời vấn đề nghiên cứu theo kênh thơng tin cịn ít, phát triền đồng hài hòa phẩm chất lực học sinh đơi cịn bị hạn chế Đặc biệt đối tượng học sinh trung bình yếu khả tư phân tích, tổng hợp hạn chế, gần giải biết Việc tự hình thành phương pháp giải chung phân loại tốn khó khăn Hơn nữa, lượng thời gian dành cho tiết học lớp không nhiều nên giáo viên giúp học sinh tổng hợp, phân dạng đưa cách giải cụ thể việc làm cần thiết Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: Toán học mơn học địi hỏi tư logic, phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức lại với Do đó, việc phân dạng hình thành phương pháp giải dạng tốn biện pháp mang lại hiệu cao giảng dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu Trong chương trình Đại số Giải tích lớp 11, việc phân loại hình thành phương pháp giải tốn tìm giới hạn hàm số có vai trị quan trọng, có tính chất thực hành, tổng hợp sáng tạo Ngồi ra, củng cố, huy động nhiều kiến thức rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức Khi giải tập tìm giới hạn hàm số thầy trò vừa phải nhớ kiến thức bản, vừa phải xác định mối quan hệ kiện từ hướng đến điều cần tìm tịi Do vậy, người học phải tư duy, suy luận logic, cẩn thận, tỷ mỷ, đảm bảo tính xác, thúc đẩy người học không ngừng sáng tạo, luôn phải cố gắng, tích cực, tự lực Trong q trình giảng dạy đối tượng học sinh lớp thấy em cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng nhầm lẫn, sai sót việc giải số tốn tìm giới hạn hàm số Có thể có nhiều ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tôi, nguyên nhân chủ yếu học sinh chưa biết nhận dạng lựa chọn phương pháp phù hợp để giải toán hữu hiệu Các tốn tìm giới hạn hàm số lớp 11 chủ đề quan trọng xuyên suốt, làm sở để giải nhiều toán lớp 11, 12, thường đưa vào kiểm tra học kỳ, cuối học kỳ lớp 11, đề thi THPT quốc gia đề thi học sinh giỏi Vì vậy, việc phân loại đưa phương pháp giải quan trọng học sinh Với xu đổi phương pháp giáo dục Bộ giáo dục đào tạo, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Các tốn tìm giới hạn hàm số phần kiến thức đa dạng, phong phú, cần có tư lơ gíc, khả ước lượng độ xác cao Để học tốt phần học sinh phải nắm kiến thức bản, thường xuyên làm tập để học hỏi, trau phương pháp, kĩ biến đổi Kiến thức, tập phần tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, học sinh trung bình, yếu khó khăn việc phân loại dạng toán vận dụng phương pháp phù hợp Do đó, tơi ln trọng việc hệ thống, phân loại dạng tập phương pháp giải tìm phương pháp mới, để giảng dạy cho học sinh, phương pháp học đơn giản, phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng thú học Mục đích giải pháp sáng kiến: Đề tài góp phần nghiên cứu cách có hệ thống, làm rõ việc phân loại đưa phương pháp giải tốn tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT Giúp học sinh nhận dạng tìm phương pháp giải tối ưu, nhanh số dạng tập tìm giới hạn hàm số thường gặp đề kiểm tra học kỳ, cuối học kỳ, đề thi THPT quốc gia thi học sinh giỏi Phát triển khả tổng hợp, khái qt hóa dạng tốn phương pháp giải chung Rèn luyện kỹ giải nhanh giải tập trắc nghiệm Nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ phục vụ cho công tác giảng dạy, ôn tập học kỳ, cuối học kỳ, ôn thi học sinh giỏi thi THPT quốc gia Đồng thời chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm thân Nội dung: 7.1 Thuyết minh giải pháp cải tiến 7.1.1 Giải pháp 1: - Tên giải pháp: Nghiên cứu, tìm hiểu sở lý thuyết để giải toán tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT - Nội dung: Hệ thống lại kiến thức bản; tổng hợp phân loại dạng toán; đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng toán Chỉ điểm cần ý, sai lầm thường gặp hạn chế phương pháp - Các bước tiến hành thực giải pháp: Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo đề thi, đề kiểm tra Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy học phần kiến thức qua hình thức dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, vấn trực tiếp… Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm đồng nghiệp thân trình dạy học Đặc biệt kinh nghiệm giáo viên có chun mơn cao vấn đề nghiên cứu đề tài Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức thực nghiệm lớp ôn thi đại học, so sánh kết học tập học sinh khóa trước chưa áp dụng sáng kiến Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê tốn học để phân tích kết - Kết thực giải pháp: + Sản phẩm tạo từ giải pháp: Cơ sở lý thuyết để giải tốn tìm giới hạn hàm số lớp 11 THPT I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn Cho hàm số f  x  xác định khoảng  a; b  , trừ điểm x0   a; b  Nếu với dãy số  xn  mà xn   a; b  \  x0  ; lim xn  x0 ta có lim f  xn   L ta nói hàm số f  x  có giới hạn số L x dần đến x0 Khi ta kí hiệu lim f  x   L f  x   L x  x0 xx b) Giới hạn vô cực Tương tự điều nêu phần a, L  ta nói f  x  có giới hạn vơ cực x  x0 kí hiệu lim f  x    hay f  x    x  x0 x  x0 2) Giới hạn hàm số vô cực Cho hàm số f  x  xác định khoảng  a;    Khi với dãy số  xn  với xn  an, lim xn   ta có lim f  xn   L (hoặc ,   ) ta nói hàm số f  x  có giới hạn L (hoặc ,   ) x dần tới vơ cực Khi viết lim  L x  (hay  ) f  x   L (hay  ) Khi x   hàm số f  x   ; b  , với dãy  xn  mà xn  b lim xn   ta f  x   L (hay  ) f  x   L có lim f  xn   L (hay  ) ta có xlim  (hay  ) x   Một số giới hạn hàm số vô cực 1 x x k * lim x   (với * xlim  0, lim   x  x  ); lim x k   k chẵn   k lẻ x  * xlim  1  lim k  k  k x  x x * 3) Một số định lí giới hạn hữu hạn Định lí: Nếu lim f  x   L, lim g  x   M , c số x  x0 x  x0 * lim  f  x   g  x   L  M xx * lim  f  x  g  x    L.M lim c f  x   c.L (c số) xx xx 0 * Nếu M  xlim x f  x  g  x L M * lim f  x   L x  x0 * lim f  x   L x  x0 * lim f  x   L với L  xx II PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN Dạng 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số quy tắc Phương pháp giải: * Theo định nghĩa giới hạn hàm số f  x  sở giới hạn dãy f  xn  Nếu có dãy xn xn tiến đến x0 mà lim f  xn   lim f   xn  không tồn lim f  x  x  x0 *Với số nguyên dương k, ta có: 0 x  x k lim x k  ; lim x k  , lim x k 1  , lim x  x  x  * Xác định dấu   dựa dấu tích số, thương số, x  x0 , x  x0 , x   Chú ý: Nếu hàm số f  x  đa thức, phân thức đại số hàm số lượng giác có tập xác định D với x0  D ta có lim f  x   f  x0  xx Dạng 2: Dạng vơ định Xét tồn: Tính xlim x 0 f  x g  x lim f  x   lim g  x   , f  x  , g  x  xx xx 0 đa thức thức Phương pháp giải: Phân lim x  x0 tích f  x g  x  lim x  x0 tử mẫu thành A x  x  x0  A  x   lim  x  x0  B  x  x B  x  nhân tử giản ước: Nếu A  x  , B  x  chứa nhân tử x  x0 ta tiếp tục phân tích thành nhân tử Chú ý: - Với f  x  , g  x  đa thức (thường hàm số bậc hai, bậc ba, bậc bốn…) ta phân tích nhân tử việc giải phương trình f  x   g  x   - Với f  x  , g  x  thức, ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp (liên hợp số liên hợp biến) để phân tích nhân tử - Sử dụng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích thừa số bậc 2, chia đa thức, sơ đồ Hoócne,… - Chia tách thành phân thức cách thêm bớt đại lượng đơn giản theo x số mà giới hạn giữ nguyên dạng vô định - Nếu lim f  x   ; lim g  x    lim  x   g  x   ; lim  x  g  x     xx xx xx x x 0 Dạng 3: Dạng vơ định Bài tốn : Tính lim x  f  x   f  x   lim g  x    , f  x  , g  x  lim x  x  g  x đa thức thức Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho xn với n số mũ bậc cao biến số x mẫu thức Nếu f  x  , g  x  có chứa biến x dấu thức đưa xk dấu (với k số mũ bậc cao x dấu căn) Chú ý: * Khi x   ta xử lý giống với giới hạn dãy số * Khi x   ta cần lưu ý đưa x 2k dấu thức bậc chẵn Dạng hay gặp *Xét hàm số h  x   x  x  x x     x x   f  x g  x có hệ số hạng tử bậc cao f  x  , g  x  a, b Và kí hiệu deg f  x  , deg g  x  bậc f  x  , g  x  - Nếu deg f  x   deg g  x  lim x  f  x g  x  f  x - Nếu deg f  x   deg g  x  lim x  g  x f  x - Nếu deg f  x   deg g  x  lim x  g  x a b  0 Dạng 4: Dạng vơ định 0.