Về phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song

Trong bài viết này trình bày hai phương pháp giải bài toán động lực học ngược robot song song là phương pháp sử dụng nhân tử Lagrange và phương pháp thu gọn về các tọa độ suy rộng độc lập. Sau khi trình bày lý thuyết, đã tiến hành tính toán mô phỏng một số ví dụ về giải bài toán động lực học ngược robot song song phẳng 3RPR.

Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC ROBOT SONG SONG Nguyễn Văn Khang1, Nguyễn Văn Quyền1, Nguyễn Ngọc Hà2* Tóm tắt: Trong báo cáo trình bày hai phương pháp giải toán động lực học ngược robot song song phương pháp sử dụng nhân tử Lagrange phương pháp thu gọn tọa độ suy rộng độc lập Sau trình bày lý thuyết, tiến hành tính tốn mơ số ví dụ giải toán động lực học ngược robot song song phẳng 3RPR Từ khóa: Động học ngược, Động lực học ngược, Robot song song MỞ ĐẦU Các robot song song hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng [1-3] Như biết, phương trình vi phân - đại số mô tả chuyển động hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng có dạng [1]   M s s  b s , s  g s   τ  ΦTs s  λ (1) f s   Gọi qa   na (2) véc tơ tọa độ khớp chủ động, z   nz véc tơ tọa độ khớp suy rộng dư (bao gồm tọa độ khớp bị động tọa độ thao tác) Ký hiệu: T s  qaT , zT    , s ns , ns  na  nz (3) Trong phương trình (1) (2) ta có: M s    Φs  ns ns , f   r , ΦTs s    ns r , λ  r , f n n n , g s    s , b s,s    s , τ   s s Bài toán động lực học ngược phát biểu dạng: Cho biết quy luật chuyển động    khâu thao tác x  x t , x   m phương trình liên kết f x , q  , q   n , f   r Xác định mô men (hoặc lực) dẫn động khâu dẫn τ   na cần thiết để tạo chuyển động mong muốn khâu thao tác Trong tài liệu [3-9] trình bày việc áp dụng phương pháp nguyên lý cơng ảo, phương trình Lagrange dạng nhân tử để giải toán động lực học robot song song Trong báo áp dụng phương pháp tách câú trúc để thiết lập phương trình vi phân đại số robot song song [10-11] Sau đó, trình bày việc tính tốn so sánh hai phương pháp giải tốn động lực học ngược robot song song PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC ROBOT SONG SONG 2.1 Động lực học ngược dựa phương trình Lagrange dạng nhân tử Theo phương pháp này, phương trình liên kết (2) sử dụng để giải toán động học ngược Khi giải xong toán ta 200 N V Khang, N V Quyền, N N Hà, “Về phương pháp giải toán… robot song song.” Nghiên cứu khoa học công nghệ s tk , s tk , s tk , k  0,1, , N (4) Phương trình (1) dùng để tính nhân tử Lagrange, lực mô men cần thiết khâu dẫn Trước hết, ta viết lại phương trình (1) dạng   M s s  p1 t , s , s  τ  ΦTs s  λ (5) Ta tách ns phương trình (5) thành hai nhóm, nhóm thứ gồm na phương trình có chứa mơ men (hay lực) khâu phát động, nhóm thứ hai gồm nz phương trình lại 1 1 1   M a s qa  M z s  z  p1 t , s , s  τa  ΦTa s  λ 2 2 M a s qa  M z (6) s  z  p  t , s , s  Φ s  λ T z (7) M 1 s M 1 s    z    Trong M s    a2  M a s  M z2 s    ΦT s   Φs  Φa , Φz   ΦTs s    Ta    Φ s  z   Trường hợp r  nz , Φz ma trận quy Từ phương trình (7) ta 2 2 ΦTz s  λ  M a s qa  M z s  z  p  t , s , s (9) (10) M 2 s q  M 2 s z  p 2 t , s , s   a   a  z     Thế (11) vào phương trình (6) ta phương trình xác định τa  (11) τa  M a s qa  M z s  z  p1 t , s , s  ΦTa s  λ (12) λ  ΦTz s    1  (8) 1 1 1   Các bước giải toán động lực học ngược theo phương pháp thứ  Bước 1: Giải toán động học ngược Cho biết x t   f x,q = Tính s t , s t , s t  Bước 2: Từ phương trình vi phân đại số mơ tả chuyển động robot song song, tính      ma trận M s ,b s ,s , Φs s , g s Bước 3: Tính nhân tử Lagrange từ phương trình (11) Bước 4: Tính mơ men phát động từ phương trình (12) 2.2 Động lực học ngược dựa phương trình vi phân thu gọn tọa độ tối thiểu Ý tưởng phương pháp là: Khử tọa độ suy rộng dư z nhân tử Lagrange λ , biến đổi hệ phương trình vi phân đại số (1) (2) hệ phương trình vi phân thường với tọa độ thành phần véc tơ qa , số lượng phương trình số bậc tự hệ Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 201 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thơng Xét phương trình liên kết (2)   f s   f qa , z  , f  r , z   z , qa   n na (13) Giả sử số lượng tọa độ dư số phương trình liên kết bổ sung r=na Từ phương trình (13) ta suy ra: f  f s  Φs s  s  s (14) Gọi s nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính (14), ta có: Φs s  s  Φa s  qa  Φz s  z  Viết lại phương trình (1), ta có: (15)   ΦTs s  λ  M s s  b s , s  g s   τ (16) Chuyển vị hai vế phương trình (16) ta được: T   λT Φs  M s s  b s , s  g s   τ    Nhân hai vế phương trình (17) với s ta được: T λT Φs s  M s s  b s , s  g s   τ  s   Chú ý đến công thức (15), Φs s  s  , từ (18) ta suy   (17) (18) T   M s s  b s , s  g s  τ  s  T       (19) Mặt khác từ phương trình (15) ta có: z  Φz s  Φa s  qa Chú ý véc tơ qa viết lại dạng qa  En qa a (20) (21) Kết hợp hai phương trình (20) (21) ta có:  q   En  q a s   a     a 1  z  Φ s Φ s    z   a     En  a Nếu ta đưa vào ký hiệu R s     1  Φ s Φ s  z   a   s  R s  qa Thì phương trình (22) có dạng (22) (23) (24) s  R s qa (25) Từ (24) ta suy ra: Thế biểu thức (24) vào phương trình (19) ta có   T M s s  b s , s  g s  τ  R s q  T      a    Do qa , qa , , qa na biến phân độc lập, nên từ phương trình (26) ta suy ra:   RT s  M s s  b s , s  g s   τ     202 (26) (27) N V Khang, N V Quyền, N N Hà, “Về phương pháp giải toán… robot song song.” Nghiên cứu khoa học cơng nghệ Phương trình (27) viết lại dạng   RT s  τ  RT s  M s s  b s , s  g s    (28) Từ phương trình (23) ta có: τ  RT s  τ  [Ena ,  (Φz 1(s)Φa (s))T ]  a   τ z  1 T  τa  (Φz (s )Φa (s)) τ z (29) Thế (29) vào phương trình (28) ta được:   τa  RT s  M s s  b s , s  g s    +(Φz 1(s)Φa (s))T τ z (30) Các bước giải toán động lực học ngược theo phương pháp thứ hai :  Bước 1: Giải toán động học ngược Cho biết x t   f x,q = tính s t , s t , s t       Bước 2: Tính ma trận Φz s , Φa s , Φz s , R s ,M s , b(s, s), g (s ) Bước 3: Tính mơ men (hay lực) khâu dẫn động theo công thức (30) ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC ROBOT SONG SONG 3RPR Trong mục này, ta xét chuyển động robot song phẳng 3RPR (Hình 1) Robot song phẳng 3RPR có bậc tự (k=3) Ta giải toán động lực học ngược robot song phẳng 3RPR hai trường hợp sau: * Khâu chủ động P1A1, P2A2 , P3A3 * Khâu chủ động A1B1, A2B2 , A3B3   u  x   1  1  P     qa  2  , q p  u2  , x  yP        3  u    u    x   1  1  P     qa  u2  , q p  2  , x  yP        u  3    3.1 Thiết lập phương trình vi phân – đại số mô tả chuyển động robot Sáu phương trình liên kết robot:         x P  u1  l2  cos 1  h cos + , yP  u1  l2  sin 1  h sin +                  x P  c  u2  l2  cos 2  h cos   , yP  u2  l2  sin 2  h sin            xP   c   3   u3  l2  cos 3  h sin , yP  c  u3  l2  sin 3  h cos      2   Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 203 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thơng Hình Robot song song phẳng 3RPR Sử dụng phương pháp tách cấu trúc, tách