Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài viết này khi giải quyết bài toán động lực học ngược của robot song song dựa trên ý tưởng xem đây là bài toán điều khiển chương trình, đó là xác định động lực lên các khâu dẫn để khâu thao tác thực hiện chuyển động yêu cầu được cho dưới dạng bài toán không cần đến phương trình động học, ví dụ như khi thực hiện quỹ đạo theo yêu cầu.
Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ Động lực học Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr 190-195, DOI 10.15625/vap.2019000277 Động lực học ngược rô bốt song song 3RRR Đỗ Đăng Khoa1), Ngô Hồng Đăng2), Phan Đăng Phong2), Đỗ Sanh1) 1) Trường Đại học Bách khoa Hà Nội,2)Viện Nghiên cứu Cơ khí Email: dangnh@narime.gov.vn Tóm tắt Robot song song sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực vấn đề tác hợp gia cơng khí thực nhiều ngun cơng đồng thời, vấn đề phân tải trình vận chuyển, thao tác robot Tuy nhiên loại cấu có cấu trúc phức tạp Hiện thường sử dụng hai phương pháp cho việc khảo sát loại cấu này: Phương pháp nhân tử Lagrange Phương pháp tách cấu trúc Trong báo giải toán động lực học ngược robot song song dựa ý tưởng xem toán điều khiển chương trình, xác định động lực lên khâu dẫn để khâu thao tác thực chuyển động yêu cầu cho dạng toán khơng cần đến phương trình động học, ví dụ thực quỹ đạo theo yêu cầu Với quan điểm tác giả đề xuất phương pháp gồm hai bước: Bước 1: Sử dụng phương pháp ma trận giải toán động học để xác định trạng thái động học yêu cầu; Bước 2: sở Bước 1, Sử dụng phương trình động lực dạng ma trận để xác định động lực thỏa mãn yêu cầu đặt với ý tưởng dựa Nguyên lý Phù hợp buộc yếu tố động lực phải đáp ứng yêu cầu từ trạng thái động học Từ khóa Phương pháp ma trận truyền, Phương trình động lực dạng ma trận, Nguyên lý Phù hợp, Robot song song, Bài tốn Điều khiển chương trình Mở đầu Robot song song sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực vấn đề tác hợp gia cơng khí thực nhiều nguyên công đồng thời, vấn đề phân tải trình vận chuyển, thao tác robot Các vấn đề quan tâm nhiều tác giả khơng từ nhà khoa học nước ngồi [4,5] bắt đầu có nhiều quan tâm nhà khoa học nước [1,2,3] Sự phức tạp loại Robot song song ghép nối chuỗi hở chuỗi kín, liên kết với nhiều phương trình liên kết Hiện để khảo sát loại rô bốt phải sử dụng phương trình dạng nhân tử (do có phương trình liên kết), phương pháp tách cấu trúc (để tách chuỗi động) Do sử dụng phương pháp phải sử dụng đồng thời hai phương pháp sử dụng động lực học: Phương pháp phương trình Lagrange dạng nhân tử, Phương pháp D’Alembert Khi sử dụng đồng thời hai phương pháp xuất thông số phụ (các nhân tử Lagrange) đặc biệt xuất nội lực (mặc dù yêu cầu tốn khơng cần đến) Để khảo sát loại tốn này, mặt động học, xem Robot