∞ Bài tốn : Tính lim  f  x  g  x  lim f  x   lim g  x    xx xx xx 0 Phương pháp giải: f  x Ta biến đổi lim  f  x  g  x   lim xx x x để đưa dạng 0 g  x Hoặc biến đổi lim  f  x  g  x   lim xx x x 0 g  x  để đưa dạng  f  x Dạng 5: Dạng vô định ∞ - ∞ Bài tốn 3: Tính lim  f  x   g  x   lim f  x    lim g  x    xx xx xx 0 Phương pháp giải: Nhân chia với biểu thức liên hợp quy đồng để đưa phân thức Dạng 6: Giới hạn bên Phương pháp giải: * Nếu lim f  x   lim f  x  khơng tồn lim f  x  x  x0 x  x0 x  x0 * Nếu lim f  x   lim f  x   L lim f  x   L xx x x xx   0 7.1.2 Giải pháp 2: - Tên giải pháp: Vận dụng, thực hành giải tốn tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT - Nội dung: Lựa chọn tập có tính đại diện cao, phù hợp dạng phân loại làm ví dụ minh họa phương pháp; vận dụng phương pháp nêu, giải tập mẫu, kèm theo thích ý hay mắc sai lầm Chỉ ưu điểm, hạn chế phương pháp giải Lựa chọn tập trắc nghiệm cho học sinh tự rèn luyện kỹ giải nhanh, đáp ứng đề thi, kiểm tra - Các bước tiến hành thực giải pháp: Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo đề thi Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy học phần kiến thức qua hình thức dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, vấn trực tiếp… Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm đồng nghiệp thân trình dạy học Đặc biệt kinh nghiệm giáo viên có chun mơn cao vấn đề nghiên cứu đề tài Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức thực nghiệm lớp ôn thi đại học, so sánh kết học tập học sinh khóa trước chưa áp dụng sáng kiến Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê toán học để phân tích kết - Kết thực giải pháp: + Sản phẩm tạo từ giải pháp: Thực hành, phân loại vận dụng phương pháp giải tập tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT I MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số quy tắc Ví dụ Tính giới hạn hàm số a) f  x   x  10 x  3 b) f  x   2x  x  x2  Lời giải: a) Tập xác định hàm số  5;    Chọn dãy số  xn  với xn   5;    cho lim xn  3 Theo định nghĩa lim x  10  lim xn  10 x 3 n  Theo định lí giới hạn dãy số, ta có  2.lim xn  10   3  10   Vậy lim x  10  x 3 n  b) Tập xác định hàm số f ( x)  lim Ta có lim x 3 x 3 nên chọn dãy số  xn  cho xn  3) 2.lim xn  2.3  3 xn  lim(2 2x  n   n     lim  32  n  xn2  lim( xn2  6) lim xn  6 n  Vậy lim x 3 2x  3  x2  n  Chú ý: Nếu hàm số f  x  đa thức, phân thức đại số hàm số lượng giác có tập xác định D với x0  D ta có lim f  x   f  x0  x  x0 Ví dụ Tính giới hạn hàm số x2  a) f  x   b) f  x   x  x x  x  10 x  2x2  x  Lời giải: f  x   lim a) Theo định lí 1, ta có lim x 3 x 3 lim x  lim1  x 3 x 3 lim 2.lim x x 3 limx.limx  lim1 x 3  x 3 x 3 lim lim x x 3 x 3  x 3 x2  x  lim  x  1 x 3 lim x x 3 x2  3.3    Vậy lim x 3 3 x b) Vì  x2  x    x  nên chưa thể áp dụng Định lí  x  x  10   x   x   x5 Nhưng với x  , ta có  suy f  x   2x  2 x  x    x   x  3 lim  x  5 lim x  lim x5 25 x2  x 2  x2  1 x 2 x  lim  x  3 2.lim x  lim 2.2  Vậy lim f ( x)  lim x2 x2 x2 x2 Ví dụ Tìm giới hạn sau:  x2    x 3 3   x6    x2  a) xlim   3  x 1  b) xlim   2  x2  c) lim  x6 Lời giải:   3     x2    a) xlim  lim   4   3 2  x   x 3  3      x   x     x2  2  