robot thành cấu trúc Hình 2, Từ đó, với chân robot, sử dụng phương trình Lagrange loại sử dụng phương trình Newton-Euler cho bàn máy động, ta thu phương trình vi phân 1     m l  m u  I  I    2m u  u   m l  m u  g cos  11 1 2 1 11 1  2        1  X1 u1  l2  sin 1 Y1 u1  l2  cos 1     m2u1  m2u11  m2g sin 1  F1  X1 cos 1 Y1 sin 1 1     m l  m u  I  I    2m u  u   m l  m u  g cos  2 2 2 2 2 2  1  1        2  X2 u2  l2  sin 2 Y2 u2  l2  cos 2     m2u2  m2u222  m2g sin 2  F2  X cos 2 Y2 sin 2 1     m l  m u  I  I    2m u  u   m l  m u  g cos  2 3 3 11 3  1           X u  l2  sin 3 Y3 u  l2  cos 3     m2u3  m2u 332  m2g sin 3  F3  X cos 3 Y3 sin 3 204 N V Khang, N V Quyền, N N Hà, “Về phương pháp giải toán… robot song song.” Nghiên cứu khoa học công nghệ mxP  X1  X  X , myP  mg  Y1  Y2  Y3      X1 sin    Y1 cos     I   h   X cos  Y3 sin            X sin     Y2 cos           Hình Chân thứ hai Hình Chân thứ Hình Bàn máy động Hình Chân thứ ba 3.2 Mơ số động lực học ngược Các tham số robot song song phẳng 3RPR [7] cho bảng Quy luật chuyển động bàn máy:        x P  0.15  0.025 1  sin t , yP  0.15  0.025 cos t,   1  cos t    12   x P m  i yP m  i i=1 0 i=2 Bảng Các tham số robot i=3 0.3 0.15 0.45 l1  l2  0.2 m  , h  0.3 m  , m1  3, m2  1.5, m  kg  Các kết tính tốn phần mềm MATLAB cho hình từ hình đến hình 13 Trong đó, đưa hai phương án: Phương án mơmen dẫn động đặt vào khâu quay Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 205 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông nối giá, phương án lực dẫn động đặt khâu chuyển động tịnh tiến tương đối Ta thấy, công suất động hai trường hợp khác tổng công suất hai trường hợp Về hiệu hai phương pháp tính, chọn số bước tính tốn N=150, ta so sánh thời gian tính tốn theo hai phương pháp bảng Bảng Thời gian tính tốn hai phương pháp Phương pháp dựa phương trình Truyền động bằn mơ men Lagrange dạng nhân tử Truyền động lực 0.235(s) Phương pháp dựa phương trình Truyền động mơ men vi phân thu gọn tọa độ tối thiểu Truyền động lực 0.218(s) 0.234(s) 0.212(s) 3.2.1 Kết động lực học ngược dựa phương trình Lagrange dạng nhân tử a) Trường hợp dẫn động mô men 0.5 30 torque1 torque2 torque3 10 Total Power(W) Torque(Nm) 20 -10 -20 -30 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0.5 1.5 t(s) 2.5 -3 Hình Đồ thị mô men động 0.5 1.5 t(s) 2.5 Hình Đồ thị tổng cơng suất b) Trường hợp dẫn động lực 0.5 80 60 Force(Nm) 40 20 Total Power(W) force1 force2 force3 -20 -1 -1.5 -2 -2.5 -40 -60 -0.5 -3 0.5 1.5 t(s) 2.5 0.5 1.5 t(s) 2.5 Hình Đồ thị tổng cơng suất Hình Đồ thị lực dẫn động 3.2.2 Động lực học ngược dựa phương pháp thu gọn tọa độ tối thiểu a) Trường hợp dẫn động mô men 206 N V Khang, N V Quyền, N N Hà, “Về phương pháp giải toán… robot song song.” Nghiên cứu khoa học công nghệ 0.5 30 torque1 torque2 torque3 10 Total Power(W) Torque(Nm) 20 -10 -20 -30 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0.5 1.5 t(s) 2.5 -3 Hình 10 Đồ thị mơmen động b) Trường hợp dẫn động lực 1.5 t(s) 2.5 0.5 60 20 Total Power(W) force1 force2 force3 40 Force(Nm) 0.5 Hình 11 Đồ thị tổng công suất 80 -20 -40 -60 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0.5 1.5 t(s) 2.5 Hình 12 Đồ thị lực dẫn động -3 0.5 1.5 t(s) 2.5 Hình 13 Đồ thị tổng cơng suất KẾT LUẬN Tính toán động lực học ngược robot song song toán quan trọng việc điều khiển robot song song Có nhiều phương pháp giải tốn động lực học ngược, báo này, sử dụng phương pháp là: phương pháp dựa phương trình Lagrange