Ta gọi Y lă biến ngẫu nhiín chỉ lượng yíu cầu về loại hăng hơ năo đó, tính theo đơn vị (chiếc, câi...). Biến năy nhận những giâ trị rời rạc. P(y) lă xâc suất chỉ bân được, y đơn vị (y = 0, 1, 2,...), gọi c„ lă thiệt hại gđy ra khi thiếu một đơn vị hăng để bân, c,. lă thiệt hại gđy ra khi thừa một đơn vị hăng không bân được, gọi X lă lượng hăng đặt mua để đâp ửng nhu cầu trong thịi gian nghiín cứu. Băi tơn đặt ra lă: Hêy xâc định giả trị tốì ưu của X sao cho thiệt Kại trung bình có thể gđy ra ứng với quyết đinh dó lă ít nhất (tương đương với tổng tiền lêi hy vọng thu được lă lớn nhất).
Ta ký hiệu N(x) lă kỳ vọng toân của câc thiệt hại gđy ra
thì (
= £ cr (x - y)p(y) + o.p(x) + 2 c„ (y - x)p(y) =
1=0 r=.T + l
= Ĩ Cr (x - y)p(y) + 2c„ (y - x)p(y) -> min
1=0 I=r*l
Nếu ta giả thiết N(x) có cực tiểu địa phương, thì câch xâc dinh giâ trị tối ưux = X* được xâc định như sau:
F(x * -1) < - - - ' < F(x*)
Trong đó F(x) = £ p(y) = p(y < x)
1-0
lă.hăm phđn phối xâc suất của đại lượng ngẫu nhiín Ỵ. Ví dụ 6.4. Có một loại hăng kinh doanh theo thời vụ. Qua nhiều năm theo dõi ta khẳng định được rằng: yíu cầu về mặt hăng năy lă một biến ngẫu nhiín rời rạc vói phđn phối xâc suất tương ứng cho ở bảng sau:
Bảng 6.1
y,x p(y) F(x) = p(y<x) = ị^píy)
v=o 0 0.03 0.03 1 0.07 0.10 2 , 0.08 0.18 3 0.09 0.27 4 0.10 0.37 5 0.11 0.48 6 0.13 0.61 7 0.15 0.76 8 0.12 0.88 9 0.07 0.95 10 1. 1 0.05 1.00
Giả sử rằng: Giâ mua một đơn vị hăng lă 4.000đ, giâ bân môt đơn vị hăng trong thời vụ lă lO.OOOđ, giâ bđn một đơn vị hăng sau thời vụ (hăng đê kĩm phẩm chất) lă 500đ.
Hêy xâc định lượng hăng tôi ưu cần mua để phục vụ cho nhu cầu về loại hăng năy trong một thòi vụ, sao cho thiệt hại trung bình có thể gđy ra lă ít nhất.
GIẨI: ở đđy c„ = 10.000-4000 = 6000c, c, . = 4.000-500 = 3500 z,g>ffl_=0.ý3 G+G 6000 + 3500 Nhìn văo cột 3 của bảng 6.1 ta có P(y < 6) = 0,61 < 0,63 < 0,76 = P(y < 7) Vậy X* = 7
■ Chú ý: Nếu trong trường hợp cụ thể xảy ra đẳng thức F(x*) = - ■C"-
c ,,+G
H r
Khi đó giâ trị tối ưu sẽ lă X* hoặc X* +1.
Câch lập luận khâc: Ta có thể giải băi tơn trín vói mục tiíu lă cực đại tiền lêi thu được. Ta gọi c„ lă giâ mua một đơn vị hăng, Cp lă giâ bân một đơn vị hăng trong thời vụ, Cz lă giâ bân một đơn vị hăng sau thời vụ. Khi đó tiền lêi trung bình thu được khi mua dự trữ X đơn vị hăng sẽ lă:
Z(-v) = C/> Ề J’) + CpX £ p(y) + c. £(X- y)p(y)-C„x
I=0 1=r+l 1=0
Ta cần tìm x=x* sao cho Z(x*) = max Z(x) Giâ trị X* được xâc định theo công thức sau:
■ C,-GP(y < X * -1) < 1 ' < P(y < X*) P(y < X * -1) < 1 ' < P(y < X*) I ’ Đặt c„ = Cp-C,,, c, = C„-Cz, khi đó Cp-C, = (C„-C„)+(C„-CZ) = Cp+C,. Từ đó ta suy ra:
P(y < X * -1) < < P(y < -V*) C',+C'r
Hệ thức vừa tìm được hoăn toăn trùng với kết quả đă tìm được trong câch lập luận cực tiểu chi phí.