BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNHĐỀ TÀI CHỦ ĐỀ 1 TEAMWORK PROJECT

lOMoARcPSD|11572185 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỀ TÀI: CHỦ ĐỀ TEAMWORK PROJECT LỚP L04 - NHÓM 04 - HK 212 NGÀY NỘP 26/04/2022 GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG STT Sinh viên thực Võ Vũ Thành Nguyễn Thị Hòa Phương Nguyễn Tấn Lộc Trần Minh Hải Mã số sinh viên 2014514 1813626 2013691 2013086 Ghi Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 lOMoARcPSD|11572185 MỤC LỤC -PHẦN 0: BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ THEO DÕI TIẾN ĐỘ LÀM VIỆC CỦA NHÓM PHẦN 1: TRÌNH BÀY LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ ĐƯỢC GIAO I Phương pháp Newton Công thức hình thang II III 10 IV 12 V 13 PHẦN 2: TRÌNH BÀY NỘI DUNG BÀI LÀM VÀ KẾT QUẢ CÓ ĐƯỢC 14 I ĐỀ BÀI NỘI DUNG TIẾNG ANH 14 II NỘI DUNG BÀI LÀM VÀ KẾT QUẢ CÓ ĐƯỢC 16 Bài a .16 Bài b .22 PHẦN 3: MỞ RỘNG HOẶC ÁP DỤNG KẾT QUẢ CỦA CHỦ ĐỀ CHO CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 35 PHẦN 4: KẾT LUẬN, NHẬN XÉT 37 lOMoARcPSD|11572185 PHẦN 0: BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ THEO DÕI TIẾN ĐỘ LÀM VIỆC CỦA NHÓM Stt Sinh viên thực MSSV Phân công nhiệm vụ Võ Vũ Thành 2014514 Bài lý thuyết liên quan Tiến độ làm việc 20% 20% 20% 20% PHẦN 1: TRÌNH BÀY LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ ĐƯỢC GIAO lOMoARcPSD|11572185 Phương pháp Newton: a; b Xét phương trình f ( x ) 0 khoảng cách ly nghiệm   chứa a; b nghiệm xác p Gỉa sử hàm f ( x) có đạo hàm   Ta xây dựng pp Newton hình học sau: từ điểm có hồnh độ xn đồ thị đường cong y  f ( x) , ta kẻ tiếp tuyến với đường cong Hồnh độ giao điểm có tiếp tuyến với đường cong Hoành độ giao điểm tiếp tuyến với trục hoành xn Ta dễ dàng viết phương trình tiếp tuyến: y  f ( xn ).( x  xn ) Cho y 0, x  x0 ta thu công thức xác định xn congi thức lặp phương pháp Newton sau: xn xn  f ( xn ) f '( xn ) n 1, 2,3 Do cách xây dựng hình học nên phương pháp Newton gọi phương pháp tiếp tuyến Nói chung, hội tụ dảy lặp Newton phụ thuộc vào cách chọn giá trị lặp ban đầu x0 Ta có định lý sau Định lý: Gỉa sử hàm f ( x) có đạo hàm đến cấp liên tục đạo hàm f '( x) f ''( x) không đổi dấu đoạn  a; b  Khi chọn x0 thỏa điều kiện Fourier f ( x0 ) f ''( x0 )  , dãy lặp  xn  n1 xác định theo công thức hội tụ nghiệm p  phương trình f ( x ) 0 Cơng thức hình thang b n I f ( x)dx  I (b  a) H k yk * a k 0 (*) lOMoARcPSD|11572185 Trong công thức ( * ) , cho n 1 ta z0 a, z1 b, h b  a, y0  f (a ), y1  f (b) Từ tính chất hệ số Cotes H  H1 1 H H1 , ta thu H  H1  cơng thức có dạng: I I * h y0  y1 (1) Và gọi cơng thức hình thang Ý nghĩa hình học cơng thức (1) tích phân b f ( x)dx a biểu diễn diện tích hình thang cong tạo đường cong f ( x) đường thẳng x=a, x=b y=0 Theo (1) diện tích xấp xỉ diện tích hình thang vuông Trong công thức đánh giá sai số công thức Newton-Cotes, cho n=1 ta thu I  I*  M h3 M h3 M h3 q ( q  1) dq  q (1  q ) dq  2!   12 0 (2) Trong thực tế, công thức (2) sủ dụng trực tiếp Thơng thường ta chia nhỏ đoạn  a; b áp dụng cơng thức hình thang đoạn nhỏ Cụ thể, chia đoạn  a, b thành n đoạn với bước chia h b a n ; điểm chia x0 a, xk x0  kh, yk  f ( xk ), k 0, n sử dụng công thức (2) cho đoạn nhỏ ta thu được: b y  y I f ( x)dx I * h   y1  y2   yn  n  2  a (3) Công thức (3) gọi cơng thức hình thang mở rộng Từ công thức (2) ta thu công thức đánh giá sai số công thức (3) I  I * (b  a) h2M 12 lOMoARcPSD|11572185 Với M max f '( x) x a ,b  Công thức sai phân hướng tâm Với Cộng vế ta : Thuật toán ma trận tam giác Trong đại số tuyến tính, thuật tốn ma trận tam giác dạng đơn giản phép khử Gauss, dùng để giải hệ phương trình mà viết thành ma trận tam giác Ta có: Mục đích phương pháp khử đường chéo thành đường chéo Công thức simpson Trong công thức ( * ) , cho n = ta thu , =b, h= , , ), , lOMoARcPSD|11572185 Khi cơng thức ( * ) có dạng I = ( + +) Và công thức đánh giá sai số ≤ Với = (**) Tương tự trường hợp cơng thức hình thang, ta chia đoạn thành n =2m đoạn nhỏ với bước chia h = sử dụng công thức ( ** ) cho cặp đoạn nhỏ liền , ta thu công thức Simpson mở rộng : I= = sai số đánh giá ≤ (b-a) I ĐỀ BÀI NỘI DUNG TIẾNG ANH Problem A spherical tank has a circular orifice in its bottom through which the liquid flows out The following data is collected for the flow rate through the orifice as a function of time lOMoARcPSD|11572185 Write a script with supporting functions (a) to estimate the volume of fluid (in liters) drained over the entire measurement period (b) to estimate the liquid level in the tank at t = s Note that r = 1.5 m Bài Một bể hình cầu có lỗ trịn đáy để chất lỏng chảy ngồi Dữ liệu sau thu thập cho tốc độ dòng chảy qua lỗ dạng hàm thời gian Viết kịch với chức hỗ trợ (a) để ước tính thể tích chất lỏng (tính lít) tồn thời gian đo (b) để ước lượng mực chất lỏng bình t = s Lưu ý r = 1,5 m lOMoARcPSD|11572185 Problem Let R be the rectangle [0; 2] × [1; 4] (a) Let f (x; y) = x cos ( + y) Calculate the integral (b) Study the Simpson formula Develop a function to estimate the integral in R using Simpson formula (c) Let n and m be the number of sub-interval in x and y components, respectively Estimate the integral with [n, m] = [40, 60] and [n, m] = [80, 120] and estimate the errors Bài Cho R hình chữ nhật [0; 2] × [1; 4] (a) Cho f (x; y) = x cos ( + y) Tính tích phân (b) Nghiên cứu công thức Simpson Xây dựng hàm để ước tính tích phân R cơng thức Simpson (c) Gọi m n số khoảng x y thành phần Ước lượng tích phân với [n, m] = [40, 60] [n, m] = [80, 120] ước lượng sai số Problem Heat is conducted along a metal rod positioned be- tween two fixed temperature walls Aside from conduction, heat is transferred between the rod and the surrounding air by convection Based on a heat balance, the distribution of temperature along the rod is described by the following second order differential equation where T = temperature (K), h = a bulk heat transfer coefficient reflecting the relative importance of convection to conduction m−2, x =distance along the rod (m), and T∞ = temperature of the sur-rounding fluid (K) (a) Convert this differential equation to a equivalent system of simultaneous algebraic equations using a centered difference approximation for the second derivative (b) Develop a function to solve these equations from x = to L and return the resulting distances and temperatures, in which, the algebraic equations must be solved by tridiagonal matrix (c) Develop a script that invokes this function and then plots the results (d) Test your script for the following parameters: h = 0.0425 m−2, lOMoARcPSD|11572185 L = 12 m, T∞ = 220 K, T(0) = 320 K, T(L) = 450 K, and ∆x = 0.5 m Bài : Nhiệt dẫn dọc theo kim loại định vị hai tường nhiệt độ cố định Bên cạnh trình dẫn, nhiệt truyền khơng khí xung quanh cách đối lưu Dựa cân nhiệt, phân bố nhiệt độ dọc theo mơ tả phương trình vi phân bậc hai sau : Trong T = nhiệt độ (K), h = hệ số truyền nhiệt khối lượng lớn phản ánh tầm quan trọng tương đối đối lưu dẫn m − 2, x = khoảng cách dọc theo (m), T∞ = nhiệt độ chất lỏng chảy vòng (K ) (a) Chuyển đổi phương trình vi phân thành hệ phương trình đại số đồng thời tương đương cách sử dụng phép gần sai phân trung tâm cho đạo hàm cấp hai (b) Xây dựng hàm để giải phương trình từ x = đến L trả khoảng cách nhiệt độ thu được, đó, phương trình đại số phải giải ma trận tam giác (c) Phát triển tập lệnh gọi hàm sau vẽ sơ đồ kết (d) Kiểm tra tập lệnh bạn cho thông số sau: h = 0.0425 m−2, L = 12 m, T∞ = 220 K, T(0) = 320 K, T(L) = 450 K, and ∆x = 0.5 m PHẦN 2: TRÌNH BÀY NỘI DUNG BÀI LÀM VÀ KẾT QUẢ CÓ ĐƯỢC 1.a - Khai báo vector X, Y giá trị đề cho đổi X đơn vị 10 lOMoARcPSD|11572185 - Gọi hàm