(LUẬN văn THẠC sĩ) công thức tổng quát và giới hạn dãy số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI- 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯƠNG VĂN BẰNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Phạm Văn Quốc HÀ NỘI- 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Mở đầu Kiến thức sở 1.1 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Các cách cho dãy số 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn 1.3 Cấp số cộng – Cấp số nhân 1.3.1 Cấp số cộng 1.3.2 Cấp số nhân 1.4 Giới hạn dãy số 1.5 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Định lý 1.4.3 Một số giới hạn Định lý Lagrange Một số phương pháp tìm CTTQ dãy số 2.1 Phương pháp sử dụng CSC-CSN 9 2.2 Phương pháp sử dụng phép lượng giác 23 Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số 31 3.1 Tính giới hạn thơng qua CTTQ 31 3.2 Tính giới hạn sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy số 38 3.3 Tính giới hạn phương pháp sử dụng “nguyên lý kẹp” 46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3.4 Tính giới hạn dãy số thơng qua giới hạn vô cực 50 3.5 Bài tập tương tự 58 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Dãy số đóng vai trị quan trọng tốn học nhiều lĩnh vực đời sống Trong kì thi HSG tỉnh thành phố, quốc gia, IMO (Olympic toán học quốc tế), hay kì thi giải tốn nhiều tạp chí tốn học, tốn dãy số xuất nhiều đánh giá mức độ khó Trong cơng tác giảng dạy, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi , chuyên đề dãy số chuyên đề hay, nhiều thầy cô nghiên cứu triển khai giảng dạy Trong nội dung luận văn , tác giả tập trung nghiên cứu hai vấn đề liên quan đến dãy số, là: + Cơng thức tổng qt dãy số + Giới hạn dãy số Trong nội dung , thơng qua tập từ hình thành phương pháp tìm cơng thức tổng qt, tính giới hạn số dạng dãy số bản, từ ứng dụng để giải số tốn Do q trình nghiên cứu, biên tập cịn nhiều hạn chế nên nội dung cách trình bày luận văn chắn cịn nhiều thiếu xót, mong thầy bạn đọc xem xét, có ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện Mọi ý kiên đóng góp, phản hồi xin gửi địa hịm thư: vanbang6580 @ymail.com Nội dung khóa luận bao gồm: ⋄ Chương 1: Kiến thức sở ⋄ Chương 2: Một số phương pháp xác định CTTQ dãy số ⋄ Chương 3: Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc người trực tiếp hướng dẫn tận tình bảo em suốt q trình thực khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2015 Học viên Trương Văn Bằng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức sở 1.1 Phương pháp quy nạp tốn học Trong chương trình phổ thông, để chứng minh mệnh đề P(n) với số nguyên n ≥ n0 , với n0 số nguyên cho trước ta thực hai bước sau: Bước Kiểm tra P (n0 ) Bước Giả thiết mệnh đề p(k) với số nguyên n = k n0 (Gọi giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề với n = k+1 1.2 1.2.1 Dãy số Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , u3 , un , Trong un = u(n) viết tắt (un ), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Định