Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập - Phần 2

Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập dùng làm tài liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên hệ chính quy, hệ tại chức và những thí sinh cần ôn luyện về toán kinh tế để dự tuyển hệ cao học kinh tế. Phần 2 của tài liệu gồm 3 chương sau, trình bày về: bài toán vận tải; một số bài toán ứng dụng của quy hoạch động; một số mô hình của lý thuyết điều khiển dự trữ;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương IV BÀI TỐN VẬN TẢI §1 MĨ HÌNH TỐN HỌC CỦA BÀI TỐN VẬN TẢI Tìm mn sơ thực 'X,)} thoả mãn điểu kiện sau: m n Zj5LC‘JXU ~► min(max) (4.1) i=l J = = 3ị,i = l,ni (4.2) j=l ỉxu =bpj = l,n (4.3) 1=1 X.Ị > i = l,m; j - l.n ỉa- =Ẻbi 1-1 (4.4) (4.5) ,j = l Nhận xét Bài toán vận tải tốn'quy hoạch tuyến tính dạng tác, định nghĩa , định lý tốn quy hoạch tuyến tính có thê áp dụng cho tốn vận tải đương nhiên giải nổ bàng phương pháp đơn hình Nhưng cấu tạo đặc biệt tốn vận tải, người ta xây dựng số phương pháp khác đê giải đơn giản tiện lợi Ta mơ tả tốn vận tải dưói dạng sau: Ta xây dựng bảng gồm m hàng, n cột Mỗi hàng đặc trưng cho trạm phát, cột đặc trưng cho trạm thu 182 - Hàng ghi tên trạm thu B,và nhu cẩu b, tương ứng (i = l.w) - Cột đầu ghi tên trạm phát A, khả cung cấp a, tương ứng (i - ỉ.m ) - Trong bảng, giao hàng i cột j gọi ô (i, j) - đặc trưng cho đoạn đường nối trạm phát A, tới trạm thu Bj, nên góc bên trái ta ghi c,j (tính theo km cước phí vận chuyển đơn vị hàng hoá từ trạm phát A, đến trạm thu Bj) Mỗi (i,j) cịn tương ứng với biến X,J (lượng hàng cần xác định để vận chuyển từ Aj đến Bj ), đồng thời tương ứng VỚI vectơ Aị/hệ sô biến Xịj) hệ ràng buộc (4.2) (4.3) Như liệu toán vận tải thể bảng 4.1, gọi bảng vận tải Bảng 4.1 \^Thu B, B, (bj) hát (b|) A, (ã,) c„ c,2 x12 X,, A2 (a2) C21 C22 X’2I x.„ A, (a,) cu Cl2 Xi, A,„ (a,„) c v III1 C|,|2 Xrnl _ (b) B„ (b„) Cũ c,n x,i C2j x,„ C'2n x,i x2u Cịn Cu x12 x.i Xin r c Hi.l xm X ±1X111 Ta ký hiệu A ma trận hệ số ẩn hệ (4.2) (4.3), A có dạng: .1 11 11 A= 11 1 1 1 1 Véc tơ A,J - hệ số Xịj có thành phần thứ i (m+j) 1, (m + n - 2) thành phần lại 0 0 0 §2 CÁC TÍNH CHÁT BÀN CỦA BÀI TỐN VẬN TÀI Ngồi tính chất chung tốn quy hoạch tuyến tính, tốn vận tải cịn có tính chất riêng sau đây; Dịnh lý 4.1 Bài toán vận tải cần thu phát bao giị có phương án cực biên tơi ưu 184 DỊnh lý 4.2 Ma trận hệ sô A cùa hệ ràng buộc (4.2) va (4.3) có hạng (m+n-1) Nóị cách khác hệ (4.2) (4.3) có m-ì- n- ráng buộc độc lập tuyên tính Từ liên hệ với phương án cực biên toán quy hoạch tuyến tính ta suy ra: - Phương án cực biên tốn vận tải có khơng q (m + n - 1) thành phấn dương - Phương án cực biên toán vận tải gọi khơng suy biến có dũng (ni+n-1) thành phần dương gọi suy biến cỏ it (m+n-1) thành phần dương - Mỗi phương rán cực biên đểu ứng vơi sở gồm (m+n-1) véctơ A„ độc lập tuyến tính Nếu X = {x,jl phương án cực biên khơng suy biến, chi’ có sở nhất, hệ |A,.:Xij > OỊ gồm (m+n-l) vec tơ độc lập tuyên