ĐÂP SỐ VẰ CHỈ DẪN CHƯƠNG
3.11.G(Y )= ^biyj —►min
i = l ẳaiiy. ^c,.j = 1.2,...,n i = l y, > 0. i =1, 2, ..., m 3.12. G(Y) = ^b^ị-> max i = í ẳa»y> ^cj,j = l,2,...,n i = Ịin , n 3-13- G(U, V) = 2^11, + Jbjvj -> max í=í j=i Uj +Vj <Cịị.i = l,2,...,nx,j = l,2,...,n
3.14. G(ư,V) = ^ajui 4-^bịVị -►max
i=ì M
ơiju, +^Vj <cij.i = L2,;..,m,j = l,2,....n
3.15. fm = 2
3.16. Hệ điều kiện của băi toăn mđu thuẫn;
3.17. Hăm mục tiíu khơng bị chặn dưới trín tập phương ấn.
Ta thấy X = (0,0,0,0) lă một phương ân của băi toân, tức lă tập phương ân của băi tôn khơng trống, nhưng tập phương ân của băi toân đỗi ngẫu lă tập trống.
3.18. 1) Nếu n = 2k+l thì f(X) = ^(ữ| + »2 + ... + ơ„) 2) Nếu n = 2k thì:
a) f(A' ) = a1 + a;ĩ + ... + â21i.| nếu òệị + a, + ... + a2k > a, + a:t + ... + b) f( X ) = a2 + a( + ... + a2k nếu a2 + at + ... + a2k < dị + a:j + ... + a2k.! Xĩt băi toân đối ngẫu với băi toân đê cho.
3.19. Ta biết tập phương ân của băi toân đối ngẫu khơn& phụ thuộc văo b. điểu năy có nghĩa lă tập đó khơng trống khi b=bu (ở đđy b(, lă giâ trị của b vơi nó băi tơn gốc giải được).
3.22. Chú ý rằng băi tôn gốc phương ân (vĩctơ x=o lă một phương ân của _băi toân), ta chứng tỏ rằng vectơ Y=(0,0....0. yr0....0) với y, đủ lốn lă phương đn của băi toân đối ngẫu.
3.24. Chứng minh rằng băi tơn gốc có phương ân (chẳng hạn x=o lă một phương ân của nó). Chứng minh tiếp vectơ Y(y„ y2, ...yln), ở đđy ysi đủ lốn vă Yi = 0 với i * Sj, lă phương ân của băi toân đỗi ngẫu (ở đđy Sị được xâc định như sau:vối mỗi j tìm a,j > 0 vă chọn Sj bằng i)
3.26. Điều kiện cần. Giả su (a) khơng có nghiệm khơng đm. Điều năy có nghĩa cả hai băi toân đỗi ngẫu:
f(X) = (0. X) —> min tl /=1 xt > 0. ị = l.rt HI G'(}') = y ô,y, -> rnax I J IU . _____ y < 0, / = 1./7 /=l •(ỳ)
đểụ khơng giải được. Nhưng tập phươmg ân của băi tôn (y) khơng trống (vectơ Y=o lă một phương ân của băi tôn năy), điều năy có nghĩa băi tơn khơng giải được iă do hăm mục tiíu G(Y) khơng bị chặn trín ở tập phương ân. Như vậy sẽ tồn tại vectơK =(>’,,y2......>’„,)• câc thănh phần của nó thoả mên câc điểu kiện
lìl _ __ <o./ = l.n. Í=I Itt _ Ỹby, > -v /=l
Với N lă một sô bất kỳ Điều kiện đủ:
Giả sử hệ (P) tương thích. Ta chung minh -cả hai băi tơn (v) vă(y) khơng giải được. Thật vậy níìi.Ý vă )' lă câc phương ân tổì ưu của hai băi tơn năy, thi theo định lý đơi ngẫu, ta có đẳng thức:
f( ỵ ) = G ( ỹ )
Nhưng đẳng thức năy khơng thể xảy ra vì f(X) = 0 vă G( }' )> G( f) > 0, ở đđy f lă một nghiệm riíng của hệ (P).
Như vậy băi tôn (ỵ) khơng giải được chỉ có thể giải thích bởi hệ điểu kiện của nó mđu thuẫn.
3.27. Điều kiện cần. Giả sử hệ bất phương trình (a) tương thích. Điều năy có nghĩa cả hai băi tôn
G( Y) = (().}') —> max Hi _____ /=l (r) f(X) = ^Clxl -> min /=| =0. /=l •(/) X, > 0, / = l,n,í = Ị,m
đều giải được. Nhưng vì min f(X)=0 thì với X bất kỳ thoả mên câc điều kiện của băi tơn (y) ta có
f(X) = >0
■/=1
Điểu kiện đủ. Nếu đối vối mọi X thoả mên hệ điểu kiện của băi tơn (y) ta có
./U) = 2>,X,ỈO
/=l
thì băi toăn năy giải được. Thực vậy từ điều kiện trín ta suy ra hăm f(X) bị chặn dưới trín tập phương ân của băi tôn, tập năy khơng trống (vectơ x=o thoả mên điểu kiện của băi toân (y))
Từ tính giả’ được của băi tôn (y) ta suy ra băi toân (/) cũng giải được định lý đối ngẫu một). Điều năy có nghĩa hệ (a) có nghiệm.
