(SKKN mới NHẤT) SKKN một số phương pháp xác định giới hạn dãy số

MỤC LỤC Nội dung Trang 2 2 3 Lời giới thiệu Tên sáng kiến Tác giả sáng kiến Chủ đầu tư tạo sáng kiến Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Ngày sáng kiến áp dụng Mô tả chất sáng kiến 7.1 Về nội dung sáng kiến PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Phương pháp quy nạp toán học 1.2 Dãy số PHẦN II: GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1.Tính giới hạn dãy cách xác định CTTQ dãy 2.2.Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn 2.3.Phương pháp lượng giác hóa 2.4 Giới hạn tổng 3 4 6 13 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến Những thông tin cần bảo mật Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 10 Đánh giá lợi ích thu (kết thực hiện) 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu 27 27 27 27 28 download by : skknchat@gmail.com 18 19 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Bài tốn tìm giới hạn dãy số tốn có cấu trúc đề thi kỳ thi Học sinh giỏi khối 11 Tỉnh qua năm cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia qua năm kể từ Bộ GD&ĐT chuyển sang thi trắc nghiệm Trong xác định giới hạn dãy cách xác định CTTQ, lượng giác hóa, sử dụng tính đơn điệu dãy giới hạn dãy tổng khai thác chủ yếu Trong năm học giao nhiệm vụ dạy Toán lớp đầu cao, dạy bồi dưỡng Học sinh giỏi khối 11 nên việc nghiên cứu tốn tìm giới hạn dãy số bắt buộc Khi dạy phần giới hạn dãy số thấy số vấn đề sau cần giải Một là: Theo quan điểm ngành Giáo dục thời lượng chương trình dạy học nên nội dung chương dãy số giảm tải đáng kể Tuy nhiên việc giảm tải tập trung vào tập cịn lí thuyết giảm tải khơng đáng kể u cầu tối thiểu Nên giáo viên dạy lí thuyết chương vất vả, học sinh học lí thuyết vất vả làm tập Sách giáo khoa học sinh thấy đơn giản tập khó giảm tải, tập cịn lại tương tự ví dụ có phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm theo cách máy móc hiểu rõ vấn đề đề thay đổi chút học sinh cảm thấy khó khăn, chán ngán Hai là: Các vấn đề dãy số xuất đề thi tuyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm dãy số học sinh có ý đinh ơn thi Học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu dễ đọc Từ thực trạng vấn đề trên, chọn nghiên cứu sáng kiến “Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” nhằm giúp học sinh có hứng thú giải dễ dàng toán liên quan đến giới hạn dãy số Tên sáng kiến: “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Đào Xuân Tiến - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0986968630 Email:daoxuantien101186@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: download by : skknchat@gmail.com Đào Xuân Tiến – Trường THPT Yên Lạc – huyện Yên Lạc – tỉnh Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” áp dụng bồi dưỡng HSG khối 11 ôn thi THPT Quốc Gia Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Truyền đạt đến học sinh nhìn tồn diện giới hạn dãy số theo quan điểm học sinh trung học phổ thơng khơng chun Hệ thống phân tích tập giới hạn dãy số cách logic từ khó đến khó Hai là: Qua việc luyện tập toán giới hạn dãy số ta thấy