tính Trị' lại bảng vận tải, ta tháy ô (1 j) véctơ A„ an xi; có tương ứng (1-1) - O(i,j) dược gọi chọn có lượng hàng phân phối x„ > (ì gọi la loại xh = Như một'phương án cực biên có khơng q (m+n-1) ó chọn - Phương án cực bièn dược gọi khơng suy biến có dũng (m+n-1) chọn suy biến có (m+n-1) ỏ chọn Đê thay rỏ tinh dộc lập hay phụ ihuộc hệ véctơ |A„| gắn với phan bị cùa tương ứng với chúng bảng vặn tải ta xét hệ vec tơ: (16 tất ca chi số thứ (chí hàng) sô thứ hai (chi cột) chi xuất lần 185 Nếu ta nôi ô tương ứng cúa báng vơi hệ véctơ bơi đoạn nằm ngang thang đứng, nhận chu trình khép kín hay cịn gọi vịng Một sơ ví dụ vịng hình 4.1,2,3 Hình 4.1 Hình 4.2 Hình 4.3 đứng trưốc đồng thịi nằm cột (cùng hàng) vói đứng sau Từ dinh nghĩa ta thấy: Một hàng cột mà vòng qua có hai thuộc vịng Do tổng sơ vịng sơ chẵn bơn Định lý 4.3 Điêu kiện cần đủ để tập hợp ô đà cho có chứa vịng hệ vec tơ {AijỊ tương ứng phụ thuộc tuyến tính Hệ 4.1 Một tập hợp gồm (m+n) bảng vận tải bao giị chứa vòng Hệ 4.2 Một phương án toán vận tải phương án cực biên tập hợp chọn khơng chứa vòng Định lý 4.4 Một phương án cực biên tốn vận tài có đủ sơ tơì đa (m+n-1) chọn, loại tạo nên vịng vâi sơ chọn 186 §3 XÂY DỰNG PHƯƠNG ÁN cực BIÊN I PHƯƠNG PHÁP GIÁ CƯỚC BÉ NHẤT Nguyên tắc phân phối: ưu tiên phân phôi hàng vối mức đa vào ô có giá cưâc c,j nhỏ phạm vi cịn xét Ban đầu tất (i,j) bảng thuộc vào cịn xét Giả sử c,.k = {Cự V(i,j), ta phân cho ô (r,k) lượng x,.k lớn được, tức xrk = {a,., bk} - Nếu x,.k = bk nhu cầu trạm Bk thỏa mãn, ta loại ô cột Bk khỏi phạm vi cịn xét sửa lại khả trạm phát A,: a’r = ar - x,.k = a, - bk > - Nếu x,.k = a,., trạm A, phát hết hàng, ta loại ô hàng A, khỏi phạm vi cịn xét sửa lại nhu cầu trạm thu Bk: b’k = bk-x,.k = bk - a, > - Nếu xkl = a, = bk loại ô hàng A, cột Bk khỏi phạm vi câc cịn xét Vổi ô xét này, ta lại tiến hành Cứ thê tiếp tục tất hàng cột bảng vận tải bị loại khỏi phạm vi cịn xét Tất nhiên trạm phát dều phát hết hàng nhu cầu trạm thu thoả mãn (do giả thiết toán dạng cân thu phát) Khi phân phối có xM>0 ta có x„= đối vỏi khơng phân phôi Người ta chứng minh rằng: Hệ thống sô X = ix,,Ị (/= l.m; / = l.n) xây dựng theo phương pháp giá cước bé phương án cực biên 187 PHƯƠNG HÁP PHỎGHEN Ta gọi c,r cùa có giá cước thấp nhi có giá cứức thấp cùa hàng (cột) giá cữỏc chênh lệch cua hàng (cột) ày Ngun tắc phàn phối: Phân vào có giá cưởc thấp hàng hay cột có giá cước chênh lệch lớn phân với lượng đa Sau phân vào ta tính lại giá cước chênh lệch hàng cột phạm vi xét để phân phối tiếp Khi tất hàng cột thoả mãn, ta phương án cực biên Chú ý: Nếu dùng hai phương pháp trẽn (lê tìm phương án cực biên xuất phát mà sô ô chọn (ứng VÓI x„ >Ó) chưa đủ số tối đa (m+n-1) ô ta phải bô sưng thêm cho đủ (m+n-1) ô vôi điều kiện õ không tạo vòng Những ô bô sung thêm, ta ghi lượng hàng phân phôi gọi ô chọn bô sung Tất nhiên có nhiều cách chọn chọn bỏ sung, thõng í hường í a chọn có giá cước thấp §4 PHƯƠNG PHÁP THỂ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI l TIÊU CHUẨN TỐI ƯU Xét tốn ni 11 «X)=EXciixii ^min (4.1) i=l = n Exu =ai,i = l,m (4.2) _i=l ni _ Exu =bi,j = l,n 188 t-1 (4.3) X „ > 0, i = 1, m; j = 1, n (4.4) ỉa.