3.28. Để chứng minh ta xĩt cặp băi toân đối ngẫu:
Băi tôn ^ơc Băi tôn đơi ngđu
/(Â') = ỵc 'X, -► min G(K) = ỹb,y, -* max
/=|H H Híl^, = /--I i = \,m. /—I II /=l ị = l.n.
3.29. Xĩt cặp băi toân đối ngẫu
f(X) = (0,X) —> max G(Y) = (0. Y) -> min
=0’ /=| X, >0 >(r) IH ^0, /=l ./■ = 1, n ■(/) i = ỉ,m,j = l,rt
Chứng minh khẳng định sau "hệ (p) khơng có nghiệm" tương đưong vối .ít nhất một trong câc đỉều kiện của băi toân(ỳ)thoả mđn chặt. Sau đó dùng định lý đối ngẫu hai đối với.câc băi toân (y) vă (ỳ).
3.30. Xĩt cặp băi toần đối ngẫu
f\X) = (0. A') —> max G(F) = (0.}') —> min
Ĩứ',x> - °' /=| X' > 0' >(/) IH /=ỉ v,>0 i = ỉ.m, i = l.n i = 1, ị - l.n
Dùng định lý đối ngẫu hai đối với c*t> điếu kiện đối ngẫu
Jtt _____
Xj>0vă >bj = \,n
i = l
Chứng minh khẳng định "hệ (P) khơng có nghiệm" tương đương với ít nhất một trong câc điều kiện của băi toân (ý) thoả mên chặt.
3.34. X không phải lă phương ân tối ưu.
3.35. X không phải lă phương ân tôi ưu.
3.37. X lă tối ưu, f(jf ) =10 phương ân tôi ưu của băi
tóân đối ngẫu có dạng Y = (3, 1 - 2y:l. y.j) vói y 1 > 5 2.38. X lă phương ân tối ưu.
3.39. Ă' không phải lă phương ân tối ưu. 3.40. X không lă phương ân tơì ưu.
3.41. X khơng lă phương ân tối ưu.
3.42. X không lă phương ân tối ưu.
. 3.43. X lă phương ân tối ưu.
^3.44. X lă phương ân tối ưu khi a<b, a + b + c<l 3.45. X = (0. 0, 14, 6), f(Ỹ) = -58, ỹ =(0, 0, -5, 1} vă lă
phương ân cực biín suy biến. 3.46.
1) í = .(0,0, 16, 39.0). f( X) = 25. tập phương ân tối ưu có dạng:
X* = (0. 0. 16 + 20. 39 + 30, 0) với 0 <0 < + X
2) Y = (-3, 5. 0) lă phương ân tối ưu, cực biín SU}’ biến.
3.47. X() lă một phương ân tơi ưu. Tập phương ân tối ưu có dạng:
Ă' = (12 + — X,. 0, 20 + 3x„ Xị) vđi 0 < X, < 4 Phương ân tối ưu khơng cực biín:
%! = (15, 0, 26, 2)
Phượng ân tối ưu củạ băi toân đối ngẫu:
Y = (-3, 0, 7) lẳ duy nhất
3.52. Băi tôn giải được.
3.53. Băi tơn khơng giải được. 3.54. Băi toân giải được.
3.55. Băi toân giải được. 3.56. Băi toân giải được. 3.57. Băi toân giải đưựG. 3.58. Băi toân giải được. 3.59. Băi toân giải được.
CHƯƠNG IV
4.8. X,, = 0 hoặc 1. tùy thuộc nhóm nhđn viín bân hăng thứ i (i =1. 2, 3, 4) không bân hoặc bân ở quầy j (j =1, 2, 3, 4)
- l(i - 1.2.3.4)7=1 • 7=1 • Ĩ-V,, = 1(7 = 1.2.3.4) /=1 Z = ẳắc</A\ ->max i=l /=l
Cjj lă câc doanh thu trung bình tính theo đầu người cho trong bảng. Tơng doanh thu = 6Z
7 = (1, 0, 0, 0. 0, 1, 0. 0. 0.0. 1. 0. 0, 0. 0. 1)z = 21.000 z = 21.000
4.9. số mây căy đi tù hợp tâc xê i'đến hợp tâc xê j (i. j = 1.2. 3). x,i = 0 hoặc 1 ỵ.r„ - Kí = 1.2.3) 1=1 ỵ.v„= 1(7 =1.2.3) (=1 z=6xn + 16X|, + 9 x|:, + 12x21 + 16,5x22 +10x2;j+10x:i| + 14x:)2 + 8,õx:ì:ì -> min .¥ = [1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 0] 2 =30
1.10. x„ - 0 hoặc 1 tùy thuộc ỏ tô tù gara i dến nơi dặt hăng j (i =1. 2. 3; j -1. 2. 3)
Ĩx„ = Kí = 1.2.3)7=1 7=1 i># = lơ = 1.2.3) 1=1 z = 7xh + 2x12 + 9x13 + 6x2| + 7x22 + 3x2:! + llx3, + 5x32 + 7x33 -► min = (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1) 2 =(1,0. 0,0, 0, 1,0, 1,0) .= 15 N I > s|