dạng nhân tử phương pháp dựa phương trình vi phân thu gọn tọa độ khớp chủ động Dựa vào kết mô số ta thấy rằng, sử dụng hai phương pháp đạt độ xác cao hay sai số nhỏ (khoảng 10-13 mm) Tuy nhiên, sử dụng phương pháp dựa phương trình vi phân thu gọn tọa độ khớp chủ động thời gian tính tốn nhỏ sử dụng phương pháp dựa phương trình Lagrange dạng nhân tử Các kết trùng khớp với phương pháp truy hồi truyền thống trước [6-7] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật , NXB KHKT, Hà Nội 2007 [2] J.P Merlet, “ Parallel robots” Springer-Verlag, 2006 [3] L-W Tsai, “Robot analysis”, The mechanics of serial and parallel manipulator John Wiley & Sons, Inc, 1999 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san ACMEC, 07 - 2017 207 Điều khiển – Cơ điện tử - Truyền thông [4] Th Geike.; J McPhee, “Inverse dynamic analysis of parallel manipulators with full mobility”, Mechanism and Machine Theory 38 (2003) 549 – 562 [5] W A Khan.; V.N Krori.; S.K Saha.; J Angeles, “ Recursive kinematics and inverse dynamics for a planar R parallel manipulator”, Journal of Dynamic Systems, Measuremwnt, and Control 127 (2005), pp 529-536 [6] S Staicu, D Zhang, R Rugescu, “ Dynamic modeling of a 3-DOF parallel manipulator using recursive matrix relations”, Robotica 24 (2006), pp.125-130 [7] S Staicu, “Power requirement comparision in the 3-RPR planar parallel robot dynamics”, Mechanism and Machine Theory 44 (2009) 1045 – 1057 [8] S Staicu, “Inverse dynamics of the 3-PRR planar parallel robot”, Robotics and Autonomous Systems 57 (2009), pp 556-563 [9] Do Thanh Trung, Jens Kotlarski, Bodo Heimann and Tobias Ortmainer, “ A new program to automatically generate the kinematic and dynamic equations of general robots in symbolic form”, Proc of the ISRM 2009, Bach Khoa Publishing House 2009, pp 122-128 [10].Nguyen Van Khang, “Inverse dynamics of constrained multibody systems using the projection matrix”, Vietnam Journal of Mechanics, 35 (2013) [11].Nguyễn Văn Khang, Chu Anh Mỳ Cơ sở robot công nghiệp ,NXB Giáo dục, Hà Nội 2011 ABSTRACT ON THE METHODS FOR INVERSE DYNAMICS ANALYSIS OF PARALLEL ROBOTS In this paper, two methods using Lagrange multiplier and using coordinate reduction are proposed for calculating inverse dynamics of parallel manipulator After addressing the principles of two methods, an example – a RPR planar parallel manipulator – is demonstrated for the efficiency of the proposed methods in the analysis of inverse dynamic problem Keywords: Inverse Kinematics, Inverse Dynamics, Parallel Robots Nhận ngày 20 tháng năm 2017 Hoàn thiện ngày 10 tháng 07 năm 2017 Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 07 năm 2017 Địa chỉ: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp – Đại học Thái Nguyên * Email: nguyenngocha.osc@gmail.com 208 N V Khang, N V Quyền, N N Hà, “Về phương pháp giải toán… robot song song.” ... động theo công thức (30) ĐỘNG LỰC HỌC NGƯỢC ROBOT SONG SONG 3RPR Trong mục này, ta xét chuyển động robot song phẳng 3RPR (Hình 1) Robot song phẳng 3RPR có bậc tự (k=3) Ta giải toán động lực học. .. Đồ thị lực dẫn động 3.2.2 Động lực học ngược dựa phương pháp thu gọn tọa độ tối thiểu a) Trường hợp dẫn động mô men 206 N V Khang, N V Quyền, N N Hà, Về phương pháp giải toán robot song song.”... thị lực dẫn động -3 0.5 1.5 t(s) 2.5 Hình 13 Đồ thị tổng cơng suất KẾT LUẬN Tính tốn động lực học ngược robot song song toán quan trọng việc điều khiển robot song song Có nhiều phương pháp giải