=£b, (4.5) 1-1 1-1 Nếu ta ký hiệu Uị (i = 1,111),Vj(j = 1,11) biến đối ngẫu ứng với hệ ràng buộc (4.2) (4.3), u = {u}, V = ịv}, G (U,V) hàm mục tiêu cua bãi toán đối ngầu Khi tốn đối ngẫu có dạng: G(U,V) = ^a,Uị + ^bJvJ —>max 1~1 (4.6) Í u, 4-v, 0 U| + V, < Cỹ.(i = l,m;j = l,n) Theo định lý đối ngẫu hai điều kiện cần đủ để hai phương án X = iXịị} (U, V) = (Uị, Vị} cặp tốn đơi ngẫu tương, ứng tốt là: X|j > u,.+ Vị = Cjj u, + Vị< C.ịthì Xịj - 0, (i = l,m;j = l,n) Từ ta có the suy tiêu chuẩn ưu sau: Định lý 4.5 Điều kiện cẩn đủ dể phương án X = {x,,} toán vận lải tối ưu tồn hệ thông sô ỊU, V,} thoả mãn a u, + V, < cir V (i.j) b Uj + V, = c„ Xjj > THUẬT TOÁN CỦA PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ Gia sừ phương pháp gia cước bé hav phương I 'ú'- ĩ'11'ghen ta có phương án t.ưc biên X - ỊXị)} có đủ • )- dựng hệ thông thê vị Xét hệ phương trình: Uị + Vj = c„ vơi (i,j) ô chọn (4.8) ' Hệ gồm m+n-1 phương trình độc lập với m+n ẩn, nên hệ vơ định Vì ta cho ẩn làm ẩn tự Quả trình xây dựng hệ thống vị thực sạu: Cho hàng hay cột thê vị tuỳ ý (tức chọn u, hay Vj tương ứng làm ân tự do) chẳng hạn cho hàng i vị u, = Sau ta xác định thê vị hàng, cột khác theo điều kiện b) tiêu chuẩn tối ưu, tức •là Vị = Cjj - u, vởi u, biết, u, = c,) - Vj với Vj biết, (4.9) (4.10) (i,j) ô chọn Thê vị u, ghi bên phải hàng i, thê vị Vị ghi phía cột j Vì hệ (4.8) gồm(m-t-n-l) phương trình độc lập, nên ta tính (m+n-1) vị khác theo (4.9),và (4.10) vâi thê vị u, cho trưởc, ta tồn thê vị câc hàng, cột Sau ta chuyển sang bưóc hai Bước Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu Hệ thông kê vị xây dựng bước thoả mãn điểu kiện b) tiêu chuẩn ưu, nên ta cần kiểm tra điều kiện a) đơi vói loại - Nếu u, + V, < Cu đơi với loại, phương án xét X tương ứng ưu 190 - Nếu tồn loại mà u, + Vj> c,|, phương án X chưa tối ưu Ta gọi ô ô vi phạm Tính Ajj = Uị+v,- c,j đơi với tất ô vi phạm (hiển nhiên Aịj >0) Chuyển sang bưổc Bước Điều chỉnh phương án Giả sử maxAij = Ark, (Aij > 0) ta gọi (r,k) ô điểu chỉnh Theo định lý 4.3, ô loại (r,k) tạo nến vòng với số chọn Phát vịng này, đánh dấu lẻ, chẵn cho vịng ô điểu chỉnh Gọi = {Xij} đối vói (i,j) chẵn vịng Điều.chỉnh từ X sang phương án X' sau: Xịj - với (i, j)là chẵn trê n vịng X ii + với (i, j)là lẻ trê n vịng X d với (i, j) khơng thuộc vịng (4.11) Như vậỵ ô điều chỉnh (r.k) trở thành ô chọn với x’lk= cịn chẵn vịng có X,) =0, trở thành ô loại với x’,) = Nếu có nhiều chẵn vịng có Xij = 0, ta đưa làm loại, cịn khác xem là'ơ chọn x’,j = Làm X' = {x\jỉ có đủ (m+n-1) chọn Ta có khẳng định sau: X' ={x’ij} phương án cực hiên có đủ (m+n-1) chọn f(X')= f(X) - GArk Như từ X chuyển sang X' giá trị hàm f(X) giảm lượng 0.Ark>0 > Đôi với phương án cực biên X', ta quay lại bước lặp lại q trình Nếu tốn vận tải khơng suy biến (tức phương án cực