song song cấu nối ghép chuỗi động sở sử dụng phương pháp ma trận truyền, nhờ tính đại lượng động học rôbốt phức tạp mặt động lực áp dụng phương trình Lagrange dạng ma trận loại trừ nhân tử Lagrange dù rô bốt song song hệ chịu liên kết Nội dung khảo sát Trong báo cáo khảo sát Robot song song phẳng 3RRR Hình Robot xem ghép hai chuỗi nối tiếp : Chuỗi 1: 01ABCE05: gồm khâu quay, khâu song phẳng Chuỗi 2: 01ABDF07 khâu quay khâu song phẳng Đây hai chuỗi nối tiếp nối ghép nhờ khâu tam giác BCD có chuyển động song phẳng Yêu cầu đặt trọng tâm C3 tam giác ABC phải chuyển động theo luật xác định: xC = x0 + H cos(t ); yC = y0 + H sin t ; = 0 (1 − sin t ); Hình Robot song song 3RRR (1) Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh Trong góc quay tuyệt đối khâu tam giác, x0,y0, , 0 số cho Yêu cầu tương đương với thực chuyển động chương trình viết dạng sau: xC − x0 − H cos(t ) = 0; yC − y0 − H sin(t ) = 0; − 0 (1 − sin t ) = 0; (2) Bài toán đặt ta xác định mômen động lực M1,M5,M7 tác dụng lên khâu có trục quay 01,05,07 để tay máy thực chuyển động chương trình yêu cầu (2) Các khâu quay xem cân bằng, tức khối tâm chúng rơi vào trục quay, có mơmen qn tính khối trục quay có giá trị J1, có chiều dài l1, chuyển động song phẳng AB, CE, DF xem đồng chất, có chiều dài l2, khối lượng m2 mơmen qn tính khối tâm J2 Tấm tam giác BCD, có dạng tam giác cạnh h, trọng tâm C3, khối lượng m3 mơ men qn tính khối tâm J3 Bài toán gồm hai bước: Bước Xác định trạng thái động học theo yêu cầu đặt Chọn tọa độ suy rộng góc 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 hình vẽ Do trục 01,05,07 cố định, viết phương trình liên kết nên hệ có bậc tự do, ứng với tọa độ độc lập, chọn, ví dụ, 1 ,5 ,7 Để viết phương trình liên kết ta sử phương pháp ma trân truyền Thiết lập ma trận với tham số sau: qi i ; qi i ; qi i ;(i = 1,7) cos q1 − sin q1 t1 = sin q1 cos q1 0 cos q3 − sin q3 t3 = sin q3 cos q3 0 0 cos q2 − sin q2 l1 ;t2 = sin q2 cos q2 ; l2 cos q4 − sin q4 −h ;t4 = sin q4 cos q4 ; 1 l2 cos q6 t5 = 0 ; t = sin q6 0 − sin q6 cos q6 −h ; cos q7 − sin q7 −l2 l1 l1 t7 = sin q7 cos q7 ; r5 = : r7 = ; cos(q3 + ) − sin(q3 + l2 t0 = sin(q3 + ) cos(q3 + ) 3 0 1 (3) Các liên kết chương trình viết sau: f1=-h1cos(q1+q2+q3)-h2sin(q1+q2+q3)l2cos(q1+q2 )+l1cosq1-x30-Rcos t ) =0; f2=h1sin(q1+q2+q3)+h2cos(q1+q2+q3) (4) -l2sinq1-y30-Rsin t =0; f3=q1+q2 +q3- 0 (1- sin t ) =0; Các phương trình liên kết (vật chất) rút ta từ điều kiện: r5 = t1t2t3t4t5 r5 : r7 = t1t2t0t6t7 r7 (5) Khi triển khai chúng có dạng sau: f4=l1cos(q1+q3+q4+q5)+l2cos(q1+q2+q3+q4)-hcos(q1+ q2+q3)+l2cos(q1+q2)+l1cosq1-L1=0; f5=l1sin(q1+q3+q4+q5)+l2sin(q1+q2+q3+q4)-hsin(q1+q 2+q3)-l2sin(q1+q2)+l1sinq1=0; f6=l1cos(q1+q2+q3+ +q6+q7)-l2cos(q1+q2+q3++q6) -hcos(q1+q2+q3+ )-l2cos(q1+q2)+l1cosq1-0.5L1=0; f7=l1sin(q1+q2+q3++q6+q7)-l2sin(q1+q2+q3+α+q6) -hsin(q1+q2+q3+)-l2sin(q1+q2)+l1sinq1-L2=0 (6) Yêu cầu chuyển động robot phải thỏa mãn hệ phương trình liên kết chương trình (4) liên kết vật chất (6),tức: fi = ; i = 1, (7) Để giải toán đặt robot cần phải thỏa mãn hệ phương trình khơng với trạng thái vị trí robot thời điểm mà với trạng thái vận tốc trạng thái gia tốc, tức hệ phương trình mà cịn từ phương trình nhận từ hệ phương trình sau đạo hàm bậc bậc hai theo thời gian Để nhận phương trình ta đưa vào đại lượng sau: fij = fi : i, j = 1,7; q j (8) Hệ phương trình cần thỏa mãn trạng thái vận tốc: Động lực học ngược Rô bốt song song 3RRR f ij q j = 0; i = 1,7 j =1 q j Fi = (9) Cịn hệ phương trình thỏa mãn trạng thái gia tốc: Gi = fij q j + j =1 r r , j =1 j = 0; i = 1,7 (10) r Từ hệ phương trình (7),(9),(10) với điều kiện đầu xác định ta xác định trạng thái động học yêu cầu robot, tức xác yêu cầu động học theo yêu cầu đặt {q1(t),q2(t),q3(t),q3(t),q4(t),q5(t),q6(t),q7(t)} (11) Trong trường hợp đơn giản trạng thái động học theo biến thời gian xác định trực tiếp từ hệ phương trình (7) Bước Xác định động lực đáp ứng trạng thái động học yêu cầu (7), (9), (10) Sau xác định trạng thái động học theo yêu cầu, ta xác định động lực cần thiết (trong trường hợp mômen M1,M5,M7 Để xác định đại lượng ta sử dụng phương trình động lực dạng ma trận [9,11] Ta xây dựng thêm ma trận sau: − sin q1 − cos q1 − sin q2 − cos q2 T11 = cos q1 − sin q1 ;T21 = cos q2 − sin q2 0 − sin q3 − cos q3 − sin q4 − cos q4 T31 = cos q3 − sin q3 ;T41 = cos q4 − sin q4 0 − sin q5 T51 = cos q5 − cos q5 − sin q6 − sin q5 ;T61 = cos q6 0 0 ; 0 ; − cos q6 − sin q6 ; 0 − sin q7 − cos q7 T71 = cos q7 − sin q7 ; 0 − sin(q3 + ) − cos(q3 + ) T01 = cos(q3 + ) − sin q(q3 + ) ; 0 (12) Ở sử dụng ký hiệu chữ viết hoa ma trận chuyển vị ứng với chữ viết thường, ví dụ, T1 ký hiệu ma trận chuyển vị ma trân t1,T21 ma trận chuyển vị ma trận t21, tức: cos q1 sin q1 0 T1 = t = − sin q1 cos q1 0 ; 0 T cos q2 − sin q2 0 ; Các ma trận xác định vị trí khối tâm khâu: fij q q q − sin q2 T2 = t = − cos q2 T 21 l1 c2 h1 c4 C1 = ;C = ;C3 = h2 ;C = ; l1 c6 l1 C5 = ;C = ;C = : D1 = 0 1 ; D2 = c2 D5 = l1 1 : D3 = h1 1; D6 = c6 h2 1 : D4 = c4 1 ; 1; D7 = l1 1 (13) Ma trận quán tính tính theo cơng thức sau: a11=m2D2T2T11t11t2C2+m3D3T3.T2T11t11t2t3C3+m4D4T4 T3T2T11t11t2t3t4C4+m5D5T5T4T3T2T11t11t2t3t4t5C5+m6D6 T6T0T2T11t11t2t0t6C6+m7D7T7T6T0T2T11t11t2t0t6t7C7: a11=m2D2T2T11t11t2C2+m3D3T3.T2T11t11t2t3C3+m4D4T4 T3T2T11t11t2t3t4C4+m5D5T5T4T3T2T11t11t2t3t4t5C5+m6D6 T6T0T2T11t11t2t0t6C6+m7D7T7T6T0T2T11t11t2t0t6t7C7: a12=m2D2T21T1t11t2C2+m3D3T3.T2T11t1t21t3C3+m4D4T 4T3T21T1t1t21t3t4C4+m5D5T5T4T3T21T1t11t2t3t4t5C5+m6D 6T6T0T21T1t11t2t0t6C6+m7D7T7T6T0T21T1t11t2t0t6t7C7: a13=m3D3T31.T2T1t11t2t3C3+m4D4T4T31T2T1t11t2t3t4C4+ m5D5T5T4T31T2T1t11t2t3t4t5C5+m6D6T6T01T2T1t11t2t0t6C 6+m7D7T7T6T01T2T1t11t2t0t6t7C7: a14=m4D4T41T3T2T1t11t2t3t4C4+m5D5T5T41T3T2T1t11t2t3 t4t5C5; a15= m5D5T51T4T3T2T1t11t2t3t4t5C5; a16=m6D6T61T0T2T1t11t2t0t6C6+m7D7T7T61T0T2T1t11t2t0 t6t7C7: a17= m7D7T71T6T0T2T1t11t2t0t6t7C7; a22=m2D2T21T1t1t21C2+m3D3T3.T21T1t1t21t3C3+m4D4T4 T3T21T1t1t21t3t4C4+m5D5T5T4T3T21T1t1t21t3t4t5C5+m6D6 T6T0T21T1t1t21t0t6C6+m7D7T7T6T0T21T1t1t21t0t6t7C7: a23=m3D3T31.T2T1t1t21t3C3+m4D4T4T31T2T1t1t21t3t4C4+ m5D5T5T4T31T2T1t1t21t3t4t5C5+m6D6T6T01T2T1t1t21t0t6C 6+m7D7T7T6T01T2T1t1t21t0t6t7C7; a24=m4D4T41T3T2T1t1t21t3t4C4+m5D5T5T41T3T2T1t1t21t3 t4t5C5; a25= m5D5T51T4T3T2T1t1t21t3t4t5C5; a26= m6D6T61T0T2T1t1t21t0t6C6+m7D7T7T61T0T2T1t1t21t0t6t7C 7; a27= m7D7T71T6T0T2T1t1t21t0t6t7C7; a33=m3D3T31.T2T1t1t2t31C3+m4D4T4T31T2T1t1t2t31t4C4+ m5D5T5T4T31T2T1t1t2t31t4t5C5+m6D6T6T01T2T1t1t2t01t6C 6+m7D7T7T6T01T2T1t1t2t01t6t7C7; Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh a34=m4D4T41T3T2T1t1t2t31t4C4+m5D5T5T41T3T2T1t1t2t31 t4t5C5; a35=m5D5T51T4T3T2T1t1t2t31t4t5C5; a36=m6D6T61T0T2T1t1t2t01t6C6+m7D7T7T61T0T2T11t11t2t 01t6t7C7; a37=m7D7T71T6T0T2T1t1t2t01t6t7C7; a44=m4D4T41T3T2T1t1t2t3t41C4+m5D5T5T41T3T2T1t1t2t3t 41t5C5; a45= m5D5T51T4T3T2T1t1t2t3t41t5C5; a46=0; a47=0; a55= m5D5T51T4T3T2T1t1t2t3t4t51C5; a56=0; a57=0; a66=m6D6T61T0T2T1t1t2t0t61C6+m7D7T7T61T0T2T1t1t2t0t 61t7C7; a67=m7D7T71T6T0T2T1t1t2t0t61t7C7; a77= m7D7T71T6T0T2T1t1t2t0t6t71C7; (14) Di A = a11 qi a12 qi a13 qi a14 qi a15 qi a16 qi a17 qi q1 q q3 X = q4 q5 q6 q Y = q1 a12 qi a22 qi a23 qi a24 qi a25 qi a26 qi a27 qi a13 qi a23 qi a33 qi a34 qi a35 qi a36 qi a37 qi a14 qi a24 qi a34 qi a44 qi a45 qi a46 qi a47 qi a15 qi a25 qi a35 qi a45 qi a55 qi a56 qi a57 qi q1qi qq i q3qi : X i = q4 qi : i = 1, q5 qi q6 qi qq i q2 q3 q4 q5 q6 q7 a16 qi a26 qi a36 qi a46 qi a56 qi a66 qi a67 qi a17 qi a27 qi a37 qi a47 : qi a57 qi a67 qi a77 qi lực cản nhớt tính từ hàm hao tán , chúng ma trận cỡ (nx1): Qiqt1 = 0.5YDi AX ; i = 1,7 ; Q qt = Di AX i : i =1 Q1 = M − − : Q5 = M − − : q1 q1 q5 q5 Q7 = M − − : Qr = − − ;(r = 2,3, 4,6) q7 q7 qr qr (16) Trong tay máy có dạng: = m2 gy2 + m3 gy3 + m4 gy4 + m5 gy5 + m6 gy6 + m7 gy7 Với y2,y3,y4,y5,y6,y7 tung độ trọng tâm khâu, tính từ cơng thức: r20 = t1t2 r2 ; r30 = t1t t3 r3 ; r40 = t1t2 t3 t4 r4 ; r60 = t1t t3 t0 t6 r6 Từ tính được: y2 = c2 sin(q1 + q2 ) + l1 sin q1 ; y3 = h1 sin(q1 + q2 + q3 ) + h2 cos(q1 + q2 + q3 ) +l2 sin(q1 + q2 ) + l1 sin q1 ; y4 = c4 sin(q1 + q2 + q3 + q4 ) − h sin(q1 + q2 + q3 ) +l2 sin(q1 + q2 ) + l1 sin q1 ; y6 = c6 sin(q1 + q2 + q3 + + q6 ) − h sin(q1 + q2 + q3 + ) −l2 sin(q1 + q2 ) + l1 sin q1 ; Từ phương trình liên kết (vật chất) viết quan hệ gia tốc ta tính biểu thức