(LUẬN văn THẠC sĩ) công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng

Dãy số

1.1 Một số khái niệm về dãy số Định nghĩa 1: Dãy   u n (hoặc   u n ) là dãy các số u 1 , u 2 , , u n tuân theo một quy luật nào đó được gọi là dãy số

+ Nếu dãy   u n có vô hạn phần tử ta nói dãy   u n là dãy số vô hạn

+ Nếu dãy   u n có hữu hạn phần tử ta nói dãy   u n là dãy số hữu hạn

+ Số u 1 được gọi là số hạng đầu của dãy, u i được gọi là số hạng thứ i của dãy

1.2 Cách xác định một dãy số a Dãy số cho bởi công thức tổng quát

  n b Dãy số cho bởi công thức truy hồi

 Khi đó   u n :1;1; 2 ; 3 ; 5 ; c Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Lập dãy   u n là giá trị gần đúng của  , lấy từ số thập phân thứ nhất đến thứ n Như thế ta có dãy u 1 3,1;u 2 3,14 ;u 3 3,141;

1.3 Một số dãy số đặc biệt a Cấp số cộng Định nghĩa 2 : Dãy số u u 1 , 2 , ,u n , được gọi là cấp số cộng với công sai d nếu u n  1 u n d  n 1

2 2 n n n u n d u u i s  u u  u   nn   b Cấp số nhân Định nghĩa 3 : Dãy số u u 1 , 2 , ,u n , được gọi là cấp số nhân với công bội q nếu u n  1 u q n  n 1

Một số tính chất số học

2.1 Một số tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên Định nghĩa 4 : Cho ,a bZ ta nói a chia hết cho b (kí hiệua b) hay a là bội của b hoặc b là ước của a nếu  k Z sao cho abk

Nếu a không chia hết cho b, ký hiệu là b∤a Định nghĩa 5: Một số nguyên dương p (p ∈ Z⁺, p ≥ 2) được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước nguyên dương là 1 và p Định nghĩa 6: Số a được gọi là đồng dư với b modul m nếu a và b có cùng số dư khi chia cho m.

2.2 Hàm phần nguyên và số chính phương a Hàm phần nguyên Định nghĩa 7: Phần nguyên của một số là số nguyên lớn nhất không vượt quá số đó

Kí hiệu : Cho số xR ta kí hiệu   x là phần nguyên của số x

: b Số chính phương Định nghĩa 8 : Số nN được gọi là số chính phương nếu kN sao cho nk 2

Tính chất : Điều kiện cần để một số là số chính phương là số đó phải có chữ số tận cùng là 0,1, 4, 5, 6, 9

Phương pháp đổi biến đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa

Bằng cách thực hiện một hoặc vài phép đổi biến tinh tế, bất kỳ dãy số nào cũng có thể được chuyển đổi thành cấp số cộng, cấp số nhân hoặc dãy lũy thừa Qua đó, chúng ta có thể xác định công thức tổng quát cho cả dãy số mới và dãy số ban đầu.

Nếu u n  1 u n  d; n thì công thức tổng quát u n  u 1 (n1)d (n2).

Nếu u n  1 u q n ;n thì công thức tổng quát u n u q 1 n  1 (n2).

Nếu u n  1 u n k n thì công thức tổng quát u n u 1 k n  1 (n2).

Chúng ta sẽ xét một số bài toán cụ thể sau để làm rõ hơn phương pháp này

Bài toán 1 Cho dãy số :

 Xác định công thức tổng quát của dãy số

Do v n là một cấp số nhân với v 1   2 ; q  2 nên: v n v q 1 n  1  2 n

Vậy u n   2 n 3 là công thức tổng quát của dãy đã cho

Xác định công thức tổng quát của dãy số

Ta có thể biến đổi :

