Toán kinh tế: Hướng dẫn giải bài tập dùng làm tài liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên hệ chính quy, hệ tại chức và những thí sinh cần ôn luyện về toán kinh tế để dự tuyển hệ cao học kinh tế. Phần 1 của tài liệu gồm 3 chương đầu, trình bày về: cơ sở toán của quy hoạch tuyến tính; bài toán quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình; lý thuyết đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính;... Mời các bạn cùng tham khảo!
TT TT-TV * ĐHTM 519 HUO 2003 RƯỜNG ĐẠI HỘC THƯƠNG MẠI ĐẶNG VẢNTHOAN GT.0000973 HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP TOÁN KINH TÊ PGS TS ĐẶNG VĂN THOAN HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN KINH TÊ NHÀ XUẤT BẨN THỐNG KÊ - 2003 Ị- LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu “Hướng dẫn giải tập Toán Kinh tế” biên soạn dựa chương trình mơn học “Các phương pháp Tốn kinh tê” giảng dạy cho sinh viên hệ quy Trường Đại học Thương Mại năm gần đây, mà sở lý thuyết môn học trình bày “Các phương pháp Toán kinh tế” xuất năm 1998 tác giả Nội dung tài liệu hướng dẫn gồm chương: Chương I đưa vào phần “Bổ túc đại số tuyến tính”, nhắc lại sơ' kiến thức cần thiết cho chương sau Chương II, III, IV trình bày nội dung có hệ thống phương pháp tốỉ ưu hố quy hoạch tuyến tính Trong chương hệ thơng tập dẫn đa dạng, bổ ích chọn lọc từ dễ đến khó Một số dạng tập lý thuyết giới thiệu, nhằm giúp sinh viên hiểu sở lý thuyết môn học sâu sắc Chương V, VI dẫn scrbài toán ứng dụng kinh tế lý thuyết quy hoạch động quản lý dự trữ Trong chương chia thành đề mục, đề mục thường có phần: tóm tắt lý thuyết, sơ giái mẫu sô tự luyện tập Nội dung cúa chương mục trình bày ngắn gọn, rõ ràng, xác đễ hiểu Hy vọng tài liệu hưởng dẫn tao điểu kiện thuận lợi cho sinh viên trình học ! ập, góp phần nâng cao chất lượng đào tao Sách dùng iàm ràì liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên hệ quy, hệ chức thí sinh cần ơn luyện vê toan kinh tê đê dự tuyển hệ cao học kinh tế Trong lần tái này, sô' nội dung bổ sung vào chương II, III đặc biệt có đưa thêm mục “Hưóng dẫn gỉải số đê thi tuyển sinh cao học (phần quy hoạch tuyến tính)” sơ' năm gần trường Đại học Thương mại sô' trường đại học kinh tế khác Trong trình biên soạn, tác giả nhận ý kiến đóng góp đồng nghiệp mơn Toán trường Đại học Thương mại bạn hữu khác Tác giá chân thành cảm ơn tất góp ý chân tình Mặc dù cơ' gắng khơng thể tránh thiểu sót, mong nhận ý kiến đóng góp bơ’ ích bạn đọc Hà Nội 2003 Tác giả Chương I Cơ SỜ TỐN CỦA QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH §1 VÉCTƠ N CHIÊU VÀ CÁC PHEP TÍNH I CÁC ĐINH NGHĨA Ta gọi tập hợp n sê thực đươc sấp xếp theo thứ 'ự đinh vét tơ n chiều, ký hiệu lắ mẫu tự, chẳng hạn X, Y, z Nnư X = [x1.x2, xI,l Mỗi số Xj(] = L, li) đươí gọi ìà phần (hay toạ độ) thứ j củã vécto X - Cac véctơ được- viết theo hàng gọi véctơ hàng, cac véctơ được- vi theo cột gọi véctơ cột, ví dụ V 'Ụ 3=0; ;0 0= r ,B = 0 - hai vectv Á - ld1,a2, ,a1J, B = F: ,,h.bj nha i k\ h;éu - B) at - bp - b;, ari = b„ Như ■ 3' * -2 - Véctơ mà tâ't cà thành phần đểu bàng không, ta gọi véctơ không, ký hiệu o = [0,0, ,0] - Đối với hai véctơ n chiều: X = [x!,x2, ,x11], Y Ta ký hiệu X > Y (đọc là_ X lớn Y) Xị > y, (Ví = l,n), X > Y Xj > Yi (V/ = l,rt) - Véctơ đơn vị Ta gọi véctơ có thành phần 1, cịn thành phần cịn lại đểu khơng, véctơ đơn vị Véctơ đơn vị có thành phần thứ i 1, gọi véctơ đơn vị thứ i, ký hiệu Ej Như có tất n véc tơ đơn vị sau: E| = [1,0, ,0] e2 = [0,i, ,0] E„ = [0,0, ,1] 11 CÁC PHÉP TÍNH VÉCTƠ a) Phép cộng hai véctơ: Ta gọi tông hai véctơ n chiều X Y véctơ n chiều z, mà thành phần tổng thành phần tương ứng X Y, nghĩa z = X+Y Zj = Xị+Vị (/• = Ẹrt) b) Phép nhân véctơ với số: Ta gọi tích véctơ n chiều X vởi sơ a véctơ n chiểu, ký hiệu aX mà thành phần thành phần tương ứng X nhân lên với a Như aX = [axH ax2, , ax„J - Nếu ta nhân véctơ X với -1, ta nhận véctơ -X, gọi véctơ đối véctơ X Các tính chất phép cộng phép nhân véctơ vởi số: - Tính giao hốn: X+Y = Y+X aX = Xa - Tính kết hợp: (X+Y)+Z = X+(Y+Z) = X+Y+Z a (px) = (aP)X = apx - Tính phân bố: a(X+Y) =aX+aY , (a+p)X = ax+px c) Tích vơ hướng hai véctơ: Ta gọi tích vơ hướng véctơ n chiều X Y số thực, xác định bải tơng tích thành phần tương ứng X Y, ký hiệu (X,Y) hạy X.Y Như „ (X,Y) = x1y1+x2y2+ xnyn = Ví dụ: X = (-2,3,-1,0), Y = (4,-1,5,2) (X,Y) = - - - * = -16 Các tính chất tích vơ hướng: (X,Y) = (X,Y) (kX,Y) = (X,kY) = k(X,Y) (X+Y.Z) = (X,Z)+(Y,Z) (X,X) > Dấu = xẩy X = §2 ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH - Ta gọi hệ m véctơ n chiều Al,A2, ,Am phụ thuộc tuyến tính đối vối véctơ Ai tìm sơ a„ có a, * cho: a1Al+a.2A2+ +alllA,n = - Nếu đẳng thức xẩy a, - Q(Vz = \,m) hệ véctơ Ai ụ - I,zn) gọi độc lập tuyến tính - Cho hệ m véctơ: A|,A2, ,A11, véctơ A Nếu có đẳng thức A = k1A1+k2A2+ +kniA111 kị (i = l,m)là số xác định, ta nói A tơ hợp tuyến tính véctơ Aj(z = 1,/n), hay A biểu diễn tuyến tính qua véctơ A, (i = l,w) Ví dụ: Cho Aị = [-2,1,0 ], A2 = [1,3,2], A3 = [4,-1,1] A = 2Aj+5A2-3A3 = [-11,20,7] tổ hợp tuyến tính Aj,'A2 A3 Về biểu hệ véctơ độc lập hay phụ thuộc tuyến tính, ta có mệnh đề sau: - Một hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính có véctơ hệ biểu diễn tuyến tính qua véctợ lại Vi dụ Hệ ba véctơ A = [3,2,-4], B = [2,-1.3], c = [0.-7 17] phụ thuộc tuyến tính c = -2A+3B - Một hệ véctơ độc lập’ tuyến tính véctơ hệ biểu diễn tuyến tính qua véctơ cịn lại Ví dụ Hệ ba véctơ A = [3,2, -4], B = [2, -1,3], D = [2,2,2] độc lập tuyến tính khơng có véctơ chúng biểu diễn tuyến tính qua hai véctơ - Một hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính hệ chứa phụ thuộc tuyến tính, - Một hệ véctơ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính Câu a) Bài tốn phụ có dạng: f = v(f + -> 3.V, - 2.V, - 3.V, + ,v, + - 4.V, - 3.r, - 2.V, + •V, >0 C.J X,J x5 x6g x7g f X.5 Yx6g x4 f X.5 -10 Xi X,J f + v5 - 2.r, = 50 2.v4 + X* 2xj + X- án tối = 36 (ỹ = 1,5),V7X >0 Phương -10 14 -11/2 án x2 x4 X1 X.3 -2 -2 50 -3 60 36 -4 -3 -2 [2] -1 96 -4 -6 54 -2 -2 24 [4] 18 -2 -3/2 -1 24 0 32 -2 -17/4 0 3/4 30 -3/2 1/2 60 -20 0 Phương fnim=fữ)=60 - 60 ưu 1 x5 Yx6 g x/ 0 0 0 0 0 0 0 x = (6,0,0,30,32) ứng vói Bài tốn đốì ngẫu có dạng: 167 ơ(r) = -50 Ij + 60y, + 36 V; —> max -4r, 0, V, =0, V, = 6, x4 =30 + ớ, = 32 + 2$ ta có : X = (6,$,O,3O + 4$,32 + 2$)ứng với f( X) = 60 + 20$ —> +x +x Để (ĐHKTQD 2003) Câu Cho toán quy hoạch tuyến tính (A) II với hàm mục tiêu /(x) = ^xz ->min n > /■•-I Bài tốn (A) có ràng buộc giải Bỏ bớt biến xk, < k < n, khỏi toán (A), ta toán gọi toán (B) Khi mệnh để sau đúng, sai, hay bất định? Tại sao? Nhất định tốn (B) có phương án; Nhất định tốn (B) khơng có phương án; Nếu tốn (B) có phương án có phương án tõì ưu Câu Giải tốn sau phương pháp đơn hình: f(x) = 4x, + 2x, + 3x, + 2x4 -> 2x, + 2x, + x4 = 14 ‘ - 5X| - 3x, - X, + 2x4 > 62 - 2x, + 2x? + 2x, + x4=16 X, >0 (7 = 14) 169 Câu Cho toán 0 X, = 2x, + 3x, = 19 Bài tốn có phương án tối ưu ^ = (5,3),/m„1=/(x) = Nếu bỏ biến x2 ta đựợc toán (B) F(x) = X| -> X| =2 ' 2x, = 19 Bài tốn (B) khơng có phương án b) Mệnh đề (b) sai: Ví dụ: Bài tốn (A) f(x) - X, + X, X, - 170 - 2x, = X| Xị + X, >0 X - (/=1,3) Bài tốn (A) có phương án tối ưu X = (4,5,0) với / = /(*) = Bỏ biến x:j, ta toán (B): F(.v) = X, + X, —> p, = < u =5 X, >0 (j = ũ) Bài toán có phương án X* = (4,5) đồng thời phương án tốì ưu c) Mệnh đề (c) đúng: Theo giả thiết toán (A) giải nên toán có phương án hàm mục tiêu // bị chặn /(x) - y^x; > a vói /=/ x = (xl,x2, ,x„)là phương án =>x; l,/7 Nếu bỏ biến xt,l p i-i i^-k Nếu tốn (B) có phương án theo tính chất tốn quỵ hoạch tuyến tính, tốn (B) giải (tức có phương án -tổì ưu) Câu2: Bài tốn phụ có dạng: = V,"’ + vỉ' —> / 2-v, :+2.V, + 5.V, + 3.V, + Cj X./ Phương án = 14 = 62 V - 2.Vj + A\ ■ 2.r, + 2.V, + 2.V, + rz >0 +x* Ạ-q + ví =16 ,v_| (/ = 1,5) ,.v(;, vf >0 x2 1 -2 *5 1 X.7( ° ) 0 14 0 62 v3 [2] 16 -2 2 0 30 0 1/2 55 0 -5/2 0 2 -4 -4 [2] 0 0 0 0 1/2 0 -5/2 1 0 -5 0 -1/2 V(K) A7 f' xi xỉ v 2x, -2x, m?x : • 11 bai toan cự' ngảu có dạng: G(r ? = 201, -15 ì', +30,y, -> 31', + + 2y_( - r, + - V, ,1'i - r2 -b ?;■ - r, nghiệm cúí-i nén bà! đơì tốỉ ngẫu =-4 = • [ y, 0.’ Bài —5 Khơng 10 có phương nệ không thoả mãn di^u ! >:ỉ.n A không giải dược mặ- án (chắng hạn án (vì kjpn dấu) dau có phương x„ - (0.0,0,30)) 181 ... 11 12 0 -3 0 0 11 2 1 1.7 Tìm hạng ma trận a) c) b) |~2 -1 ĩ 2-3 5 -1 -2 -1 18 13 7 -1 ■ d) m -1 m 10 -6 2 -1 1 í) 0’ -1 2 -2 2-4 31 0 -1 ẹ) -1 -3 e) 3-2 1 1 -1 10 0 0 0 0 0 0 -2 13 r2 h) -1 -1 ' -2 0... + 2 -1 -3 -5 -2 ’ -2 — 11 b) - X -3 6-2 25 -2 -6 -4 -2 — 4-3 0’ 2 -2 12 0 -1 4 1 '1 0 0’ '4 1- 3 - 1 0 0 0 0 1. 6 Tính định thức sau: a) -3 0 0 2 0 1- 1 3 1 3 -1 0 4 c) 26 b) -1 5 2 -1 34 d) 0 -1 5-3 11 12... không tồn 18 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận: -3 A = -2 -1 "L1 ~ 51, Lập ma trạn [AI E] Diên đổi: 1- 3 0' -2 -1 1 0-5 0 0 => 0 -1 3 0 ì 0 -3 3-7 => 0 -3 -2 -1 10 1 11 2 2 I I => 15 co co co