gia tốc gia tốc phụ thuộc dạng: qr = d r1q1 + d r q5 + d r q7 + ; Ở đại lượng không viết không chứa gia tốc Hàm hao tán có dạng = (15) Để thiết lập phương trình chuyển động dạng ma trận [11] cần phải tính lực suy rộng quán tính hệ, gồm Qqt1 , Qqt lực suy rộng lực tác dụng Q gồm mômen tác dụng lên khâu chủ động (M1,M5,M7), lực (thế trọng lực) r = 2,3, 4,6 (17) bi q2 i =1 Phương trình chuyển động robot viết dạng sau [10,11]: ak1q1 + ak q2 + ak q3 + ak q4 + ak q5 + ak q6 + ak q7 − M k + + − Qkqt1 + Qkqt = 0; qk qk d rk (a1r q1 + a2 r q2 + a3r q3 + a4 r q4 + a5 r q5 + (18) r = 2,3,4,6 a6 r q6 + a7 r q7 + qt1 + Qr + Qrqt ) = 0; qr qr k = 1,5,7; aij = a ji (i, j = 1, n) Động lực học ngược Rô bốt song song 3RRR Ta nhận Hệ phương trình (18) Từ tính mômen khâu dẫn: M k = akj q j + j =1 + + d rk ( a jr q j + + ): qk qk r qr qr j =1 k= 1,5,7 (19) Dựa vào Nguyên lý Phù hợp [9-11] mômen động lực Mk ( k = 1,5,7 ) đáp ứng yêu cầu đặt thay vào biểu thức (18) nghiệm lời giải động học từ hệ phương trình (8,9,10), tức sử dụng hệ nghiêm (11) Kết xử lý số sử dụng phần mềm Maple với số liệu: l1 = 0.3(m); l2 = 0.6(m); = / 3( rad ); h = 0.6( m); J1 = 0.02(kgm ); J = 0.3(kgm ); J = 0.05( kgm ); Hình Mômen động lực M1 m1 = 3(kg ); m2 = 1(kg ); m3 = 5( kg ); bi = 0;1(i = 1,7); (rad / s ); H = / 12; L1 = (1.5l2 + h)(m); L2 = 0.5 3h + 2.8l2 (m), g = 10m / s ; = x03 = 0.5(l1 + 3l2 + h2 − 3h1 ) − R(m); y03 = 0.5(l1 + l2 − h1 − 3h2 ) − R(m); h1 = −0.5l2 (m); h2 = −0.5l2 (m); c1 = 0(m); c2 = −0.5l2 (m); c4 = 0.5l2 (m);; c6 = 0.5l2 (m); 0 = ; R = 0.15(m); Điều kiện đầu: Hình Mơ men động lực M5 q1 (0) = / 3(rad ); q2 (0) = 5 / 6(rad ); q3 (0) = 0( rad ); q4 (0) = / 3(rad );q (0) = / 6( rad );q (0) = / 6( rad ); q7 (0) = / 3(rad ); q1 (0) = 0(rad / s); q2 (0) = 0( rad / s); q3 (0) = 0(rad / s); q4 (0) = 0( rad / s); q5 (0) = 0(rad / s); q6 (0) = 0( rad / s); q7 (0) = 0(rad / s) Kết tính tốn mômen động lực Mk (k=1,5,7) theo phương pháp thể đồ thị Hình 2, 3, 4, mômen cần thiết để bàn máy thực chuyển động theo yêu cầu (1) có dạng: xp = g1(t); yp = g2(t); =g3(t), tức phải với thực điều kiện (4), có dạng: f1 = xp – g1(t) = 0; f2 = yp – g2(t)=0; f3 = -g3(t)=0 Từ đồ thị thể Hình cho thấy phương pháp đề xuất báo cáo tin cậy Hình Mơmen động lực M7 Đỗ Đăng Khoa, Ngô Hồng Đăng, Phan Đăng Phong, Đỗ Sanh trình khoa học Hội nghị Cơ học Tồn quốc lần thứ 10, Hà nội, 08-09/12/2017, tr.827-836 [4] Merlet J.P., Paralell Robots, London Kluwer Academic Publishers Dordrecht (2000), Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghi Cơ học Tồn quốc lần thứ 10, Hà nội, 08-09/12/2017 [5] Staicu S., Matrix Modeling of Inverse Dynamics of Spatial and Planar Paralell Robots, Multibody System Dynamic, vol 27; pp 239-265, 2012 [6] Do Sanh, On the Principle