Vì v n là dãy số hằng nên v n 0

Nên u n là cấp số nhân với u 1 1;q2

Bài toán 3 Cho dãy số

 Tìm công thức tổng quát của u n

Bài giải : Đặt u n  v n n 2 2n ta có dãy

Do đó v n là cấp số nhân với v 1  1,q1 Nên v n  1

Bài giải : Đặt u n  v n 2 n  1 ta có dãy

Có v n là cấp số nhân với v 1 5 ,q3 Nên v n v q 1 n  1 5.3 n  1

 Tìm công thức tổng quát của dãy số

Bài giải : Đặt v n u n 4.5.2 n ta có dãy

Dãy số cấp số nhân có công thức y1 = 36 và q = 3, do đó y_n = 36 * 3^(n-1) = 4 * 3^(n+1) Đối với v_n, ta có v_n = 4 * 3^(n+1) + 7 Cuối cùng, biểu thức u_n được xác định là u_n = 4 * 3^(n+1) - 5 * 2^(n+2) + 7 Trong một số trường hợp, dãy số được định nghĩa bằng công thức truy hồi không phải là tuyến tính mà là phân thức, yêu cầu chúng ta cần biến đổi để xuất hiện dạng tuyến tính và giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn.

Bài toán 6 Tìm công thức tổng quát dãy u n :

Bài giải : Đặt v n u n 2, ta có dãy :

Do y n là cấp số nhân có 1 11

 Xác định công thức tổng quát của dãy

Bài giải: Đặt v n 2u n , ta được

         với v 1 4 Như vậy ta có dãy lũy thừa v n , do đó v n v 1 4 n  1 4 4 n  1

Xác định công thức tổng quát của dãy số Đặt v n 2  u n 1  hay 1

  , ở đó v 12 u 1 1 6 Như vậy ta thu được dãy lũy thừa v n và tính được v n v 1 2 n  1 6 2 n  1

Vậy công thức tổng quát 1 2 1

Ta thu được dãy lũy thừa v n và tính được v n v 1 4 n  1 5 4 n  1

Vậy công thức tổng quát của dãy

2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Phương trình (1) có phương trình đặc trưng :

TH1 : Phương trình (2) có đủ  i nghiệm phân biệt

Khi đó phương trình (1) có nghiệm là :

TH2 : Có nghiệm kép  j (1 j i) bội s thì

Với Q s  1 ( )n là đa thức bậc s1 ẩn n

TH3 : Có nghiệm phức  j r c( osisin ) thì

2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát

Ta đi tìm nghiệm tổng quát x n x n x n *

Trong đó : x là nghiệm phương trình sai phân tổng quát (3), n x là nghiệm phương trình sai phân thuần nhất (1), n x là nghiệm riêng n *

TH1 : f n P n m ( ) là đa thức bậc m ẩn n

+ Nếu nghiệm  i 1bội s nào đó

Để xác định giá trị của x trong phương trình, chúng ta thay x vào phương trình để tìm các hệ số của sai phân n tổng quát Để hiểu rõ hơn về phương pháp này, hãy xem xét một số bài toán cụ thể sau đây.

Phương trình đặc trưng tương ứng :

Tìm công thức tổng quát của dãy số

Phương trình đặc trưng tương ứng:

Do đó nghiệm : u n (an b ).3 n Mà u 0  u 1 1 ta có hệ

Do đó nghiệm : 2 2 os sin

Bài toán 4 Cho dãy số x n  3 x n  2 x n  1 x n 0.

Tìm công thức tổng quát của dãy số

Do đó nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng : x n  A.( 2) n B.(3) n

Có các nghiệm  1 nên nghiệm riêng x * n anb.

     Đồng nhất hệ số ta có :

Do đó nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng : 1

Có các nghiệm  3 nên nghiệm riêng x * n (anb).3 n

51 35 51 0. n n n n a n b a n b an b n an a b an a b an b n an a b n a a a b b

Một số phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên có lời giải phức tạp, đòi hỏi việc đổi biến khéo léo để chuyển đổi thành phương trình sai phân với hệ số hằng Việc sáng tác bài toán dạng này khá dễ dàng; chỉ cần bắt đầu từ một phương trình sai phân với hệ số hằng ẩn v và áp dụng các biến đổi như n v n  f n( )u n hoặc v n  f n u( ) Kết quả là chúng ta có thể tạo ra các bài toán phức tạp.

Giải quyết các bài toán này thường gặp khó khăn trong việc tìm ra phương pháp tổng quát Chúng ta cần áp dụng các kỹ thuật như truy hồi và đổi biến để đơn giản hóa bài toán Dưới đây, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán cụ thể để làm rõ hơn về phương pháp này.