biên khơng suy biến), áp 191 CHƯƠNG III 3-9- G(Y) = ^biy1 —> max i=l ì^a,^ ^cj,j = l,2, ,n i = Ịin , n 3-13- G(U, V) = 2^11, + Jbjvj -> max í=í j=i Uj +Vj max Hi _ /=| (r) =0 /=l •(/) /=l X, > 0, / = l,n,í = Ị,m giải Nhưng f(X)=0 với X thoả mãn điều kiện toán (y) ta có >0 f(X) = ■/=1 Điểu kiện đủ Nếu đối vối X thoả mãn hệ điểu kiện tốn (y) ta có /U) = 2>,X,ỈO /=l toàn giải Thực từ điều kiện ta suy hàm f(X) bị chặn tập phương án tốn, tập khơng trống (vectơ x=o thoả mãn điểu kiện toán (y)) Từ tính giả’ tốn (y) ta suy toán (/) giải định lý đối ngẫu một) Điều có nghĩa hệ (a) có nghiệm 3.28 Để chứng minh ta xét cặp toán đối ngẫu: Bài tốn ^ơc /(Á') = ỵc 'X, -► Bài tốn đơi ngâu G(K) = ỹb,y, -* max /—I /=| H Híl^, = / I i = \,m 278 II /=l ị = l.n 3.29 Xét cặp toán đối ngẫu G(Y) = (0 Y) -> f(X) = (0,X) —> max IH =0’ >(r) /=| X, >0 ^0, ■(/) /=l /■ = 1, n i = ỉ,m,j = l,rt Chứng minh khẳng định sau "hệ (p) khơng có nghiệm" tương đưong vối đỉều kiện tốn(ỳ)thoả mân chặt Sau dùng định lý đối ngẫu hai đối với.các toán (y) (ỳ) 3.30 Xét cặp toần đối ngẫu G(F) = (0.}') —> f\X) = (0 A') —> max IH Éứ',x> - °' >(/) /=| /=ỉ X' > 0' v,>0 i = ỉ.m, i = l.n i = 1, ị - l.n Dùng định lý đối ngẫu hai c*t> điếu kiện đối ngẫu Jtt _ >bj = \,n Xj>0và i= l Chứng minh khẳng định "hệ (P) khơng có nghiệm" tương đương với điều kiện toán (ý) thoả mãn chặt 3.34 X phương án tối ưu 3.35 X phương án ưu 3.36 X phương án tối ưu 279 3.37 X tối ưu, f(jf ) =10 phương án ưu tóán đối ngẫu có dạng Y = (3, - 2y:l y.j) vói y > 2.38 X phương án tối ưu 3.39 À' phương án tối ưu 3.40 X không phương án tơì ưu 3.41 X khơng phương án tối ưu 3.42 X không phương án tối ưu 3.43 X phương án tối ưu ^3.44 X phương án tối ưu a# = lơ = 1.2.3) 1=1 z = 7xh + 2x12 + 9x13 + 6x2| + 7x22 + 3x2:! + llx3, + 5x32 + 7x33 -► NI >s| = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1) =(1,0 0,0, 0, 1,0, 1,0) = 15 283 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bellman, R: Dynamic Programming Princeton University Tress, N.Y.1957 Princeton, Bellman, R, - Dreyfus, S: Applied Dynamic Prograniming Princetờn, Princeton University Press 1962 Dantzig, G,B: Linear Programming and Extensions Princeton, Princeton University Press 1963 Đặng Văn Thoan: Các phương pháp toán kinh tế Nhà xuất Giáo Dục - 1998 Gass,S,J: Linear Programming Methods Applications, 2.ed.New York, McGraw - Hill - 1958 Judin, D,Gols'tejin, Je: programmirovannije, Moskva, Fizmatgiz 1963 and Linejnoje Korda, B:Matematicke' metody V ekonomii, SNTL, Praha 1967 Rychetník,L - Zelịnka,J, - pelzbauerová, V,: Sbírka príkladu z linea'rního programniování, SNTL, Praha 1968 9- Ryzikov,J,I: Upravlenije Zapasami, Nauka, Moskva, 1969 10 Trần Túc: Bài giảng quy hoạch tuyến tính, Hà Nội 1997 11 Walter,J,-a.Kol: operăcni výzkum, SNTỤPraha, 1973 12 Zaslavskji, J,L: Tuyển tập bặi tốn quy hoạch tuyến tính (tiếng Nga), Nauka, Moskva, 1968 284 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG I Cơ SỞ TỐN CỦA QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH §1 Vectơ n chiều phép tính §2 Độc lập phụ thuộc tuyến tính §3 Hạng hệ vectơ §4 Khơng gian vectơ §5 Ma trận phép tính ■ 10 §6 Định thức 13 §7 Hạng ma trận 16 §8 Ma trận nghịch đảo 18 §9 Hệ phương trình tun tính 19 §10 Điêu kiện tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính 23 11 Bài tập ■ 24 CHƯƠNG II BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH, PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 29 §1 Định nghĩa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát, dạng chuẩn dạng tắc ' 29 §2 Các tính chất tốn quy hóạch tuyến tính 38 §3 Phương án cực biên tốn quy hoạch tuyến tính dạng tấc sở phương án cực biên 46 §4 Phương pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính 50 285 §5 Phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính 68 phương án cực biên xuất phát chưa biết §6 Phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính chưa có phương án cực biên xuất phát thơng qua việc giải 73 tốn (M) CHUƠNG III LÝ THUYẾT Đối NGẪU TRONG g6 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH § Thiểt lập toán đối ngẫu 86 §2 Các định lý đối ngẫu 93 §3 Quy tắc suy nghiệm tốn dối ngầu í 08 §4 Một số tốn tổng hợp 112 §5 Suy nghiệm tốn đối ngẫu thơng qua A 126 ước lượng Ay §6 Hướng dẫn giải sơ' đề thi tuyển sinh cao học (phần quy hoạch tuyến tính) 286 CHUƠNG IV BÀI TỐN VẬN TẢI 182 § Mơ hình tốn học tốn vận tái 182 §2 Các tính chất tốn vận tải 184 §3 Xây dựng phương án cực biện 187 §4 Phương pháp vị giải tốn vận tải 188 §5 Các trường hợp đặc biệt 196 §6 Bài tập 207 CHƯƠNG V MỘT SỐ BÀI TOÁN ÚNG DỤNG CỦA QUY HOẠCH ĐỘNG § Q trình định với tham sơ' §2 Bài tốn dự trữ với nhu cầu xác định phân 217 226 bố khơng §3 Bài toán dự trữ tối ưu hệ thống kho 230 §4 Bài tập 235 CHUƠNG VI MỘT SỐ MƠ HÌNH CỦA LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN DựTRƠ 246 § Mơ hình dự trữ giản đơn 246 § Mơ hình trưịng hợp dự trữ bổ sung dần 249 §3 Mơ hình trường hợp giá hàng biến đổi theo khối lượng đặt hàng mua §4 Điều khiển dự trữ giai đoạn 255 §5 Bài tập 260 ĐÁP SỐ VÀ CHÍ DẪN 266 Chương II 266 Chương III 275 Chương IV 282 287 HƯỚNG DẤN GIÂI BÀI TẬP TOÁN KINH TÊ Chịu trách nhiệm xuất bản: CÁT VẶN THÀNH In 2000 khổ 14,5 X 20,5 cm Xưởng in Nhà xuất Thống kê.Giấy phép xuất số 292.2-205/XB-QLXB Cục xuất cấp ngày 03/03/2Ơ03 In xong nộp lưu chiểu quý III năm 2003 ... g4(x4)+f3(x-x4) 3- f4(x) x4(x) [0] [4] 7 [8] 11 10 [ 12] 14 14 [15] 13 12 17 17 [19] 16 16 14 21 20 [22 ] 20 19 18 15 23 24 [25 ] 23 23 21 19 15 27 26 [29 ] 26 26 25 22 19 - 15, 0 12 15 19 22 25 29 22 1 Để... R(xn x2, x3) = x /2 + 2x 22 + x 32 -> X! + x2 + x3 = Xj > (i =1, 2, 3) GIẢI f:1(9) = min[x 12+ 2x 22+ x32J = [x 32+ f2(x-x3)l X|+x2+x3 = < x3 < Đặt 9-x3 = y, ta có f2(y) - mintx/^x2,] = [2x 22+ f1(y-x2)J... x,+x2 =y < x2 < y Đặt y-x2 = z (z) = x2| = z2 => f, Xị(z)= z Ta quay trở lại tính f2(y) f2(y) = min[2x 22+ z2] = [2x 22+ (y-x2)2J < x2 < y < x2 < y Đặt G(x2) = 2x2 .2+ (y-x2 )2 tính giá trị nhỏ G(x2)