nghĩa 1.2 Mỗi hàm số u xác định tập hợp M = {1; 2; ; m} với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 , um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.2.2 Các cách cho dãy số a) Dãy số cho cơng thức số hạng tổng qt Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un ) với un = (−1)n 3n n TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com b) Dãy số cho phương pháp truy hồi, tức - Cho số hạng đầu vài số hạng đầu - Cho hệ thức biểu diễn số hạng theo số hạng đứng trước vài số hạng đướng trước (gọi hệ thức truy hồi) Ví dụ 1.2 Dãy Fibonacci dãy số (un ) xác định sau: { u1 = u2 = un = un−1 + un−2 ; n = 3, 4, 5, 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn Định nghĩa 1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số (un ) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un với ∗ n∈N Dãy số (un ) gọi dãy số giảm ta có un+1 < un với ∗ n∈N Định nghĩa 1.4 Dãy số bị chặn Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un < M, ∀n ∈ N∗ Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un > m, ∀n ∈ N∗ Dãy số (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức tồn số m,M cho m < un < M, ∀n ∈ N∗ (SGK lớp 11- Nhà xuất GD -2007) 1.3 1.3.1 Cấp số cộng – Cấp số nhân Cấp số cộng Định nghĩa 1.5 Cấp số cộng dãy số hữu hạn hay vơ hạn , kể từ số hạng thứ hai , số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lí 1.1 Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1 + (n − 1)d với n Định lí 1.2 Cho cấp số cộng (un ) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: n(u1 + un ) Sn = TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.6 Cấp số nhân dãy số hữu hạn hay vơ hạn, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Định lí 1.3 Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un = u1 q n−1 với n Định lí 1.4 Cho cấp số nhân (un ) với công bội q ̸= Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un Khi ta có: u1 (1 − q n ) Sn = 1−q 1.4 1.4.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa Định nghĩa 1.7 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số L n → +∞ với số dương ε cho trước (nhỏ tùy ý), tồn số tự nhiên no cho với n > no |un − L| < ε Ta viết lim un = L n→∞ hay viết tắt lim un = L Định nghĩa 1.8 Ta nói dãy số (un ) tiến tới vơ cực n → +∞ với số dương M cho trước (lớn tùy ý), tồn số tự nhiên no cho với n > no |un | > M Ta viết lim un = ∞ n→∞ hay viết tắt un → ∞ Nếu với n > no , un > M lim un = +∞ n→∞ Nếu với n > no , un < −M lim un = −∞ n→∞ TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.4.2 Định lí Định lí 1.5 Nếu dãy số có giới hạn bị chặn (Như dãy số khơng bị chặn khơng có giới hạn) Định lí 1.6 Nếu dãy số tăng bị chặn (hoặc giảm bị chặn dưới) dãy số có giới hạn Định lí 1.7 Cho ba dãy số (un ) , (vn ) , (wn ) Nếu ∀n ∈ N∗ ta có un wn lim = lim wn = L lim un = L Định lí 1.8 Nếu hai dãy số (un ) , (vn ) có giới hạn ta có lim (un ± ) = lim un ± lim lim (un ) = lim un lim ( ) un lim un lim = ( lim ̸= 0) lim √ √ lim un = lim un (un 0∀n ∈ N∗ ) Định lí 1.9 Nếu lim un = 0(un ̸= 0∀n ∈ N∗ ) lim Nếu lim un = ∞ lim 1.4.3 = ∞ un = un Một số giới hạn Nếu un = C ta có lim C = C lim nk = +∞ k > 0, lim nk = k < lim q n = |q| < Đối với cấp số nhân có cơng bội q, |q| < ta có S = u1 + u2 + u3 + + un + = u1 1−q gọi tổng cấp số nhân lùi vơ hạn 1.5 Định lí Lagrange Giả sử f(x) hàm số liên tục đoạn [a;b] có đạo hàm khoảng (a;b) Khi tồn điểm c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) = f ′ (c).(b − a) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ( ) a xn = xn−1 + , n ≥ 2, a > 0, x1 > xn−1 Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn (Trích đề thi Thi HSG Bình Dương, năm 2012) Lời giải Dự đoán giới hạn Giả sử (x ( n ) có giới hạn ) hữu hạn ℓ √ a xn−1 + Chuyển công thức xn = qua giới hạn ta ℓ = a xn−1 Ta có: ( ) a xn = xn−1 + 2( xn−1 ) √ √ √ a ⇔ xn − a = xn−1 − a + − a x n−1 √ ) ( √ a = (xn−1 − a) − xn−1 √ (xn−1 − a) = xn−1 Dễ dàng chứng minh xn > 0, ∀n = 1, 2, 3, xn = ( ) √ a xn−1 + ≥ a, theo BĐT AM-GM xn−1 Do √ √ √ 1 (xn−1 − a) ≤ xn−1 − a xn − a = xn−1 √ , |xn−1 − a| < xn−1 Suy √ √ √ 1 xn − a ≤ xn−1 − a ≤ ≤ n−1 x1 − a 2 √ Cho n tiến tới +∞ , theo nguyên lí kẹp ta có lim (x − a) = hay n √ lim xn = a Bài tập 3.24 Cho dãy số (xn ) xác định { x1 = a ) 2013 ( ln xn + 20112 − 20112 ; n = 1, 2, 3, xn+1 = Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn (Trích đề thi HSG Cần Thơ vịng 2, năm 2012) 48 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải Xét hàm số tương ứng ) 2011 ( ln x + 20112 − 20112 , x ∈ R { x1 = a Dãy số cho viết lại xn+1 = f (xn ); n = 1, 2, 3, 2.2011x 2011 2x = ≤ Ta có f ′ (x) = , x + 20112 x2 + 20112 (Theo BĐT AM-GM) f (x) = Xét hàm số g(x) = f (x) − x liên tục R Có g ′ (x) = f ′ (x) − < nên phương trình g(x) = có khơng q nghiệm 2011 Lại có g(0) = f (0) = ln 20112 − 20112 < ( ) 2011 g(−20112 ) = ln 20114 + 20112 > nên phương trình g(x) = có nghiệm Gọi a nghiệm phương trình g(x) = ⇒ f (a) = a Áp dụng Định lí Lagrange cho x,y thuộc R, hàm f (x) liên tục R nên tồn z ∈ (x, y) cho f (x) − f (y) = f ′ (z)(x − y) , mà f ′ (z) ≤ , ∀z nên suy |f (x) − f (y)| ≤ |(x − y)| với x,y thuộc R ( )n 1 Ta có |xn+1 − a| = |f (xn ) − f (a)| ≤ |xn − a| ≤ ≤ |x1 − a| 3 ] [( )n |x1 − a| = 0, theo ngun lí kẹp, ta có lim |xn − a| = lim Vậy dãy số cho có giới hạn hữu hạn Đpcm Bài tập 3.25 Cho số thực a thỏa mãn < a < Dãy số (xn ) xác định xn = a, xn+1 = axn , n = 1, 2, 3, Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn (Trích đề thi HSG Vĩnh Phúc vịng 1, năm 2012) Lời giải Dễ thấy < xn < 1, ∀n Xét hàm số f (x) = ax , x ∈ (0, 1) hàm liên tục nghịch biến khoảng (0; 1) Dãy số cho viết lại x1 = a, xn+1 = f (xn ), n=1,2,3, Ta có f ′ (x) = ax ln a 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ( ) 1 ⇒ |f ′ (x)| = |ax ln a| ≤ |a ln a| = a ln = a ln + − a a Áp dụng bất đẳng thức ln(t + 1) ≤ t, ∀t ≥ 0, ta |f ′ (x)| ≤ a − = − a < a Áp dụng Định lí Lagrange cho hàm số f (x) [a; b] , < a < b, ta thấy tồn c ∈ (a; b)sao cho |f (x) − f (y)| = f ′ (c) |x − y| < (1 − a) |x − y| (∗) Xét hàm số g(x) = ax − x, ≤ x ≤ 1, g ′ (x) = ax ln a − < 0, ∀x ∈ [0; 1] Lại có g(0) = > 0, g(1) = a − < g(x) liên tục nên phương trình ax − x = có nghiệm x = x0 ∈ (0; 1) Suy f (x0 ) = x0 Từ ta có |f (xn ) − f (x0 )| < (1 − a) |xn − x0 | ⇒ |xn+1 − x0 | < (1 − a) |xn − x0 | < (1 − a)2 |xn−1 − x0 | < < (1 − a)n |x1 − x0 | Theo nguyên lí kẹp ta có dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn x0 nghiệm phương trình ax = x 3.4 Tính giới hạn dãy số thơng qua giới hạn vô cực Bài tập 3.26 Cho dãy số (un ) thỏa mãn điều kiện:   u1 = u2 2013  un+1 = n + un ; n = 1, 2, 2014 2014 a) Chứng minh (un ) dãy số tăng un Tính lim (v1 + v2 + + ) b) Với n ∈ N đặt = un+1 − (Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội 2014) Lời giải a) Trước hết ta chứng minh un ≥ với n ≥ quy nạp Thật Với n = 1, ta có u1 = ⇒ mệnh đề dúng với n = Giả sử mệnh đề với n = k , tức uk ≥ Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức phải chứng minh uk+1 ≥ Thật 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com u2k 2013 2013 2015 uk+1 = + uk ≥ + = >2 2014 2014 2014 2014 1007 un (un − 1) Xét un+1 − un = > với n ≥ un ≥ với n ≥ 2014 Vậy (un ) dãy số tăng un (un − 1) b) Ta có un+1 − un = > ⇒ un (un − 1) = 2014 (un+1 − un ) 2014 ( ) uk 1 ⇒ = 2014 − Từ uk+1 − uk−1 ( uk+1 − ) 1 2014 v1 + v2 + + = 2014 − = 2014 − ∀n ≥ u1 un+1 − un+1 − Giả sử (un ) bị chặn trên, tồn giới hạn hữu hạn lim un = ℓ, ℓ ≥ u2n 2013 Cho qua giới hạn công thức un+1 = + un ta có ℓ2 − ℓ = ⇔ 2014 2014 [ ℓ=0 , mâu thuẫn với ℓ ≥ Vậy lim un = +∞ ℓ=1 Khi lim (v1 + v2 + + )=2014 Bài tập 3.27 Cho dãy số (un ) xác định công thức: √ { u1 = 30 √ un+1 = 30u2n + 3un + 2011; n = 1, 2, 3, Tìm lim un+1 un (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình 2010-2011) Lời giải Dễ thấy un > 0; ∀n Theo cơng thức truy hồi ta có √ √ un+1 = 30un + 3un + 2011 ≥ u2n = un , ∀n ≥ nên dãy số (un ) tăng Giả sử (un ) bị chặn trên, (un ) có giới hạn hữu hạn, đặt lim un = a(a > 0) Cho qua giới hạn công thức √ un+1 = 30u2n + 3un + 2011 ta có a= √ 30a2 + 3a + 2011 ⇔ a2 = 30a2 + 3a + 2011 ⇔ 29a2 + 3a + 2011 51 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Phương trình vơ nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy (un ) không bị chặn hay lim un = √+∞ √ un+1 30u2n + 3un + 2011 2011 Mặt khác ta có = = 30 + + un un un un √ un+1 2011 √ Vậy lim = lim 30 + + = 30 un un un Bài tập 3.28 Cho dãy số (un ) xác định công thức:   u1 = u2  un+1 = n + un ; n = 1, 2, 3, 2015 ( ) u1 u2 u3 un Tìm giới hạn sau: lim + + + + u2 u3 u4 un+1 Lời giải u2n Từ hệ thức truy hồi ta có un+1 − un = ; n = 1, 2, 3, 2015 ( ) 1 un = 2015 − ; n = 1, 2, 3, hay un+1 un un+1 ( ) ( ) n n ∑ ∑ uk 1 Suy = 2015 − = 2015 − u u u un+1 k+1 k k+1 k=1 k=1 Theo cơng thức xác định dãy (un ) ta có: = u1 < u2 < u3 < < un < un+1 < Vậy (un ) dãy đơn điệu tăng Nếu (un ) bị chặn trên, tồn giới hạn hữu hạn α = lim un , α ≥ Cho qua giới hạn công thức un+1 