Động lực học và các đặc tính dao động của hệ con lắc Furuta

Bài viết Động lực học và các đặc tính dao động của hệ con lắc Furuta trình bày chi tiết cách thiết lập phương trình động lực học của con lắc Furuta dựa trên các phương trình chuyển động Euler-Lagrange. Chương trình mô phỏng điều khiển và đặc tính chuyển động của các khâu trong con lắc Furuta sẽ được xây dựng trong ứng dụng Matlab.

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 5.1, 2020 29 ĐỘNG LỰC HỌC VÀ CÁC ĐẶC TÍNH DAO ĐỘNG CỦA HỆ CON LẮC FURUTA DYNAMIC MODEL AND VIBRATION CHARACTERISTICS OF THE FURUTA PENDULUM Phạm Anh Đức, Trần Quang Khải, Đỗ Lê Hưng Tồn, Tơn Nữ Huyền Trang Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng ducpham@dut.udn.vn, tqkhai@dut.udn.vn, dlhtoan@dut.udn.vn, tnhtrang@dut.udn.vn Tóm tắt - Con lắc Furuta, hay cịn biết đến với tên “con lắc quay ngược”, hệ chuyển động có hai bậc tự với chuyển động đầu vào tạo động quay Hệ lắc mơ hình thực nghiệm lý tưởng để thực nghiệm phương pháp điều khiển khảo sát đặc tính dao động hệ điện hai bậc tự Mặc dù hệ thống điều khiển phổ biến, thực tế có cơng bố trình bày hồn chỉnh chi tiết hệ động lực học đặc tính dao động lắc Do đó, báo vào chi tiết cách thiết lập phương trình động lực học c on lắc Furuta dựa phương trình chuyển động Euler-Lagrange Chương trình mơ điều khiển đặc tính chuyển động khâu lắc Furuta xây dựng ứng dụng Matlab Dựa thơng số đặc trưng hệ thống, đặc tính dao động hệ lắc Furuta mô tả cụ thể Abstract - Furuta pendulum, also known as “the inverted rotary pendulum” is a 2DOF model for control platform with initial movement created by a rotary motor This pendulum model is a good platform not only to implement theoretical control methods but also to evaluate the vibration characteristics of a 2DOF mechatronics system Despite the regularity of this control platform, few papers employ the dynamics model and vibration characteristics of Furuta pendulum in detail Thus, this paper presents a mathematical model for the movement of Furuta pendulum based on Euler-Lagrange equations Furthermore, a simulation model for system control and movement features of this pendulum is established in Matlab environment Based on the identified parameters of the system, all vibration characteristics of Furuta pendulum are clearly illustrated Từ khóa - Mơ hình động lực học; hệ lắc Furuta; đặc tính dao động Key words - Dynamics model; Furuta pendulum; Vibration characteristics Giới thiệu Hệ lắc Furuta, hay biết đến với tên “hệ lắc quay ngược”, hệ chuyển động có hai bậc tự với chuyển động đầu vào tạo động quay Một mơ hình lắc Furuta (Hình 1) bao gồm cánh tay quay tròn mặt phẳng nằm ngang lắc đơn dao động tự mặt phẳng thẳng đứng [1-4] Chuyển động quay tròn cánh tay lắc tạo kiểm soát động đặt trục quay đầu vào Do hệ chuyển động với hai bậc tự có trục điều khiển trực tiếp, nên hệ lắc hệ thiếu cấu chấp hành (under-actuated system) [2] Hệ lắc mơ hình thích hợp để thực