of Compatility and Equationof Motion of Constrained Mechanical Systems, ZAMM, Vol 60, Berlin, pp.210-212, 1980 [7] Do Sanh, On the Motion of Controlled Mechanical Systems, Advances in Mechanics, Vol.2, Varsaw, pp.3-34 [8] Hình Các liên kết chương trình f1, f2, f3 Tiến sỹ Khoa hoc, ĐHBKHN, 1984 [9] Kết luận Trong báo đề xuất ý tưởng sử dụng chuỗi động để xử lý cho robot song song, xem robot song song ghép nối tiếp nối song song chuỗi động Trên sở ý tưởng sử dụng phương pháp ma trận truyền để giải yêu cầu toán Đã xây dựng lộ trình giải tốn theo hai bước: Khó khăn gặp phải khảo sát rơ bốt song song chỗ chúng có cấu trúc phức tạp, cấu nhiều khâu nhiều khớp mà chỗ chúng ghép từ nhiều chuỗi động Trong báo qua thí dụ cụ thể sử dụng phương pháp ma trân truyền khảo sát có kết động học rơ bốt có cấu trúc phức tạp Xây dựng lộ trình giải tốn động học ngươc khơng sử dụng phương pháp nhân tử (tránh việc xác định nhân tử), không sử dụng phương pháp “tách cấu trúc” (tránh việc phải xác định nội lực) Do phương pháp cho triển vọng khảo sát rô bốt có cấu trúc phức tạp Các kết nhận qua sử dụng phần mềm Maple cho thấy phương pháp đề xuất có độ tin cậy khả quan độ sai lệch kết nhận so với yêu cầu đặt nhỏ Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2017 [2] Phan Bùi Khơi, Hà Thanh Hải, Hồng Vĩnh Sinh, Điều khiển động lực học ngược robot tác hợp gia cơng phay, Tuyển tập cơng trình khoa học Hội nghị Cơ học Toàn quốc lần thứ 10, Hà nội, 08-09/12/2017, tr.352-361 [3] Phan Bùi Khôi, Nguyễn Xuân Hồng, Trần Đức Trung, Động lực học robot di động hai chân, Tuyển tập công Do Sanh, Chuyển động hệ chịu liên kết, Luận án Do Sanh, Do Dang Khoa, Method of Transnmission Matrix Applying for Investigation of Planar Mechanicsms, Machines Dynamics Research, Vol.14, N0 4, pp.5-22, 2010, Varsaw, 2010 [10] Sanh Do, Phong Dinh Van, Khoa Do Dang, Duc Tran, A Method for Solving the Motion Equations of Constrained Systems, 16th Asia Pacific Vibration Conference, Hanoi, Vietnam, 2015 [11] Đỗ Sanh, Đỗ Đăng Khoa, Động lực học giải tích, NXB Bách Khoa, Hà nội, 2017 [12] L-W Tsai, Robot analysis, The Mechanics of Serial and Parallel Manipulator, John Wiley & Sons, Inc., 1999 ... = fi : i, j = 1,7; q j (8) Hệ phương trình cần thỏa mãn trạng thái vận tốc: Động lực học ngược Rô bốt song song 3RRR f ij q j = 0; i = 1,7 j =1 q j Fi = (9) Còn hệ phương trình thỏa mãn... q7 + qt1 + Qr + Qrqt ) = 0; qr qr k = 1,5,7; aij = a ji (i, j = 1, n) Động lực học ngược Rô bốt song song 3RRR Ta nhận Hệ phương trình (18) Từ tính mômen khâu dẫn: M k = akj q j + j... Khang, Động lực học hệ nhiều vật, NXB Khoa học Kỹ thuật, 2017 [2] Phan Bùi Khơi, Hà Thanh Hải, Hồng Vĩnh Sinh, Điều khiển động lực học ngược robot tác hợp gia cơng phay, Tuyển tập cơng trình khoa học