phép tuyệt đệp, phép quy nạp từ vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát phép biến đổi điển hình đại số giải tích Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách tự nhiên cho toán giới hạn dãy số chánh gượng ép máy móc Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Ngày 28/02/2020 Mô tả chất sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến download by : skknchat@gmail.com PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Phương pháp quy nạp toán học n  N * ta ln có đẳng thức sau : n(n  1) n(n  1)(2n  1) 12  2   n     n  13  23   n  n (n  1) 12    (2n  1)  n(4n  1)     (2n  1)  n 10 11 12 1 n     1.2 2.3 n(n  1) n  1 1   2 n n Cho số thực x  1 Chứng minh : (1  x) n   nx , n  N * Với số tự nhiên n  , ta có : 2n  2n  Với số tự nhiên n  , ta có : 1     n n 1 n b     N 1 a  c 13 Cho số thực x  k 2 , k  Z , n  N * , ta ln có : nx (n  1) x sin 2 a sin x  sin x   sin nx  x sin (n  1) x nx sin cos 2 b  cos x  cos x   cos nx  x sin sin download by : skknchat@gmail.com 1.2 Dãy số 1.2.1.Định nghĩa Mỗi hàm số xác định tập số nguyên dương dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: gọi Trong gọi số hạng đầu, số hạng thứ tổng quát dãy số 1.2.2 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số gọi dãy số tăng * Dãy số gọi dãy số giảm Vậy: Nếu suy Nếu số hạng dãy số tăng suy dãy số giảm * Nếu tồn số cho bị chặn * Nếu tồn số cho bị chặn * Nếu dãy số bị chặn bị chặn gọi dãy só bị chặn 1.2.3.Một vài dãy số đặc biệt * Cấp số cộng * Dãy số cấp số cộng , n  N * , (d  0) , số không đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng * Nếu dãy số cấp số cộng tổng *Cấp số nhân * Dãy số cấp số nhân đổi gọi công bội cấp số nhân * Nếu dãy số cấp số nhân * Nếu dãy số , n  N * , cấp số nhân vơi tổng download by : skknchat@gmail.com số không PHẦN II GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1.Tính giới hạn dãy cách xác định CTTQ dãy * Kiến thức sử dụng: - Các công thức dãy số quen thuộc - Tính chất dãy số cấp số cộng, cấp số nhân * Bài tập vận dụng Bài 2.1.1 Cho dãy số Tìm giới hạn dãy số? Lời giải: Ta có Suy Bài 2.1.2 Cho dãy số un  12  32  52   (2n  1) Tìm giới hạn dãy số? 2  42    (2n) Lời giải: Ta có 2n(2n  1)( 4n  1)     (2n) (4n  1) un     2 n(n  1)( 2n  1) 2(n  1)     (2n) Suy 2 Bài 2.1.3 Cho dãy số phần tử, Tìm xác định số chỉnh hợp chập số hốn vị phần tử Đặt Lời giải: Ta có , download by : skknchat@gmail.com Bài 2.1.4 Cho dãy số thỏa mãn Hãy tìm Lời giải: Theo đề ta có … Cộng theo … đẳng thức ta Vậy Bài 2.1.5 Cho dãy số Tìm xác định Đặt Lời giải: Ta có +) Xét tổng số hạng đầu cấp số nhân có số hạng thứ công bội download by : skknchat@gmail.com +) Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: ta có Vậy Bài 2.1.6 Cho dãy số xác định sau: Tính Lời giải: Ta có suy lập thành cấp số cộng có cơng sai nên (1) Từ (1) ta un  u1  un  un 1  un 1  un    u2  u1  n  n     un     n  n  n  1 Vậy Bài 2.1.7 Cho dãy số u1  n un Tìm giới hạn dãy số xn   un ? un 1  2(2n  1)un  i 1 Lời giải: Đặt Vn  u   n ( 2n  1)(2n  1) 1  un   2n  2n  Suy lim xn  Bài 2.1.8 Đặt Xét dãy số cho Tính Lời giải: Ta biến đổi download by : skknchat@gmail.com Sử dụng ta có: Bài 2.1.9 Cho dãy xác định Tìm Lời giải: Ta có: Với Từ ta có suy Do đó: Bài 2.1.10 Cho dãy biết Tìm Lời giải: Ta có: download by : skknchat@gmail.com Do Bài 2.1.11 Cho dãy biết Tìm Lời giải: Ta có: Suy *Bài tập tự giải: Bài Cho dãy số un  1    Tìm giới hạn dãy số? 1.2.3 2.3.4 n(n  1)(n  2) HD: ta có Khi Khi Khi … Khi Cộng đẳng thức theo vế giản ước ta Suy download by : skknchat@gmail.com 10 Mặt khác ta có: (vì ) Nên dãy số giảm bị chặn hạn giả sử , Và ta có dãy có giới hạn hữu Suy Do Vậy Bài 2.2.5 Cho dãy số a) CMR dãy b) Tính Lời giải: a) Nhận xét Hơn xác định dãy số tăng dãy bị chặn Theo bất đẳng thức Cosi, ta có Do dãy số tăng b) Từ câu a) nhận xét suy dãy Do có giới hạn Giả sử Mặt khác từ giả thiết suy  Vậy Bài 2.2.6 Cho dãy số Lời giải: Nhận xét xác định Tính bị chặn Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có Giả sử , ta chứng minh Theo bất đẳng thức Cosi giả thiết quy nạp ta có: download by : skknchat@gmail.com 15 Do , nên bị chặn Mặt khác, ta có mà Do đó: , nên Vậy dãy số có giới hạn hữu hạn Giả sử , dãy giảm Từ hệ thức truy hồi suy ra: Vậy * Bài tập tương tự: Bài Cho dãy số u1  un 1  un2  un   un2  un  un  Tìm giới hạn dãy số? HD: Ta có: un 1  Mặt khác: 2un u  un   u  u n  n n  u  u n  + u  un    un  n ≥ n 0 2 1 1       un    2 2  1   3    2  u n   u n     2  2   Do dãy số giảm bị chặn nên tồn giới hạn Suy limun = Bài Cho dãy số u1= 2020 Tìm giới hạn dãy số ? Bài Cho dãy số u1= 2020 un 1  Cho dãy số với un2  Tìm giới hạn dãy số ? 2un  Tìm giới hạn dãy số ? Bài Cho dãy số Tìm giới hạn dãy số? (un  1)3 0 HD: Ta có: un 1   3un2  download by : skknchat@gmail.com 16 Xét hiệu un 1  un   2un3  2un  Do dãy số giảm bị chặn nên tồn 3un2  giới hạn Suy n  1 Bài Cho dãy số un 1  1   Tìm giới hạn dãy số ?  n 2 Bài Cho dãy số u n 1  un  (1  2a )un  a Xác định a, b để dãy số có giới hạn tìm giới hạn dãy số ? n   21 2 2n    Tìm giới hạn dãy số ? u     Bài Cho dãy n 1 n 1  n  Bài Cho dãy thỏa mãn điều kiện: Tính (ĐS: Bài Cho dãy xác định Tính (ĐS: ) 2.3.Phương pháp lượng giác hóa * Kiến thức sử dụng: - Biểu diễn số hạng tổng quát dãy số công thức lượng giác để tính giới hạn: cơng thức nhân đơi, nhân ba, đẳng thức lượng giác - Ý tưởng chính: Nhận dạng dùng cơng thức lượng giác phù hợp để biểu diễn số hạng dãy số Chú ý số hạng đầu giác trị lượng giác đặc biệt ? * Bài tập vận dụng Bài 2.3.1 Cho dãy số u n 1  2u n  Tìm giới hạn Lời giải: Ta có: 2n  Bằng phương pháp qui nạp suy u n 1  cos Vậy download by : skknchat@gmail.com 17 ? Bài 2.3.2 Cho dãy số Tìm giới hạn dãy số ? Lời giải: Ta có: Bằng phương pháp qui nạp suy Vậy un4 u Bài 2.3.3.Cho dãy số u1 = un 1  Tìm giới hạn dãy số n n un  8un  Lời giải: 8     an 1   8an2  8an4  2(2an2  1)  Ta có: un 1 un un  4n  Mặt khác: a1   cos Ta có un 1  cos 3 Suy lim un 0 n    Bài 2.3.4 Cho dãy số un  Tìm giới hạn dãy số un ?    Lời giải: Chứng minh: .Vậy *Bài tập tương tự: Bài Cho dãy số u1  un 1    un Tìm giới hạn dãy số 2nun ? 2 Bài Cho dãy số u1  un 1  Bài Cho dãy số  un u Tìm giới hạn dãy số n ? n  3un Tìm giới hạn dãy số ? 2.4 Giới hạn dãy tổng số hạng dãy cho trước * Kiến thức sử dụng: download by : skknchat@gmail.com 18 Các tốn tìm giới hạn tổng ta thu gọn tổng cách phân tích hạng tử tổng quát thành hiệu hạng tử nối tiếp để hạng tử triệt tiêu, cuối đưa tổng biểu thức cịn chứa xn , sau tìm limxn * Bài tập vận dụng Bài 2.4.1  xn  n1 xác định sau: x  3, x  x  3x  4, n  1, 2,  Chứng minh  xn  n 1 dãy đơn điệu tăng khơng bị chặn Tìm giới hạn  dãy số  yn  n 1 yn xác định công thức:  Cho dãy số yn  n 1 n n 1    , n  1, 2, x1  x2  xn  Lời giải: Ta có suy dãy số dãy đơn điệu tăng Chứng minh quy nạp Thật (*) với Giả sử (*) với Thế Vậy (*) với Theo nguyên lý quy nạp suy chặn với dãy khơng bị Theo định nghĩa dãy ta có: 1 1 1       xk 1   xk  1  xk   xk  xk  xk  xk  xk 1  Bằng cách cộng đẳng thức với k  1, 2, , n ta 1 yn   x1  xn 1  Vì theo nguyên lý giới hạn kẹp Bài 2.4.2: Cho dãy xn 1  n Đặt yn   i 1 xi  (n = 1, 2, …) xác định sau: xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  với n = 1, 2, … yn (n = 1, 2, ….) Tìm lim n  download by : skknchat@gmail.com 19 suy Lời giải: Ta có với n = 1, 2, … xn1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)   x n  3xn   xn2  3xn     xn2  3xn  (1) Từ suy = xn2  3xn  = xn 1   n Do yn   i 1  x n 1  xn    1  x n 1 xn   1   xn  xn  xn 1  n  1  1 1     =   xi  i 1  xi  xi 1   x1  xn1  xn 1  = xk2  3xk   3xk  3.3k 1  3k Từ (1) Ta dễ dàng chứng minh quy nạp yn  Nên lim n  (vì (2) (2) > 3n ) Ta chứng minh limxn =  với cách khác: Dễ thấy (xn) dãy tăng, giả sử limxn = a (a  1) Nên ta có a  a(a  1)(a  2)( a  3)  Suy a2 = a(a+1)(a+2)(a+3) + hay a4 + 6a3 + 10a2 + 6a +1 = Rõ ràng phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn a  Vậy limxn =  Bài 2.4.3 Cho dãy số xác định Hãy tìm Lời giải: Ta có … … download by : skknchat@gmail.com 20 Theo đề Giả sử Ta chứng minh (giả thiết quy nạp) (*) Theo đề bài, (*) (theo giả thiết quy nạp) Vậy dãy số tăng Ta lại chứng minh Giả sử không bị chặn bị chặn Đặt Mà loại) suy giả sử Do bị chặn sai Vậy Bài 2.4.4 Cho dãy (n = 1, 2, …) xác định bởi:   x1     x  xn 1  xn 1  xn 1  n (n  2,3, ) n Chứng minh dãy (yn) (n = 1, 2, …) với yn   i 1 hạn, tìm giới hạn Lời giải: Từ giả thiết ta có Ta có Do dãy = có giới hạn hữu xi2 n  xn21  xn 1  xn 1 tăng Giả sử = xn21  xn 1  xn 1 > n  2 = a a > download by : skknchat@gmail.com 21 a a  4a  a  a = (vô lý) Vậy =  Từ xn21  xn 1  xn 1 = xn2  ( xn  1) xn 1  n  suy 1   xn xn 1 xn n  Do n yn   i 1  1 1 1 1 1 1 1 1                6    2 xi x1  x1 x2   x2 x3  xn  xn 1 xn  x1 x1 xn n  Suy yn < n  dãy (yn) tăng yn = yn-1 + x > yn-1 n Vậy (yn) có giới hạn hữu hạn limyn = Bài 2.4.5 Cho dãy số (un) xác định sau: Tính Lời giải: Ta có: Suy ra: Chứng minh lim u n    lim un 1 0 Vậy Bài 2.4.6 Cho dãy số: Tính Lời giải: download by : skknchat@gmail.com 22 Ta có: Suy ra: Chứng minh lim un    lim 0 un 1  Vậy Bài 2.4.7 Cho dãy số xác định Tìm Lời giải: Ta có: Đặt Suy Do Do Bài 2.4.8 Cho dãy số xác định Lời giải: Ta có Cộng vế theo vế rút gọn ta download by : skknchat@gmail.com 23 Tìm , với Suy Và Do *Bài tập tương tự: Bài Cho dãy số với Tính Bài Cho