nghiệm phương pháp điều khiển khảo sát đặc tính dao động hệ điện với hai bậc tự Sau lần giới thiệu Viện khoa học kỹ thuật Tokyo Furuta [1], nhiều nghiên cứu công bố với thử nghiệm quy luật điều khiển tuyến tính phí tuyến mơ hình [5-7] Đa phần công bố nghiên cứu trình quay ngược lắc [8] tập trung vào mơ hình lý tưởng hóa cách loại bỏ yếu tố phi tuyến chuyển động lắc xem xét moment quán tính quay lắc hệ đơn trục [3, 67] Các mơ hình điều khiển lắc Furuta theo hướng tối ưu hóa loại bỏ yếu tố phức tạp giúp cho trình điều khiển đơn giản Tuy nhiên, kết có từ nghiên cứu chưa đánh giá rõ nét vấn đề tồn thực tế mơ hình động lực học Trong thực tế, mơ hình lắc Furuta sử dụng để làm tảng khảo sát dao động khâu chấp hành cuối cánh tay robot Đối với nghiên cứu nước nay, tác giả thường chọn mơ hình lắc ngược đặt di chuyển tịnh tiến hệ ray [9-10] Khác với hệ lắc Furuta, trình chuyển động đầu vào lắc hệ tịnh tiến bị giới hạn khơng gian phạm vi chuyển động ray Điều nà y làm cho chu trình khảo sát chuyển động lắc khâu chấp hành cuối bị hạn chế Thêm vào đó, nghiên cứu tập trung vào việc ứng dụng thuật toán điều khiển kiểm soát cân lắc trình dựng đứng Nền tảng mơ hình điều khiển dựa lý thuyết tối ưu sử dụng điều khiển tồn phương tuyến tính LQR Từ nhận định đó, báo đề xuất hướng nghiên cứu vào thiết lập chi tiết toán động lực học lắc Furuta dựa phương trình chuyển động EulerLagrange Chương trình mơ điều khiển đặc tính chuyển động cá c khâu lắc Furuta xây dựng ứng dụng Matlab Dựa thông số đặc trưng hệ thống, đặc tính dao động hệ lắc Furuta mơ tả cụ thể Hình Mơ hình hệ lắc Furuta Mơ hình động lực học lắc Furuta Khác với mơ hình lắc đơn hai bậc tự truyền thông thường bị giới hạn chu trình chuyển động ray Hệ lắc Furuta sử dụng chuyển động quay tạo động servo chiều để làm tác động Phạm Anh Đức, Trần Quang Khải, Đỗ Lê Hưng Tồn, Tơn Nữ Huyền Trang 30 đầu vào Các cánh tay lắc với chiều dài Lr có giá trị góc quay θ động Đầu lại cánh tay lắc kết nối với lắc đơn có chiều dài LP khối lượng mP dao động với góc lắc α, Hình Góc quay θ góc lắc α xem vị trí theo đường thẳng đứng xét mặt phẳng tham chiếu tương ứng nó, chiều dương lấy theo chiều kim đồng hồ (CW) lắc đơn; g gia tốc trọng trường; Jr , JP moment quán tính cánh tay lắc, lắc đơn; Dr , DP hệ số cản cánh tay lắc lắc đơn Tác động đầu vào hệ lắc lực moment động phương trình (6) Theo đó, moment lực động xác định dựa vào định lý Kirchoff định luật Newton Nó thể mối quan hệ hiệu suất động m , hệ số sức điện động động Km dòng điện đầu vào Vm , trở khảng Rm , gia tốc động  = m K m (Vm − K m ) Rm (6) Thực đạo hàm riêng theo hai biến thành phần góc quay θ góc lắc α với cơng thức (1-5), phương trình chuyển động hệ lắc Furuta biển diễn lại dạng hệ phương trình (7) Hình Sơ đồ động học hệ lắc Furuta Phương trình chuyển động hệ lắc xác định phương trình động lực học EulerLagrange phương trình (1) Phương trình đồng thời áp dụng cho hai khâu hệ lắc Furuta, bao gồm: cánh tay lắc Lr