x     xlim   xlim 2 x2  x   2   b) xlim  2   x 3 3  lim  x 6    x6   c) lim  x6  lim x6  x3 3       x33  x6   lim   x 6   x   x   x6   x33       Ví dụ Tìm giới hạn sau  2x   a) xlim     4x  17   b) xlim    x     2x2  x     3 x  c) xlim   Ví dụ Tìm giới hạn sau a) lim x2 x2  3x  x2 b) lim x2 x2  2x 2 x  x  c) lim x 1 x3  x  x4  x  d) lim x 1 x3  x  x   x2  3x  Lời giải: a) lim x2  x  1 x   x2  3x   lim  lim  x  1  x 2 x2 x2 x2 x  x  2 x  x  2 x2  2x x  lim  lim  lim  1 b) lim x  2 x  x  x  2 x  x  x 2 2  x  1 x   x  2  x  1    x  1  x   x3  3x   x2   lim  lim  c) lim   2 x 1 x  x  x 1 x 1 x  x     x  1  x  x  3  x  1  x  1  x  1 x  1 x3  x  x   lim  lim 0 d) lim x 1  x  x  x 1   x  1 x   x 1 x2 Ví dụ Tính giới hạn sau x  16 a) lim x  x  x  20  x2 b) xlim 2 x  x2  3x  c) xlim 2 x  x  Lời giải:  x   x   x  16 x4 a) lim  lim  lim  x  x  x  20 x   x   x   x4 x    x   x   x2 2x  lim  lim  b) lim x 2 x  x 2 x 2 x  x   x  2  x  2x  4 c) lim x 2  x  1 x   x2  3x  x 1  lim  lim  2 x  x  x 2  x   x  3 x2 x  Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x 1 x3  x  x4  x  b) lim x2 x  x  18 x3  c) lim x 3 x  x  72 x2  2x  Lời giải:  x  1  x   x3  3x  x2 a) lim  lim  lim   2 x 1 x  x  x 1 x 1 x  x   x  1  x  x  3  x   x   x  x  18 4x  17  lim  lim  x2 x2 x 8  x    x2  x   x2 x  x  12 b) lim x    x  3 x   x  8  x  3 51   x  x  72 c) lim  lim  lim  x 3 x  x  x 3 x 3 x 1  x  1 x  3 d) lim x 1 x5  x3   x  1  x4  x3  x  x  1 x5  x4  x3  x  x   lim  d) lim  lim x 1 x  x 1 x 1 x2  x   x  1  x  x  1 Ví dụ Tính giới hạn sau 1   a) lim    x 1 x  x 1    b) lim    x 1  x 1 x     c) xlim    2 x  x 4  Lời giải:    x  1    1 x   1    lim    lim     lim   2 x  x  x   x 1 x 1  x 1  x 1  x 1   a) lim  x 1  1  x  x      x  1 x         b) lim   lim     lim x 1  x  x3  x 1  1  x  1  x  x   x 1  1  x  1  x  x         x2   lim  x 1  x  x     1   x24  1  c) lim      lim   lim  x 2 x  x   x 2   x   x    x 2 x   Ví dụ Tìm giới hạn hàm số sau a) lim x7 x3 2 49  x b) lim x2 2 x2 x2  3x  c) lim x 1 2x   x  x2  3 Lời giải: a) lim x7 b) lim x2 x3 2  lim x 7 49  x   x3 2  x3 2   lim  x     x   x   x 7       7  x x3 2   56 2 x2 2 x2 2 x2 1  lim  lim  x 2 x  x  x2  x  1 x    x   x  1  x    c) lim x 1  2x   2x   2x    lim  lim  x 1 x  x  x 1  x  1  x  3x  3 x    x2  3x  3 x   15     Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x 1 2x   x  x3  x2  b) lim x 1 x3  x  x2  c) lim x 1 Lời giải: 2x    x  4 2x   x   lim a) Ta có lim x 1 x 1 x  4x   x  x  x  3 x   x    x   x3  3x x 1  lim x 1  lim x 1  x  10 x  x x x 1 2x   x     x  1   2x   x    x  1  x   x  1  x2   x  1   x   x    1  1  3.2     15 x   x3  3x x6  3x  x6   3x   lim  lim x 1 x2 1  x  1 x3  3x  x1  x  1 x  1 x3  3x   x    x  1   x3  1 x  x  1  3  lim x   x1  x  1 x  1  