u2n + un , ta có phương trình = 2015 α2 α= + α ⇒ α = 2015 Mâu thuẫn với điều(kiện α ≥ Vậy (un ) khơng ) bị chặn trên, u1 u2 u3 un = Vậy lim + + + + = 2015 lim un u2 u3 u4 un+1 Bài tập 3.29 Cho dãy số (un ) xác định sau { u1 = 1; un+1 = + u2011 n , n = 1, 2, 3, un 52 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ( 2011 2011 ) u2011 u u Tính lim + + + n u2 u3 un+1 (Trích đề thi HSG Quảng Bình, năm 2012) Lời giải Từ cơng thức xác định dãy số, ta có u2011 u2011 1 n = + ⇒ n = − , n=1;2;3; un un+1 un+1 un+1 un un+1 Do ( ) n u2011 n ∑ ∑ u2011 u2011 u2011 1 1 n k + + + = = − = − u2 u3 un+1 k=1 uk+1 k=1 uk uk+1 u1 un+1 Dễ dàng chứng minh un > 0, ∀n = 1, 2, 3, Từ giả thiết ta có un+1 = un + u2012 > un , dãy số (un ) dãy đơn n điệu tăng un ≥ 1, ∀n = 1, 2, 3, Giả sử dãy (un ) bị chặn có giới hạn ℓ , ℓ ≥ Chuyển công thức un+1 = un + u2012 qua giới hạn ta ℓ = ℓ + ℓ2012 n ⇒ ℓ = 0, mâu thuẫn với ℓ ≥ Vậy dãy (un ) không bị chặn, lim un =)+∞ ( ( 2011 ) u1 u2011 u2011 1 n Từ ta có lim + + + = lim − = u2 u3 un+1 u1 un+1 Bài tập 3.30 Cho dãy số (un ) xác định { u1 = ) 1( un + un + , n = 1, 2, 3, un+1 = a) Chứng minh (un ) dãy tăng không bị chặn n ∑ b) Đặt = , n = 1, 2, 3, Tính lim k=1 uk + (Trích đề thi HSG Vĩnh Long, năm 2012) Lời giải a) Dễ dàng chứng minh un > 0, ∀n = 1, 2, 3, ) 1( Ta có un+1 −un = un − 4un + = (un − 2)2 ≥ nên dãy (un ) không 5 giảm Mặt khác u1 = > ⇒ un ≥ > 2, ∀n = 1, 2, 3, 53 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Suy un+1 − un > 0, ∀n = 1, 2, 3, hay (un ) dãy tăng Giải sử (un ) bị chặn trên, (un ) có giới hạn ℓ ,ℓ ≥ ) 1( Chuyển công thức un+1 = un + un + qua giới hạn ta ) 1( ℓ= ℓ +ℓ+4 ⇔ℓ=2 , mâu thuẫn Từ suy (un ) khơng bị chặn ) 1( b) Ta có un+1 = un + un + ) 1( ⇔ un+1 − = un + un − = (nn + 3) (un − 2) 5 Do un ≥ 3, ∀n = 1, 2, 3, nên ta có 1 = = − un+1 − (nn + 3) (un − 2) un − un + 1 Suy = − ; ∀n = 1, 2, 3, un + un − un+1 − Suy ) n n ( ∑ ∑ 1 = − = uk + uk − uk+1 − k=1 k=1 1 − =1− u1 − un+1 − un+1 − ( ) Do lim un = +∞ nên lim = lim − = un+1 − = Bài tập 3.31 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = un+1 = 3u2n + un , n = 1, 2, 3, ( ) u1 u2 un Tìm lim + + + u2 u3 un+1 Lời giải Dễ dàng chứng minh un ≥ , ∀n Ta có un+1 = 3u2n + un un ⇔ = + un u(n+1 un+1 ) un 1 ⇔ = − un+1 un un+1 54 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ( ) ( ) n n ∑ uk 1∑ 1 1 Khi ta có = − = − k=1 uk uk+1 u1 un+1 k=1 uk+1 Mặt khác un+1 = un + 3u2n > un , ∀n nên (un ) dãy tăng Nếu (un ) bị chặn tồn lim un = ℓ, ℓ > Cho công thức un+1 = 3u2n + un qua giới hạn ta có ℓ = ℓ + 3ℓ2 ⇒ ℓ = 0, mâu thuẫn với ℓ > n ∑ uk Vậy (un ) khơng bị chặn, lim = ⇒ lim = = un 3u1 k=1 uk+1 Bài tập 3.32 Cho dãy số (un ) xác định √ √ { u1 = 2(+ ) √ √ ) ( √ √ √ − un + − un + 3 − un+1 = Đặt = n ∑ √ , n = 1, 2, 3, Tìm lim u + k=1 k Lời giải (√ ) √ ) ( √ √ √ un+1 = − un + − un + 3 − (√ ) √ ) ( (√ √ ) ⇔ un+1 = − un − − un + ( ) ( ( √ √ √ ) √ ) √ √ ⇔ un+1 − = − un − − un − (√ √ )( √ )( √ ) = − un + un − 1 ) ( √ = (√ ⇒ √ √ )( √ ) un+1 − 3 − un + un − 1 √ = ( ⇒ √ )−( √ ) un+1 − un − un + 1 √ −( ⇒ ( √ ) = √ ) u − n un + un+1 − ( ) n n ∑ ∑ 1 √ = √ − √ Do = k=1 uk − uk+1 − k=1 uk + 1 √ − √ = u1 − un+1 − (√ √ √ )( √ )( √ ) Từ đẳng thức un+1 − = − un + un − √ √ √ u1 =√ + > , quy nạp, dễ dàng chứng minh un > 3; n = 1, 2, 3, 55 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Từ đẳng thức ( 1 √ −( √ )= √ ) u − n un + un+1 − ⇒ 1 √ >( √ ) un − un+1 − √ √ suy un < un+1 hay dãy (un ) tăng thực sự, suy un > + 2; ∀n = 1, 2, 3, √ √ Giải sử (un ) bị chặn trên, (un ) có giới hạn ℓ ,ℓ ≥ + 1 √ −( Chuyển qua giới hạn công thức ( √ ) = √ ) u − n un + un+1 − 1 √ − √ = , vơ lí Từ suy (un ) ta ( √ ) = ℓ− ℓ− ℓ+ không bị chặn ) ( 1 √ − √ =√ Vậy lim = lim u1 − un+1 − Bài tập 3.33 Cho dãy số (un ) xác định công thức    u1 = √   un+1 = un + 4un + un , n = 1, 2, 3, n ∑ Chứng minh dãy số (yn ) , yn = có giới hạn Tìm giới hạn k=1 uk Lời giải √ Dễ thấy un > 0, ∀n Ta có un+1 − un = u2n + 4un − un > 0, ∀n, nên (un ) dãy tăng Giả sử (un ) bị chặn tồn giới hạn lim un = ℓ, ℓ ≥ √ √ un + 4un + un ℓ2 + 4ℓ + ℓ Cho công thức un+1 = qua giới hạn ta có ℓ = , 2 phương trình vơ nghiệm với√ℓ ≥ Vây (un ) không bị chặn u2n + 4un + un Từ công thức truy hồi un+1 = ta có u2n+1 − un+1 un = un 1 ⇔ − = , n = 1, 2, 3, un un+1 un+1 56 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ( ) n n ∑ ∑ 1 1 1 Như yn = = + − = + − u21 k=2 uk−1 uk u21 u1 un k=1 uk 1 Suy lim yn = + = u1 u1 Bài tập 3.34 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = un+1 = + u1 u2 un ; n = 1, 2, 3, n ∑ Đặt Sn = Tìm limSn k=1 un Lời giải Từ cơng thức truy hồi un+1 = + u1 u2 un suy un+1 − = un (u1 u2 un−1 + − 1) = un (un − 1) Theo xác định dãy số, dễ thấy un > 1; ∀n ≥ Do ta có 1 1 1 ⇒ = = − − ; ∀n ≥ un+1 − un − un un un − un+1 − Vì ) n n n ( ∑ ∑ ∑ 1 1 1 Sn = = + = + − un u1 un u1 un − un+1 − k=1 k=2 k=1 = Do u1 = 1; u2 = + u1 = 2, nên Sn = − 1 + − u1 u2 − un+1 − 1 un+1 − Vì un+1 = + u1 u2 un ≥ + u1 ; ∀n ≥ nên un+1 − = u1 u2 un ≥ u1 (1 + u1 )n−1 = 2n−1 ; ∀n ≥ suy lim (un+1 − 1) = +∞ Vậy lim Sn = 57 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3.5 Bài tập tương tự Bài tập 3.35 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = −5 Tính lim un un+1 = un + 6, ∀n ≥ Bài { tập 3.36 Cho dãy số (un ) xác định công thức un u1 = Tính lim 2n un+1 = 4un − 1, ∀n ≥ Bài tập 3.37 Cho dãy số (un ) xác định công thức √ √ √ √ un = + + + + 2(n dấu căn) Tính lim u1 u2 un 2n (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2001-2002) Bài tập 3.38 Cho dãy số (un ) xác định công thức √ √ √ √ n un = 2 − + + + 2(n dấu căn) Tính lim un Bài  tập 3.39 Cho dãy số (un ) xác định công thức  u1 = √  un+1 = un + , ∀n ≥ 2n a) Chứng minh un+1 − un < n+1 , ∀n ≥ b) Tính lim un (Trích đề thi HSG Hà Tĩnh 2009-2010) Bài  tập 3.40 Cho dãy số (un ) xác định công thức   u1 =   un+1 = un + u2n , ∀n ≥ n a) Chứng minh − < un < 1, ∀n ≥ b) Tính lim un n (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2006-2007) 58 