lắc đơn LP Động T hệ tổng động cánh tay lắc lắc đơn, mơ tả phương trình (2) Hơn nữa,  hệ lắc lắc đơn Nó được xác định dựa cấu trúc hình học khối lượng lắc sử dụng mô hình, biểu diễn phương trình (3) Độ cản  hệ lắc Furuta chuyển động phương trình (1) xác định dựa vào phương trình (4) Rõ ràng, độ cản  hệ lắc Furuta tổng độ cản chuyển động cấu thành phần tính theo tích hệ số cản vận tốc tương ứng với cấu Cuối cùng, tác động đầu vào hệ lắc mơ tả phương trình (5), với lực tác động  đặt vào cánh tay lắc d  T   T      + Qi  − = − dt  q   q   q  q ( 1) T = Tmr + Tmp =   L2p 1 J r + J p + m p  L2r +   2   (2)  L2p  + m p   sin  + Lr Lp cos      = mp g Lp (1 − cos  ) (3)  = Dr + Dp (4) Q =  (5) 0 T với Tmr động cánh tay lắc; Tmp động  1  1  2 2  m p Lr + m p Lp − m p Lp cos  + J r   −  m p L p Lr cos         1  1  2  +  m p Lp sin  cos     +  m p Lp Lr sin    =  − Dr  2  2    m L L cos   +  J + m L2   p p   p 2 p p r    1    − m L2 cos  sin   + m L g sin  = − D  p p p p p    4   (7) Thông thường, để dể dàng giải tốn động lực học thiết kế mơ điều khiển hệ lắc này, người ta đề xuất phương pháp tuyến tính hóa hệ phương trình Các phương trình đề xuất loại bỏ thành phần hàm sin/cos, giả sử giá trị hàm góc quay/lắc tịnh tiến khơng Tuy nhiên, việc làm dể dẫn đến sai số giá trị tính tốn, đặc tính hệ thống tham số điều khiển áp dụng mơ hình sai lệch Do đó, nhóm nghiên cứu đề xuất giữ nguyên cấu trúc thành phần hệ phương trình (7) – hệ phương trình phi tuyến Cách giải hệ phương trình mơ giải thích cụ thể phần sau Mơ động lực học hệ điều khiển hệ lắc Furuta Mơ hình mơ cho hệ lắc quay hai bậc tự Furuta xây dựng mơ dựa sơ đồ khối Hình phần mềm Matlab Thông thường, đầu vào chương trình điều khiển góc quay động (cũng góc quay cánh tay lắc) Các yêu cầu góc quay đầu vào xử lý điều khiển PD để tạo lực moment  cần thiết cho động Chi tiết điều khiển PD thiết kế mô tả Hình Ở đây, hệ số P chọn 25 D 1,25 Bộ thiết kế PD thiết kế dựa đặc tính hoạt động động chiều đặc trưng, đồng thời dựa định lý Kirchoff định luật Newton cho hệ cơ-điện Mơ hình động lực học hệ lắc quay Furuta thể khối “Solver of pendulum EOM” Khối xử lý hệ phương trình phi tuyến lắc đơn giới thiệu Hình Ở đây, khối tích hợp dịng lệnh giải ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 18, NO 5.1, 2020 hàm số Matlab Simulink sử dụng Hệ phương trình (6) lập trình ngơn ngữ Ma tlab script nhúng vào khối “MATLAB Fcn” Hình (5) Thơng qua khối tích phân, tính tốn đầu chuyển đổi từ gia tốc sang vận tốc giá trị góc góc quay θ hay góc lắc α Từ ta biết đáp ứng đặc trưng hệ lắc quay Furuta Hình Hệ mô hệ lắc Furuta 31 4.2 Hệ thống thực nghiệm Mơ hình thực nghiệm mơ hình hệ lắc quay Furuta mơ tả Hình Một động DC servo sử dụng để tạo chuyển động cho mơ hình lắc Các encoder quang sử dụng để đo góc quay động góc lắc lắc đơn Hơn nữa, liệu thu thập góc quay động góc lắc lắc đơn tín hiệu điều khiển kiểm soát điều khiển NImyRio Bộ điều khiển với tảng FPGA vi xử lý sử dụng chipset ARM Cortex-A9 giúp cho việc điều khiển hệ thống đạ t đáp ứng gần đồng thời theo thay đổi thời gian thực Việc vô hiệu cho việc xử lý tác vụ phức tạp, đồng thời đáp ứng nhanh yêu cầu điều khiển; tốt địi hỏi thơng thường Hình Mơ hình giao tiếp hệ điều khiển hệ lắc quay Furuta Hình Bộ điều khiển hệ lắcFuruta Hình Khối xử lý chương trình động lực học hệ lắc Furuta Matlab Đặc tính dao động hệ lắc quay Furuta 4.1 Thông số đặc trưng mô hình Giá trị thơng số mơ hình hệ lắc hai bậc tự Furuta để sử dụng cho mô sử dụng từ mơ hình thực tế Bảng Các thơng số mơ hình xác định dựa thông số cung cấp từ nhà sản xuất thành phần Bảng Các thông số mơ hình hệ lắc Furuta Kí hiệu Đơn vị Giá trị Độ dài cánh tay lắc Thông số Lr (m) 0,085 Độ dài lắc đơn Moment quán tính cánh tay lắc LP (m) 4.3 Đặc tính dao động hệ lắc quay Furuta Các đặc tính dao động hệ lắc quay Furuta so sánh lý thuyết thực nghiệm Hình Dựa tham số hệ thống Bảng kết hợp với hệ mô chi tiết toán động lực học lắc Matlab/Simulink, kết dao động lắc Furuta thể Kết thực nghiệm xác định dựa giá trị đo hai encoder quang đặt động trục quay cánh tay lắc Rõ ràng, hệ lắc quay có đặc tính hệ dao động bậc hai (the second-order system) Đặc tính dao động góc quay cánh tay lắc mô tả Hình Hơn nữa, tín hiệu dao động đầu lắc đơn Hình thể hệ hệ dao động mức (under-damped system) Sau thời gian dao động, lắc có xu hướng đưa trạng thái cân Việc xác định hệ số tắt dần, tần số dao động riêng hệ hồn tồn dựa mối quan hệ giá trị biên độ thời gian đỉnh dao động tín hiệu đầu góc lắc hệ lắc Furuta Theo kết tính tốn dựa kết có theo phương pháp giảm số bậc logaric (log-decrement method), hệ lắc có tần số dao động riêng 11,12 (Hz) hệ số tắt dần 0,367 0,129 Jr (kg.m ) 5,72×10-5 Moment qn tính lắc đơn JP (kg.m2) 3,33×10-5 Hệ số cản cánh tay lắc Hệ số cản lắc đơn Dr DP (Nms/rad) (Nms/rad) 0,0015 0,0005 Khối lượng lắc đơn Gia tốc trọng trường mP g (kg) (m/s 2) 0,024 9,81 Hệ số Back-EMF Km Nội điện trở động Rm 0,0431  0,84 Hình Dao động góc quay cánh tay lắc Phạm Anh Đức, Trần Quang Khải, Đỗ Lê Hưng Tồn, Tơn Nữ Huyền Trang 32 Các đặc tính dao động lắc Furuta kiểm nghiệm mơ hình thực tế Dao động hệ lắc quay Furuta dao động hệ bậc hai Các kết thực nghiệm có sai lệch so với mô Rõ ràng, sai lệch tham số mơ hình có sai lệch so với thực tế yếu tố tác động bên Do đó, q trình nhận định hệ thống cần thiết để kết mô tiệm cận với kết thực nghiệm hệ thống Lời cảm ơn: Bài báo tài trợ Trường Đại học Bách khoa – Đại học Đà Nẵng với đề tài có mã số: T2020-02-03 Hình Dao dộng góc lắc hệ lắc quay Furuta Tuy nhiên, kết đo đạc cho thấy rằng, dao động lắc mơ hình thực nghiệm lại chậm tắt kết mơ mơ hình Matlab/Simulink Các sai lệch gây từ sai số giá trị thơng số mơ hình tác động từ dây tín hiệu encoder dùng để đo góc lắc Rõ ràng, tham số đầu vào mơ hình, thơng số động cơ, hệ số cản nhớt, khối lượng kích thước thành phần, cần đo đạc kiểm nghiệm lại thực tế Q trình nhận định hệ thống (identification of system) giúp cho kết đầu mô thực nghiêm tiệm cận với Thêm vào đó, tác động bên ngồi, đặc điểm cấu trúc thiết kế mơ hình hay tác động từ yếu tố chưa mô tả cần ý xem xét phần tác động không nhỏ đến tín hiệu đầu hệ Kết luận Bài báo trình bày tốn động lực học lắc Furuta đặc tính dao động Bài báo giới thiệu chi tiết tốn động lực học hệ lắc Furuta dựa phương trình chuyển động Euler-Lagrange Chương trình mơ toán động lực học xây dựng ứng dụng Matlab/Simulink Dựa thông số đặc trưng hệ thống, đặc tính dao động hệ lắc Furuta giới thiệu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Furuta, M Yamakita, and S Kobayashi, “Swing-up control of inverted pendulum using pseudo-state feedback”, Journal of Systems and Control Engineering, vol 206, no 6, pp 263–269, 1992 [2] Y Xu, M Iwase, and K Furuta, “Time optimal swing-up control of single pendulum”, Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Transactions of the ASME, vol 123, no 3, pp 518–527, 2001 [3] K Furuta and M Iwase, “Swing-up time analysis of pendulum”, Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences, vol 52, no 3, pp 153–163, 2004 [4] M Iwase, K J Åström, K Furuta, and J Åkesson, “Analysis of safe manual control by using Furuta pendulum”, in Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications (CCA '06), pp 568–572, October 2006 [5] J Åkesson and K J Åström, “Safe manual control of the Furuta pendulum”, in Proceedings of the IEEE International Conference on Control Applications (CCA '01), pp 890–895, September 2001 [6] I Fantoni and R Lozano, Nonlinear Control of Underactuated Mechanical Systems, Springer, London, UK, 2002 [7] O Egeland and T Gravdahl, Modeling and Simulation for Automatic Control, Marine Cybernetics, Trondheim, Norway, 2002 [8] J Aracil, J.A Acosta, F Gordillo”,A nonlinear hybrid controller for swinging-up and stabilizing the Furuta pendulum”, Control engineering practice, Vol 21 pp.989-993, 2013 [9] Cao Xn Cường, Trần Đình Khơi Quốc, “Điều khiển mơ hình lắc ngược sử dụng điều khiển LQR với hai vòng phản hồi”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ - Đại học Đà Nẵng, Số (126), 2018 [10] Nguyễn Thanh Tân, Báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường: Thiết kế mơ hình cân lắc ngược, Đại học Trà Vinh, 2017 (BBT nhận bài: 05/3/2020, hoàn tất thủ tục phản biện: 02/6/2020) ... tiếp hệ điều khiển hệ lắc quay Furuta Hình Bộ điều khiển hệ lắcFuruta Hình Khối xử lý chương trình động lực học hệ lắc Furuta Matlab Đặc tính dao động hệ lắc quay Furuta 4.1 Thông số đặc trưng... tay lắc Rõ ràng, hệ lắc quay có đặc tính hệ dao động bậc hai (the second-order system) Đặc tính dao động góc quay cánh tay lắc mơ tả Hình Hơn nữa, tín hiệu dao động đầu lắc đơn Hình thể hệ hệ dao. .. trị Độ dài cánh tay lắc Thông số Lr (m) 0,085 Độ dài lắc đơn Moment quán tính cánh tay lắc LP (m) 4.3 Đặc tính dao động hệ lắc quay Furuta Các đặc tính dao động hệ lắc quay Furuta so sánh lý thuyết