Nghiệm riêng : u n * anb, thay vào phương trình (**) :

Bài toán 8 Cho dãy số xác định bởi :

 Tìm công thức tổng quát của x n

Từ giả thiết ta có (n1)x n  1 nx n n Đặt u n nx n ta có u n  1 u n n

Cộng vế ta thu được : 1 1 ( 1)

 Tìm công thức tổng quát của x n

Từ giả thiết ta có :

(n1)(n2) ( 2 n3)x n  1 n n( 1) ( 2 n2)x n n n( 1) ( 2 n2). Đặt u n n n( 1) ( 2 n2)x n , ta có phương trình u n  1 u n n n( 1) ( 2 n2)

Dễ dàng truy hồi ta có công thức tổng quát của u n và tìm được

Việc tuyến tính hóa phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng là cần thiết, và chúng ta sẽ trình bày một số ví dụ cụ thể để minh họa rõ ràng phương pháp này.

Hãy tuyến tính hóa phương trình

Giả sử dạng tuyến tính của x n là :

Ta tính được x 3 3 ;x 4 11;x 5 41 ta có hệ

Vậy ta thu được phương trình x n 4x n  1 x n  2

Hãy tuyến tính hóa phương trình

Giả sử dạng tuyến tính của x n là :

Ta tính được x 3 29 ; x 4 169 ;x 5 985 ta có hệ

Vậy ta thu được phương trình x n 6x n  1 x n  2

Phương pháp tìm công thức tổng quát dãy số bằng định hướng bởi công thức lượng giác

Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá một số bài toán nhằm tìm ra công thức tổng quát cho dãy số, bằng cách dựa vào các đặc trưng của đa thức đại số sinh ra từ hàm số lượng giác Để làm rõ hơn, hãy xem xét một số bài toán cụ thể sau đây.

Bài toán 1 Cho dãy số xác định bởi

1 ; n 1 2 n 1 ( 1) u R u   u  n Tìm công thức tổng quát của dãy số

Ta xét các trường hợp sau :

TH1 : Nếu u 1 1 Đặt u 1 cos ta có :

Dễ dàng quy nạp ta có u n cos(2 n  1 )

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được : 1 1

1 ; n 1 4 n 3 n ( 1) y R y   y  y n Tìm công thức tổng quát của dãy

Ta xét các trường hợp sau :

TH1 : Nếu y 1 1 Đặt y 1 cos ta có :

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được : y n cos3 n  1 

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được : 3 1 1

Một số bài toán lượng giác không được đưa ra dưới dạng công thức trực tiếp như x² hoặc x³, vì vậy cần thực hiện đổi biến để áp dụng các công thức đã biết Đôi khi, chúng ta cũng phải đối mặt với những công thức lượng giác ít phổ biến hơn như x⁴ hoặc x⁵ Để minh họa cho vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể.

; 4 1 ( 1) n n 2 x R x   x  n Tìm công thức tổng quát của dãy

Bài giải : Đặt 1 n 2 n x  y ta có : 1 1 1 1 1 1 2 1

Như vậy : + Nếu y 1 1thì y n cos(2 n  1 )

Kết luận : + Nếu 1 1 x 2thì 1 1 os(2 ) 2 n x n  c  

1 ; n 1 9 n 3 n ( 1) x R x   x  x n Tìm công thức tổng quát của dãy

Bài giải : Đặt 2 x  y khi đó : 2 2 3 2

Khi đó : + Nếu y 1 1thì y n cos(3 n  1 )

Bài toán 5 (Đề nghị thi OLYMPIC 30/4/1999)

Bài giải : Đặt 2 n 3 n u  x ta có dãy

Dễ dàng quy nạp ta có : 3 1 1

Tìm công thức tổng quát của dãy số

Bài Giải : Đặt x n 2y n Ta có :

Quy nạp ta có : os 4 1

Bài Toán 7 (Đề thi HSG TP HCM 2011-2012)

Tìm công thức tổng quát của dãy

Nhận xét : Từ giả thiết (*) ta có :

Nhận xét : cos5 16 osc 5  20 osc 3  5cos

Dễ dàng quy nạp ta chứng minh được

Bài toán 9 (Đề thi OLYMPIC 30/4/2003)

Dẽ dàng quy nạp ta có tan(  1  )

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được sin 1 n 2 6 n u 

Bằng quy nạp ta chỉ ra được tan 1 n 2 6 n u 

Tính tổng của một dãy số

Để tính tổng s của n số hạng đầu trong một dãy số bất kỳ không theo quy tắc cấp số cộng hay cấp số nhân, chúng ta có thể áp dụng một số phương pháp giải quyết hiệu quả.

Do vậy s n s n  1 u n (*) Như vậy để tìm s ta đi giải phương trình sai phân n (*) mà việc giải phương trình sai phân này ta đã xét ở chương 2

Ta sẽ đi xét một số bài toán cụ thể sau

Phương trình đặc trưng tương ứng có nghiệm  1

Nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng s n  A.1 n  A

Nghiệm riêng s n * n An( 3 Bn 2 CnD) Thay vào phương trình ta xác định được A, B, C, D từ đó tìm được s n * Khi đó ( 1)( 2)( 3) n 4 n n n n s    

Nghiệm phương trình thuần nhất : s n  A

Nghiệm riêng s n * n an( 2 bnc) Thay vào phương trình ta có

Nghiệm phương trình thuần nhất : s n  A

Nghiệm riêng s n * n an( 2 bnc) Thay vào phương trình ta có

  Nghiệm phương trình thuần nhất : s n  A

    thỏa mãn phương trình sai phân

Nhận xét bài toán có thể giải bằng phương pháp đặc biệt là sử dụng tính chất cấp số nhân Ta được 3

Tuy nhiên ta sẽ giải bài toán theo phương pháp tổng quát :

Nghiệm riêng s n * B.3 n Thay vào phương trình ta có

TH2 : Khi x1, ta có phương trình sai phân s n  1 s n  n1  x n  1

Nghiệm riêng s n *  anb x  n  1 Thay vào phương trình ta có

Dãy số và tính chất số học của dãy số

2.1 Tính chính phương của dãy số

Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét tính chính phương của các phần tử trong một dãy số Bài toán đặt ra là: cho một dãy số có thể ở dạng truy hồi hoặc chưa ở dạng tổng quát, nhiệm vụ của chúng ta là xác định một phần tử trong dãy đó là chính phương Việc giải quyết bài toán này sẽ được thực hiện theo hai xu hướng khác nhau.

+Ta tìm trực tiếp công thức tổng quát của dãy từ đó tìm được phần tử đang xét và chỉ ra nó là chính phương

+Việc tìm công thức tổng quát khó khăn ta phải mò mẫm biến đổi hoặc dự đoán sự biến đổi để được điều mong muốn

Chúng ta sẽ xét một số bài toán sau:

Việc xác định tính chính phương của dãy không chỉ đơn thuần dựa vào khai triển Newton, mà còn có thể tìm ra công thức tổng quát cho dãy, từ đó giúp việc giải quyết trở nên dễ dàng hơn.

Chứng minh : A4 a a n n  2 1 là số chính phương

Nghiệm a n an 2 bnc mà a 0 0 ;a 1 1;a 2 3 nên

 Đặt s n   u 1 2  1   u 2 2  1   u n 2   1  1 Chứng minh rằng mọi phần tử của dãy s n là số chính phương

Ta sẽ chứng minh s n  u n  11 2 (1) bằng phương pháp quy nạp

+Giả sử (1) đúng với nk tức là s k (u k  1 1) 2 (2)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n k 1 nghĩa là s k  1 (u k  2 1) 2 Ta có :

Số s_n được xác định bởi công thức s_n = (u_{n+1} - 1)^2, trong đó u_{n+1} thuộc tập hợp số nguyên Z, cho thấy s_n là số chính phương Tuy nhiên, trong một số trường hợp, việc xác định tính chính phương của dãy số có thể phức tạp hơn, đặc biệt là khi cần xét n để u trở thành số chính phương Để giải quyết bài toán này, cần thực hiện biện luận qua nhiều trường hợp khác nhau.

Tìm n để a n 1 là số chính phương

+Khi n   0 a 0 1 0 là số chính phương

+Khi n     1 a 1 1 2 1 1 là số chính phương

Mà  2  3 ; 2    3  là nghiệm phương trình  2 4  1 0

 không là số chính phương

Truy hồi ta chỉ ra C k 

 Tìm n sao cho u n là số chính phương

Từ giả thiết ta có

    Đặt v n u n u n  1 ta có phương trình v n nv n  1 khi đó dễ dàng quy nạp ta có n ! v n Như vậy u n u n  1 n!

+n2 ;u 2   1! 2! 3không là số chính phương

+n4 ;u 4     1! 2! 3! 4! 33 không là số chính phương

Nên u n 3(mod10) nghĩa là u n có số tận cùng là 3 Do đó u n không là số chính phương

Kết luận : với n1; 3 ta có u u 1 ; 3 là số chính phương

2.2 Toán chia hết và phần nguyên

Trong bài toán này, chúng ta sẽ xác định xem dãy số u hoặc một phần tử trong dãy số có thỏa mãn tính chất chia hết hay không, hoặc tìm phần nguyên của nó Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ áp dụng một số tính chất của phép chia, tính chất đồng dư và tính chất phần nguyên của số.

Bài toán 1 (Chọn đội tuyển Moldova năm 2011)

Chứng minh mọi số hạng của dãy đều là số tự nhiên, tìm công thức tổng quát của dãy

Mà 8(x n 2 x n 2  1 ) x n  2 3x n nên từ (1) ta có

Do x 0 1;x 1 41;x 2 119 ta dễ dàng truy hồi và có x n N  n

Phương trình đặc trưng của (2) là

Với   x là phần nguyên của x

Khi đó s n thỏa mãn phương trình s n  2 10s n  1  s n 0

+Xét n lẻ : s n     1 2 n s 1 (mod5)   1.10(mod5)  0(mod5).

 9 4 5   n 9 4 5  n s n     nhận giá trị nguyên và s n 17

Do đó   1 , 2 là nghiệm phương trình đặc trưng :  2 18 1 0

( d 17) ( d 17) 18( d 17) 1( d 17) 0( d 17). n k k s s s mo s mo mo mo mo

Vậy s n không chia hết cho 17 n

   Chứng minh: s chia hết cho 2009

Dễ dàng chỉ ra được : u n  12u n 3 n1 và u n 2 n 3n

Ta có điều phải chứng minh

Bài toán về phép chia hết và phần nguyên có thể rất đa dạng, chẳng hạn như bài toán tính số ước số trong một dãy Mặc dù hình thức bài toán này có vẻ phức tạp, nhưng việc tìm ra lời giải lại khá đơn giản Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể để làm rõ điều này.

 Tính số các ước nguyên dương của x n 2  1 x x n n  2

Kết luận : x n 2  1 x x n n  2 gồm có n+2 ước số

Khi giải quyết bài toán liên quan đến tính chất chia hết hoặc phần nguyên của dãy số, chúng ta thường gặp từ 2 đến 3 dãy số trong cùng một bài toán Do đó, để giải quyết hiệu quả, cần tách biệt các dãy số và xử lý từng dãy một cách riêng rẽ.

Ta có một số ví dụ sau

 2007  2007 x không chia hết cho 5 nhưng   2007

Vì 2007  3 mod 6   nên 2007 2007  3 ( 3 mo d 6)  3( mo d 6)

Ta có điều phải chứng minh

 Chứng minh rằng :  k Z  ; k chẵn thì  a n k  a n  25

Nghiệm riêng : a * n Cthay vào phương trình :

Mà truy hồi ta luôn có  a n k   a n   Z và  25;6   1

Giải phương trình ta có 1

Nên 25.5 1996 1(mod3) Như vậy 8 25.5 1996 0(mod3)

Theo định lý Fecma 5 1996 1(mod1997)

Bài toán 9 (Đề OLYMPIC 30/4/2000 khối 11)

Tìm phần nguyên của A với

Từ giả thiết ta có :

Giải phương trình ta có 1  3 1 1 

Tiêu đề	Công Thức Tổng Quát Của Dãy Số Và Ứng Dụng
Tác giả	Hoàng Văn Khánh
Người hướng dẫn	TS. Phạm Văn Quốc
Trường học	Đại Học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Phương Pháp Toán Sơ Cấp
Thể loại	luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2015
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	1,35 MB

Tài liệu tham khảo	Loại	Chi tiết
[1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội	Khác
[2] Nguyễn Hữu Điển (2003), Phương pháp quy nạp toán học, Nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[3] Phan Huy Khải (2006), Số học và dãy số, Nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[4] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nhà xuất bản Giáo dục	Khác
[5] Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định (2012), Phương pháp sai phân, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội	Khác