dãy số với Tính Bài Cho dãy số u1   xác định bởi:  un 1  u n  u n  2(n  1) download by : skknchat@gmail.com 24 Tính lim n   n u i 1 ? i Bài Cho dãy số n Tính nlim    i 1 xác định bởi: ui ? ui 1  Bài Cho dãy xác định Tính Bài Cho dãy xác định Tính Bài Cho dãy xác định Tính Bài Cho dãy số với Tính Bài Cho dãy Tính xác định Bài 10 Cho dãy số với Bài 11 Cho dãy số với Tính Tính Bài 12 Cho dãy số xác định a) Chứng minh: un ≥ n + 2019 download by : skknchat@gmail.com 25 ? b) Đặt Tìm lim xn 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng bồi dưỡng cho học sinh ôn thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc khối 11 Ngoài sáng kiến áp dụng để giảng dạy cho khối 12 ôn thi THPT Quốc Gia Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng cho học sinh có lực học giỏi 10 Đánh giá lợi ích thu ( kết thực hiện) Trên số tập tính dãy số nâng cao nhằm củng cố, hướng dẫn học sinh khá, giỏi đặc biệt em học sinh ôn HSG khối 11 Trong trình giảng dạy tơi hướng dẫn học sinh lớp em đội tuyển dạng tập Qua kiểm tra đánh giá lớp 11A1 đạt kết tỉ lệ: Giỏi 25%, Khá: 44%, Trung bình: 31% Qua em học sinh đội tuyển dự thi HSG khối 11 Tỉnh có 70% em làm tốt câu Một số kiến nghị: + Trên số tập dạng tập nâng cao tìm giới hạn dãy số Các dạng tập chưa dùng ứng dụng đạo hàm tính giới hạn dãy số + Mặc dù tơi có cố gắng song cịn hạn chế trình độ chun mơn, kinh nghiệm giảng dạy nên tài liệu nhiều thiếu sót Rất mong thầy, giáo đóng góp ý kiến cho tơi để tơi hồn thiện tài liệu tốt download by : skknchat@gmail.com 26 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu STT Tên tổ chức/cá Địa nhân Đào Xuân Tiến Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trường THPT Yên Lạc Chương IV Đại số Giải Tích – lớp 11- THPT Lớp 11A1 Trường THPT Yên Lạc Chương IV Đại số Giải Tích – lớp 11- THPT Đội tuyển thi HSG Trường THPT Yên Lạc Toán 11 Chương IV Đại số Giải Tích – lớp 11- THPT ,ngày tháng năm ,ngày tháng năm ,ngày tháng năm Thủ trưởng đơn vị/ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Chính quyền địa phương SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ Tác giả sáng kiến Đào Xuân Tiến download by : skknchat@gmail.com 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa đại số giải tích 11 (Chương trình nâng cao) -Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - Đề thi HSG tỉnh, thi HSG Quốc Gia -Nguồn internet download by : skknchat@gmail.com 28 download by : skknchat@gmail.com 29 ... kiến ? ?Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số? ?? nhằm giúp học sinh có hứng thú giải dễ dàng toán liên quan đến giới hạn dãy số Tên sáng kiến: “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số? ?? Tác... 1.2.2 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số gọi dãy số tăng * Dãy số gọi dãy số giảm Vậy: Nếu suy Nếu số hạng dãy số tăng suy dãy số giảm * Nếu tồn số cho bị chặn * Nếu tồn số cho bị... skknchat@gmail.com 1.2 Dãy số 1.2.1 .Định nghĩa Mỗi hàm số xác định tập số nguyên dương dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: gọi Trong gọi số hạng đầu, số hạng thứ tổng quát dãy số 1.2.2 Dãy