trapezoidal để tính dựa theo cơng thức hình thang, sau in kết - Trong hàm trapezoidal(X,Y), lấy kích thước vector X: - Sau đó, chạy vịng lặp để tính tổng dựa theo CT hình thang: 11 lOMoARcPSD|11572185 1b - Ta có: Thể tích chất lỏng chảy qua suốt thời gian thể tích nước ban đầu có khối cầu - Mặt khác, thể tích chỏm cầu là: Do đó: Suy với Dùng phương pháp Newton để giải với sai số Xét thấy khoảng cách ly nghiệm (-3;0); (0;3); (3;4) mà nên chọn khoảng (0,3) Để đảm bảo nên Chọn khoảng cách ly nghiệm Chọn theo điều kiện fourier Code 1b - Khai báo giá trị ban đầu: - Trong hàm newtown, đầu tiên, tính đạo hàm cấp 1, sau tính m = min|f’(x)| 12 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 - Tính giá trị x0 theo điều kiện Fourier - Chạy vòng lặp để tính theo CT Newton, điều kiện dừng sai số < 10^-5: - In kết quả: > 13 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 Kết quả: 14 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 2.a - Dùng hàm int để tính tích phân cần tìm > > > 15 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 2.b,c - Đầu tiên, khai báo hàm f khởi tạo giá trị ban đầu: > > - Dùng hàm simp2var để tính cơng thức simpson cho tích phân lớp in kết hình > > > - Hàm simpson2var nhận vào tham số hàm f, khoảng giá trị x [a,b], khoảng giá trị y [c,d] số đoạn chia n, m I = Simp2var(f,a,b,c,d,n,m) 16 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 - Trong hàm, ta dùng thuật tốn simpson cho tích phân lớp (tính theo x, sau x tính theo y) 17 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 BÀI a) Ta có: d 2T T( x x )  2T( x )  T( x  x )  dx x Do đó: T  2T( x )  T( x  x ) d 2T  h  T  T   ( x x )  h  T  T  dx x  T( x x )  (2  h.x ).T( x )  T( x  x ) h. x T Hay : Ti 1   Ti  Ti   , với   (2  h.x );  h. x T Từ phương trình đại số trên, ta xây dựng hệ phương trình N nghiệm, với N giá trị cách khoảng từ T x=0 đến T X=L Giải thích: Với x từ đến L=12, denta_x = 0.5 suy ta 24 khoảng ứng với 23 biến giá trị T Từ phương trình trên, ta xây dựng thành hệ phương trình dạng A.x = B   0   T1     T      T       2       T3                     T21              T22           0    T23     T  18 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 b, c) Ta có:  T1    0  T T         2      T3              A   ; B    ; X    T21               T22        T   0     T       23  Suy Kết quả: Mảng giá trị T (từ x=0 đến x=L) Giải thích code Xây dựng hàm để tính vẽ đồ thị - Hàm bai3 nhận vào tham số h, L, Tinf(, TL, deltaX trả ma trận A, B X - Trong hàm bai3, ta khởi tạo giá trị ban đầu: - Sau đó, cho vịng lặp để tính ma trận A B: 19 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 - Dùng lệnh LinearSolve để giải hệ phương trình AX = B - Hàm plotGraph nhận vào vector x L sau vẽ đồ thị Thay giá trị gọi hàm - Thay giá trị - Tính ma trận A, B T: - Khởi tạo vector x T - Vẽ đồ thị: Kết Ma trận A 20 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 Ma trận B Ma trận C Đồ thị T 21 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 22 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 23 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD|11572185 24 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) ... (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD |11 57 218 5 Ma trận B Ma trận C Đồ thị T 21 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD |11 57 218 5 22 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD |11 57 218 5 23 Downloaded... kiện dừng sai số < 10 ^-5: - In kết quả: > 13 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD |11 57 218 5 Kết quả: 14 Downloaded by út bé (beut22834@gmail.com) lOMoARcPSD |11 57 218 5 2.a - Dùng hàm... thức ( * ) , cho n ? ?1 ta z0 a, z1 b, h b  a, y0  f (a ), y1  f (b) Từ tính chất hệ số Cotes H  H1 ? ?1 H H1 , ta thu H  H1  cơng thức có dạng: I I * h y0  y1 (1) Và gọi cơng thức