x  3x    1 x  x  1  3   1 x  1   x  1  x  1 x  1  x3  x  lim x 1  9x b) lim x 1  lim   x  1    x  1  x3  3x    1  11   1  2.3  3   2.2 1  11  1 x    x  3x  x   x  3x x   x6  x  x2 c) lim  lim  lim x 1 x 1 x 1  x  1 x   x3  3x x1  x  1 x2   x3  3x    lim x 1  lim x 1  x  x  8x   x  1  x x   x3  3x   1  x  x  3  x  1  x   x3  x   lim x 1  lim x 1   x  x  5x4  x2   3x2  x  1  x   x3  x   x  1   x4  x  3 1  1 1   3  Dạng 3, 4, Khử dạng vô định x   x3  3x   1  , 0.∞, ∞ - ∞ Ví dụ Tính giới hạn sau a) xlim  2x 1 x 1 b) xlim  x2  1  3x  x2 Lời giải: 2 2x 1 x  20  a) lim  lim x  x  x  1 1 x 1 x2 1 1 x b) lim  lim   x   x  x x     3.0  x x 1  x x 1 00 x c) lim  lim x  0 x  x  x  x  1 1  1  x x c) xlim  x x 1 x2  x 1  Ví dụ Tính giới hạn sau a) xlim  x  x  1 b) xlim   x  1  x  x  x3  x  x  3x  c) xlim  x3  x  2 x  x  Lời giải: x2 a) xlim  lim   x  1  x  x  x   1    x   6 x  x  1 2  x   3.0    1  2.0    3x  x  x  3.0  2.0   b) xlim  lim x x  x  x  x   3.0  2.0 4  x x 2  3x  x  x x   2.0  2.0   c) xlim  lim  2 x  x  x  2  2.0  2   x x 3 Ví dụ Tính giới hạn sau x2  3x  x 3x  a) lim x  b) xlim  x  x   3x  4x    x c) xlim  x x3 x2  Lời giải: a) Đặt x  t Với x    t   Khi xlim  x  3x  x t  3t  2t  lim   lim t  t  3x  3t  x  x   3x  x2    x x   3 x x x 4 1   1 x x 1 b) lim 2  3.0  t   3  3  t 1  lim x  Đặt x  t Với x    t   Khi lim x  x  x   3x  x2    x 1    t  t   3t  t t t  lim  t  1 4t    t   1 t t  lim t   x x3  3.0 c) lim  lim x x  0 x  x  x  1 1 x Ví dụ Tính giới hạn sau 4x2  2x    x a) xlim  x2  x   x  b) xlim  x2  3x  x c) lim x2    x x  x3  x  x 2x  Lời giải: 4x2  x    x a) lim x2  3x  x x  4  lim x  2   1 x x2 x  9 2 x Đặt x  t Với x    t   Khi lim 4x  2x    x x  3x  x x   lim 4t  2t    t 9t  3t  2t t  x  2x   x 1 4x2 1   x x   lim t  2   1 t t2 t 3 9 2 t  4 x x x 5   1 x x 1 b) lim 4  lim x  Đặt x  t Với x    t   Khi lim x  2x   4x  x2    x x  c) xlim  x3  x  x  lim x  2x   lim t  2t   4t  4t    t t   4 t t t  1   1 t t 1  lim t  1  2.0  x  1 2  2.0 2 x 1 Ví dụ Tính giới hạn sau  a) lim x   x  x  x   b) lim x   x2  3x   x  Lời giải:   a) Ta có lim x   x2  x    x    lim x   x  x   lim x  b) lim x   x  2x   4x2  x  0  2 x  x   x   lim x         x  x x x   Ví dụ Tính giới hạn sau  a) lim x    x2  3x   x  b) lim x   x2  3x   x   Lời giải: a) Ta có lim x  lim x    lim x   1  1  x x   3 x  x   x   lim   x          x  x x x     x  3x   x  x  x 1  x  x  x   x   lim x  lim  x  3x   x    ;   b) Ta có lim x   x  x   x   lim  x  3 x  lim   3 1 x  x    x  3 x 1  1 x x x 3 3x  Dạng Giới hạn bên Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x 2  x2  x2 b) lim x 2 2 x 2 x  5x  c) lim x 2 2x 2 x  5x  Lời giải: x2  a) lim  lim x 2 x 2 x2 b) lim x 2  c) lim x 2  2 x 2 x  5x  2 x 2 x  5x  x2   x2  lim x2 1  lim   x   x  1 x2 x   lim 2 x 1  lim   x   x  1 x2 x  x2 x2 Ví dụ Tìm giới hạn hàm số điểm ra:  x2  2x x    x a) f  x    x   x  16 x   x   x  3x  x   x  b) f  x     x x   x 1 Lời giải: a) lim f  x   lim x 2 x 2 x  x  2 x2  x x  lim   lim   x 2   x   x  x 8 x   x2 x  x   2.2   x   x    x   x  16 lim f  x   lim  lim  lim  x    x    4.8  32 x 2 x2 x 2 x2 x2 x2  lim f  x   lim f  x  Do đó, khơng tồn lim f  x  x 2 x 2 b) lim  lim x 1 x 1  x  1 x   x  3x  x  1  lim  lim   x 1  x  1 x  1 x 1 x  11 x 1 x  2 lim f  x   lim x 1 x 2 x 1 f  x   Nhận thấy lim f  x   lim f  x    Do lim x 1 x 1 x 1   Ví dụ Tìm giới hạn hàm số điểm ra: x  x  m  a) f  x    x  100 x  x  x   x3   x  3m x  1 b) f  x     x  x  m  x  1 x  1 Lời giải: a) lim f  x   lim  x  m   m x 0 x 0 x  100 x  3 lim f  x   lim  1 x 0 x 0 x3 03 f  x  lim f  x   lim f  x   m  Để tồn xlim 1 x 0 x0   Với m  lim f  x    lim f  x  x 0 x  0 f  x  Vậy với m  lim x 1 b) lim f  x   lim  x  3m   3m  x 1 x 1   lim f  x   lim  x  x  m  3    m   m  x 1 x 1 f  x  lim f  x   lim f ( x)  3m   m   2m   m  Để tồn xlim 1 x 1 x 1  Với m   lim f  x   3.2   5  f  x    lim f  x   xlim 1 lim f  x      x 1  x 1 x 1 f  x  Vậy với m  xlim 1 II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Giới hạn lim   x3  x2   x  A B -∞ C +∞ D Câu Cho lim x    x  ax  x  2 Tính giá trị a A -6 B 12 x Câu Tính giới hạn lim x C 2017 x x  A -∞ ta kết B Câu Giá trị giới hạn lim x0 A  1 2019 Câu Tính lim x2 D -12 C -1 D  x 1 x B C +∞ D B C -∞ D C +∞ D x  16  x3 A -2 Câu lim   x  x   x  A B -∞ Câu Biết lim x 3 x  bx  c   b, c  x3 B P  11  Tính P bc A P  13 C P  12 Câu Trong giới hạn sau, giới hạn +∞? A xlim  x2  x  x 1 Câu lim x 1 B xlim  C lim x 1 1 x x  2x  D lim x 0 x 1 x 1 A Câu 10 lim x2 3x   2x D P  13 B +∞ C D D 3 x2  x  x2  A B C x2  Câu 11 Tính lim x  x  A -∞ B C -1 D x  3x  2x  A +∞ B Câu 13 Giới hạn lim  x  x  Câu 12 Giới hạn lim x2 C  D x  A +∞ B C -∞ D -1 C -2 D Câu 14 Giới hạn lim x 5 A +∞ x  12 x  35 x5 B  x x Câu 15 Giới hạn lim x 1 A  x2 x 1 Câu 16 lim  x 1 A +∞ Câu 17 lim x  A -2 B -∞ C +∞ D B C -∞ D C  D x 1 x 1   x  x   x B +∞ x2  x  x  x  2x  1 A B -∞ C  D 2 x   5x  a  (phân số tối giản) Giá trị Câu 19 Cho giới han lim x 3 b x  4x  T  2a  b A T  B T  1 C T  10 D T  8  x  ax  x  Câu 20 Tìm a để hàm số f  x    có giới hạn x  x  2 x  x  Câu 18 Giá trị giới hạn lim A B -1 C D -2 2 x  Câu 21 Kết lim x 1 x 1 A +∞ B -∞ Câu 22 xlim  A 3 B -3 D C -1 D 3x  1  2x B L  Câu 24 Cho giới hạn lim x2 S  a  b2 A S  20 x  x2 Câu 23 Tìm giới hạn xlim  A L   C C L  D L   x  3x  a a  phân số tối giản Tính b b x 4 B S  17 C S  10 D S  25 2 x  3x  1  x2 1 A L  B L   2 ax   bx  Câu 26 Cho biết lim  a, b  x 1 x  3x  biểu thức a  b Câu 25 Tính giới hạn L  lim x 1 C L   D L   có kết số thực Giá trị