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài tập 3.41 Cho dãy số (un ) xác định công thức   u1 > ( ) a 2un + , ∀n ≥ 1, a >  un+1 = un Tính lim un Bài tập 3.42 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = un+1 = u2n − un + 1, ∀n ≥ Tính lim n ∑ k=1 uk (Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 2004-2005) Bài tập 3.43 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = un+1 = u2n − un + 2, ∀n ≥ n ∑ Tính lim k=1 uk (Trích đề thi chọn HSG Quốc gia Quảng Bình 2009-2010) Bài tập 3.44 Cho dãy số (un ) xác định công thức    u1 = √   un+1 = un + 4un + un , ∀n ≥ n ∑ Chứng minh dãy số yn = có giới hạn Tìm giới hạn k=1 uk (Trích đề thi VMO 2009) { u1 = a > Bài tập 3.45 Cho dãy số (un ) xác định công thức un+1 = u2n , ∀n ≥ n ∑ uk Tính lim k=1 uk+1 − (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) 59 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài tập 3.46   u1 = a > u2 + un − Cho dãy số (un ) xác định công thức  un+1 = n , ∀n ≥ un n ∑ Tính lim − u k=1 k (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.47 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = 2009 (√ )2 un+1 = un un + , ∀n ≥ Tính lim n ∑ √ uk + k=1 (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.48 { Cho dãy số (un ) xác định cơng thức Tính lim n ∑ k=1 uk + u1 = un+1 = )2 1( un + , ∀n ≥ (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) Bài tập 3.49 Cho dãy số (un ) xác định công thức { u1 = ) 1( un − 7un + 25 , ∀n ≥ un+1 = n ∑ Tính lim k=1 uk − (Trích Tạp chí THTT tháng 10/2010) 60 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận Khóa luận đạt kết quan trọng sau: - Nghiên cứu số phương pháp xác định công thức dãy số - Nghiên cứu số phương pháp xác định giới hạn dãy số - Vận dụng vào chuyên đề ôn luyện học sinh giỏi 61 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Điển- Nguyễn Minh Tuấn , LATEX tra cưú soạn thảo, NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 2009 [2] Lê Đình Định, Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục 2011 [3] Phạm Thành Luân, 1001 toán dãy số, NXB Đà Nẵng 2001 [4] Sách giáo khoa đại số giải tích 11, NXB Giáo dục 2007 [5] Tủ sách tạp chí THTT, Các tốn thi Olympic Tốn THPT, NXB Giáo dục 2007 [6] Tuyển tập 30 năm tạp chi THTT, XNB Giáo dục 1996 [7] Các diễn đàn Toán học http://mathcope, http://mathlink.ro [8] Đề thi chọn đội tuyển trường, đề thi HSG tỉnh, thành phố năm học 2011-2012 62 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... 3, 4, 5, 1.2.3 Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn Định nghĩa 1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm Dãy số (un ) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un với ∗ n∈N Dãy số (un ) gọi dãy số giảm ta có un+1... hai , số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Định lí 1.1 Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức un... hạn, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Định lí 1.3 Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác